浙江湖州市2017届高三数学上学期期末试题（附解析）
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浙江湖州市2017届高三数学上学期期末试题（附解析）
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浙江湖州市2017届高三数学上学期期末试题（附解析）
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文章来源 天添 资源网 w w w.tT z Y w.C oM 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学　一、（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设i是虚数单位，复数12i的虚部是（　　）A．2&B．2&C．2i&D．2i2．函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（　　）A．y=x1&B．y=x+1&C．y=x1&D．y=x+13．已知sin（ ）= ， ，则tanα=（　　）A． &B． &C． &D． 4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）A．若m∥α，m∥β，则α∥β&B．若m⊥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m∥n&D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．函数y=sinx（cosxsinx），x∈R的值域是（　　）A．[ ， ]&B．[ ]&C．[ ]&D．[ ]6．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）A．充分不必要条件&B．必要不充分条件C．充分必要条件&D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线 与抛物线y2=2px（p＞0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（　　）A． &B．1+ &C．2 &D．2+ 8．在（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8的展开式中，含x3的项的系数是（　　）A．121&B．74&C．74&D．1219．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（　　）A． &B．2&C． &D．310．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= 则函数y=f（x）+ 的所有零点之和是（　　）A．1 &B． 1&C．5 &D． 5　二、题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=　　，∁UA=　　．12．设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d=　　，Sn=　　．13．若实数x，y满足 ，则2x+y的最大值是　　．14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是　　（单位：cm3），表面积是　　（单位：cm2）&15．A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有　　种．（用数学作答）16．已知△ABC的面积是4，∠BAC=120°，点P满足 =3 ，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则 • =　　．17．甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）=　　，方差D（X）=　　．　三、（共5小题，满分75分）18．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC= ，b2=ac．（1）求角B的值；（2）若b= ，求△ABC的周长．19．在三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．&20．已知a≥2，函数F（x）=min{x3x，a（x+1）}，其中min{p，q}= ．（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在[1，1]上的最大值．21．已知椭圆C： 和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m＞1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N．（1）若m= ，求直线l1的方程；（2）求m的取值范围；（3）求△OMN面积的最大值．&22．已知数列{an}满足a1= ，an+1= ，n∈N*．（1）求a2；（2）求{ }的通项公式；（3）设{an}的前n项和为Sn，求证： （1（ ）n）≤Sn＜ ．　&
学年浙江省湖州市高三（上）期末数学参考答案与解析　一、（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设i是虚数单位，复数12i的虚部是（　　）A．2&B．2&C．2i&D．2i【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数虚部的定义即可得出．【解答】解：复数12i的虚部是2．故选；A．　2．函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（　　）A．y=x1&B．y=x+1&C．y=x1&D．y=x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，进而可以求切线斜率，从而可求切线方程．【解答】解：由题意，y′=ex，当x=0时，y′=1，∴函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是y1=x0即y=x+1，故选B．　3．已知sin（ ）= ， ，则tanα=（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（ ）= ，sin（ ）=cosα，∴cosα= ，又 ，∴sinα= = ，∴tanα= = ．故选：C．　4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）A．若m∥α，m∥β，则α∥β&B．若m⊥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m∥n&D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间中线面、面面平行和垂直的性质与判断定理，对选项中的问题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，m∥α，m∥β时，α∥β或α与β相交，故A错误；对于B，m⊥α，m∥β时，α⊥β，故B错误；对于C，m⊥α，n∥α时，m⊥n，故C错误；对于D，m⊥α，n⊥α时，m∥n，D正确．故选：D．　5．函数y=sinx（cosxsinx），x∈R的值域是（　　）A．[ ， ]&B．[ ]&C．[ ]&D．[ ]【考点】三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式将函数化简成同名同角函数，利用三角函数的有界限求解值域即可．【解答】解：函数y=sinx（cosxsinx）=sinxcosxsin2x= sin2x cos2x= sin（2x+ ） ．∵1≤sin（2x+ ）≤1∴& ≤y≤ ．故选D．　6．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）A．充分不必要条件&B．必要不充分条件C．充分必要条件&D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等比数列1，2，4，8…中，满足a2＜a4，但“{an}是单调递增数列不成立，即充分性不成立，若{an}是单调递增数列，则必有a2＜a4，即必要性成立，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件，故选：B．　7．已知双曲线 与抛物线y2=2px（p＞0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（　　）A． &B．1+ &C．2 &D．2+ 【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得& =c，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）和双曲线 有共同的焦点，∴ =c，∵直线AB过两曲线的公共焦点F，∴（ ，p），即（c，2c）为双曲线 上的一个点，∴
=1，∴（c2a2）c24a2c2=a2（c2a2），∴e46e2+1=0，∴e2=3±2 ，∵e＞1，∴e=1+ ，故选：B．　8．在（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8的展开式中，含x3的项的系数是（　　）A．121&B．74&C．74&D．121【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数．【解答】解：（1x）5+（1x）6+（1x）7+（1x）8= = ，（1x）5中x4的系数为 ，（1x）9中x4的系数为C94=126，126+5=121．故选：D　9．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（　　）A． &B．2&C． &D．3【考点】基本不等式．【分析】实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，kd 0≤a2+2b2≤1，令a=rcosθ，b= ，θ∈[0，2π），0≤r≤1．h代入化简即可得出．【解答】解：实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，∴0≤a2+2b2≤1，令a=rcosθ，b= ，θ∈[0，2π），0≤r≤1．则a+2b=rcosθ+ rsinθ= = sin（θ+φ）≤ ，∴其最大值是 ，故选：A．　10．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= 则函数y=f（x）+ 的所有零点之和是（　　）A．1 &B． 1&C．5 &D． 5【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数和奇函数的性质分别求出每段上的零点，再求其和即可．【解答】解：当x≥1时，则1|x3|+ =0，解得x= ，或x= ，当0≤x＜1时，则log （x+1）+ =0，解得x= 1，∵f（x）为奇函数，∴当1＜x＜0时，f（x）=log （x+1），则log （x+1）+ =0，解得x=1 （舍去），当x≤1时，f（x）=1+|x+3|，则1+|x+3|+ =0，解得x= 或x= ，故所有的零点之和为 + + 1
= 1，故选：B　二、题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=　{2，3}　，∁UA=　{4，5，6，7}　．【考点】补集及其运算．【分析】根据交集与补集的定义，写出A∩B和∁UA即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}；∁UA={4，5，6，7}．故答案为：{2，3}，{4，5，6，7}．　12．设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d=　2　，Sn=　n2　．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，a1=1，a5=9，∴a5=a1+4d=1+4d=9，解得公差d=2．∴ =n+ =n2．故答案为：2，n2．　13．若实数x，y满足 ，则2x+y的最大值是　14　．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x+y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：&由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由 ，解得A（4，6），此时zmax=2×4+6=14．故答案为：14．　14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是　 　（单位：cm3），表面积是　8+ + 　（单位：cm2）&【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：&底面ABCD的面积为：2×2=4cm2，高VO= cm，故该几何体的体积V= cm3，侧面VAD的面积为： ×2× = cm2，VA=VD=2cm，OB=OC= cm，VB=VC=2 cm，侧面VAB和侧面BCD的面积为： ×2×2=2cm2，侧面VBC底面上的高为 cm，故侧面VBC的面积为： ×2× = cm2，故几何体的表面积S=4+ +2×2+ =8+ + cm2，故答案为： ，8+ + 　15．A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有　60　种．（用数学作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42A22种坐法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42A22种坐法，则共有A33（A42A22）=60种坐法．故答案为60．　16．已知△ABC的面积是4，∠BAC=120°，点P满足 =3 ，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则 • =　 　．【考点】向量在几何中的应用．【分析】不妨令△ABC为等腰三角形，根据三角形的面积公式求出b2=c2= ，再由余弦定理求出a2=16 ，再根据投影的定义可的，| |= ，| |= ，最后根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：不妨令△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=120°，∴B=C=30°，∴b=c，∴S△ABC= bcsinA=4，∴b2=c2= ，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA= =16 ，∵ =3 ，∴| |= | |= ，| |= | |= ，∵过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N，∴| |=| |•sinB= ，| |=| |sinC= ，∵∠MPN=180°A=60°，∴ • =| |•| |cos6°= • • = = ，故答案为： 　17．甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）=　 　，方差D（X）=　 　．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列，进而能求出X的数学期望和方差．【解答】解：甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，∴X的分布列为：&X& 0& 1& 2&P& & & E（X）= = ，D（X）=（0 ）2× +（1 ）2× +（2 ）2× = ．故答案为： ， ．　三、（共5小题，满分75分）18．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC= ，b2=ac．（1）求角B的值；（2）若b= ，求△ABC的周长．【考点】正弦定理．【分析】（1）由b2=ac，利用正弦定理，结合sinAsinC= ，求出sinB，即可求角B的大小．（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．因为sinAsinC= ，所以sin2B= ．因为sinB＞0，所以sinB= ．因为0＜B＜ ，所以B= ． …（2）因为：B= ，b= ，b2=ac所以：由余弦定理可得：3=a2+c2ac=（a+c）23ac=（a+c）29，解得：a+c=2 ，所以：△ABC的周长为：a+b+c=2 + =3 …　19．在三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．&【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由A1O⊥底面ABC，得A1O⊥BC，再由O是△ABC的中心，连接AO交BC于D，则AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面A1AD，进一步得到AA1⊥BC；（2）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC⊥平面ADD1A1，由线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角．求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：如图，∵A1O⊥底面ABC，∴A1O⊥BC，∵△ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，连接AO交BC于D，则AD⊥BC，又AD∩A1D=O，∴BC⊥平面A1AD，则AA1⊥BC；（2）解：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC⊥平面ADD1A1，∴平面ADD1A1⊥平面BB1C1C，且平面ADD1A1∩平面BB1C1C=DD1，过A1作A1H⊥DD1，垂足为H，连接BH，则∠A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角．设A1A=AB=2a，可得 ，由AD•A1O=AA1•A1H，得 = ．在Rt△A1HB中，sin ．∴直线A1B与平面BCC1B1所成角为45°．&　20．已知a≥2，函数F（x）=min{x3x，a（x+1）}，其中min{p，q}= ．（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在[1，1]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令f（x）=x3x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），画出函数f（x），g（x）的图象，结合图象求出F（x）的递减区间即可；（2）根据a的范围，在[1，1]上，F（x）=f（x）=x3x，求出F（x）的最大值即可．【解答】解：（1）令f（x）=x3x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），令f（x）=g（x），解得：x=1或x=2，画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：&，显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x），故F（x）= ，故F（x）在在（ ， ）递减；（2）由（1）得：a≥2时，F（x）= ，而 ＞2，故在[1，1]上，F（x）=f（x）=x3x，而f（x）在[1， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，1]递增，故F（x）的最大值是F（1）=0．　21．已知椭圆C： 和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m＞1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N．（1）若m= ，求直线l1的方程；（2）求m的取值范围；（3）求△OMN面积的最大值．&【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意设出直线l1的方程，由直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程，可得直线l1的方程；（2）由条件对m分类讨论，设直线l2、直线l1的方程，分别列出方程求出m和k关系，联立椭圆方程化简后，利用△＞0列出方程化简后，求出m的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件对m分类讨论，先求出斜率不存在时△OMN面积，利用韦达定理和弦长公式表示出△OMN面积，化简后利用换元法求出面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=k（x ），即kxy k=0，∴圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线l1的距离d= ，化简得k=1或k=1，∴直线l1的方程是 或 ；（2）①当1＜m&& 时，满足条件；②当m≥ 时，直线l2的斜率存在，设为k，则直线l2的方程为y=k（xm），即kxykm=0，∵l1⊥l2，∴直线l1的方程为y= （xm）（k≠0），即x+kym=0，∵l1于圆O相切于点P，∴ ，化简得m2=1+k2，由 得，（2k2+1）x24mk2x+2k2m22=0，∴△=（4mk2）24（2k2+1）（2m2k22）＞0，化简得，1+k2（2m2）＞0，由m2=1+k2得，k2=m21，代入上式化简得，m43m2+1＜0，解得 ，又m≥ ，则 ，得 ，综上得，m的取值范围是 ；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当1＜m&& 时，若直线l2的斜率不存在，则直线l2的方程x=m，不妨设M（m， ），N（m， ），∴|MN|= ，则△OMN面积S= = ，由 得1＜m2＜2，当m2=1 时，△OMN面积S取到最大值 ；②当m≥ 时，直线l2的斜率存在，设为k，则直线l2的方程为y=k（xm），即kxykm=0，∵l1⊥l2，∴直线l1的方程为y= （xm）（k≠0），即x+kym=0，∵l1于圆O相切于点P，∴ ，化简得m2=1+k2，由 得，（2k2+1）x24mk2x+2k2m22=0，则x1+x2= ，x1x2= ，1+k2（2m2）|MN|= = = ，又原点O（0，0）到直线l2的距离d= ，∴△OMN面积S= = = ，设t= ，则S= ，由 以及m2=1+k2得，0＜t＜1，所以当t= 时，△OMN面积的最大值是 ，综上得，△OMN面积的最大值是 ．　22．已知数列{an}满足a1= ，an+1= ，n∈N*．（1）求a2；（2）求{ }的通项公式；（3）设{an}的前n项和为Sn，求证： （1（ ）n）≤Sn＜ ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由a1= ，a ，n∈N+．取n=1，代入即可得出．（2）a1= ，a ，n∈N+．两边取倒数可得 =
，化为： 1= ，利用等比数列的通项公式即可得出．（3）一方面：由（2）可得：an= ≥ = ．再利用等比数列的求和公式即可证明：不等式左边成立．另一方面：an=& = ，可得Sn≤ + + +…+ ，利用等比数列的求和公式即可证明不等式右边成立．【解答】（1）解：∵a1= ，a ，n∈N+．∴a2= = ．（2）解：∵a1= ，a ，n∈N+．∴ =
，化为： 1= ，∴数列 是等比数列，首项与公比都为 ．∴ 1= ，解得 =1+ ．（3）证明：一方面：由（2）可得：an= ≥ = ．∴Sn≥ +…+ = =& ，因此不等式左边成立．另一方面：an=& = ，∴Sn≤ + + +…+ =& × ＜& ×3＜ （n≥3）．又n=1，2时也成立，因此不等式右边成立．综上可得： （1（ ）n）≤Sn＜ ．　&
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江苏省常熟中学2017届高三数学最后一卷数学试题 Word版含答案
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2017届南京市高三数学综合试题
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