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判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)f(x)=|x+1|+|x-1|；(3)。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：(1)f(x)的定义域是R，又f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数。 (2)f(x)的定义域是R，又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，+∞)，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．
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据魔方格专家权威分析，试题“判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|+|x-1|；(3)。-高一数学..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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396475843616476353886165558581464948& 函数单调性的判断与证明知识点 & “已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a...”习题详情
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已知函数f（x）=aa2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的实数m的取值集合；（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的...”的分析与解答如下所示：
（1）由于函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．分当a＞1和当0＜a＜1两种情况，分别根据aa2-1的符号，及函数ax-a-x的单调性，可得函数f（x）的单调性．（2）由题意可得 f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），故有{-1＜1-m＜1-1＜1-m2＜11-m＜m2-1，由此解得m的范围．（3）要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即 a2+1a≤4，由此求得a的范围．
解：（1）由于函数f（x）=aa2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1，它的定义域为R，再根据f（-x）=aa2-1o（a-x-ax）=-aa2-1(ax-a-x)=-f（x），故函数f（x）为奇函数．当a＞1时，aa2-1＞0，且函数ax-a-x为增函数，故此时函数f（x）为增函数．当 0＜a＜1时，aa2-1＞0，且函数ax-a-x为减函数，故此时函数f（x）为增函数．（2）由于函数y=f（x）的定义域为（-1，1），故由不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，可得 f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），∴{-1＜1-m＜1-1＜1-m2＜11-m＜m2-1，解得 1＜m＜√2．（3）由于函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即 aa2-1（a2-a-2）-4≤0，即 a2+1a≤4．解得 2-√3≤a≤2+√3，且a≠1，即a的范围[2-√3，1）、（1，2+√3]．
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．
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已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m...
错误类型：
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经过分析，习题“已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的...”主要考察你对“函数单调性的判断与证明”
等考点的理解。
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函数单调性的判断与证明
【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
与“已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的...”相似的题目：
已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．&&&&
是定义在（-1，1）上的函数，其图象过原点，且．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．&&&&
给定函数①，②，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是&&&&①②②③③④①④
“已知函数f（x）=a/a2-1(ax-a...”的最新评论
该知识点好题
1设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）
2给定函数①y=x12，②y=log12(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（　　）
3已知函数f（x）=aln（x+1）-x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
该知识点易错题
1已知函数f（x）=aln（x+1）-x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
2已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（mt2-2t）+f（1-t2）＜0恒成立，求m的取值范围．
3已知函数y=x+tx有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，√t]上是减函数，在[√t，+∞）上是增函数．（1）若f（x）=x+ax，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点-区间的左断点）；（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2-a）≥f（2a+4）．
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已知函数f(x)=1/2^x-1+1/2.(1).求f(x)的定义域；(2).判断函数的奇偶性已知函数f(x)=1/2^x-1+1/2.(1).求f(x)的定义域；(2).判断函数的奇偶性；(3) 证明.当x>0时,f(x)>0.
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（1）f(x)=(2^x+1)/2(2^x-1)
定义域x≠0
关于原点对称（2）f(-x)=(2^-x+1)/2(2^-x-1)=(1+2^x)/2(1-2^x)=-f(x)
奇函数（3）x>0
f(x)=1/(2^x-1)+1/2>0
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f(x)=x(1/3^x-1+1/2) 证明奇偶性f(x)=x(1/3^x-1+1/2) 如图
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2亿+学生的选择
你好!f(x)为偶函数证明如下：f(x)=x{[1/(3^x-1)+(1/2)]}=x{(2+3^x-1)/[2(3^x-1)]}=x{(3^x+1)/[2(3^x-1)]}f(-x)=-x{[1/(3^-x-1)+(1/2)]}=-x{(2+3^-x-1)/[2(3^-x-1)]}=-x{(3^-x+1)/[2(3^-x-1)]}分子分母同时乘以3^x得f(-x)=-x{(1+3^x)/[2(1-3^x)]}=x{(1+3^x)/[2(3^x-1)]}=f(x)∴为偶函数
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F（x)=1/2x(3^x+1/3^x-1)F(-x) =-1/2x[3^(-x)+1/3^(-x)-1]
= -1/2x(1+3^x/1-3^x)=1/2x(3^x+1/3^x-1)=F(x)
因为F（-x）=F（x），所以此函数为偶函数。
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