[转]高数解题技巧（非常好用）
高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章： 定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。 （高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，&不管三七二十一&，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则&不管三七二十一&先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则&不管三七二十一&先用拉格朗日中值定理处理一下再说。●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则&不管三七二十一&先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,&,αS线性无关，先考虑用定义再说。●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。概率解题的九种思维定势●第一句话：如果要求的是若干事件中&至少&有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度 的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而 的求法类似。●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y&g(X)或(Y&g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度 的平面区域及满足Y&g(X)或(Y&g(X))的区域的公共部分。●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令●第八句话：凡求解各概
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高数习题集
第四章不定积分与定积分4.1 不定积分一、学时：二、教学要求： 不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系； （2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法； （4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。 重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、 第二换元法，分部积分法 难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容：第二章讨论了如何求一个函数的导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知 导数（微分） ，求原来的函数问题，即求不定积分.4.1.1不定积分的概念与性质设定义 1 足： F ' ( x) ?f (x) 是定义在某区间上的已知函数.若存在一个函数 F (x) ,对于该区间上每一点都满 在该区间的一个原函数. ,所以f ( x) 或 dF( x) ? f ( x)dx ,则称 F (x) 是 f (x) f ( x) ? 2 x , 由 于 F ( x ) ? x 2同理， x2例如 已知满足F ' ( x) ? ( x 2 )'? 2 xF ( x) ? x 2是f ( x) ? 2 x 的一个原函数.? 1, x2 ? 1, x 2 ? 10 等也都是 f ( x) ? 2 x 的原函数.F (x) 是 f (x) 的 一 个 原 函 数 ， 则 F ( x) ? C F (x),由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若?C为任意常数?也 是f (x)的 原 函 数 . 且 若G(x)都 是f (x)的 原 函 数 则?F ( x) ? G( x)?? ? F ' ( x) ? G?( x) ?一个常 数.因此 ，若f ( x) ? f ( x) ? 0 ，知 F ( x) ? G( x) ? C ,即它们仅相差F (x) 是 f (x) 的一个原 函数，则 f (x) 的所有原函数 可以表示为 F ( x) ? C1?C是任意常数?.定义 2 积函数， 函数f (x) 的所有原函数，称为函数 f (x) 的不定积分，记作 ? f ( x ) dx 其中 f (x) 称为被”称为积分号.“ f ( x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量， ?显然，若 F (x) 是 数. 因此，求函数f (x) 的一个原函数，则由定义 2 可知 ? f ( x)dx ? F ( x) ? C 其中 C 是任意常f (x) 的不定积分，只需求出 f (x) 的一个原函数 F (x) ,再加上任意常数 C 即可.例如2 3 ? 3x dx ? x ? C?C为任意常数?? s i nx d x? ? c o sx ? Cx x ? e dx ? e ? C?C为任意常数? ?C为任意常数?例 1 求函数f ( x) ?1 的不定积分 x 1 x解 （1）当 x? 0 时， (ln x)' ?所以? xdx ? ln x ? Cx?01? x ? 0?（2）当 x ? 0 时， ??ln(? x)?? x ?所以1 1 .( ? x)? ? ?x x ( x ? 0)? xdx ? ln ?? x ? ? C? xdx ? ln x ? C11合并（1） （2）两式得到：( x ? 0)由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算（1）?? f ( x ) dx?? ? f ( x )或d ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ?或（2）? F ?( x ) dx ? F ( x ) ? C? dF ( x ) ?F ( x ) ? C2( a ? 0) ? af ( x) dx ? a ? f ( x) dx ? ? 因为 ?a ? f ( x ) dx ? ? a ?? f ( x ) dx ? ? af ( x ) ，说明 a ? f ( x ) dx 是 af ( x ) 的原函数.2. 3.? ? f ( x) ? g ( x)?dx ? ? f ( x )dx ? ? g ( x )dx因为? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx ? ? ? ? g ( x)dx ? ? f ( x) ? g ( x)???故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个 函数的代数和的情况.4.1.2基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式. （1）? kdx ? kx ? C1（ C 为常数）（2）? ? ?1 ? x dx ? ? ? 1 x ? C?? ? ?1?（3）? xdx ? ln x ? Cx x ? e dx ? e ? C1（4）ax ?C （5） ? a dx ? ln ax?a ? 0且 a ? 1?（6） （7）? cos xdx ? sin x ? C ? sin xdx ? ? cos x ? C1 2 ? cos2 xdx ? ? sec xdx ? tan x ? C（8）（9）? sin 2 xdx ? ? csc xdx ? ? cot x ? C21? sec x ? tan xdx ? sec x ? C （11） ? csc x ? cot xdx ? ? csc x ? C（10）3（12）1 ? 1 ? x 2 dx ? arctan x ? C（13）?1 1? x2dx ? arcsin x ? c例2求2 ? ( x ? 2 x ? 5) dx解原式 ?2 3 2 ? x dx ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 3x ? x ? 5 x ? C .1注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够. 下面类似情况就不特别加以说明. 例3 求? x ( x ? 3) dx解 原式 ?? ( x ? 3 x ) dx ? ? x dx ? 3? x dx1 3 ?1 2 ?x3 ?1 23 23 21 2?? 3?1 1 ?1 2?x1 ?1 2?C3 2 5 2 ? x ? 2x 2 ? C 5例4 求2 ? tan xdx 2 2 ? (sec x ? 1) dx ? ? sec xdx ? ? 1dx解 原式 ?? tan x ? x ? C例 5 设某厂生产某种商品的边际收入为 产品可在市场上全部售出，求总收入函数. 解 因为 R?(Q) ? 300R?(Q) ? 300 ? 3Q ，其中 Q 为该商品的产量，如果该? 3Q ，两边积分得R (Q ) ? ? R ?(Q ) dQ ? ? (300 ? 3Q ) dQ3 ? 300 Q ? Q 2 ? C 2又因为当 Q? 0 时，总收入 R(0) ? 0 ，从而 C ? 0 .所以总收入函数为 R (Q )3 ? 300 Q ? Q 2 . 244.1.3不定积分的几何意义f (x) 的一个原函数，则曲线 y ? F (x) 称为 f (x ) 的一条积分曲线，将其沿 y 轴方若 F (x ) 是向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点 x 处作切线，这些切线都是相 互平行的，如图 4.1.y0图 4.1 不定积分x0x? f ( x ) dx 在 几 何 上 就 表 示 全 体 积 分 曲 线 所 组 成 的 积 分 曲 线 族 ， 它 们 的 方 程 为y ? F ( x) ? C .例 6 求过点?1,3?且在点 ? x, y ? 处切线斜率为 3x 2 的曲线方程.? F (x) ，因为 y ? ? F ?( x ) ? 3 x 2 ，由不定积分定义，有F ( x ) ? ? 3 x 2 dx ? x 3 ? C解 设所求曲线方程为 y因所求的曲线过点?1,3?，代入得到 C ? 2 . 于是所求的曲线方程为 y ? x 3 ? 2 .4.1.4不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一 步方法， 下面简单介绍第一类换元积分法、 第二类换元积分法和分部积分法， 详细可参阅参考书[1]、 [2]. 应 该指出现在许多数学软件，如 Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求 不定积分，也可以通过查积分表求不定积分.51. 第一类换元积分法 例7 求? cos(3 x ? 1) dx1 1 ? 3 x ? 1，则 x ? (u ? 1), dx ? du 3 3 1 1解 选择新变量 u原式 ?? cos u ? 3 du ? 3 sin u ? C1 ? sin(3 x ? 1) ? C 3第一类换元积分法主要在于选择新的变量 u ? ? (x ) 其中 ? ( x) 为连续可导的, 原不定积分转换为可以 使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式 使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量. 例8 求3 ? ( 2 x ? 4) dxf ( x)dx 凑成微分的形式，便于解3 ? (2 x ? 4) dx ?凑微分变量代换 1 1 3 （2 x ? 4） (2 x ? 4) ＝ ? u 3du d ? u ?2 x ? 4 2 2还原 1 1 3?1 1 4 ? ? u ? C ? ?2 x ? 4 ? ? C 2 1? 3 8例9 求x ? xe dx2解x ? xe dx ?2凑微分1 x2 2 变量代替 1 u ? e dx u＝2 2 ? e du ?x 2还原 1 2 1 ? eu ? C ? e x ? C 2 22. 第二类换元积分法 第一类换元积分法是选择新变量 u? ? ? x ? ，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令该类变量替换公式由于要求出 t 关于x ? ? ? t ? ，其中 ? (t ) 是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式.x 的表达式，所以 x ? ? (t ) 还须存在反函数.例 10 求 解 令t? x x ? 1dx? x ? 1 ，则 x ? t 2 ? 1， dx ? 2tdt6，原式 ?2 4 2 ? ?t ? 1?? t ? 2tdt ? 2 ? (t ? t ) dt5 3 2 5 2 3 2 2 2 ? t ? t ? C ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? C 5 3 5 3例 11求? 1 ? x dx1 t ? 2tdt ? 2 ? dt ? 1? t 1? t 1 ? t ?1 1 dt ? 2 ? (1 ? ) dt 1? t 1? t1解 令t? x ，则 x ? t 2 , dx ? 2tdt原式 ?? 2?? 2?t ? ln 1 ? t ? ? C?23. 分部积分法?x ? ln 1 ? x ? C?设函数 u ? u ( x), v ? v( x) 有连续导数，由?uv ?? ? u ?v ? uv?得uv? ? ? uv ?? ? u ?v两边求不定积分，得? uv ?dx ? uv ? ? u ?vdx为便于应用，上式可写成? udv ? uv ? ? vdu这就是分部积分公式. 如果求 例 12 求 解? uv?dx 有困难，而求 ? u ?vdx 较容易时，我们就可以利用分部积分公式.x ln x ? ? xd ln x（利用第二个公式）? ln xdx令u ?ln x ,v ? x? ln x d x?1 ? x ? ln x ? ? x ? dx x? x ln x ? x ? C例 13 求x ? xe dx7解? xe dx ? ? xdexx令u ? x ,v ?e x?xe x ? ? e x dx（利用第二公式）? xe x ? e x ? C例 14 求 解?exsin xdxx x xx ? s i nx?d ?e ? e s i n?x? ?e d s?i n（分部积分法） ? e sin x ? ? e cos xdx ? e sin x ? ? cos xde ? e sin x ? e cos x ? ? e d cos x （分部积分法） ? e sin x ? e cos x ? ? e sin xdx 由于上式右端的第三项就是所求的积分 ? e sin xdx ，将它移到等式左端去，两端再同除以 2，即得 1 ? e sin xdx ? 2 e ? sin x ? cos x ? ? C?exs i nx d x ?xxxxxxxxxxxxx四、练习 1. 求下列不定积分? x dx （3） ? 2 dx（1）5 x ?3? ( x ? 2) dx 1 （4） ? ( ? 3)dx x（2）6（5）? x?x3? 5? dx ；（6）?? x ? 2?x2 x2dx2（7） 2.x2 ? x ? 3 dx ? x3（8）? ( x ? 3 ) dx2求下列不定积分? ?5 x ? 3? dx ； dx ； （3） ? e （5） ? x sin ? x ? 2 ?dx ；（1）2 ?3 x 2? (3 ? 2 x) dx （4） ? e dx （6） ? cos x sin xdx ；（2）2? x3. 求下列不定积分 （1）?x ?x2x ? 2dx ；（2）?3?2x1 xdx4. 求下列不定积分 （1）ln xdx ；（2）? xedx8（3） 5. 若? ln 3xdx ；? x2（4）?excos xdx? f ( x ) dx ? xe? C ，求 f (x )6. 一曲线位于第一象限并过点?e,2? ，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.x ? 5 （美元/千克） ，其固定7. 设某企业生产某产品，其边际成本 C ? 与日产量 x （千克）关系为： C ? ? 成本为 2000 美元，试求成本函数.4.2一、学时：定积分的概念与性质二、教学要求：定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质 （1）解定积分的几何意义，理解其定义。 （2）了解定积分性质的简单说明（用定义简单推导或用几何直观图说明并会用这些性质） 。 （3）理解定积分在解成本问题中的意义。 重点：定积分的几何意义，定积分在解成本问题中的意义 难点：定积分在解成本问题中的意义 三、教学内容：4.2.1定积分概念实例之一 ：面积问题f ( x ) ? 0.25x 2 ? 1, x 轴以及直线 x ? 1, x ? 5 所围成的平面例 1 如图 4.2（a）,如何求由曲线 图形面积？f ( x) ? 0.25 x 2 ? 1yf ( x) ? 0.25 x 2 ? 1y5A0 1 5x01 2345x9（a）(b)yf ( x) ? 0.25 x 2 ? 1yf ( x) ? 0.25 x 2 ? 15501 2(c)345x图 4.201 2(d)345x所求图形简称为 A ，其面积不妨称为 A 面积. 为了逼近 A 面积我们第一步是把区间 个小区间的长度 ?x ??1,5? 四等分，每这样在曲线下方5 ?1 ? 1 ，在每个小区间的左端点取对应的函数值作为矩形高度. 4就有 4 个矩形，这 4 个矩形面积之和称为左和 L4 在一定程度逼近 A 面积，但比 A 面积小，如图 4.2（b） 所示. L4 具体数值计算如下：L4 ? f (1) ?1 ? f (2) ?1 ? f (3) ?1 ? f (4) ?1? 1.25 ? 2.00 ? 3.25 ? 5 ? 11.5现在我们在原来分割的基础上，取每个分割小区间的右端点作为矩形高度，如此我们得到覆盖住 A 的 4 个小矩形，其面积之和称为右和 R4 ，也在一定程度上逼近 A 面积，但比 A 面积大，如图 4.2（c）所示.R4 具体数值计算如下：R4 ? f (2) ? 1 ? f (3) ? 1 ? f (4) ? 1 ? f (5) ? 1? 2.00 ? 3.25 ? 5.00 ? 7.25 ? 17.5上述利用区间?1,5? 四等分，构造 4 个矩形，用其面积来逼近图形 A 面积显然是太粗糙了. 我们可以把区间?1,5? 在原来四等分基础上进一步细分，例如把区间 ?1,5? 十六等分，构造 16 个矩形来逼近图形 A ，见图4.2（d）其右和、左和对应的结果计算如下；?x ?5 ?1 ? 0.25 16L16 ? f (1)?x ? f (1.25)?x ? ? ? f (4.75)?x ? 13.5910R16 ? f (1.25)?x ? f (1.50)?x ? ? ? f (5)?x ? 15.09显然有13.59 ? L16 ? 图形A的面积? R16 ? 15.09为了使逼近更精确，还可以把区间 计算机编程计算得?1,5? 一百等分，构造 100 个矩形来逼近图形 A ，其左和与右和通过14.214 ? L100 ? 图形A的面积? R100 ? 14.454上述逼近的误差也可以估计，以 L100 和 R100 为例计算如下：L100逼近的误差 ? 图形A面积 ? L100 ? f (5) ? f (1) ?? ?7.25－ .25? ? 0.04 ? 0.24 15 ?1 100R100逼近的误差 ? 图形A面积 ? R100 ? f (5) ? f (1) ?? ?7.25－ .25? ? 0.04 ? 0.24 1一般来说，我们可以把区间5 ?1 100?1,5? n 等 分 ， 分 点 为 1 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xn ? 5 , 记n?xi ? xi ? xi?1 ，构成左和与右和来逼近图形 A 面积如下：左和： Ln? f ( x0 )?x1 ? f ( x1 )?x2 ? ? ? f ( xn?1 )?xn ? ? f ( xk ?1 )?xkk ?1右和： Rn? f ( x1 )?x1 ? f ( x2 )?x2 ? ? ? f ( xn )?xn ? ? f ( xk )?xkk ?1nLn (或Rn）逼近的误差 ? 图形A面积 ? Ln Rn） f (5) ? f (1) ? （或 ?因此，与5 ? 1 24 ? n nn ? ? 时有n??图形 A 的面积 ? limLn ? lim ? f ( xk ?1 )?xkn?? k ?1n? lim Rn ? lim ? f ( xk )?xkn?? n?? k ?1n可以把上面方法进一步拓展到由连续曲线y ? f (x)? f ( x) ? 0? ,x 轴及直线 x ? a, x ? b 所围11成平面图形，称其为曲边梯形. 现在计算曲边梯形面积 A （如图 4.3）. 可以仿照上面的方法，但在区间分 割及在小区间取点方式上进行改进，以使之更一般化或逼近的更好. 具体分如下四个步骤；y（1）分割 用分点 a 把区间y=f (x)? x0 ? x1 ? ? ? xn?1 ? xn ? b?a, b?任意分成 n 个小区间[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],?,[ xn?1 , xn ]每个小区间的长度为?xi ? xi ? xi?1 (i ? 1,2,?n)对应地，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形0a=x 0xi?1 ?i xi图 4.3x n-1 xn=b x?Ai (i ? 1,2,?n) ,这里区间分割与前面不同的是每个小区间的长度不一定相等.（2）近似代替 对于第 i 个小曲边梯形 ?Ai ，在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ?i ，得到以 [ xi ?1 , xi ] 为 底 ，f (?i ) 为高的小矩形，用小矩形的面积 f (? i )?xi 近似代替小曲边梯形的面积 ?Ai ，即?Ai ? f (?i )?xi?i ? 1,2,?, n?这里应当注意 此处是在区间 [ xi ?1 , xi ] 上任意取一点 ?i ， 前面例子仅在 [ xi ?1 , xi ] 的左端点或右端点来取. 由于f (x) 在 ?a, b?（3）求和上连续的，不论在 [ xi ?1 , xi ] 上取哪一点，都不影响下面所构造的和的极限.得 n 个小矩形面积求和，如图 4.3 中阶梯形的面积，即得曲边梯形面积 A 的近似值如下A ? f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? ? ? f (?n )?xn? ? f (? i )?xii ?1 n（4）取极限 当分点数 n 无限加大时，小区间中最大区间长度记为 ?? max {?xi } ,当 ? ? 0 ，时（即所有 ?a, b?1?i ? n12分割的小区间都趋于 0 ） ，和式? f (?i )?xi 的极限便是曲边梯形的面积 A ，即i ?1 nnA ? lim ? f (?i )?xi? ?0 i ?1注意 一般曲边梯形面积若能求得，则由任意连续曲线围成的图形面积就可以求得. 如图 4.4 所示， 把曲线 L 围成的图形分割六小块，编号为 1 至 6 号，其中 2 号与 5 号即是前面所说的曲边梯形的特例，1、 3、4、6 号为曲边三角形，是曲边梯形的特例.，也可以用计算曲边梯形面积的方法来计算其面积.1 62 53 4图 4.44.2.2定积分概念实例之二：成本问题例 2 某公司对其产品成本变化情况，测得如下关系式x F ( x ) ? 500 ? , 0 ? x ? 900 3其中 x 表示该产品生产的数量，（元/单位产品）f (x ) 表示当产品数量为 x 时再增加一个单位产品时所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从 300 件增加到 900 件时该公司所增加的成本 C . 如同第二章有关边际函数描述那样，在经济和商务中所遇见函数自变量往往仅取正整数值，其函数值 也是离散的，为数学处理上方便，我们将其连续化，转化成具有连续导数的函数来处理. 这时许多结果只 能看作是近似的，但不影响对实际问题的分析. 下面叙述中，我们常略去“近似”二字. 该公司产品产量从 300 件增加到 900 件，因此将其连续化，考虑 区间内插入 n 个分点?300 ,900 ?作为考察区间，在这个300 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn?1 ? xn ? 90013考虑产量从 xi ?1 增加到 xi 时所增加的成本，由于 加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加 ?xi 当产量从 x0f ( xi?1 ) 作为边际成本在 xi ?1 的值表示当产量为 xi ?1 时增? xi ? xi ?1 单位时，所增加成本为 f ( xi?1 ).?xi?1 .因此，? 300 增加到 xn ? 900 时，所增加的总成本为i? f ( xi?1 )?xi .i ?1n为了更精确估计，同样可设 ?? max ?xi ， 并 令 ? ? 0 时 ， 所 增 加 的 总 成 本 C 可 表 示 为lim? f (xi ?1 ) xi . ?? ?0i ?1n4.2.3定积分的概念前两段我们引进了两个例子涉及不同的领域，但都引导出求类型相同的和的极限问题. 还有许多实际 问题诸如求直线变速运动的总路程，变力作功，水对水坝的总压力，某企业总产量、总利润、总收益、. 旋 转体的体积等都可以归结为求此类型和的极限. 在数学上称之为定积分问题. 为此， 抽象地给出如下数学定 义. 定义 1 设函数f (x) 在区间 ?a, b?上有界，任意用分点a ? x0 ? x1 ? ? ? xn?1 ? xn ? b把区间?a, b?分成 n 个小区间[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],?,[ xn?1 , xn ],在每一个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ?i ，作和? f (?i )?xii ?1n称为积分和，记小区间中最大区间长度为 ? 称函数 即? max{?xi } ，如果当 ? ? 0 时，上述和式的极限存在，则1?i ? nf (x) 在区间 ?a, b?上可积，并称此极限值为 f (x) 在区间 ?a, b?上的定积分，记为 ?a f ( x ) dx ,b?a其中 “bf ( x )dx ? lim ? f (? i )?xi? ?0 i ?1n区间 ? “称做积分号，f (x) 称做被积函数，f ( x)dx 称做被积表达式，x 称做积分变量， ?a, b?称做积分区间， a 与 b 分别称做积分下限与积分上限.14根据定积分定义，前二段所举的例子中，例 1 中曲边梯形的面积 A 是函数 y ?f ( x) ( f ( x) ? 0) 在?a, b?上的定积分，即A ? ?a f ( x ) dx ,b900例二中当产品产量从 300 件增加到 900 件时所增加的成本为 C?? F ( x)dx ，300关于定积分的定义，有以下几点说明 （1）函数f (x) 在区间 ?a, b?上可积是指定积分 ?a f ( x ) dx 存在，即不论对区间 ?a, b?怎样划分及b点 ? i 如何选取，当 ? ? 0 时，和式 的函数? f (? )?x 的极限值都唯一存在，可以证明（证略）在 ?a, b?上连续n i ?1 i if (x) 必定在区间 ?a, b?上可积.（2） 定积分表示一个数值， 它只与被积函数及积分区间?a, b?有关，而与积分变量用何字母表示无关，下面积分变量分别用 x, u , t , w ，其定积分表示式实际都是一样的.?a f ( x)dx ? ?a f (u )du ? ?a f (t ) dt ? ?a f ( w) dwb b b b（3）在定义中曾假定 a ? b ，为今后应用方便，规定 （i） （ii）?a f ( x)dx ? ? ?b f ( x)dxb a(换限变号)?a f ( x) dx ? 0a（4）由前面叙述可知，当f ( x) ? 0 时，定积分 ?a f ( x ) dx 的几何意义是表示由曲线 y ? f (x) ,b直线 x ? a, x ? b 与 x 轴所围成曲边梯形的面积，但当bf (x) 在区间 ?a, b?上的值有正有负时，定积分?a f ( x)dx 在几何上表示曲线 y ? f (x) ，直线 x ? a, x ? b 与 x 轴围成的在 x 轴上方和下方曲边梯形面积的代数和，其中 x 轴上方的面积为正， x 轴下方的面积为负，例如由图 4.5 所示，则有?a f ( x) dx ? S1 ? S2 ? S3b15yy ? f ( x)S1 S3 0 a S2图 4.5bx4.2.4定积分的基本性质f (x) , g (x) 为可积的，下面定积分的性质均假定性质 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即?a [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?a f ( x)dx ? ?a g ( x)dxb b b此性质可推广到有限多个函数代数和情形. 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即?a kf ( x) dx ? k ?a f ( x) dxb b（ k 是常数）性质 3b对任意点 c ，有?a f ( x) dx ? ?a f ( x)dx ? ?c f ( x)dxc b该性质又称为定积分的积分区间可加性. 性质 4 如果bf (x) 在区间 ?a, b? 上连续，则在区间 ?a, b? 上至少存在一点 ? ，使得?a f ( x) dx ? f (? )(b ? a)该性质又称为积分中值定理. 以上性质的证明均可参见[1],[2]，这里证略. 对于积分中值定理，特别指出其几何意义是在 少存在一点 ? ，使得以区间?a, b? 上至?a, b? 为底边，以曲线 y ? f (x) 为曲边的曲边梯形的面积等于同底边而高为f (? ) 的矩形面积.见图 4.6 所示.16yf (? )0a?bx图 4.6其中f (? ) ?1 b ? f ( x ) dx b?a a又表示连续曲线f (x) 在闭区间 ?a, b? 上的平均高度，即函数f (x) 在区间 ?a, b? 上的平均值.例 3 平均价格这是有限个数算求平均值概念的推广，在实际中经常遇到.已知需求函数为 （单位：元）p ? D( x) ? 100e ?0.05x试求出 x 在区间 解 在区间?40,60?平均价格的表示式.?40,60?平均价格记为 p ，则1 60 60 ? ?40100 e ?0.05 x dx ? 5?40 e ?0.05 x dx 60 ? 40p?4.3一、学时：微积分基本定理二、教学要求： 微积分基本定理：变上限函数、牛顿－莱布尼兹公式 （1）了解变上限函数及牛顿－莱布尼兹公式的推导*； （2）理解牛顿－莱布尼兹公式的实质（会用实例说明） ，会熟练正确的利用公式求定积分。 重点：变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式17难点：牛顿－莱布尼兹公式的推导*三、教学内容：函数f (x) 在 ?a, b?上的定积分是用和的极限来定义的，如果直接去求这个和的极限往往是困难的，有时甚至求不出. 如何寻找计算定积分简便而有效的方法就成为解决有关实际问题的关键.4.3.1基本思路f (x ) 在 ?a, b? 上 的 定 积 分先来探讨一下寻找求定积分简便方法的基本思路. 为计算函数b?a f ( x ) dx ，当年的数学家避开从和的极限出发来计算，而是考虑从定积分的直观几何意义出发. 不妨设f ( x) ? 0 （注：对于 f (x) 一般情形，以下推理和结果仍然成立）.y ? f (x) ， x 轴及直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形面积.试图从面积的变化中找规律. 为此， 先研究 y （a） ）. 计算?a f ( x ) dx 就化为求曲线b让这个面积产生一些变化，我们（如图 4.7 ? f ( x ) 在 ? a , x ? 上所构成曲边梯形 ABxa 的面积y B Ay=f(x)yy=f(x)a(a)xbxax ? x ? ?x(b)b x图 4.7 曲边梯形 ABxa 的面积是 x 的函数，记为 I? x ?，即I ( x) ? ?通常称函数 I 积函数 Ix af (t ) dt? x ?为变上限定积分，为了找到 I ? x ?变化的规律，让自变量 x 取得改变量 ?x ，则对应的面18? x ?就取得改变量?I ? I ( x ? ?x) ? I ( x) ? ?a ? ?a f (t ) dt ? ? xx x ? ?x x ? ?xx ? ?xf (t ) dt ? ?a f (t ) dtx xf (t ) dt ? ?a f (t ) dt? ?xf (t ) dt改变量 ? I 即为图 4.7（b）中阴影部分面积，由积分中值定理知存在 ? ?[ x, x ? ?x ] （注：当 ?x 为负时，应为 ? ?[ x ? ?x, x ] ） ，使得 ?I? f (? ) ? ?x由此我们可发现如下规律：f (? ) ?令?I ， ? ? [ x, x ? ?x ] ?x(? f ( x )是连续的，有 lim f ?? ? ? f ? x ?)?x ?0?x ? 0 得f ( x ) ? I ?( x )亦即变上限定积分 I (x) 是被积函数f (x ) 的一个原函数.（ C 为待定常数）设f (x ) 的一个原函数为 F (x ) ，则有I ( x) ? F ( x) ? C由 因此 令xI (a) ? 0知C? ? F (a)或I ( x) ? F ( x) ? F ( a)b?a f ( x)dx ? F ( x) ? F (a)x? b ，即求得定积分 ?a f ( x) dx ? F (b) ? F ( a ) .4.3.2微积分学基本定理下面把上述思路加以整理，写为定理及证明如下： 定理 1b设函数f (x ) 在区间 ?a, b?上连续，如果 F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数，则?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a)证 令I ( x) ? ?a f (t )dt , 这 是 被 积 函 数 为 f (x) 的 变 上 限 定 积 分 ， 前 一 段 分 析 中 已 证 明因此变上限定积分是被积函数xI ?( x) ? f ( x) ，即变上限定积分的导数等于被积函数 f (x) .个原函数. 由基本定理的条件， F (x) 也是 即f (x) 的一f (x) 的一个原函数，因此 I (x) 与 F (x) 仅相差一个常数 C ，I ( x) ? F ( x) ? C19所以 令 因此 所以 再令?a f (t ) dt ? F ( x) ? C x ? a 得 F ( a) ? C ? ?aa f (t ) dt ? 0xC ? ? F (a)?a f (t ) dt ? F ( x) ? F ( a)xx?b得 或?abbf (t ) dt ? F (b) ? F ( a )?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a)b该公式称为牛顿――莱不尼兹公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系，也为定 积分?a f ( x ) dx 的计算提供了有效的计算方法，即只需求出 f (x) 在区间 ?a, b?上的一个原函数 F (x)然后计算 F (b) ? F ( a ) 即可， 牛顿―莱不尼兹公式也可记为?a?bf ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F ( a )b例1? 02 s i nx d x0 ? 02 s i nx d x? [ ? c o sx ] |o2 ? ( ? c o s2 ) ? ( ? c o s ) ? 1计算2 ?0 x dx5??解?例25解x3 ?0 x dx ? 35 205 3 0 3 125 ? ? ? 3 3 3下面来求前面几节例子中所出现的定积分 例 3 计算在 4.2.1 中例 1 所给的由曲线 的平面图形面积. 解 所求面积记为 A 面积 则f ( x ) ? 0.25x 2 ? 1， x 轴以及直线 x ? 1, x ? 5 所围成x3 2 A ? ?1 ( 0.25 x ? 1) dx ? ( 0.25 ? ? x ) 3 15520? 0.25 ? ?125 1 ? 5 ? (0.25 ? ? 1) 3 343 ? 14 .333 3注 这里所求的面积是准确值，而且计算非常便利. 在前面我们借助计算机为工具，构造 100 个小矩 形来通近面积 A ，也仅得到14.214 ? A面积 ? 14.454由此可见微积分学基本定理的威力. 例 4 计算在 4.2.2 中例 2 所提出的当产品产量从 300 件增加到 900 件时，公司增加的成本 C. 解 在 4.2.2 中例 2 中所增加的成本已表示为和的极限，实际上是下面的定积分：x C ? ? (500 ? 3 )dx 300 900? x2 ? ? 500 x ? ? 6 ?? ? ? ? 300900? (500 ? 900 ?900 ? 900 300 ? 300 ) ? (500 ? 300 ? ) ? 180000 （元） 6 6例 5 试求 4.2.4 中例 3 的平均价格解P ? 5 ?40 e ?0.05 x dx60?e ? 0.05 x ? 5? ? 0.056040? e ?3 e ?2 ? ? ? ? 5? ? ? ? 0.05 ? 0.05 ? ? ?? 100?e ?2 ? e ?3 ? ? 8.52 （元）下面例子说明为了求出定积分的值，可以充分利用求不定积分的技巧如积分换元法，分部积分法等例 6 计算定积分??2 e1x?3dx21解 需要求出被积函数 ex?3的原函数，即求不定积分如下 （利用换元法，令?ex ?3dx ? ? e t .2tdtx ? 3 ? t ，则 x ? t 2 ? 3, dx ? 2tdt ）（利用分部积分法）? 2 ? ? tdet ? 2(tet ) ? 2 ? e t dt? 2tet ? 2et ? C? 2 x ? 3e所以定积分x ?3? 2ex ?3?C1 ?2?1 ?2ex ?3dx ? (2 x ? 3 ? 2) ex ?3? 2e2 .例 7 奇偶函数的定积分计算 设函数 y （1）若 （2）若a? f ( x ) 在对称区间 ? ? a , a ? 上连续，则有a 0f ( x) 为偶函数时， ? f ( x)dx ? 2 ? f ( x)dx ；?a af ( x) 为奇函数时， ? f ( x)dx ? 0 .?a上述结论可由定积分的几何意义直观得到. 四、练习 1. 利用基本公式计算下列定积分 （1）5 ?0 x dx 3（2）?0 cos xdx3 ?1 x (1 ? x )dx 2?（3）? ?3 sin 2 xdx 4? x 2 ? 1, x 轴和直线 x ?2?1（4）2. 一曲边梯形由 y 3. 计算下列定积分 （1）1 , x ? 1 所围成，求此曲边梯形面积. 2（2）? 0 ? 2 x ? 3?1dx? ?1 ? 3x ?0?3dx（3）?3 0e x dx x（4）? ?1 0x 2 sin ? x 2 ? 1? dx4. 计算下列定积分 （1）x ?0 1 ? 1 ? x dx3（2）1 0x x ? 2dx5. 利用函数奇偶性及定积分几何意义计算定积分 （1）??? x sin xdx4 3?x 3 sin 2 x dx （2） ? ?5 1? x2 ? x456.计算下列定积分22（1）?x ?0 xe dx 1（2）? 02 e??2 xcos xdx7. 已知需求函数为p ? D ? x ? ? 30 e ?0.01 x （单位：元） ，其中 x 为需求量， p 为价格，试求出 x 在区间?30,50? 平均价格表达式.8. 某公司对其产品成本变化情况测得如下关系式：f ? x ? ? 300 ? x 4其中 x 表示该产品生产的数量，100 ? x ? 1000f ? x ? 表示当产品数量为 x 时，再增加一个单位产品时所增加的成本，试求当产品从 100 件增加到 1000 件时，该公司所增加的成本 C （单位:元）.4.4 数值积分一、学时： 2 学时二、教学要求：数值积分：矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法） （1）理解矩形法 （2）理解梯形法 （3）掌握抛物线法（辛卜生法）求数值积分 重点：理解矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法）求数值积分 难点：抛物线法（辛卜生法）求数值积分 三、教学内容：在利用定积分解决实际问题时，通常会遇到被积函数的原函数无法用初等函数的形式给出. 例如计算 等，其中被积函数没有初等形式的原函数. 这时，牛顿－莱布尼兹公式就无法使用了. 有的实际问题，被积 函数是用表格或图形给出，这时也无法使用牛顿－莱布尼兹公式. 因的有必要研究定积分的近似计算问题. 我们把求定积分的近似计算值也称为数值积分.234.4.1矩形法根据定积分的几何意义，矩形法就是把曲边梯形分成若干各窄曲边梯形，然后用窄矩形代替窄曲边梯 形，从而求得定积分的近似值. 具体描述如下： 用分点 a ?x0 , x1 , x2 ,? , xn ? b将区间 ? a , b? 分成 n 个小区间 ? xi?1 , xi ? (i ? 1, 2,? ,n )，记?xi ? xi ? xi?1 ，取 ?i ? ? xi ?1 , xi ?，则?b af ( x )dx ? ? f (?i ) ?xii ?1n（1）为便于计算，通常区间，则 ?a, b? 是等分的，并取为各小区间的中点（见图 4.8）?xi ? b ? a , ?i ? n由公式（1）有xi?1 ? xi ? a ? 2i ? 1 ? b ? a ? (i ? 1,2,?, n) 2 2nn?b af ( x )dx ? b ? a ? f a ? 2i ? 1 ? b ? a ? n i ?1 2n??yy=f(x)这就是求定积分近似值的中矩形公式，我们 把上面右端式子简记为 M n .4.4.2梯形法axi?1 ?i xibx梯形法就是把曲边梯形分割成若干个窄曲边梯形，然后连接曲边上相邻分店，得到以直线代替曲线弧 图 4.8 的小直边梯形，用小直边梯形的面积代替窄曲边梯形的面积（如图 4.9） ，近而求得曲边梯形面积的近似值. 具体描述如下： 用分点 a ? x0 , x1 , x2 , ?, xn 分成 n 等分，记 yi 来考察每个小区间 为两底，以? b 将积分区间 ? a , b?y f (x i) f (x i-1)y=f (x)? f ( xi ) (i ? 1,2,?, n) ，现在? xi?1 , xi ? ，以 f ? xi?1 ? , f ? xi ?ab ? a 为高的梯形面积 hf ? xi?1 ? ? f ? xi ? Si ? b ? a ? (i ? 1,2,?, n) h 2 求这 n 个小梯形面积之和，就得到积分近似公式：x i-1 h x i图 4.9bx24?ban ? f ? x0 ? ? f ? xn ? ? f ( x )dx ? ? Sn ? b ? a ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? xn?1 ?? n ? 2 i ?1 ?这就是梯形公式，其中f ( xi ) ? f ? a ? i ? b ? a ? ? . ? ? n ? ?我们把上面右端式子简记为 Tn .4.4.3抛物线法(辛卜生法)在数值积分中与上述中矩形公式 M n 和梯形公式 Tn 有密切关系的是抛物线法，也称为辛卜生公式. 辛 卜生公式是把积分区间 2n 等分，简记为 S2 n . 它与中矩形公式 M n 和梯形公式 Tn 有如下关系：S2 n ?2 M n ? Tn 3例如当 n ? 2,3 时，我们有S4 ? ? f ? x0 ? ? 4 f ? x1 ? ? 2 f ? x2 ? ? 4 f ? x3 ? ? f ? x4 ? ? ?x , ?x ? b ? a ? ? 3 4S6 ? ? f ? x0 ? ? 4 f ? x1 ? ? 2 f ? x2 ? ? 4 f ? x3 ? ? 2 f ? x4 ? ? 4 f ? x5 ? ? f ? x6 ? ? ?x , ?x ? b ? a ? ? 3 6一般情况表达式为?b af ( x )dx ? b ? a ? f ? x0 ? ? f ? x2 n ? ? 4 ? f ? x1 ? ? f ? x3 ? ? ? ? f ? x2 n?1 ? ? 6n ? ? 2 ? f ? x2 ? ? f ? x4 ? ? ? ? f ? x2 n?n ? ? ? ? S2 n ?可以证明对于不高于 3 次的多项式，辛卜生公式可以给出定积分准确值. 对于一般被积函数，用辛卜 生方法进行数值积分通常给出比梯形法和矩形法更好的近似值. 还有一些精确度更好的定积分近似公式， 被使用在各种数学计算软件中， Mathematica， 如 Maple， Matlab 等，我们将介绍如何应用数学计算软件 Matlab. 例1 某公司批量生产某流行品牌的太阳镜，其每小时生产 x 付太阳镜的边际成本 C ?? x ? （单位：美元/付）列在表 4.1： 表 4.1xC ?? x ?50 21.80100 16.95150 15.31200 14.50250 14.00300 13.66350 13.42400 13.25450 13.1125现公司从每小时生产 50 付太阳镜增加到每小时生产 450 付太阳镜， 试用梯形法估计每小时生产所增加的总 成本. 解 设所增加的总成本记为 C ，则C??45050C ? ? x ? dx利用表 4.1 和梯形公式近似计算上面定积分如下：? C ? ? 50 ? ? C ? ? 450 ? C ? 450 ? 50 ? ? C ? ?100 ? ? C ? ?150 ? ? C ? ? 200 ? ? C ? ? 250 ? 8 2 ? ? C ? ? 300 ? ? C ? ? 350 ? ? C ? ? 400 ? ? ?? 50 ? 21.80 ? 13.11 ? 16.95 ? 15.3 ? 14.50 ? 14.00 ? 13.66 ? 13.42 ? 13.25 2? 5927.25（美元）??例 2 试计算下面两条曲线之间的面积：f ( x ) ? e? x , g ( x ) ? x 2 ? 1 .2解 本题需要用到数学计算软件 （详见第七章） 而得到在区间 . 并且两条曲线之间所围成的面积 A 可用定积分表示：??1.131, 1.131? 上 f ( x) ? g ( x) ，A???e ? x ? ? x 2 ? 1? ? dx ? ?1.131 ?1.1312yf ( x ) ? e? x2g ( x) ? x2 ? 1-1.131 1.131 x图 4.1026四、练习 1. 试用辛卜生公式求解本节的例 1. 2. 试用辛卜生公式求? I ? ? sin x dx 0 x（分别取 n ? 2,4,6 的情形）一、学时： 2 学时二、教学要求： 微积分基本定理：变上限函数、牛顿－莱布尼兹公式 （1）了解变上限函数及牛顿－莱布尼兹公式的推导*； （2）理解牛顿－莱布尼兹公式的实质（会用实例说明） ，会熟练正确的利用公式求定积分。 重点：变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式 难点：牛顿－莱布尼兹公式的推导*三、教学内容： 4.5 广义积分 4.6 定积分在经济问题中应用 （1）理解用极限、定积分的知识求两种类型的广义积分； （2）将定积分的方法应用于商务中有关问题的数量分析。 重点：无限区间上的广义积分、无界函数的广义积分，定积分在经济问题中应用 难点：定积分在经济问题中应用4.5广义积分前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间. 在实际问题中，还会经常遇到积分区间为无穷区间 的积分. 定义 1 设f (x) 在 ?a, ?? ?上连续，取 b ? a ，极限 lim ?a f ( x) dx 称为 f (x) 在无穷区间b b?????[ a, ?? ) 上的积分，记做 ?a f ( x ) dx ，即?a f ( x ) dx ? lim ?a f ( x ) dx b ???b?27若上式等号右端的极限存在，则称此无穷区间上的积分 类似地，定义?a f ( x) dx 收敛，否则称之为发散.??f (x) 在无穷区间 (??, b) 上的积分为b? ??bf ( x ) dx ? lim ?a f ( x ) dxa ???若上式等号右端的极限存在，则称之收钦，否则称之发散. 函数在无穷区间 ( ??, ??) 上的积分定义为?? ??f ( x) d x ? ?c ??f( x d x ) ???? c(f )x，d x其中 C 为任意实数，当上式右端两个积分都收敛时，则称之为收敛，否则称之为发散. 无穷区间上的积分也称为无穷积分或称广义积分. 例 1 计算无穷积分解??? 0e dx ? lim ? e dx ? lim( ? e )?x ?x ?x b??? 0 b???bb0? lim ( ?b???1 ? 1) ? 1 eb?? a为了书写方便，在计算过程中可不写极限符号，用记号 F ( x ) 表示lim [ F ( x) ? F ( a)] ，这样例 1 可写为 x????0??e ? x dx ? ( ?e ? x ) 0 ? 0 ? 1 ? 1??例 2 讨论无穷积分? 1 x p dx 收敛性????1解 当p ? 1时， ?11 ?? dx ? ln | x | 1 ? ?? x1 x dx ? xp 1? p1? p ?? 1发散当P? 1时， ?1??? ? ?， ? ?? 1 ， ? p ?1 ?p ? 1 发散 p ? 1 收敛28习题1. 计算下列无穷积分 （1）?3 x ? 0 e dx?4.5?（2）?1?1 dx x32x（3）?1 (1 ? x ) 2 dx?1（4）??? ( x 2 ? 1) 2 dx?2. 求由曲线 y 所示.1 ， x 轴以及直线 x ? 1 所围成的具有无限延伸尾巴的图形面积，如图 4.11 阴影部分 x229yy?1 x201图 4.11x4.6定积分在经济问题中的应用定积分在经济问题中的应用是多方面的，下面前两例子体现已知某经济量的变化率（即边际函数） ，如 何求该经济量，另两例子是关于平均值在经济中应用. 最后一个例子是关于有效时段问题. 例 1 利润问题 某公司每个月生产 x 台电视机，边际利润（以美元为单位）由下式给出：L?( x) ? 165 ? 0.1x0 ? x ? 4000目前公司每月生产 1500 台电视机，并计划提高产量，试求出与每月生产 1600 台电视机时，利润增加 了多少？30解L( 1 6 0 0 ) L ( 1 5 0 ? ) ? ?016001500? x L? ? d x ? ?1600(? 6 5 x 0d 1 ) 1 .x? (165 x ? 0.05 x 2 ) 1500? [165 ? (1600) ? 0.05 ? (1600)2 ] ? [165 ? (1500) ? 0.05 ? (1500)2 ]? 136000 ? 135000 ? 1000例 2 收益问题（美元）答：当每月电视机生产从 1500 台增加到 1600 台时，利润增加 1000（美元）. 已知生产某商品 x 单位时，边际收益为 R ?( x ) ? 20 ?x （万元/单位） ，试求生 30产 x 单位时总收益函数 R(x) 以及平均单位收益函数 R (x) ，并求生产这种产品 120 单位时的总收益与平 均收益. 解 因为总收益是边际收益函数在?0, x?上的定积分，所以生产 x 单位时总收益函数为x? t t2 ? R ( x ) ? ?0 ( 20 ? ) dt ? ? 20 t ? ? 30 60 ? 0 ?xx2 ? 20 x ? 60则平均收益函数为R( x) ?R( x) x ? 20 ? x 60 120 ? 120 ?
? 18 60当生产这种产品 120 单位时，总收益为R(120) ? 20 ? 120 ?平均收益为（万元）R 120） 20 ? （ ?（万元）例 3 平均供应价格已知某商品供应函数为p ? S ( x ) ? 8(e0.05 x ? 1)其中 x 为某商品供应量， p 为该商品的价格（美元） ，试求在商品供应区间 解 在商品供应区间?40, 50? 上平均供应价格.?40, 50?上平均供应价格 p 可用定积分计算如下：50p?50 0.05 x 1 ? 40 8(e ? 1) dx 50 ? 40? (0.8) ? ?40 e0.05 x dx ? ?40 (0.8) dx5031? ( 0.8) e 0.05 x ? 50 ?? ? ? 0.8 x 40 ? 0.05 ? 4050? 16 ? (e 2.5 ? e 2 ) ? 8? 16 ? 4.79 ? 8 ? 68.64答：在供应区间 例 4 平均存货 （美元）?40, 50?上某商品平均供应价格为 68.64 美元.0 ? t ? 12假设某货物去年各月的存货量可用下式表达：I (t ) ? 10 ? 30t ? 3t 2其中 t 表示月份， I (t ) 表示在 t 月份的存货量. 试求去年第二季度平均存货量（单位：吨）. 解 去年第二季度的平均存货量记为 I 2 ，则I2 ?1 6 2 ?3 (10 ? 30t ? 3t )dt 6?31 30 t 2 3t 3 6 ? (10 t ? ? ) |3 3 2 31 ? [(10 ? 6 ? 15 ? 6 2 ? 6 3 ) ? (10 ? 3 ? 15 ? 32 ? 33 )] 3? ? 1 [384 ? 138] ? 82 3例 5 有效时段 (吨) 答：某货物在去年第二季度平均货存量为 82 吨. 某娱乐公司把一种娱乐用品安装在一个公众活动的地点， C(t )和R(t ) 分别表示 用该娱乐用品的成本函数与收益函数，其中 t 表示已安装使用的时间（单位：年）. 已知C?(t ) ? 2, R?(t ) ? 9e ?0.5 t使（单位：万元）C?(t ) ? R?(t ) 成立的 t 值称为该娱乐用品有效时段，几何意义见图 4.12 所示.32y9y=R'(t) y=C'(t)23图 4.12 本例中有效时段求如下：xC?(t ) ? R?(t )9e ?0.5 t ? 2e ?0.5 t ?2 9 2 9? 0.5t ? ln t ? ?2 ln2 ?3 ? 9这样，该娱乐用品有效时段约为 3 年. 超过这个使用时段，该娱乐公司所安装的娱乐用品是亏本的.试 求出在有效时段内，所取得全部利润. 解有效时段为?0, 3?，因此所取得全部利润为3L(3) ? L(0) ? ?0 L?(t ) dt ? ?0 [ R?(t ) ? C?(t )]dt3? ?0 (9e ?0.5 t ? 2) dt3? 9 ?0.5 t ? ?? e ? 2t ? ? ? 0.5 ?03? ( ?18 e ?0.5 t ? 2t ) 0333? ( ?18 e ?1.5 ? 6) ? ( ?18 e 0 ? 0) ? 12 ? 18 e ?1.5 ? 7.984 （万元）四、练习 1. 已知某商品的边际成本为 C?( x) ? 0.8 x ? 42 （元/单位） ，固定成本为 50（元） ，求总成本函数.2. 已知某商品的边际收益为1 ，其中 x 表示该商品的产量，求该商品的 R?( x ) ? 200 ? x （元/单位） 2总收益函数，并求当商品的产量达到 100 单位时的总收益和平均收益. 3. 某汽车生产商估计一种新型车在投入生产之后销售逐月增加，增加的比率由下式给出：S ?(t ) ? 4e ?0.08t0 ? t ? 24其中 t 表示新型车投入生产之后的第 t 月份. 试求该新型车销售量 S (t ) 的表示式，并求出投入生产之后 的前六个月的月平均销售量. 4. 本节例 5 中若 C ?(t ) 5.? 1, R?(t ) ? 7.5e ?0.5 t , 试求在有效时段内公司所取得的全部利润. 设某茶叶生产企业，生产某品牌出口茶叶的边际成本，边际收入是日产量 x （千克）的函数，边际成本为? x ?10? （美元/千克） ，边际收益为 210 ? 4x （美元/千克） ，固定成本为 3000 美元.（2）在获得最大利润时，总收益、平均单位收益、总成本、总利润是多少？求： （1）日产量为多少时，利润最大？小结1. 本章介绍两个不同的数学概念：不定积分与定积分，前者作为导数的逆运算，而后者是作为和的极限来 定义的. 一个函数f (x ) 的不定积分是一个函数，而一个函数的定积分是一个数值.这两个数学概念由于 f (x ) 的一个原函数，则微积分学的基本定理（牛顿―莱不尼兹公式）紧密联系起来. 设 F (x ) 是?a f ( x)dx ? F ( x) |a ? F (b) ? F (a)b b2. 原函数与不定积分的概念大致上是相同的. 函数f (x ) 的不定积分是 f (x ) 的全部原函数，只要知道f (x ) 的一个原函数 F (x ) ，则 f (x ) 的不定积分为? f ( x ) dx ? F ( x ) ? C函数f (x ) 的原函数 F (x) 与导数关系是， F ?( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x) dx ，因此求不定积分34（或原函数）与求导数（微分）若不计常数项是互为逆运算的. 3. 不定积分的计算方法除了基本公式来求之外，经常使用第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积 分法，第一类换元积分法又叫凑微分法，把不定积分写成? f [? (t )]? ?(t ) dt ? ? f [? (t )] d? (t ) ? F [? (t )] ? C其中 F (x) 是f (x) 的原函数，第二类换元积分法常用作去根号，可令 x ? ? (t ) , ? (t ) 是单调可导函数，且 ? ?(t ) ? 0 则?1 ? f ? x ?dx ? ? f [? ?t ?]? ?(t ) dt ? F ?t ? ? C ? F ?? ? x ?? ? C其中? (t )是单调的，因此存在反函数 ??1(t ) .关于分部积分法应当注意把不定积分化为形式? udv 再使用公式：? udv ? uv ? ? v d u4. 进一步明确定积分的概念和性质. 定积分尽管实际背景丰富多样，但从数学概念来看都是如下一类和的 极限?b af ( x ) dx ? lim ? f (?i ) ?xi? ?0i ?1n? ? max ??xi ?1?i ? n由定义可知定积分的值依赖被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关，按规定交换定积分的上下限， 定积分变号. 特别的有?a f ( x) dx ? 0 .a5. 无穷区间上广义积分是定积分概念的推广， 在实际中也常用到. 首先是把无穷区间上广义积分化为有限 区间上定积分，然后通过求极限方法看它是否收敛，若收敛求其极限值即是所求的广义积分. 6. 定积分在实际问题的应用十分广泛. 除求面积外，还着重介绍其在商务与经济问题中的应用，已知某经 济量的边际值，求该经济量即属于定积分的应用. 此外，求经济量在某范围或某时间段的平均值问题也 归结为求定积分. 7. 在实际问题中经常应用导定积分的近似计算，即数值积分. 数值积分中的矩形法，梯形法及抛物线法是 基本方法，还有一些其他更详细的方法. 实际应用中定积分的计算常使用数学软件如 Mathematica， Maple，Matlab 等.复习题1. 用适当方法求下列不定积分 （1）2 ? x sin( x ? 1) dx（2）3 ? (3 x ? 5) dx35（3）? 2 ? x ? 2 dx3 ? 02 2 sin x cos xdx1（4）3 ? x ln xdx2. 用适当方法求下列定积分?（1）（2）?1 x (1 ? ln x )dx2 ?1 x ln xdx ee4（3）?033 dx 2? x（4）3. 试求在曲线 y? e? x，y 轴以及区间 [0, ?? )之间图形的面积.4. 某公司对其产品的成本函数的边际成本估计如下：C ?( x ) ? 300 ?x ， 20 ? x ? 600其中表示该产品的产量，试求当产品产量从 100 件增到 300 件时，公司所增加的成本. 5. 设某产品需求函数为p ? D( x ) ? 5e ?0.03 x（单位：美元）其中 x 表示需求量，试求在需求区间?30 ,50 ?上的平均价格.6. 有效时段 设某煤矿累计成本函数 C (t ) 和收益函数 R(t ) （单位：万元）分别为C?(t ) ? 3 和 R?(t ) ? 15e ?0.1t 这里 t 表示该煤矿投入使用的时间. 试求该煤矿有效时段以及在该时段所取得全部利润. 7. 设某商品每天生产 x 单位时的固定成本 200（百元） ，边际成本函数为 C ?( x ) ? 4 x ? 15 （百元/单位） ，求总成本函数 C (x ) . 如果这种商品销售的单价为 59（百元） ，且产品全部售出，求总利润函 数 L(x ) ，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润，此时最大利润是多少？36
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