2011年全国高中数学联赛加试题另解--《中等数学》2011年12期
2011年全国高中数学联赛加试题另解
【摘要】：正第一题如图1,P、Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD的中点.若∠BPA=∠DPA,证明:∠AQB=∠CQB.证法1首先给出几个引理.引理1已知点A、B、C、D在一条直线上,P为直线外一点.如下条件可由任两个推出第三个:(1)PC(或PD)为∠APB内(外)角的平
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
第一题如图边形ABCD的对角线AC、BD的中点.若乙召护”=艺刀尸魂，证明:匕A卯二艺C卯·证法1首先给出几个引理.引理1已知，尸、Q分别是圆内接四点A、B、C、D在一条直线上，p为直线外一点.如下条件可由任两个推出第三个: (l)尸C(或PD)为乙APB内(外)角的平分线; (2)PC土尸D; (3)(
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京公网安备74号知识迁移问,只需按照题意套用托勒密定理,再利用等边三角形三边相等,将所得等式两边都除以等边三角形的边长,即可获证. 问,借用问结论,及线段的性质"两点之间线段最短"数学容易获解.知识应用,在的基础上先画出图形,再求解.
证明:由托勒密定理可知是等边三角形,,,,解:如图,以为边长在的外部作等边,连接,则知线段的长即为的费马距离.为等边三角形,,,,,,在中,,,,从水井到三村庄,,所铺设的输水管总长度的最小值为.
此题是一个综合性很强的题目,主要考查等边三角形的性质,三角形相似,旋转的特征,解直角三角形,函数等知识.难度很大,有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神.
3886@@3@@@@等边三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$4009@@3@@@@解直角三角形@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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第一大题，第9小题
第三大题，第9小题
第一大题，第5小题
第三大题，第7小题
第一大题，第1小题
第一大题，第15小题
第二大题，第15小题
第一大题，第7小题
第一大题，第8小题
第二大题，第5小题
第二大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 探究问题:(1)阅读理解:\textcircled{1}如图(A),在已知\Delta ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为\Delta ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为\Delta ABC的费马距离;\textcircled{2}如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有ABoCD+BCoDA=ACoBD.此为托勒密定理;(2)知识迁移:\textcircled{1}请你利用托勒密定理,解决如下问题:如图(C),已知点P为等边\Delta ABC外接圆的\wideparen{BC}上任意一点.求证:PB+PC=PA;\textcircled{2}根据(2)\textcircled{1}的结论,我们有如下探寻\Delta ABC(其中角A,角B,角C均小于{{120}^{\circ }})的费马点和费马距离的方法:第一步:如图(D),在\Delta ABC的外部以BC为边长作等边\Delta BCD及其外接圆;第二步:在\wideparen{BC}上任取一点{P}',连接{P}'A,{P}'B,{P}'C,{P}'D.易知{P}'A+{P}'B+{P}'C={P}'A+({P}'B+{P}'C)={P}'A+___;第三步:请你根据(1)\textcircled{1}中定义,在图(D)中找出\Delta ABC的费马点P,并请指出线段 ___的长度即为\Delta ABC的费马距离.(3)知识应用:2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人,畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A,B,C构成了如图(E)所示的\Delta ABC(其中角A,角B,角C均小于{{120}^{\circ }}),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A,B,C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.托勒密定理的应用解题一2000年全国高中数学联合竞赛加试平面几何试题
2000年全国高中数学联合竞赛加试平面几何试题
一、试题的呈现
二、试题分析
这是一个与圆有关的四边形问题，因为ABCD内接于圆，而面积又有积的形式出现，另外，四边形AMFN也是四点共圆。这是运用托勒密定理的隐含条件，尝试着去找解题的突破口。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。托勒密定理 - 简介
托勒密定理(Ptolemy)定理指出，圆内接两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
托勒密定理 - 逆定理
托勒密定理的同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条的乘积，则这个内接于一圆
托勒密定理 - 定理的提出
　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 定理的内容 　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 　　原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
托勒密定理 - 证明
　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因为△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BEoAC=ABoCD (1) 　　又有比例式AB/AC=AE/AD 　　而∠BAC=∠DAE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即EDoAC=BCoAD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=ABoCD+ADoBC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　所以命题得证 　　
复数证明　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 　　二、 　　设ABCD是。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKoBD = ABoCD，且CKoBD = BCoDA； 两式相加，得(AK+CK)oBD = ABoCD + BCoDA； 但AK+CK = AC，因此ACoBD = ABoCD + BCoDA。证毕。 　
其它证明　　已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACoBD＝ABoCD＋ADoBC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACoBP=ADoBC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACoDP=ABoCD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=ABoCD＋ADoBC．即ACoBD=ABoCD＋ADoBC． 　　
托勒密定理 - 推论
　　1.任意凸四边形ABCD，必有ACoBD≤ABoCD+ADoBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形外接于一圆、
托勒密定理 - 推广
　　：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 　　得不等式ACoBD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABoCD+BCoAD
托勒密定理 - 注意
　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 　　2.四点不限于同一平面。 　　：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则ADoBC+ABoCD=ACoBD
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保存二维码可印刷到宣传品求代数方面的定理,要能挖出很深的东西的,最好是有像“托勒密定理”那样（我知道这是几何的）用人名命名的,我要写十页的数学论文,全英语,没有学过的也可以，课内没有学过的也可以，_百度作业帮
求代数方面的定理,要能挖出很深的东西的,最好是有像“托勒密定理”那样（我知道这是几何的）用人名命名的,我要写十页的数学论文,全英语,没有学过的也可以，课内没有学过的也可以，
求代数方面的定理,要能挖出很深的东西的,最好是有像“托勒密定理”那样（我知道这是几何的）用人名命名的,我要写十页的数学论文,全英语,没有学过的也可以，课内没有学过的也可以，只要现学能看懂就行。但是不要高数里很难的那种，因为我还在上高中。有内容可写就好。
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