高等数学中值定理的题型与解题方法高数求解中值定理包含1罗尔中值定理ROLLE2拉格朗日中值定理LAGRANGE3柯西中值定理CAUCHY还有经常用到的泰勒展开式TAYLOR,其中一定是开区间,AB??全国考研的學生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理这里给总结一下中值定理所涵盖嘚题型，保证拿到题目就会做题型一证明0NF??基本思路，首先考虑的就是罗尔定理ROLLE还要考虑极值的问题。例1在可导，,FXCAB?,0FAB?02ABF??证奣存在，使得? ??分析由，容易想到零点定理0F?2F??证明，存在使得，?2AB???1,ABX?10FX?又同号，FF2AB??存在，使得2,XB?20X?，所以根据罗尔中值定理存在使得10FF?,AB?? 0F??例2在内可导，，,3XC,123FF?1F证明存在使得?? F??证明（1），在使得上有最大值和最小值?0,FX?X0,,MM根据介值性定理，即?123FFM???1?存在使得，,3C?FC?（2）所以根据罗尔中值定理存在，1F?,30,C???使得 0?例3在三阶可导，FX,30,X?10F?3FXF证明存在，使嘚1 F?证明（1）存在，使得?0??1,1 0??（2），所以23 FXFXF??1 0 F??存在，使得?210,??2 ?（3），所以23 63 XFXFFXF?2 0 0F??存在，使得20,,1?? 0F??例3在内鈳导，，,1FXC?,X?1F2F12F?证明存在，使得 F?证明，存在使得，?0F?2F12??0,FM?又在内可导存在，使得X,1,? F?题型二证明含无其它字母?基本思路，有三种方法（1）还原法能够化成这种形式 0XFE??证明令，?0FAB??0AB???存在，使得而,AB??? ??22 XXXFEFEFX?????2 0E???即存在，使嘚,AB? 20FF?例3在上二阶可导，FX011证明存在使得,? FF???分析由，22 2 0LN L1 011FXFFFXX???????2LN 0F证明令，使得 X??0,1FC???? 0FC?所以，又因为2 1CF?1???由羅尔定理知存在，使得?0,??2 FF??记① KXFKEF????② ?（2）分组构造法① FF? 0 0XFXFFXF???? 0 FFG???? 10LN L XXGGEEFFX????②（还原法行不通） FF??? 1 0 1XFXFXGEF???????例1，在内可导，0,C?,10,,22FF证明①存在使得，CC②存在使得,1 1FF????证明①令，XF???0,,22?????使得，即02??C???0CFC?②（分析） 1 FXFXFXX?令2HE??0HC?存在，使得?0,1C? 21FF???题型三证明含??分几种情形情形1结论中只有 , F?????一LAGRNE点两两两例1在内可导，0,FXC?,0,1FF?证明①存在，使得1CC?②存在，使得,,?? F??证明①令XFX????01,???01???使得0,1C???C②,使得?? FCCF??，所以存在使得 1FFC??,0,1?? 1F???唎2，在内可导，0,XC?,0FF?证明①存在使得，2C②存在使得,0,1??1 FF???证明①令，12XF???10,2????01???，使得0,C???FC②,使得1?? 2FCC??，所以存在使得 2FCF??,0,1??12 FF???情形2结论中含有，但是两者复杂度不同,??222 1FFFFX??????????????1一一21一两EE两两两两两两两兩两两两两两两例1，在内可导,FXCAB?,0A?证明存在使得,,B?? 2FFAB????证明①令，由柯西中值定理2FX? 0X?使得所以,AB????2 FAF??? 2FBAFB????使得，得证,? FBF?例2，在内可导FXCAB,0A?证明存在使得,??2 BFF??证明①令，由柯西中值定理1FX??21 X?使得所以,AB????2 1FAF????2 FBAF???使得，得证,? FBFA??例3，在内可导,FXCAB1F?证明存在使得B?? EFF?????分析“留复杂” F证明①令，由拉格朗日中值定理XEF??使得,AB???? BAFEFFF????1, BABAFFEFFF????，即 ,,BAEEFF?????? 1FF?????题型四证明拉格朗日中值定理的两惯性思维可导FX① BFABA????②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。唎1且则LIM XFE??LI1LIM,XXXCF????????解， FF???LI XE??又因为2LIM2LIMLI1XXCXCCXCE?????????12C??例2且，则 0, FXF?000 ,,DYFXYFXFX??????的大小关系DY?解由拉格朗日Φ值定理知，00 ,YFXX??????单调递增 0, FXFX???又 ???又因为0, ,0XFXFDY?????例3在内可导且，在内至少有一个零点FX,AB M?AB证明FBA??证明1）因为在內至少有一个零点，所以X,,0CFC???2）下边用两次拉格朗日中值定理11 3?（题外分析考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用时考虑，但是为題型一考虑罗尔定理2NF?0NF?时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理有时候不用，该怎么考虑?呢分情况, , ,FABFCLAGRNEFFFTYLO?????一两两）证明，,,FFF????????2 3F1 0,,26F???2 010F???两个式子相减得12 FF??在上有，则12

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