高中数学必修5第二章数列第2讲求数列的通项公式与数列求和&&人教版
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第二章数列第二讲解题方法：求数列通项公式与数列求和（一）求数列的通项公式1、观察法一些数列给出前n项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式：①2，－6，18，－54，162，－486，…;②；③15，25，35，45，55，…。解答与提示：①这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：②观察规律：归纳得出：③仔细观察，数列各项间有：――是等差数列：。2、利用前n项和Sn法已知数列的前n项和，求通项公式，我们一般利用与的关系：，【基础例题】已知数列的前n项的和求它的通项公式。解：，此时a1＝2≠S1，∴an＝为所求数列的通项公式。3、公式法（1）形如（为常数）且已知――等差数列∵，为常数，由等差数列的通项公式得。【基础例题】已知数列中，求的通项公式。解：∵，∴，则是以为首项，3为公差的等差数列。∴为所求的通项公式。（2）形如（为常数且）且已知――等比数列∵，∴是以为首项，为公比的等比数列。∴。4、构造阶差数列求通项――形如an＋1＝an＋f（n）该形式中，只要f（1）＋f（2）＋f（3）…＋f（n－1）可以求出，就可以由an＋1＝an＋f（n）以n＝1，2，3，…，n－1代入递推公式得到n－1个等式，然后累加求得an＋1－a1＝，从而an＝＋a1。【基础例题】已知an＋1＝an＋n2＋2n－1，a1＝1，试求数列{an}的通项公式。解：由an＋1＝an＋n2＋2n－1得，an＋1－an=n2＋2n－1设bn=an＋1－an=n2＋2n－1，则数列{bn}的通项公式为bn＝n2＋2n－1，设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝[12＋22＋32＋…＋（n－1）2＋n2]＋[（2×1－1）＋（2×2－1）＋（2×3－1）＋…＋[2（n－1）－1]＋（2n－1）]＝＋＝∵bn＝an＋1－an＝n2＋2n－1∴Tn=(an+1－an）+(an－an－1）+…+（a3－a2）＋（a2－a1）=∴an+1－a1＝Tn＝，∴an+1＝+a1∴an＝＋1．补充说明：令bn＝an＋1－an＝n2＋2n－1，则数列{bn}是一个阶差数列，Tn是{bn}的前n项和。☆☆5、利用待定系数构造等比数列☆☆解数列的综合题的主要方法是求数列的通项公式，当递推模式在题中已知时，只需求出相关的待定系数便可，常常使用待定系数法。利用待定系数法可以求解形如an＋1＝Aan＋Btn＋Cn＋D（其中A、B、C、D为已知的常数且A≠0，）的递推数列的通项公式的求法。具体解法是将递推关系转化变形为“等比”数列求解。（1）形如（也为常数），已知。第一步，设，对比系数解得，从而原式转化为；第二步，设辅助数列，，为首项，c为公比的等比数列。∴；第三步，得到数列{an}通项公式：＝。【基础例题】已知中且求此数列的通项公式。解：两边同加设∵即，∴是以为首项，2为公比的等比数列．（2）形如an＋1＝Aan＋Cn（A≠1，AC≠0）的数列。第一步，设，对比系数得到，从而原式可以转化为：；第二步，设辅助数列，并求辅助数列；第三步，得到数列{an}通项公式。【基础例题】已知数列满足：（），求数列的通项公式分析：设，展开得，∴，∴，∴。解：∵，∴，∴数列是以为首项，q＝5为公比的等比数列∴∴．（3）形如an＋1＝Aan＋Btn（A≠1，A≠t，AB≠0，t≠1）的数列。第一步，设，对比系数得到，原式化为：；第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，得到数列{an}通项公式。【基础例题】已知数列满足：，求数列的通项公式。分析：设，展开得由待定系数法知x＝3，∴。解：∵，∴，∴数列是以为首项，以q＝4为公比的等差数列∴∴。【注意】特别地，当A＝t时，递推关系，可以变形为：，如：【基础例题】已知数列满足：，求数列的通项公式。分析：设，展开得，由待定系数法知x＝15。∴。解：∵，∴，∴数列是等比数列，其首项为、公比为q＝5，∴∴。注意：该类型也可以两边同时除以qn＋1，转化为，引入辅助数列{bn}（其中bn＝），显然数列{bn}为形式。（4）递推关系形如an＋1＝Aan＋Btn＋Cn＋D（ABCD≠0）的数列。第一步，设，对比系数可以得到的值，对原式进行转化。第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，得到数列{an}通项公式。【基础例题】已知数列满足：，求数列的通项公式。分析：本题的条件是前面几个问题的混合，也比较复杂，很难直接变形为新的等比数列的形式。可根据前面的类型的结论使用待定系数法。解：设变形后的形式为，展开整理得。由待定系数法知。所以有。再将代入上面已设的形式，就可以得到最终的变式：。就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为q＝－2，∴，∴。（5）形如an＋2＝pan＋1＋qan连续三项的递推关系――构造等比数列转化为an＋1＝pan＋qn第一步，设，所以（相当于解方程），对原式进行转化。第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，根据辅助数列的通项公式进一步求数列{an}通项公式。【基础例题】已知数列的前n项和＝4＋2(n∈N＋)，a＝1。（1）设＝－2，求证：数列为等比数列；（2）设Cn＝，求证：是等差数列；（3）求数列的通项公式。证明：(1)＝4＋2，＝4＋2，相减得＝4－4，∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴＝3×２(2)∵；∴是以为首项，为公差的等差数列．（3）由（2）知得＝，即＝，∴an＝2n?。说明：一个表达式中既含有又含有，一般要利用＝－（n≥2），消去或．5、归纳、猜想、证明。有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。【基础例题】已知数列中，求数列的通项公式。解：由算出前几项分别为：…，从而猜想：。最后由数学归纳法进行证明――①等式成立②假设时等式成立，即，则当时，，即时等式也成立。综合①②对任意都有成立。解法二：用设辅助数列方法来求，具体解法如下――此处，辅助数列解法比前面用猜测证明的解法简便。（二）数列求和的方法：1．等差数列的前n项和公式：（1）首项（或末项）公差求和法：Sn＝，Sn＝（2）平均值求和法（或称为首项末项法，等差中项法）：Sn＝（3）当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d＝0时（a1≠0），Sn＝na1是关于n的正比例式．2．等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1（是关于n的正比例式）；当q≠1时，运用错位相减求和法得到，Sn＝或Sn＝【基础例题】（分类讨论）求和：解：①当a＝0或b＝0时，（或）②当a＝b时，；③当ab时，（注意：作为等比数列共有n＋1项，公比为q＝）3．拆项求和如an＝2n＋3n【基础例题】（分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由，则【基础例题】（分部求和法）求数列1，3＋，32＋，…，3n＋的各项的和．解：其和为（1＋3＋…＋3n）＋（＋…＋）＝＝（3n＋1－3－n）注意：1＋3＋…＋3n共有n＋1项，而＋…＋共有n项。4．错位相减求和如an＝（2n－1）2n――非常数的等差数列与等比数列的积的形式。【基础例题】（错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和．解：①若a＝0时，Sn＝0②若a＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝③若a≠1，a≠0时，Sn－aSn＝（a＋a2＋…＋an）－nan＋1，Sn＝【基础例题】（错位相减法）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和．解：①－②得：，。【说明】数列为等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法求解。5．裂项求和如an＝＝――分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式。【基础例题】（裂项求和）解：，。【基础练习】求Sn＝法一，可以分成两步分拆，令n＝1，2，3，……，n，然后n个式子相加即可.(略)法二，可以直接分拆为然后令n＝1，2，3，……，n，所得n个式子相加即可.(略)【基础例题】（裂项求和）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。解：首先考虑＝，则＝．【说明】已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，如也可用裂项求和法得到。【拓展提高】（涉及三角函数的裂项求和）化简Sn＝解：∵＝tg(n＋1)－tgn∴原式＝【拓展提高】（抽象函数中的裂项求和）已知函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝，且x＞0时，f(x)＜0.求证：.解：令x＝y＝0得，f(0)＝0令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0所以f(x)是奇函数注意到即令n＝1，2，3，……，n，再依次相加得∵＜0，∴6．倒序相加求和如an＝【基础例题】设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为，【说明】此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立．【基础例题】（组合化归法）求和：．解：而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。，＝【说明】可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项展开为n的多项式，再用分部求和法．7．递推求和【基础例题】（递推法）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和．解：由题意：，∴∴，∴。【说明】本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法．【拓展提高】【基础例题】数列中，且满足（）。⑴求数列的通项公式；⑵设，求；⑶设＝，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，．（2）若，时，（其中，为数列得前n项和）故（3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7，即存在最大整数使对任意，均有．说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题，函数f（n）＝在（0，＋∞）上单调增。【基础例题】已知函数，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f（an）（n∈N*）。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求Sn并求．解:（Ⅰ）由取倒数并化简，得，即，数列是以为首项3为公差的等差数列．∴，∴．（Ⅱ）设bn＝anan＋1，则，∴∴，∴．小结：1．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，复杂的数列转化为等差、等比数列．2．由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想，数学归纳法是这一思想的理论基础。3．错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法．（三）求数列{an}的最大项、最小项的方法方法一，作差法：an＋1－an＝……：如an＝－2n2＋29n－3。方法二，作商法：（an>0）：如an＝方法三，函数法（利用单调性）：对于an＝f（n），研究函数f（n）的单调性，如an＝壹学堂家庭作业学生姓名：_________1、两种贷款偿还比较（1）等额还本付息贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等额n次还清，试求每一次等额还款数b元。分析：逐月还本付息法解：由题意，第n年还款b元是该年所还本金an以及在该次还款之前an在n年中所产生的复利，即an（1＋r）n＝b，所以an＝，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝a，即＝a，∴a＝＝。∴b＝。（2）等本金还本付息贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等本金n次还清，试求n次总计还款数p元。2、一个黑色生两个白球，一个白球生一个黑球一个白球！在第一列有一个黑球，那么第二列就有两个白球，第三列有两个黑球、两个白球，第四列…请问第n列有几个黑球？解：显然，第n列黑球白球的总个数为2n个。设第n列白球为个，黑球为个，则，，b1=1，w1=0，b2=0，w2=2所以，→（n≥3）所以数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，所以①，显然n=2时也成立将①的左右同时除以，得，易得
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浅谈用待定系数法求数列通项公式
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3秒自动关闭窗口已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【考点】．【专题】计算题．【分析】（1）第k+1项的二项式系数为Cnk，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设Tk+1项的系数最大，Tk+1项的系数为rk，则有k≥&rk+1rk≥rk-1【解答】解：（1）∵Cn4+Cn6=2Cn5，∴n2-21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．（2）由Cn0+Cn1+Cn2=79，可得n=12，设Tk+1项的系数最大．∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，∴k≥Ck-1124k-1Ck124k≥Ck+1124k+1∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，∴展开式中系数最大的项为T11．T11=（）12C1210410x10=16896x10．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.59真题：7组卷：11
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,前 n 项和23n nnS a .(Ⅰ)求 2 3,(Ⅱ)求 na 的通项公式.2.(2012 年高考(上海春))本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3小题满分 6 分.已知数列{ } { } { }n n na b c、 、 满足*1 1( )( ) ( ).n n n n na a b b c n N
(1)设 3 6,{ }n nc n a
是公差为 3 的等差数列.当 1 1b
时,求 2 3b b、的值;(2)设3 2, 8 .n nc n a n n
求正整数,k 使得一切*,n N 均有;n kb b(3)设1 ( 1)2 , .2nnn nc n a
时,求数列{ }nb 的通项公式.3.(2012 年高考(广东理))设数列 na 的前 n项和为 nS ,满足 112 (来源：淘豆网[/p-9542998.html])2 1nn nS a
, n *N ,且 1a 、 2 5a
、 3a 成等差数列.(Ⅰ)求 1a 的值;(Ⅱ)求数列 na 的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有1 21 1 1 32na a a
.【方法总结】求数列的通项公式,常见的有六种类型:(1) 已知数列的前几项,求其通项公式.常用方法:观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等.根据数列前几项,观察规律,归纳出数列通项公式是一项重要能力.(2) 已知数列前 n 项和 nS ,或前 n 项和 nS 与 na 的关系求通项.利用 11, 1, 2nn nS naS S n
虽然已知 na 求 nS 时,方法千差万别,但已知 nS 求 na 时,方法却相对固定.(3)已知递推公式求通项公式,对这类问题要求不高,主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.(4)对于 11n na aa qa b ( 1, 0)q b
型,求 na ,其关键是确定待定系数,使1 ( )n na q a
(来源：淘豆网[/p-9542998.html])1bq (5)对于 11 ( )n na aa a f n 型,求 na ,可用1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a
的方法.(6)对于 11( )n na aa f n a 型,求 na ,可用 nnna aaa aa a a
的方法.热点二、错位相减法求和、裂项相消法求和、并项法求和、分组求和法1.(2012 年高考(浙江文))已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=22n n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡.(1)求 an,(2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.2.(2012 年高考(天津文))(本题满分 13 分)已知 na 是等差数列,其前 n 项和为 nS , nb是等比数列,且 1 1 4 4 4 4, 27, =10a b a b S b
.(I)求数列 na 与 nb 的通项公式;(II)记 1 1 2 2= + (来源：淘豆网[/p-9542998.html])+ +n n nT a b a b a b (*n N )证明:*1 18 ( , 2)n n nT a b n N n
.3.(2012 年高考(江西文))已知数列|an| 的前 n 项和nnS kc k
(其中 c ,k 为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求(2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.4.(2012 年高考(天津理))已知{ na }是等差数列,其前 n 项和为 nS ,{ nb }是等比数列,且 1a =1=2b , 4 4+ =27a b , 4 4 =10S b .(Ⅰ)求数列{ na }与{ nb }的通项公式;(Ⅱ)记 1 1 2 1= + + +n n n nT a b a b a b
, +n N ,证明+12= 2 +10n n nT a b +( )n N .5.(2012 年高考(江西理))已知数列{an}的前 n 项和21( )2nS n kn k N
,且 Sn 的最大值为 8.(1)确定常数 k,求(2)求数(来源：淘豆网[/p-9542998.html])列9 2{ }2nna的前 n 项和 Tn.6.(2012 年高考(福建文))数列 na 的通项公式 cos2nna n ,其前 n 项和为 nS ,则 2012S 等于( )A.1006 B.2012 C.503 D.0【答案】A【解析】由 cos2nna n ,可得
2 1 3 0 4 1 2012 1S
7.(2012 年高考(福建理))数列 na 的通项公式 cos 12nna n
,前 n 项和为 nS ,则2012S
___________.8.(2012 年高考(山东理))在等差数列 na 中, 3 4 5 984, 73a a a a
.(Ⅰ)求数列 na 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ,将数列 na 中落入区间2(9 ,9 )m m内的项的个数记为 mb ,求数列 mb 的前 m 项和 mS .【方法总结】(1) 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的(来源：淘豆网[/p-9542998.html])数列(2) 裂(拆)项相消:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和。(3) 错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。【考点剖析】一.明确要求1.熟练掌握和应用等差、等比数列的前 n 项和公式.2.熟练掌握常考的错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注意计算的准确性和方法选择的灵活性.二.命题方向1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和,特别是错位相减出现的机率较高.2.题型上以解答题为主.三.规律总结基础梳理数列求和的常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和(1)等差数列的前 n 项和公式:Sn=na1+an2=na1+nn-12d;(2)等比数列的前 n 项和公式:Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a11-qn1-q,q≠1.2.倒序相加法如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数(来源：淘豆网[/p-9542998.html])列的前 n 项和公式即是用此法推导的.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.5.分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.6.并项求和法一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.[来源:]例如,Sn=-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.一种思路一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.两个提醒在利用裂项相消法求和时应注意:(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.三个公式【基础练习】4.(教材习题改编)数列 a1+2,…,ak+2k,…,a10+20 共有十项,且其和为 240,则 a1+…+ak+…+a10 的值为( )A.31 B.120 C.130 D.185【名校模拟】一.基础扎实1.(2012包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q播放器加载中，请稍候...
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2015年整理学科网2013年新课标数学40个考点总动员 考点20 数列的通项公式和数列求和（学生版）1386 【高考再现】热点一、求数列的通项公式1.(2012 年高考(大纲文))已知数列 na 中, 1 1a
,前 n 项和23n nnS a .(Ⅰ)求 2 3,(Ⅱ)求 na 的通项公式.2.(2012 年高考(上海春))本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题...
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已知(根号X+1/(2*X开4次方))^n的展开式的前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;如标题.(2)求这个展开式的一次项.
如标题.(2)求这个展开式的一次项.n=1为什么舍去
（1）前三项的X的系数分别为 1 ,n/2 ,n(n-1)/8成等差数列：n(n-1)/8+1=2 * n/2=nn=1(舍) 或 n=8所以：n=8(2)T(r+1)=C(8,r) X^(1/2)(8-r) x^(-1/4) 2^(-r) =C(8,r)(2^(-r)x^[(4-r/2-r/4 ]则 (-4+r/2-r/4 )=1解得：r=4展开式的一次项:2^(-4)C(8,4)x=x(1/16)(8*7*6*5)/24=35x/8
你好 展开式的前三项的系数分别为1、C（n，1）*1/2、C（n，2）*1/2²2*n/2=1+n（n-1）/88n=8+n²-nn²-9n+8=0（n-1）（n-8）=0n=1舍去，n=8 一次项.是第6项C（8，5）（√x）⁴（1/2x开4次方...}