浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法 - 百度文库
浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法
高校理科研究
浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法
河南工业大学理学院
［摘要］极限是高等数学的重要组成部分，是高等数学的理论基础，是研究变量数学的有力工具。函数极限的类型较为广泛、复杂,涉及到有界函数,无穷小量,等价无穷小,函数的连续性等多方面的内容。本文对高等数学中出现的求极限的方法进行总结，重点讨论几种常用的，在应用过程中学生容易出错的方法。［关键词］函数极限函数的连续性洛必达法则两个重要极限无穷小等价极限是高等数学的一个重要概念。其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础，使得微积分在当今科学的整个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展，极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,是从近似认识精确,从有限认识无限,从量变认识质变
高等数学中的某些新概念，也是由极限引的一种数学方法。除此之外，
而且泛函分析和拓扑学等则是极限的发展和深出，例如：导数，积分等。
化。所以求函数的极限成为这一部分的重中之重，灵活掌握运用极限的求法是学好高等数学的基础。
函数的极限既然是微积分的一个重要内容,于是如何求出已知函数
本文对求函数的的极限,就是学习微积分必须掌握的基本技能。因此，
方法进行总结,并对其中几种常用的方法进行分析讲解。
一、求解函数极限的方法总结1、运用极限的定义2、利用极限的四则运算性质3、约去分子分母的公因式4、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
5、利用无穷小量与无穷大量的关系6、无穷小的等价代换法7、两个重要极限8、函数的连续性9、变量替换法10、夹逼定理11、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限以及用定义求极限等情形)
12、洛必达法则（适用于未定式极限）二、重点介绍三种常用的求解极限的方法1、无穷小量
在求解极限的过程中，巧妙地应无穷小量本身就是一个极限定义。
用无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系以及无穷小量的等价求解极限也将起到事半功倍的效果。
（1）无穷小量的性质：①无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量；②有限个无穷小量之和仍为无穷小量；（特别要注意无限个无穷小量之
11lim(++…+1)=1其中，括号里有n个和未必为无穷小量。例如：
n→∞1；③有限个无穷小量之积仍为无穷小量。特别是在性质①的应用中，要注意能够判别有界量，是这个性质应用的关键。
例:求limx·sin1
解:由limx=0而sin≤1故原式=limx·sin1=0
x→0x→0（2）无穷小与无穷大的关系：互为倒数例:①lim1②lim1
x→∞x→1解:由lim(x+5)=∞故lim1=0
x→∞x→∞由lim(x-1)=0故lim1=∞x→1x→1（3）无穷小的等价代换：只能做分子或分母的整体替换，或者分子、分母中的部分因式做替换。
无穷小的等价是计算极限时学生最容易出错的方法之一。此法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象。还有就是对无穷小的等价概念不清，要注意等价是有极限条件的。
例:求极限lim1-cosxx→022
解:由于x→0时sinx2~x2,1-cosx2~(x)
故lim1-cosx==1x→02、两个重要极限
limsinx=1lim(1+1)x=e（1）（2）x→0x→∞而我们在使用公式时并非完全套用公式，而是对其适当的变形，有人也称其为“凑”。
（1）limsinf(x)=1（f(x)→0）或者limf(x)=1（f(x)→0）
*）lim(1+1)f(x)=e（f(x)→∞）（2
或者lim(1+f(x))=e（f(x)→0）例：求下列函数极限
lima-1limlncosax（1）（2）x→0x→0x
解：（1）令ax-1=u，则x=ln(1+u)于是a-1=ulna
又当x→0时，u→0
lnalima-1=limulna=limlna=lim故有：=lnax→0u→0u→0u→0ln(1+u)（2）原式=limln[1+(cosax-1)]
x→0ln[(1+(cosax-1)]=limcosbx-1
x→0cosbx-1cosbx-1=lim
x→0-2sin2a
-2sin2sin2ax
=lim=bx→0
sin2x(x)222(x)23、洛必达法则定理：若函数f(x)及g(x)满足以下条件：lim）f(x)=0,limg(x)=0（1
（2）f与g在x0的某空心邻域u0(x0)内可导，且g'(x)≠0
f'(x)lim（3）=A(A可为实数，也可为±∞或∞)，则x→xlimf(x)=limf'(x)=Ax→xg(x)x→xg'(x)
此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：
∞时不可求导。①要注意条件，也就是说，在没有化为0②应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
③要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
④当limf'(x)不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时
x→a求极限须用另外方法。
）⑤除此之外，还要注意其他几种可以化为0,（下转第89页大一高数，怎么求极限，求图片过程详解！答案是e _百度作业帮
大一高数，怎么求极限，求图片过程详解！答案是e
大一高数，怎么求极限，求图片过程详解！答案是e&
电脑上不好弄只能给你思路运用
变形a^n=e^(lna^n)=e^(nIna)
化成求 nIna的极限
（ 把你题目的整个分式看成a）变形以后很好求的 原式化为e^{nIn[(n+1)/n]}的极限nIn[(n+1)/n]=nIn(1+1/n)当n趋近无穷大
1/n->0等价无穷小替换In(1+1/n)~1/n于是nIn(1+1/n)~n*1/n=1e^{nIn[(n+1)/n]}=e^1=e
我这已经给你弄出来了PS: 用2个重要极限可以直接解 lim(1+1/n)^n=e(n->无穷)高数求极限16种方法——所有资料文档均为本人悉心收集，全部是文档中的精品，绝对..
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3秒自动关闭窗口高等数学经典求极限方法_中华文本库
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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x4?1例1：求极限lim x?1x?1
【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。 (x?1)(x?1)(x2?1)【解】lim?lim(x?1)(x2?1)?6=4 x?1x?1x?1
2．分子分母同除求极限
例2：求极限lim3 x??3x?1
【说明】?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?
1?1x3?x21?lim?【解】lim3 x??3x?1x??3?3x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
??0nn?1ax?an?1x???a0?
m???m?1x??bx?bx???bmm?10?an??bnm?nm?n m?n
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x2?3?x2?1) x???
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???
x?3?x?122x????0
例4：求极限limx?0?tanx??sinx 3x
【解】limx?0?tanx??sinxtanx?sinx?lim 33x?0xx(?tanx??sinx)
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