导读：第2章极限与连续，定理2.1.5limn??n??n??2.2函数的极限，就称常数A为函数f(x)当x??时的极限，而不在于它的值有多大.所谓研究当x?x0时函数f(x)的极限，就称常数A为函数f(x)当x?x0时的极限，与f(x)在??单侧极限：f(x)，所以注：此定理适用于讨论分段函数在分点处的极限问题，2.3.1极限的四则运算性质定理2.3.1设limf(x)?A,limg(x)?，存在第2章
极限与连续
注4：N的相应性
一般说，N是随着ε的变小而变大的，可写成N= N(ε). 但是这种写法并不意味着N是由ε唯一确定的. 其实在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不在于它的值有多大. 因此我们确定N时，经常将|xn- a |作适当的放大处理，使问题简单化.
xn?a，且a?0 定理2.1.3（保号性）如果limn??（或a?0），则存在正整数N，当n?N时，xn?0 （或xn?0）。 推论如果数列{xn}从某项起有xn?0(或xn?0),且limxn?a,那么a?0(或a?0).n??定义2.1.3
从数列{xn}中任选出无限多项，并按下标从小到大排成一列，记作 xk1,xk2,,xkn,, 称此数列{xkn}为数列{xn}的一个子数列，其中xkn为数列{xn}的第kn项，为数列{xkn}的第n项。 特别地，分别称数列{x2n?1}和数列{x2n}为数列{xn}的奇子数列和偶子数列.
xn?a，则limxn?1?a。 特别地
如果limn??n??xn?a?limx2n?1?limx2n?a。 定理2.1.5
limn??n??n?? 2.2
函数的极限
设函数f(x)当x充分大时有定义. A为常数.如果即
limf(x)?A? x??对于任意给定的正数?，总存在正数X，使得当x?X时，恒有 对???0，总?X?0，使得当x?X时，恒有|f(x)?A|??。 |f(x)?A|?? 成立，就称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作 定义2.1.2
limxn?a?n??limf(x)?A或f(x)?A(x??). x??对???0，总?N??，当n?N时，恒有xn?a?? 。 注2：X的相应性
一般说，X是随着ε的变小而变大的，在不需要强调邻域半径?时，通常用U(x0)或U(x0)表示点x0o可写成X= X(ε)，但是这种写法并不意味着X是由ε唯一确的某个邻域或某个去心领域. 定的. 其实在许多场合下，最重要的是X的存在性，而不在于它的值有多大. 所谓研究当x?x0时函数f(x)的极限，就是考察x?x0(x?x0)无限小时，函数f(x)的变化趋势. 如果此时函数f(x)无限接近于常数A，则表明对于任意给定的（不论多么小的）正数?，只要x?x0(x?x0)充分小，就可使得 |f(x)?A|??。 定义2.2.2
设函数f(x)在x0的某去心邻域有定义. A为注1
定义中“总存在正数?，使得当0?x?x0??时”是用来体现x与x0充分接近或x?x0充分小的程度. ?常数，如果对于任意给定的正数?，总存在正数?，使得越小，x与x0就越接近.
当0?x?x0??时，恒有 注2
此处δ的作用与前面定义中的N和X的作用相仿，均描述自变量的变化过程.一般地，ε越小，δ越小. |f(x)?A|?? 成立，就称常数A为函数f(x)当x?x0时的极限，记作 x?x0limf(x)?A或f(x)?A(x?x0). 注3：而“0?x?x0”表示在研究函数f(x)当x?x0时的极即 理，也有函数f(x)当x?x0时限时，主要是研究f(x)在点x0附近的变化趋势，与f(x)在??单侧极限：f(x)，即f (x0)?lim?f(x). x?x0x?xf(x)为何值并无关系.
点x0处是否有定义以及有定义时0lim?f(xx???limf(x)?A?
???0,?X?0,使当x?X时，恒有f(x)?A?? x???limf(x)?A? ???0,?X?0,使当x?－X时，恒有f(x)?A?? x?x0?limf(x)?A?
???0,???0,使当x0???x?x0时，恒有|f(x)?A|??x?x0 lim?f(x)?A? ???0,???0,使当x0?x?x0??时，恒有|f(x)?A|?? f(x)?A?limf(x)?limf(x)?A. 定理2.2.1 limx??x???x???arctanx?注： 由于xlim???limarctanx不存在。. x???2?limarctanx??x????2，所以 注： 此定理适用于讨论分段函数在分点处的极限问题。 2.3.1
极限的四则运算性质 定理2.3.1
设limf(x)?A,limg(x)?B, 则 存在（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B?limf(x)?limg(x). （2）lim[f(x)g(x)]?AB?limf(x)limg(x); f(x)存在Alimf(x)??. （3）当B?0时，limg(x)Blimg(x)注
关注定理的条件，即条件不满足时不可使用相应的结论。 存在极限存在 推论2.3.1 设limf(x)?A,则 注1：定理2.3.1可推广到有限个函数情形。 对数列极限也成立 （1）lim[Cf(x)]?CA?Climf(x) （其中C为常数）； nnnlim[f(x)]?A?[limf(x)]（2）（其中n为某正整数）。 定理2.3.2(惟一性) 若limf(x)存在, 则必惟一. 定理2.3.3(局部有界性) 若limf(x)存在, 则f(x)局部有界. 即 limf(x)?A, 则?M?0与??0，使得对如果x?x0?x?U(x0,?)，都有f(x)?M。
极限的复合运算性质 o注：将x→x0换成其他极限过程时也有类似的结论。定理2.3.4
设函数u=?(x)在点x0的某去心邻域内注：定理2,3.4表明在求极限的过程中，可作适当的变量?(x)?a.又limf(u)?A，则复合函不等于a，但xlimu?a?x0数f[?(x)]当x→x0时的极限存在，且 x?x0limf[?(x)]?limf(u)?A. 代换。x?xu?a0令u??(x)limf[?(x)]?limf(u)?A. u?a注1: 定理2.3.5中的极限过程x→x0可改换成其他极. f(x)?A,limxn?x0，xn?x0,n?1,2,限过程，结论仍成立定理2.3.5 设xlim且，?xn??0f(xn)存在，且 则limn??注2: 定理2.3.5表明数列极限问题可转化为函数极限问题来解决. limf(xn)?limf(x)?A. n??x?x02.3.3
极限值与函数值的保号性 limf(x)?A,且A?0（或定理2.3.6
(局部保号性)
设x?x0A?0），则在x0的某去心邻域内，f(x)?0（或f(x)?0）。 推论2.3.2
如果在x0的某去心邻域内f(x)≥0 (或f(x)≤limf(x)?A，则A≥0（或A≤0） 0)，且x?x0推论2.3.3（局部保序性）如果在x0的某去心邻域内f(x)limf(x)?A,limg(x)?B,则A≥B. ≥g(x)，且x?xx?x00 推广：设P(x),Q(x)均为多项式函数，且Q(x0)?0，则P(x)P(x0)lim?，也有极限值等于函数值。 x?x0Q(x)Q(x0)2.4无穷小、无穷大 充分必要条件是f(x)?A??，其中???(x)为无穷小. limf(x)?A的定理2.4.2
在自变量的同一变化过程中，有限个无穷定理2.4.1
在自变量的同一变化过程中， 小相加，相减或相乘仍为无穷小. 定理2.4.3
有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. 注2：无穷大并不是一个数，而是表示f(x)无限增大这推论2.4.1
常数与无穷小的乘积仍为无穷小. 一变化趋势.不要把无穷大与很大的数混淆（如10100是很。 定理2.4.4
在自变量的同一变化过程中，设f(x)?0，大的数，但不是无穷大）cosxlimxsinxe??，但xsinxecosx无界。反例，（1）x??1则f(x)为无穷小的充分必要条件是为无穷大. f(x)（2）数列1,0,2,0,?,n,0,?是无界的，但不是无穷大. 注1定理2.4.5称为等价无穷小代换定理，灵活使用该定理，可以简化极限的运算。
注2等价无穷小代换，只适用于乘除运算，而不适用于．．．加减运算。 2.5 极限的存在准则 进而得到的两个重要极限： 本节我们介绍极限存在的二个准则： sinx?1 第一重要极限：limx?0x⑴ 夹逼准则；⑵ 单调有界收敛准则。 1x?)?e. 第二重要极限：lim(1x??x?利用第二重要极限是处理1型未定式的常见方法。 （此外还有其它方法） 准则1（夹逼准则之函数形式） 设在自变量的同一变化过程中，f(x)，g(x)，h(x)都有定义，且满足 （1）g(x)?f(x)?h(x)； （2）limg(x)?limh(x)?A， 当x?0时，sinx~x,tanx~x, 12arcsinx~x,arctanx~x,1?cosx~x. 2则 limf(x)?A. 准则Ⅱ（单调有界收敛准则） 单调有界数列一定收敛.
如果单增数列{xn}有上界，即存在常数M，使得xn存在且不大于M. xn≤M,n=1，2，?，则limn??推论2.5.2
如果单减数列{xn}有下界，即存在常数M，使xn存在且不小于M. 得xn≥M,n=1，2，?，则limn??
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选C 这一点的 极限值跟这一点的函数值之间没有任何关系.除非加了其它条件.
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依题意，即f(x)&g(x)至少存在一个大于0的根。因此ax^2+2ax&e^x a&得x=√2, -√2 因此h(x)在x=√2为极小值点，h(√2)=e^√2/(2
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在x→0时取 an= 1/(2nπ),得到f(an)=0,说明有子列收敛于0取 bn = 1/(2nπ+π&#47必要但不充分条件如果趋于无穷;2),得到f(bn)= 2nπ+π/2说明有子列趋向无穷,所以无界,在那领域无界是显然的.现在找一个在0点某邻域无界,但不为无穷的例子.考虑 f(x)= 1/x*sin(1/x).但两个子例并不全趋无穷
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