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高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
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高中数学：解析方程函数问题
传统的函数定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。现代数学从集合的角度来定义函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。方程与函数之间的关系可以说非常的密切，在解决很多数学问题过程中，我们需要把一些方程问题转换成函数问题来求解，反之亦然。在这样的相互转化过程中，要求学生不仅要具备扎实的数学基础知识和方法技巧，更要能熟练运用这些知识方法来解决问题，才能正确解决相应的数学问题。同时，学生通过解决方程和函数相关问题，能使自己的思维能力、创新能力、探索能力等等得到很好的锻炼，帮助提高数学综合能力和素养。因此，函数与方程相关的知识内容、方法技巧等等，一直是高考数学热点方向，希望大家能认真掌握。如ax2+bx+c=0（a≠0）为一个一元二次方程，当把0改为y时，y=ax2+bx+c（a≠0），就是一个二次函数。因此，我们就可以把一元二次方程看成二次函数的一种特殊情况下的方程形式。方程相应的解在高中数学里面，我们称之为零点。那么什么是函数的零点？对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．因此，我们一定要处理好函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系，如：方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．就像二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系如下表：典型例题分析1：m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.(2)设两零点分别为x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2.则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，按照初中的函数与方程思想，求零点就相当于求函数与x轴的交点，但在高中数学里有其他的解决方法，如函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)因此，要向正确判断出函数零点的个数，记住以下这些常用方法：1、解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数。典型例题分析2：已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2∈R，且x1证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，又∵a>b>c，∴a>0，c又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴函数f(x)有两个零点．值得注意的是函数的零点不是点，千万要记住。这是因为函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标。对函数零点存在的判断中，必须强调：1、f(x)在[a，b]上连续；2、f(a)·f(b)3、在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要。对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法：1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。典型例题分析3：关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴mhttp://www.ruidete-edu.com 上传我的文档
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高中数学函数问题常见习题类型及解法
-63- 高中数学函数问题常见习题类型及解法
一、函数的概念
函数有二种定义,一是变量观点下的定义,一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这两种定义的背诵,而应在判断是否构成函数关系,两个函数关系是否相同等问题中得到深化,更应在有关反函数问题中正确运用.具体要求是:
1.深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用,并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系.
2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同时,注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用.
3.通过对分段定义函数,复合函数,抽象函数等的认识,进一步体会函数关系的本质,进一步树立运动变化,相互联系、制约的函数思想,为函数思想的广泛运用打好基础.
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识,真正明确不仅函数的对应法则,而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用,并真正以此作为处理问题的指导.其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性,不仅要用到解方程,解不等式等知识,还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合.
Ⅰ 深化对函数概念的认识
例1.下列函数中,不存在反函数的是
分析:处理本题有多种思路.分别求所给各函数的反函数,看是否存在是不好的,因为过程太繁琐.
从概念看,这里应判断对于给出函数值域内的任意值,依据相应的对应法则,是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应,因此可作出给定函数的图象,用数形结合法作判断,这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法.对于D ,y=3是其值域内一个值,但若y=3,则可能x=2(2>1),也可能x=-1(-1≤-1).依据概念,则易得出D 中函数不存在反函数.于是决定本题选D .
说明:不论采取什么思路,理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键. 由于函数三要素在函数概念中的重要地位,那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题.
例1.(重庆市)函数)23(log 2
1-=x y 的定义域是( D
A 、[1,)+∞
D 、23(,1] 例2.(天津市)函数123-=x y (01<≤-x )的反函数是( D
(log 13≥+=x x y
1(log 13≥+-=x x y
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高中数学函数问题，高手进~
若对任意x1，x2属于[a,b],有 f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2),] 则称f（x）在[a,b]上具有性质p设f（x）在[1,3]上具有该性质，则命题“f（x^2）在[1,根号3]具有该性质”为什么是错的？？
解：令x1=t1^2，x2=t2^2且x1，x2属于[1,3]则t1，t2属于[1，根号3]∵f（x）在[1,3]上具有p性质∴f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]即f[(t1^2+t2^2)/2]≤[f(t1^2)+f(t2^2)]…………（1）而如果f（x^2）在[1,根号3]具有p性质那么则有t1，t2属于[1，根号3]使得f{[(t1+t2)/2]^2}≤[f(t1^2)+f(t2^2)]…………（2）成立而从条件只能推出（1）不能推出（2）∴这个命题是错的
来自：求助得到的回答
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这不是我们大练习题？老师周五晚课讲。老师讲完了，原条件是要证明F（x）是下凸函数或者是直线型举一个反例，令F（x）=-x F（x^2）=-x^2显然是上凸函数，不成立
令g(x)=f(x&#178;)g[(x1+x2)/2]=f[(x1+x2)&#178;/4]≠f[(x1&#178;+x2&#178;)/2]
因为(x1^2+x2^2)/2属于【1,3】，不属于【1，根号3】
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