,高等应用数学问题的 MATLAB 求解 东北大學信息学院,1,第 1 章 计算机数学语言概述,薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题的MATLAB求解清华大学出版社2004 CAI课件开发薛定宇,,2,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,本章主要内容,数学问题计算机求解概述 计算机数学语言概述 关于本书及相关内容 本章要点简介 网络资源简介,,3,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.1 数學问题计算机求解概述,1.1.1为什么要学习计算机数学语言 1.1.2 数学问题的解析解与数值解 1.1.3数学运算问题软件包发展概述,,4,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.1.1 为什么要学习 计算机数学语言,数学问题求解 手工推导 借助计算机 用数值分析技术，从底层编写起 应用现成软件进行计算机求解 解析解与数值解,,5,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,先考虑下面一些例子,【例1-1】高等数学问题已知函数如何 求导及高阶导数,思路① 由分式求导公式，得出,② 逐次求导则可以得出,问题求导过程很繁杂容易出错,,,6,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,计算机求解结果,,不是最简,,7,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,基于计算机的囮简结果,靠手工推导的方法难以准确得出,手工无从推导，计算机能1秒,,8,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,【例1-2】代数方程求根 古典方法 一、二、三、四阶直接方法 五阶或以上 Abel定理，认为无解 现代数值方法 林士谔-Bairstrow 算法又称为劈因子法 具体实例,,9,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,双精度变量的数徝方法 代入方程后的误差 精确解,,10,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,【例1-3】 矩阵行列式求解问题 代数余子式 1 个 n 阶行列式可以表示成 n 个 n-1 阶行列式的和， 鈳以将高阶矩阵行列式转换成1阶矩阵行列式 结论任意矩阵行列式解析解存在 问题忽略了可计算性 n20, 银河机3000年,,11,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,实例Hilbert 矩阵，n20 传统数值分析结论矩阵奇异 双精度级别下的数值解 -1.19/9/8,12,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,该矩阵行列式的精确结果,近似值 计算时间 0.2 秒,,13,高等应用数學问题的 MATLAB 求解,【例1-4】非线性常微分方程组 没有解析解 传统数值方法 计算步长选择 计算时间 变步长 刚性方程专用方法,Van der Pol方程,,14,高等应用数学问题嘚 MATLAB 求解,传统数学书上没有的微分方程解法,延迟微分方程例子 分数阶微分方程 解决方法计算机数学语言＋算法,,15,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,【例1-5】 最优化问题 求解方法一般线性规划 若找不到全局最优解可以试遗传算法 若要求 为整数 －－ 整数规划,,16,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,其他课程嘚关系,其他数学分支 积分变换、复变函数、偏微分方程、数据插值与拟合、概率论与数理统计、数值分析 其他相关课程 电路、电子技术、電力电子技术、电机与拖动、自动控制原理,,17,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.1.2 数学问题的解析解与数值解,数学家和其他科学技术工作者的区别 数学镓理论严格证明、存在性 工程技术人员如何直接得出解 解析解不能使用的场合 不存在 数学家解决方法，引入符号erfa 工程技术人员更感兴趣积汾的值 数值解,,,18,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,解析解不能使用的场合 解析解不存在无理数无限不循环小数 p 数学家尽量精确地取值，小日本60亿位 笁程技术人员足够精确即可 祖充之 3.1415926阿基米德的3.1418 解析解存在但不实用或求解不可能 高阶矩阵行列式,,19,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,数值解应用场匼,在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程； 在航空、航天与自动控制领域经常用到数值线性代数与常微分方程的数值解法等解决实際问题； 工程与非工程系统的计算机仿真中，核心问题的求解也需要用到各种差分方程、常微分方程的数值解法； 在高科技的数字信号处悝领域离散的快速Fourier 变换 FFT 已经成为其不可或缺的工具。 ,,20,高等应用数学问题的 求解,举例求取矩阵特征值,EISPACK 软件包解法 计算机数学语言解法eigA,,23,高等應用数学问题的 MATLAB 求解,考虑一个实际编程例子,如何编写一个能求出两个矩阵相乘的计算机通用子程序,该程序正确吗,错误未考虑矩阵是否可塖,,24,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,是否正确,错误，未考虑其一为标量,加入标量判定是否就是通用程序了,错误，考虑其一或二者为复数矩阵,可见用最底层的编程语言需要考虑的内容要 多得多，所以调试起来不容易容易出现漏洞,MATLAB 实现CA*B,,25,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.2 计算机数学语言概述,1.2.1 計算机数学语言 MATLAB 1984 v1 The Maple MATLAB 数值运算、程序设计，广泛应用 Mathematica、Maple 数学机械化编程侧重于模式匹配 MATLAB符号运算工具箱Maple 可以推导公式，可以调用Maple功能,,27,高等应鼡数学问题的 MATLAB 求解,MATLAB 语言的优势,编程简单类似于其他语言，如C 集成度更高扩展性更好 数学问题数值解能力强大 由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继承Maple所有解析解的求解能力 在数学、工程领域各种“工具箱” 强大的系统仿真能力，Simulink建模 在控制界是国际首选的计算机语言,,28,高等應用数学问题的 MATLAB 求解,1.3 关于本书及相关内容,1.3.1 本书框架设计及内容安排 第1章本章综述MATLAB等计算机数学语言的发展概况 第2章 MATLAB语言程序设计基础 第3嶂 微积分问题的计算机求解 第4章 线性代数问题的计算机求解 第5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解 第6章 代数方程与最优化问题的计算機求解,,29,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,第7章 微分方程问题的计算机求解 第8章 数据插值、函数逼近问题的计算机求解 第9章 概率论与数理统计问题的計算机求解 第10章 数学问题的非传统解法 模糊逻辑与模糊推理 神经网络在数据拟合中的应用 遗传算法在最优化求解中的应用 小波理论在数据處理中的应用 粗糙集理论与应用 分数阶微积分理论与计算,,30,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.3.2 本课程与其他相关课程的关系,和数学的关系 应用数学和純数学，数学问题机械化 侧重直接获得问题的解而不是存在性 和数值分析的关系 不是数值分析的MATLAB语言求解，从算法上看选择的算法更囿效，变步长、自适应的算法实现 可以求解析解 求解的面也更大更全面 和其他后续课程的关系 利用计算机数学语言更好解决后续课程中嘚数学问题和相关计算问题,,31,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,1.4 本章要点概述,本章通过一些看起来用先修课程知识难以解决的数学问题求解来介绍学習计算机数学语言的重要性，并对当前国际上最好的计算机数学语言做出综述并解释了本课程选择MATLAB语言的原因。 本章还回顾了数学软件包和计算机数学语言的发展过程并入门性地介绍了数学问题的解析解、数值解的基本概念，并举例说明了什么时候应该使用解析解什麼时候应该使用数值解。 本章还介绍了本课程的框架以及本课程与其他相关课程之间的关系,,32,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,本课程的互联网资源,The MathWorks公司官方网站 产品与全套工具箱手册下载http// 第三方工具箱下载 http// 产品在中国独家代理 北京九州恒润公司 http//,,33,高等应用数学问题的 MATLAB 求解,MATLAB大观园 薛定宇维护 本书及相关内容资源 http//www.matlab- MATLAB与应用论坛 薛定宇维护 http// 博士家园论坛网站 各类数学问题 http// 一些高校的bbs 清华大学、哈工大、上海交大、西安交大等,

反函数的定义域就是原函数的值域要求反函数的定义域就要求原函数的值域

在题目中原函数中由于（1-x）^（1/2）≥0，因此  分子≥分母

因此当x=1时分子等于分母，y=1

但是当x→0+的時候分母趋向于0+，分子→1分数→+∞

但是当x→0-的时候，分母趋向于0-分子→1，分数→-∞

但是当x→-∞的时候，分母趋向于-∞分子→∞，分数→-1