Joseph环的数学求解及史上最难Joseph问题（转载） - NewPanderKing - 博客园
抬头是山，路在脚下！
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:&& k&& k+1&& k+2&& ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：k&&&&& --& 0k+1&&& --& 1k+2&&& --& 2......k-2&&& --& n-2k-1&&& --& n-1变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]递推公式f[1]=0;f[i]=(f[i-1]+m)%i;&& (i&1)有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：＃i nclude &stdio.h&main(){&& int n, m, i, s=0;&& printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);&& for (i=2; i&=n; i++) s=(s+m)%i;&& printf ("The winner is %d\n", s+1);}这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
史上最难Joseph问题：
编号为1，2，......，n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数上限值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数，报到m时停止报数。报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向上的下一个人开始重新从1报数，如此下去，直至所有人全部出列为止。试设计一个程序求出列顺序。（基本要求：利用单向循环链表存储结构模拟此过程，按照出列的顺序印出各人的编号
随笔 - 212宏碁电脑买来有张碟片是干嘛用的
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display: 'inlay-fix'数学求解！！！_百度知道
数学求解！！！
已知函数f(x)=2^x-1/2^x+1,证明f(x)是r上的增函数。
提问者采纳
(2^x+1)∵2^x是R上的增函数;x2;(2^x+1)是R上的增函数,且x1,值域为(0,值域为(1;（2x1&#178,值域为(-1：任取x1&lt,值域为(0.因为x1&lt,+00)∴2^x+1是R上的增函数,值域为(-2;0;(2^x+1)是R上的增函数,1)即f(x)是R上的增函数;(2^x+1)=1-2&#47,所以x1²+1）（2x2²+1）,1)用定义证明;）/-x2&#178，所以f（x1）-f（x2）&lt,0)∴1-2/+1）;(2^x+1)是R上的减函数,1)∴-2/，f（x2）=1-2&#47.则f（x1）-f（x2）=2（x1²x2²x2;&lt,+00)∴1&#47，x2属于R,所以f（x）为R上的增函数;（2x1²（2x2&#178，分别代入原式得f（x1）=1-2&#47,值域为(-1f(x)=(2^x+1-2)/+1）
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0;(x)=2^x·ln2-(1/0;(x)=2^x·ln2-2^(-x)·ln(1&#47，ln2&0);2)&2)^x·ln(1/2)^x+1f'0∴f&#39，ln(1/(x)=2^x·ln2-2^(-x)·ln(1&#47，∴2^x·ln2&0);2) ∵f(x)=2^(-x)在x∈R上都有f(x&0 ∵f(x)=2^x在x∈R上都有f(x&gt，∴-2^(-x)·ln(1/2)&2)f&#39f(x)=2^x-(1/2)&gt
2^x在r上增函数且值域是（0，+00）解：设t=2^x
t的定义域是（0，+00）f（x）=g(t)=t-1/t+1g'(t)=1+1/(t^2)&0所以g‘（t）在（0，+00）单增所以f(x)是r上的增函数
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