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y=f(x)=2(x-1)²-1,-4≤x≤0, f(0)≤y≤f(-4),即1≤y≤49.
(x-1)²=(y+1)/2,x=1-[√2...
解：y=2sinx-cos(2x)
=2sinx-(1-2sin²x)
=2sin²x+2sinx-1
=2(sinx+1/...
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高中数学审核员
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函数的表示法
基本初等函数：
函数的三要素
函数的性质
函数的应用
1．本章的重点是函数的概念、性质和图象，因此
高考能力要求
理解函数的概念，应抓住“对应”这个法则，其次研究
1．了解映射的概念，理解函数的概念．
函数的性质与图象应在定义域这个大前提下进行．
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断
中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，
一些简单函数的单调性和奇偶性的方法．
指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间
的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成
的关系，会求一些简单函数的反函数．
因此，首先应掌握好基本初等函数的图象和性质，
4．理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运
有意识地加强函数的图象与性质的全方位综合运用．
算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．
2．以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法：
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握
对数函数的概念、图像和性质．
函数与方程思想，即善于把问题函数化，运用
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的
函数观点去分析、解决问题；
性质解决某些简单的实际问题．
数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问
高考热点分析
建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思
函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数应用
想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在
近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题
3．注意函数与其他各章知识间的横向联系
型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为
要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻
模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.
地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、
自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围
单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、
没有的内容例如指数不等式(方程)、对数不等式(方程)
不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽
等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求
象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试
函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函
的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题
数知识结构.所谓函数思想，实质上是将问题放到动态
和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、
方程、不等式、数列、曲线等问题．
高考复习建议
映射与函数、函数的解析式
(1) 求 f (2)＋f ( 1 )的值；
1．映射：设
是两个集合，如果按照某种对
(2) 求 f (1)＋f (2)＋f ( 1 )＋f (3)＋f ( )＋f (4)＋f (
f，对于集合
元素，在集合
元素和它对应，这样的对应叫做
映射，记作
2．象与原象：如果
B 的映射，
A 中的元素
叫做原象。
1．定义：设
B 的一个映射，则映射
2．函数的三要素为
某厂生产一种仪器，由于受生产能力和
数当且仅当
分别相同时，二者才能称为同一函
技术水平的限制，会产生一些次品。根据经验知道，该
厂生产这种仪器次品率
P 与日产量
x（件）之间大体满
3．函数的表示法有
(1 ? x ? c, x ? N)
下列对应中，是
B 的映射的是（
(x ? c, x ? N)
A．A＝Q，B＝{x︱x∈Q，且
x＞0}，f：
96 的正常数)
. 已知生产一件合
B．A＝B＝N*，f：x→︱x－2︱
C．A＝{x∈N︱x≥2}，B＝{y∈N︱y≥0}，
格品可盈利
A 元，但每生产一件次品将亏损
f：x→y＝x2－2x＋1
将生产这种仪器的每天盈利额
T（元）表示为日产量
D．A＝{x︱x＞0}，B＝{y︱y∈R}，f：x→y＝±
f(2x＋1)＝3x－2，求
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和
．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元
(2) 已知函数
法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意
研究定义域的变化．
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变
量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意
定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，
可用分段函数来表示．
基础训练题
一、选择题
的对应关系中，不是映射的是
A．M＝{α｜0°≤α≤90°}，N＝[0, 1]
B．M＝{α｜0°≤α≤90°}，N＝[－1, 1]
C．M＝{0,1,2}，N＝{0, 1,
D．M＝{－3,－2,－1,2,3}，N＝{1,4,9,16}
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| x ?1| ?2 (| x |? 1)
设 f (x)＝
f [ f ( )] ＝
f(x)为定义在
R 上的偶函数，当
x ? ?1时，y＝
(| x |? 1)
f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为
1 的射线，又
y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过
点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数
f(x)的表达
y＝f(x)的图象与直线
的公共点共有
下面各组函数中为相同函数的是
(x ?1)2 ，g(x)＝｜x－x0｜
为常数，若
f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝
x2＋10x＋24．求
(x ?1)2 ，g(x)＝
(x ?1)2 ，g(x)＝|x－1|
A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在图中能表
B 的函数是
提高训练题
f(log3 x )＝
(1) 求 f (x);
(2) 若 u ? v ?1，证明；
f (u) ? f (v) ? 1 ;
f：{1，2，3}→{1，2，3}满足
f（f(x)）＝f ( x
)，则这样的函数个数共有
(3) 求 f ( 1
)＋…＋f (
100 )的值．
二、填空题
已知(x，y)在映射
f 的作用下的象是(x＋y，x－y)，
f 作用下（1，3）的原象是
, (x ? 0) 则 g（g(
ln x, (x ? 0)
15．如图，在
中，∠B＝30°，AC＝1，动点
点出发，沿三角形的周界运动，点
P 沿 A→B→C
方向运动，
直到相遇为止，若点
Q 的速度是点
AP＝x，△APQ
y ? f (x) 的
10．下列各式中：①y＝x－(x－3)；②y＝
解析式，并确定
分别在什么位置时，
x ?1 (x ? 0)
x ? 2 ? 1? x
x ?1 (x ? 0)
0 (x与与与与
1 (x与与与
y 是 x 的函数的表达式序号是
三、解答题
11．已知集合
A ? {1,2,3, k}, B ? {4,7, a , a ? 3a}
a ? N, k ? N ，映射
y ? 3x ? 1 和 A 中元素
x 对应，求
的值及集合
函数的定义域和值域
x 2 ? 2x ? 3 ＋2
一、定义域：
(3) y＝x＋
1．函数的定义域就是使函数式
．常见的三种题型确定定义域：
(4) y＝x－
已知函数的解析式，就是
f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函
域是外函数
③实际应用问题的定义域，就是要使得
有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
y＝f (x)中，与自变量
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑
，常用的方法有：①观察法；
②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；
⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分
(x ? ? ) ，可采用
y ? lg(3 ? 2x ? x 2 ) 的定义域为 M，
③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用
法；④ y＝
x? M 时，求函数
f (x) ? 2 x?2 ? 3?4 x 的最值和值域，
以及取得最值时的
法；⑥ y＝
sin x 可采用
求下列函数的定义域
log0.5 (4x ? 3x)
＋lg (3x＋1)
的定义域为[－1, 1]，求
1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解
(x)的定义域.
释式（如例
1），应抓住使整个解式有意义的自变量的
f(x)的定义域为(0,1)，
? a ? 0 求函数
集合；二是未给出解析式（如例
2），就应抓住内函数
的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数
g(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)的定义域．
的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何
问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了
掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方
法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根
据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
基础训练题
一、选择题
求下列函数的值域.
1? 2 x 的定义域是
(1) y＝3x(－1≤x≤3
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12．用长为
l 的钢丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的
框架，若矩形底边长为
2x，求此框架围成的面积
S 与 x 的函数关系式，并定出它的定义域.
若 f(x)的定义域为（－4,6），则
f(2x－2)的定义域
A．（－1，4）
B．(－10，10)
C．(－10，－1)
D．(4，10)
log2 x ? 2 的定义域为
A．（3，＋
C．（4，＋
周长为定值
a 的扇形，它的面积
S 是这个扇形的半
R 的函数，则函数的定义域是
13．已知函数
的值域为[－1，4]，求
2(1 ? ? ) 2
a 、 b 的值.（提示：△≥0）
的定义域为
mx 2 ? 4mx ? 3
的取值范围是
的定义域和值
f (x) ? log a (x ?1)(a ? 0, a ? 1)
域都是[0,1]
提高训练题
14．设函数
f (x) ? x 2 ? x ? .
I) 若定义域限制为
二、填空题
的值域为[?
] ，且定义域为[a，b]，
y ? 2 ? ? x ? 4x (x?[0,4])
b－a 的最大值．
设 f(x)＝lg
f ( ) ? f ( ) 的定义域是
f (x)＝ax＋loga(x+1)在[0, 1]上的最大值与最小值
10．已知定义在闭区间
y ? (x ?1) ? 2
15．已知定义域为
f(x)满足：
f ( f (x) ? x ? x)
y 的最大值是
3，最小值是
a 的取值范围
? f (x) ? x 2 ? x .
(1)若 f(2)＝3，求
f(1)；又若
f(0)＝a，求
三、解答题
(2)设有且仅有一个实数
f(x0)＝x0，求函数
f(x)的解析式．
11．若函数
x 2 ? x ? 的定义域和值域都是[1,
b] (b>1)，试求
函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数
(x)对于属于定义域
个区间上的任意两个自变量的值
x1、、x2，当
x1、<x2 时，
f (x)在这个区间上是增函数，而
这个区间称函数的一个
f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数
f(x)在整个定义域
l 内只有唯一的一个单调
(1) 试判断函数
f (x)的单调性并给出证明；
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：①
的反函数为
(x) ，证明方程
f ?1(x) ? 0 有惟一解；
导数法，若函数
在定义域内的某个区间
上可导，①若
f (x)在这个区间上是
(3) 解关于
x 的不等式
f [x(x ? )] ? .
增函数；②若
f (x)在这个区间上是减
二、单调性的有关结论
f (x), g(x)均为增(减)函数，则
f (x)＋g(x)
f (x)为增(减)函数，则－f (x)为
3．互为反函数的两个函数有
的单调性；
4．复合函数
y＝f [g(x)]是定义在
上的函数，若
(x)与 g(x)的单调相同，则
f [g(x)]为
g(x)的单调性相反，则
f [g(x)]为
5．奇函数在其对称区间上的单调性
数在其对称区间上的单调性
1．证明一个函数在区间
D 上是增(减)函数的方法
定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，
f (x)＝x ＋x 在 R 上是增函数.
而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的
求导法.其过程是：求导——判断导函数的符
号——下结论.
2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；
(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单
调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定
要在定义域内.
3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：
一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性
求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不
讨论下列函数的单调性.
等式，结合定义域求出参数的取值范围.
且 x∈R)；②
基础训练题
一、选择题
x1, x2 是 f (x)定义域内的两个值，且
f (x2)，则 f (x)是
D．增减性不定
f (x) ? x 和 g(x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是
f (x) log2 | x ? x ?12 |
(??,0],(??,1]
(??,0],[1,??)
C．[0,??),(??,1]
D．[0,??),[1,??)
??(3a ?1)x ? 4a, x ? 1
??, ? ? )上的减函
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a 的取值范围为
且是减函数，求实数
a 的取值范围．
f (x)＝loga(2x ＋x) (a > 0 且 a≠1)在区间(0,
f (x)>0，则
f (x)的单调递增区间为
．已知函数
f (x) lnx, g (x)
? bx , a 0
b＝2，且函数
h(x)＝f (x)－g (x)存在单调递减区间，
a 的取值范围.
, y＝log2 , y＝x , y＝cos2x 这四个函数中，
0< x1 < x2 < 1 时，使
f (x ) ? f (x )
2 恒成立的函数的个数
f (x)和 g (x)分别是定义在
R 上的奇函数和偶函
x0 且 g(－
提高训练题
3)＝0，则不等式
f(x)g(x)<0 的解集是
14．已知函数
f(x)的定义
(?3,0) ? (3,??) B．
(?3,0) ? (0,3)
域，并讨论它的单调性．
(??,?3) ? (3? ?) D． (??,?3) ? (0,3)
二、填空题
f (x) ? 2x 2 ? mx ? 3,当x ?[?2,??) 时是增函数，
m 的取值范围是
的单调递减区间是
y ? log 1 (x ? 3x ? 4)
f (x) ? 4x3 ? ax ? 3 的单调递减区间是(－
1 )，则实数
a ? 0 ，求
f (x) ? x ? ln(x ? a) (x?(0,??)) 的
10．若函数
f (x) ? a | x ? b | ?2 在[0,??) 上为增函数，
b 的取值范围是
三、解答题
f(x)是定义在
上的增函数，试利用定义证明函
数 F(x)＝f(x)－f(a－x)在
R 上是增函数．
是定义域（－1，1）上的奇函数
函数的奇偶性和周期性
1．奇偶性：
定义：如果对于函数
f (x)定义域内的任意
(x)为奇函数；若
f (x)为偶函数.
f (x)不具有上述性质，
f (x)不具有
. 如果函数同时具有上述两
条性质，则
简单性质：
图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条
件是它的图象关于
对称；一个函数是偶函数的
充要条件是它的图象关于
f (x)在(－∞,
＋∞)上满足
f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关
x)＝f (2＋x)，f
(7＋x)，且在闭区间[0,
f (1)＝f (3)＝0.
(1) 试判断函数
y＝f (x)的奇偶性.
2．周期性：
(2) 试求方程
f (x)＝0 在闭区间[－2008,
定义：如果存在一个非零常数
T，使得对于函
的个数，并证明你的结论.
数定义域内的任意
f (x)的周期中，存在一个最小的正数，则
若周期函数
(x)的周期为
f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为
f (x) 的周期，则
kT(k ? 0, k ? Z) 也是
f (x) 的周期.
f (x)＝cos(
3x ? ? )(0＜? ＜
f (x)＋ f ?(x) 是奇函数，求?
1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一
个函数首先应判断它是否具有这种性质.
判断函数的奇
偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后
根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.
如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找
到一对非零实数
a 与－a，验证
f(a)±f(－a)≠0.
2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可
以重点研究
y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个
定义域上的性质.
3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结
合图象理解.
(a,b,c ? Z) 是奇
基础训练题
一、选择题
f (1) ? 2, f (2) ? 3 ，求 a,b,c 的值.
设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（
(2) 设偶函数
f (x) 在[0,??) 上为减函数，求不等
A．f(x)f(－x)是奇函数
f (x) ? f (2x ?1)
B．f(x)︱f(－x)︱是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
f (x)是定义域为
R 的奇函数，当
x ? 0 时，f(x)＝
x 2 ? 2x ，则在
R 上 f (x) 的表达式为
x(| x | ?2)
| x | (x ? 2)
| x | (| x | ?2)
已知定义在
R 上的奇函数
f (x＋2)＝－f
已知定义在
上的偶函数
f (6)的值为
(1) f (x ? 2) ? f (x)
(2) 当 x∈[0，1]时，
f (x) ? 3?x ?1 ，求
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上单调递减，
f (x) ? loga | x ? b | (0,??)
f (b ? 2) 与 f (a ? 1) 的大小关系是
f (b ? 2) ? f (a ?1)
f (b ? 2) ? f (a ?1)
f (b ? 2) ? f (a ?1)
D．不能确定
a 为实数，函数
f (x) ? x 2 ? | x ? a | ?1， x? R ,讨
4 个函数中：① y＝3x－1，②
f(x)的奇偶性.
(a ? 0与 a ? 1) ；③
；④ y＝x(
) (a ? 0与 a ? 1) ．其中既不是奇函数，
又不是偶函数的是
13．已知函数
f(x)是定义域为
R 的奇函数，且它的图象
R 上的偶函数
f (x)满足 f (x)＝f (x+2)，当
x∈[3, 5]时，f (x)＝2－|x－4|，则
(1)求 f(0)的值；(2)证明函数
f(x)是周期函数；
(3)若 f(x)＝x(0＜x≤1)，求
时，f(x)的解析式，
并画出满足条件的函数
f(x)的一个周期的图象．
f (sin ) ? f (cos )
f (sin1) ? f (cos1)
) ? f (sin
f (cos 2) ? f (sin 2)
二、填空题
提高训练题
f (x) ? asin 2x ? b tan x ?1，且 f (?2) ? 4 ，
14．设函数
f(x)的定义域关于原点对称，且满足：
f (? ? 2) =
f (x1) f (x2 ) ? 1
) f (x1 ? x2 ) ?
f (x2 ) ? f (x1)
若 f(x)＝asin(x＋
)＋bsin(x－
)(ab≠0)是偶函数，
存在正常数
a ,使 f (a) ?1 .
则有序实数为（a，b）可以是
求证：(1) f(x)是奇函数；(2) f(x＋4a)＝f(x).
为正确的一组数字即可)．
已知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数
偶函数，并且在(－∞，0)上是增函数，若
0，则不等式
? 0 的解集是
f (x)是定义在
R 上的奇函数，且
1 对称，则
f (1) f (2) f (3) f (4) f
15．已知定义在
R 上的偶函数
y＝f(x)满足：①f(x)＝f
(2－x)；②0≤x≤1
时，f(x)＝x
(1) 求 f(5.5)的值；
三、解答题
时，f (x＋2)＝f(x)；
f (x)是定义在
R 上的偶函数，在区间(－∞，
(3) 求 2k－1≤x≤2k＋1，k∈Z
时，f(x)的表达式.
0)上单调递增，且满足
f(－a2＋2a－5)1)的反函数，则
判断并证明
f －1(x)的单调性.
使　f -1(x)>1 成立的
x 的取值范围是
f (x) ? log2 (x ? 1)
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[1 ? f ?1(a)][1 ? f ?1(b)] ? 8 ，则 f (a ? b) 的值为（
二、填空题
k>1，f(x)＝k(x－1) (x∈R)，在平面直角坐标系
将一张坐标纸折叠一次，使得点(2，3)与点(3，
y＝f(x)的图象与
2)重合，且点()与点(m，n)重合，则
(x)的图象与
B 点，并且
这两个函数的图象交于
P 点，已知四边形
f(x)＝loga
a≠1)的图象过点(2，
1)，其反函数的图象过点(2，8)，则
(x?(?1,??)) 图象与其反函数图象的
交点坐标为
10．关于反函数给出下述命题：
f (x) 为奇函数，则
f (x) 一定有反函数.
f (x) 有反函数的充要条件是
f (x) 是单调
提高训练题
f (x) 的反函数是
g(x) ，则函数
g(x) 一定有
反函数，且它的反函数是
14．已知函数
，它的反函数的图象过点(－1,
y ? f (x) 的反函数为
y ? f ?1(x) ，若点
y ? f (x) 的图象上，则点
Q(b,a) 一定
f(x)的表达式；
在 y ? f ?1(x) 的图象上.
(2)设 k＞1，解关于
x 的不等式：f(x)·
若两个函数的图象关于直线
y ? x 对称，则这
两个函数一定互为反函数.
则其中错误的命题是
三、解答题
(1) 求 f(x)的反函数；
(2) 求 f(x)的值域.
f(x) log a (x ? x ?1)
(1) 求函数
f(x)的反函数
f -1(x)及定义域；
(2) 若 f -1(n) 0).
(1) 定义：若
(2) 性质：
( a ) ? a ；
3a＝5b＝c，且
n 为奇数时，
? a(a ? 0)
n 为偶数时，
? _______＝
? ? a(a ? 0)
(1) 规定：
(2) 运算性质：
( a ? 0,r(a>0, r、 s ? Q)
( a ? 0,r (a>0, r、 s ? Q)
(a ?b) ? a
(a ? 0(,ba>0,? 0 ,rr、?s ? Q)
注：上述性质对
s ? R 均适用.
(1) 定义：如果
(a ? 0,且a ? 1) ，那么称
为对数的底，N
10 为底的对数称为常用对数，
log10 N 记作
___________．
e(e ? 2.71828?) 为底的对数称为自然
loge N 记作
f(x+2)＝f(x)的奇函数，当
(2) 基本性质：
(负数和零无对数)；②
f( log 1 )
对数恒等式：
loga 1 ? 0
loga a ? 1
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________；
＝____________________________；
③ logaM ＝
换底公式：logaN＝
(a>0，a≠1，
m>0，m≠1，N>0)
a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许
多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好
的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较
方便，而对数式一般应化为同底.
．要能熟练运用初中多项式的各种乘法公式；进
(1) 52log5 ?12 log 51 ? log 3 9 ? 24?log 2 ；
行数式运算时须运用各种变换技巧，如配方、因式分解、
有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等.
(2) (a 5 ?b 5 ) 2 ? 5 a 4 ? 5 b3 (a·b≠0)．
３．解函数与指、对数运算题关键是将所给的表达
式转化到所给的定义域内进行求值.
基础训练题
一、选择题
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A．y3＞y1＞
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y2
2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则
x＋x－1＝3，A＝
x 2 ＋ x 2 ，B＝
x 2 ＋ x 2 ，
的值分别为
5 ， ? 2 5
13．若函数
f (x) ? 4 2 ? a ? 2 ? 在区间[0，2]上的最大
设 a、b、c
是正数，且
3a＝4b＝6c，那么
f(x)＝logax(0 f ( 1 )
C．f ( 1 ) > f ( 1 )> f (2)
1．处理指数、对数函数的有关问题，要紧密联系
)> f (2) > f ( )
函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中
2．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、
则下列结论正确的是
对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用
A．a>1, b1, b>0
．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点
D．0<a<1, b<0
题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于
二、填空题
4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都
若定义在(－1，0)内的函数
f (x)＝log2a(x＋1)满足
以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的
(x)＞0，则
a 的取值范围是
函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综
y＝21－x＋3(x∈R)的反函数是
合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
3 的根，则
基础训练题
10．对于函数
f(x)定义域中任意的
x1，x2(x1≠x2)，有如
一、选择题
f (x ?x ) ? f (x ) ? f (x ) ；
f (x) ? a x (0 ? a ?1) ，对于下列命题：
f (x ?x ) ? f (x ) ? f (x ) ；
若 x ? 0,则0 ? f (x) ? 1 ；
f (x ) ? f (x )
f (x1) ? f (x2 ),则x1 ? x2
f (x ) ? f (x )
其中正确的命题
f(x)＝lgx 时，上述结论中正确结论的序号是
f(x)＝logax，若
a≠1，若函数
f (x)＝ a lg
值，试解不等式
log (x2 ? 5x ? 7) >0.
若指数函数
y＝f (x)的反函数的图象过点(2,
则此指数函数为
log a ? log a ? 0 ，则
12．已知函数
f (x)＝lg(ax－bx)(a >1，0< b<1)
(1) 求 f (x)的定义域；
A．1＜n＜m
B．1＜m＜n
此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直
C．m＜n＜1
D．n＜m＜1
f (x)＝｜logax｜，其中
af (2) > f ( 1 )
y＝logax(a>1，x>1)的图象上有
C 三点，它们的横坐标分别为
m、m＋2、m＋4，
S＝f (m)的值域.
15．求函数
f (x) ? log2
? log 2 (x ?1) ? log2 ( p ? x) 的
值域(p>0).
提高训练题
R 上的奇函数
f(x)有最小正周期
x∈(0，1)时，f(x)＝
(1)求 f(x)在[－1，1]上的解析式；
f(x)在(0，1)上的单调性，并给予证明．
一、解析式：
；2．顶点式
3．奇偶性：①当
4．单调性：①当
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f (x)＝x 的两个实数根为
x1<2<x20)的图象，
x0，求证：x0>－1；
ax2＋bx＋c＝0
| x |? 2,| x ? x |? 2, 求实数 b 的取值范围.
①有两个大于
1 的根的充要条件是
②有一个根大于
1，另一个根小于
1 的充要条件是
x1, x2 满足－1<x1<x2<1
的充要条件是
x1, x2 满足－1<x1<0<x2<1
的充要条件是
1．二次函数的解析式有三种表示形式，在解题中
要恰当地选择一种解析式的形式，其中
f(x)＝a(x＋
2＋ 4ac ? b 的使用率最高.
f (x)＝x2＋ax＋3－a，若
2．二次函数与二次方程、二次不等式密切相关，
2]时，f (x)≥0
恒成立，求
a 的取值范围．
解决二次函数问题时要熟练运用二次方程的韦达定理、
判别式、求根公式，以及二次不等式解集的相关知识.
3．解决二次函数的问题常常要利用二次函数的图
象特征来理解、分析、解决问题.
4．含参数的二次函数讨论问题是二次函数最常见
的问题，题型非常广泛，解决问题时要正确选择分类方
案，一般常以“对称轴”、“开口方向”、“判别式”分类.
基础训练题
一、选择题
a＞0，a－b＋c＜0，其中
均是实数，
已知二次函数
A．b2－4ac＞0
B．b2－4ac≥0
两点，且满足：
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≤0
(y1y2)＝0．
y ? x2 ? bx ? c(x ?[0,??)) 是单调函数的充要
(1) 证明：
f (x) 的图象与
x 轴交于两个不同点；
(2) 设 f (x) 的图象与
x 轴的两个交点为
M(x1, 0)与
N(x2, 0)，且
求证：x1<t1<x2，或
最大值是－5，求
1 ”是“M＝
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
f (x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) ，若 x1＜
x2，x1＋x2＝1－a，则
f (x) ? f (x2 ) B．
f (x1) ? f (x 2 )
f (x) ? f (x2 ) D．不能确定
二、填空题
y ? x ? (a ? 2)x ? 3, x ?[a,b] 的图象关于
x ? 1 对称，则
提高训练题
设二次函数
f(x)≤f( 1 )＝25，其图
y ? f (x) 是定义在
R 上的奇函数，当
f (x)＝2x－x2．
x 轴交于不同两点，且这两点的横坐标的立方
( I ) 求 x0)
AB 所围成的弓形面积的
y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)
2 倍，则函数
y＝f(x)的图象是（
②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b
y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)
2．对称变换：
① y＝f(－x)与
y＝f(x)关于
② y＝－f(x)与
y＝f(x)关于
③ y＝－f(－x)与
y＝f(x)关于
④ y＝f -1(x)与 y＝f(x)关于
⑤ y＝|f(x)|的图象是将
y＝f(x)图象的
⑥ y＝f(|x|)的图象是将
y＝f(x)图象的
3．伸缩变换：
① y＝Af (x) (A>0)的图象是将
y＝f(x)的图象的
② y＝f (ax) (a>0)的图象是将
y＝f(x)的图象的
4．若对于定义域内的任意
f (a－x)＝f (a＋x)
f (x)＝f (2a－x))，则
(a＋x)＝2b
(2a－x)＝2b)，则
作出下述函数图象：
(1) y＝｜x2－2x｜＋1；
(2) y＝ 2 ? x ；
(3) y＝｜log2（｜x｜－1）｜；
已知各项正数的等比数列{an}的首项为
f (x)的表达式，并作出它的图象.
y ? ? f (x ? 2)
y ? f (x ? 2)
f (2x ? 3) 的图象，可由
f (2x ? 3) 的图象经过下
述变换得到
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
(x)的图象如下所
y ? f (x) ? g(x) 的图象可能是下面的
C 的方程是
y ? x3 ? x ，将
轴正方向分别平移
t、s(t≠0)个单位长度后
(1) 写出曲线
C1 的方程；
(2) 证明曲线
(3) 如果曲线
C1 有且仅有一个公共点，证明：
a>1，b<－1
f(x)＝ax＋b
的图象在（
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
1．作函数图象的基本方法是：
D．第一、二、四象限
① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；
f(x)＝ax3+bx2+cx+d 的图象如右图，则（
考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图
A．b∈(－∞，0)
③ 准确描出关键的点线(如图象与
轴的交点，
B．b∈(0，1)
极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).
C．b∈(1，2)
2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.
D．b∈(2，+∞)
3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两
个不同的函数图象对称.
二、填空题
y＝log2(x＋1)的图象与
(x)的图象关于直
基础训练题
x＝1 对称，则
f (x)的表达式是
一、选择题
p)，已知轮船每小时的燃料费
用与船在静水中的速度
v(km/h)的平方成正比，比
x 为年产量，y
为利润，求
(x)的解析式；
例系数为常数
(I)将全程燃料费用
y(元)表示为静
(II) 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，最大
v(km/h)的函数；(II)为了使全程的燃料费
利润是多少？
用最小，船的实际前进速度应为多少？
13．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格
50 亩地，这些地可种蔬菜、棉花和水
调控等手段来达到节约用水的目的.
某市用水收费
稻，如果种这些作物，每亩所需劳力和预计的产值
的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.
如表所示：
用水量不超过最低限量
m3 时，只付基本费
每亩需劳力
每亩预计产值
和每户的定额损耗费
c 元；若用水量超过
除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每
b 元的超额费.
已知每户每月的定额损耗费
该市某家庭今年一月份、二月份和
三月份的用水量和支付的费用如下表所示：
用水量( m3 )
问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有劳力
都有工作，而且农作物预计产值最高？
根据表格中的数据，求
一、选择题（每小题
y ? x 2 ? 2x ， x? [0，3]的值域是
f (x)＝lg(1－
)的定义域是
B．[－1，3]
D．[－1，0]
(x＋b) (a > 0 且 a≠1)的图象过两点(－
C．{x | 0< x < 1}
1, 0)和(0. 1)，则
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a ? x 的反函数
(x) 的图像的对
A．a＝2, b＝2
称中心是（－1，3），则实数a
C．a＝2, b＝1
．老师给出一个函数
，四个学生甲、乙、丙、
下列函数中既是奇函数又在区间[－1,
1]上单调递
丁各指出这个函数的一个性质：
A．f (x)＝sinx
B．f (x)＝－|x＋1|
???,0?上函数递减；
丙：在（0，＋∞）上函数递增；
不是函数的最小值．
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的
a ? log 4 ，那么
64 ? 2log 20 用 a 表示
f (x) ? 3ax ? 2b ? 2 ? a, x?[?1,1], f (x) ?1
b 的最小值是
3a ? (1? a)
15．关于函数
f (x) ? lg
(x ? 0) ，有下列命题：
f (x) 是增函数，当
f (x) 没有反函数.
其中正确命题的序号是
（注：把你认
f (x)＝x2－2ax－3
在区间[1, 2]上存在反函数的
为正确的序号都填上）.
充分必要条件是
三、解答题（共
x 2 ? 2x ? a
, x ? [1,??) .
(??,1] ? [2, ? ?)
(x)是定义在
3 为周期的奇函数，且
内解的个数的
的最小值；
(2) 若对任意的
x ?[1,??), f (x) ? 0 恒成立，试求
a 的取值范围.
的图象与其反函数的图象有交
y ? loga x
点，且交点的横坐标为
B. 0 ? a ? 1 0 ? x0 ? 1
0 ? x0 ? 1 D. 0 ? a ? 1
分）已知二次函数
f (x) ? ax 2 ? bx ( a,b 为常
? x (x ? M )
a ? 0 )满足条件：
f (2 ? x) ? f (x) 且方程
R 的两个非空子集，又规定
f (P)＝{y|y＝f (x),
f (x) ? x 有等根.
x∈P}，f(M)＝{y | y＝f (x), x∈M}，给出下列四个
的解析式；
P∩M＝φ，则
f (P)∩f (M)＝φ；
(2) 是否存在实数
m, n(m0 成立.
(I) 判断函
f (x)的单调性，并证明；
(II) 若 f (1)=1，且 f (x) ? m2 ? 2bm ?1 对所有
x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数}