来源： 作者：龚冬保
高阶无穷小与低阶无穷小——无穷小比较的一个问题
一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1°　lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2°　lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶无穷小 .例 1　设α=x,β=x2 sin 1x,则当 x→ 0时 ,有 limx→ 0x2 sin 1xx =0 ,故β是比α的高阶无穷小 ,但反之 ,不能说α是比β低阶的无穷小 .因为 limx→ 0xx2 sin 1x≠∞ .在 0点任何邻域内都有β=x2 sin1x的无限个零点 ,当 x→ 0时 ,xx2 sin 1x是无界变量并非无穷大量 !顺便提及与此相关的等价无穷小 ,也有一样......(本文共计1页)
　　　　　　　
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高数无穷小比较的教案
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提问者采纳
f&#39;x→0&[e^f(x)-e]/x=1;x→0&gt.故 lim&lt，则 f’(0)=1;x = lim&lt.
则 f(0)=1;x→0&gtlim&[f(x)-1]&#47,
若 f(x) 可导;(x)e^f(x) =1*e^1 = e
提问者评价
太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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只是用了一个公式而已.平方差、立方差公式推广一下就会有：x^n－y^n＝(x-y)[x^(n-1)＋x^(n-2)y＋x^(n-3)y^2＋...＋xy^(n-2)＋y^(n-1)]x与y可替换为任意数或式子
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