三阶方阵的方幂
三阶方阵的方幂刘敬贺德新（基础科学部）（计算机系）摘要三阶方阵虽是最基本的矩阵，但是处理这类矩阵问题并不那么简单，例如，求一般三阶方阵的方幂。本文讨论了三阶方阵的对角化及若当标准形问题，并由此给出求一般三阶方阵幂的方法。关键词三阶方阵；特征矩阵；若当标准形中图分类号Ｏ１５１．２１１三阶方阵的对角化及若当标准形设有三阶方阵Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３Ａ的特征矩阵为λＥ－Ａ＝λ－ａ１１－ａ１２－ａ１３－ａ２２λ－ａ２２－ａ２３－ａ３１－ａ３２λ－ａ３３（１）若Ａ的主对角线以外元素全为０，则Ａ本身为对角阵。（２）若Ａ的主对角线以外元素不全为０，记Ａ的特征多项式为：ｆ（λ）＝｜λＥ－Ａ｜＝（λ－λ１）（λ－λ２）（λ－λ３）其中λ１，λ２，λ３为方阵Ａ的特征值。根据矩阵的对角化及若当标准形理论，有下面结论：①若λ１，λ２，λ３互不相等，则Ａ与对角阵相似，即Ａ～λ１λ２λ３．②若λ１＝λ２，且对应该特征值有两...&
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一、引言 众所周知,动力学系统的状态方程式化成能控标准形和能观测际准形,对研究实现间题(包括最小实现),‘专、极点配置问题,能控性和能观测性,以及在观测器设计,展优控制理论和对偶理论中,均有重要意义.怎样化成能控标准形?在通常的控制理论一}G籍〔扣、c2〕.!l,介绍了化成状态方程式如下式:......……一x刊”””””‘·’二 一an.“.,.,二,”,‘.,·,·“‘“·“}x十。三}以一an一乏-…,一al 必(1一1) y“〔1,的方法.严格说来,0,一,0)x十日。u(1一1)式不是能控标准形,而是能化成能控际准形的一种状态方程式.对在文献〔3〕、〔4〕中介绍的化成能控标准形的方法,本文将在).二面提及.与此同时,笔者给}_匕了一种比较简捷的方法.’·‘ 对于化成能观测际准形,大多数书刊只给出了个别类型,笔者给出了一般方法.二、定义 为明确起见,不妨假设我们所研允的对象是具有单输人、单输出的连续的线性定常动力学系统,...&
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说明;本文所采用的符号请参看文献(1),部分关于八一阵的符号参看文献(2)。1梁嘿g绝m。n。。,,。。。。。m。。。,。“”“n””“”’“’““:;;“::t缥嘉:f黯汉:黯:::狐揣。。,即。在 m阶可逆阵P和可逆的 n阶方阵 Q,使—— ,。。=I::工--其中等号右边的矩阵称为A的等价标准形。 。。。。。:。Q-。。卜。。,,A-1,。。AI。m。n。。,A。为r。n。。,。。。。-。 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征,而等价变换保证秩不变,这一点在解决有关问题时具有独特的作用。下面试举两例说明。 例1 设A6MmXn(F),BENnXP(F),证明:秩AB秩A+秩B—n。 。。:。。。c-〔““毛,。,。。。。。。。。。。。。。。q,屿厂··,W。。卜。卜…, — —””””””’\、In BIB。,取 C中,a。,…,a。与 B;,B。,…石。所在列向量 Cl… C。+S,可知 C;··(。+ S线性无关,...&
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数学科学是随着时间推移而逐渐形成和发展起来的一种知识系统.这个知识系统是由一个个分支构成,同时各个分支间之间相互联系、相互交叉、相互作用,从而产生新的分支,促进数学的发展与壮大.任何一个数学分支都是由具体的数学知识和蕴含的思想方法构筑起来的,数学知识是它的“躯体”,思想方法则是它的“灵魂”[1].数学思想方法寓于数学知识之中,是获取知识和发展思维的动力工具.研究数学思想方法对于掌握数学的认识规律,促进数学科学的发展,开展数学教育,培养数学能力,都有积极的作用.因此,在教学中,不仅要注重数学知识的学习、探索、发展,而且要注重数学知识的发生、发展过程中蕴含的思想方法.高等代数是大学数学专业的一门重要的专业基础课,也是理工科大学各专业的重要工具课程,是进一步学习代数的后续课程或其他学科的必备基础.通过这门课的教学有助于学生掌握其内容体系中蕴含的数学思想方法,有助于培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.但是,学生在学习这门课程时往...&
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矩阵标准形的研究是高等代数(线性代数)的核心内容,其相关理论和方法基本上贯穿了整个课程.矩阵标准形的主要类型有:等价标准形,合同标准形,相似标准形,正交标准形及若当标准形.其中,等价标准形因涉及的条件最少而最常用,也是高等代数的考研热点之一.本文结合多年的课程教学实践和体会,通过富有启发性和综合性的考研典型试题的新颖证法,剖析矩阵标准形的典型问题与方法,旨在帮助学生拓宽解题思维,熟练解题技巧,提高应试能力.等价标准形定理[1]对任意的s×n矩阵A,必存在s×s阶和n×n阶的可逆矩阵P,Q使得PAQ=Er00 0,其中r为A的秩.Er00 0称为A的等价标准形.应用等价标准形定理证题的一般思路是:求出A的表达式,再恰当地分解成“乘积”或“和”,使之符合题目要求.其中的难点是恰如其分的分解技巧.命题1设A,B都是n阶矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B)≤n.本命题是高等代数的典型习题与常见结论.一般的证法是根据线性方程组AX=0线...&
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由矩阵的相似标准形理论可知:每个n阶复数矩阵都与一个Jordan矩阵相似,即所谓Jordan相似标准形;对于实对称矩阵的情形,有更好的实对角相似标准形矩阵结论.本文对于文献[1]中所给出一种特殊类型的矩阵─实n元阵,在n=3的情形,研究其相应特殊形式的相似标准形———块对角相似实标准形.1实n元阵的定义定义1设a1,a2,…,an是n个有序实数,称n阶方阵An=a1-an-an-1…-a2a2a1-an…-a3a3a2a1…-a4┇┇┇┇an-1an-2an-3…-ananan-1an-2…a1(1)(2)为实n元阵,简称为n元阵.实一元阵由一个实数确定为A1=[a1];实二元阵、实三元阵、实四元阵分别由2个、3个、4个有序实数确定为A2=a1-a2a2a1;A3=a1-a3-a2a2a1-a3a3a2a1;A4=a1-a4-a3-a2a2a1-a4-a3a3a2a1-a4a4a3a2a1.2实三元阵的特征值与特征变换设x,y,...&
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传真：010-线性代数是科技工作者必备的数学工具，是大学生的重要基础课，对后续发展影响甚大。
本课程主要讲授向量空间和线性变换，作为国家精品课程，在强调基本理论的同时，融入数学建模思想，注重理论联系实际、问题驱动及实验与机算，激发学生学习和运用知识的兴趣，培养解决问题和抽象思维的能力。
课程名称：线性代数
所属学校：西安电子科技大学
负责人：刘三阳&
课程类型：理论课（含实践/实验）
课程属性：公共基础课
课程学时：50.0
学科门类：理学
专业大类：数学类
专业类：数学与应用数学
适用专业：通信 电子 机...
《线性代数》课程介绍
一、课程特点
《线性代数》是工、理、管诸学科共同开设的一门重要的基础理论课程，也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。该课程所体现的几何观念与代数方法之间的联系、从具体概念抽象出来的公理化方法、以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化学生的数学训练，培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。随着计算机及其应用技术的飞速发展，线性代数...
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计算幂和多项式的矩阵方法
第 38 卷第 3 期 2008 年 2 月数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS I N PRA CT ICE AND TH EO R YV o l138　N o 13　 Feb. , 2008　计算幂和多项式的矩阵方法杨胜良1 , 　乔占科2(1. 兰州理工大学 应用
数学系, 兰州　730050) (2. 苏州科技大学 数学系, 苏州　215009)摘要: 　利用 Pascal 矩阵给出了计算幂和多项式的统一方法. 关键词: 　幂和; Pascal 矩阵; Bernou lli 数; Bernou lli 多项式; M A PL E　　n设 n 是正整数, k 是非负整数, 计算形如 S k ( n ) =∑ii= 1k= 1k + 2k + … + n k 的和式的问题称为自然数幂和问题, 简称为幂和问题. 一个众所周知的事实是 S k ( n ) 能表示成 n 的 k + 1 次多项式 S k ( n ) = a k , 1 n + a k , 2 n 2 + … + a k , k + 1 n k + 1 , 我们称之为幂和多项式, 此处 a k , 1 , a k , 2 , …, a k , k + 1 是与 k 有关而与 n 无关的常数. 关于幂和多项式的算法与闭式, 以及幂和多项式的 系数之间的递推关系一直是人们关注的问题, 关于幂和问题的历史发展参见 [ 1―3 ], 关于幂 和多项式的算法与闭式参见 [ 4―9 ], 关于幂和多项式系数之间的递推关系参见 [ 10―11 ]. 本 文利用 Pa sca l 矩阵给出了计算幂和多项式的一种统一方法 . δ 的第 i 行第 j 列的元素 ?, 及 P 设 m 为任意正整数, 定义 (m + 1) × (m + 1) 矩阵 P , P 为:iP ( i, j ) = j -1 1i,若 i Ε j Ε 1, 其它,? ( i, j ) = 　Pi j,若 i Ε j Ε 1, 其它,0,0,δ P ( i, j ) =j -1,若 i Ε j Ε 1,其它. 矩阵 P 叫做Pa sca l 矩阵 [ 12―13 ], 它是取Pa sca l 三角形 ( 即杨辉三角形) 的前 m + 1 行, 在其 右侧填入 0, 得到的下三角矩阵; ? P 是广义 Pa sca l 矩阵, 它是删除 Pa sca l 三角形的第一行和 δ是P ? 的行的非零元 第一列后取前 m + 1 行在其右侧填入 0 得到的下三角矩阵[ 13 ]; 而矩阵 P0,素反转得到的下三角矩阵. 若令 J = d iag ( 1, - 1, …, ( - 1) m + 1 ) 是对角矩阵, 则不难证明 ( 参见 [ 13―14 ] ) P - 1 = ?- 1 ? J PJ , P = J PJ. δ= J P δJ ; P δ P- 1 = J P δJ . ?- 1 P 引理 1　 P 证明　利用组合恒等式 δ) ( i, j ) = ?- 1 P (P收稿日期: ii tt jr=i ri j j -itrj ji和 ∑ ( - 1 ) ir= 0 iri r i= 0 可得ij + 1 j + 1ki.net∑r= j( - 1 ) i-1=∑ (r= j1) i-rj -1r-?
China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.3期i杨胜良, 等: 计算幂和多项式的矩阵方法91j= =r= j - 1∑ (i j -1)i- ri j -i-j + 1 j + 1 j + 1 j + 11 1) irrir-+ ( - 1 ) i+ ( - 1 ) i-i j ji-j + 11i i-0j + 1i1jr= j - 1∑ (i j jj -10= ( - 1 ) i-1i r-δ = (J P J ) ( i, j ).r-δP - 1 ) ( i, j ) = (P= =i∑r= 1 i+ 1 r= j( - 1) r1) ri+ 11 1i1ij i-=∑ (r= j1) r-ji j ji-j + 1 rj j + 1 j + 1 j + 1 j + 11i∑ (i j -jj + 1 rj j j + 1 r-j -1j+ ( - 1 ) i+ ( - 1 ) i-i-j j1iiii-1∑ (r= j j1) r-i-j -1= ( - 1 ) i-i j -δJ , 则由引理 1, P 　　令 P = J P 当m = 4 时 1 0 0 0 1 1 0 0 P = 1 2 1 0 1 3 3 1 1 4 6 41 0 2 3 4 5 0 0 3 6 10 0 0 0 4 10 1 1 1 1δ= P δ P - 1, P - 1 = J P δ- 1J = P δ- 1 P δ- 1. 例如, ?- 1 P ?= P P = P0 0 1 2 3 4 5 0 1 3 6 10 1 - 1 1 - 1 1 0 0 1 4 10 0 2 - 3 4 - 5 0 0 0 1 5 0 0 0 , 0 1 0 0 3 - 6 10 0 0 0 4 - 1021δ = (J P J ) ( i, j ).?= 0 , 　P 0 10 0 0 , 　P = 0 50 0 0 . 0 5δ P =　　设 m 为任意正整数, 我们定义由幂和多项式 S k ( n ) = a k , 1 n + a k , 2 n + … + a k , k + 1 n k + 1 , 0 Φ k Φ m , 的系数组成的矩阵 S 为 a i- 1, j , 若 i Ε j Ε 1, S ( i, j ) = 0, 其它, 称 S 为幂和矩阵. 例如, 前 5 个幂和公式为: S 0 ( n ) =S 1 (n ) = S 2 (n ) = S 3 (n ) = S 4 (n ) =1 2 n + 2 1 3 n + 3 1 4 n + 4 1 5 n + 51 2 1 2 n + 2 1 3 n + 2 1 4 n + 2 1 6 1 2 4 1 3 n 3 1 n. 30ki.net?
China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.92数　学　的　实　践　与　认　识38 卷从而当 m = 4 时, 幂和矩阵1 1 2S =0 1 2 1 2 1 4 00 0 1 3 1 2 1 30 0 0 1 4 1 20 0 0 0 1 5 .1 6 0 1 30δ- 1 P δ- 1 = J P δ- 1J . 下面我们将证明在一般 ?= PP 通过具体数值计算, 我们发现 S = P - 1 = P 情况下上面的等式成立. δ, P ? 有下列关系 定理 1　幂和矩阵 S 与 Pa sca l 型矩阵 P , P , P δ- 1 ? δ- 1 δ- 1 - 1 ( 1) S = P = P P = P P = J P J. 　　为了证明这个定理, 我们需要B ernou lli 数和B ernou lli 多项式的有关知识 . B ernou lli 数 B n 和B ernou lli 多项式 B n ( x ) 定义为下列指数型生成函数的系数:t∞e - 1tet txt= =∑Bn= 0nt , n!n( 2)t . n!n∞e - 1 B ernou lli 数 B n 满足下列递推关系 [ 4 ]:∑Bn= 0n(x )( 3)引理 2　对任意 n Ε 1n∑k= 0n+ 1 kB k = 0,( 4)而 B 0 = 1, B 2 i+ 1 = 0 对任意 i Ε 1. B ernou lli 多项式 B n ( x ) 满足下列互逆关系[ 15 ]. 引理 3nB n (x ) = x =n∑k= 0n kBn- kx , 　n Ε 0;k( 5) ( 6)n n+ 1 1 B k ( x ) , 　n Ε 0. n + 1 k= 0 k∑∞　　证明∞∑n= 0B n (x )nt te = t = n! e - 1ntx∑n= 0Bnt n!n∞∑n= 0xnt = n!n∞n∑∑n= 0 k = 0 nn kB kxn- kt , n!n比较上式两端∞t 的系数即得 ( 5). n! t = n!n∞∑n= 0(B n ( x + 1) - B n ( x ) )∑n= 0B n ( x + 1)∞t n!nn∞∑n= 0B n (x )t te = t n! e tn+ 1t ( x + 1)1 ,-tettxe - 1= te tx = t∑n= 0xnt = n!∞∑n= 0( n + 1) x n( n + 1) !对比上式两端 ( 的系数即得, n + 1) !?
China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ki.nettn+ 13期杨胜良, 等: 计算幂和多项式的矩阵方法93 ( 7)Bn+ 1( x + 1) - Bijn+ 1( x ) = ( n + 1) x n.由 ( 5) 及恒等式Bi tt j=i jB n + 1 ( x + 1) -n+ 1 (x ) =∑k= 0 n+ 1t- j n+ 1 n+ 1 k n+ 1 k n+ 1 kn- k k, 得n+ 1 n + 1B k ( x + 1) kk∑k= 0n+ 1 kB kxn + 1- k= = = = =∑k= 0 nn + 1B k ( ( x + 1) n- k- x n + 1- k )k xj∑k= 0 nBk∑j= 0n+ 1j k j i∑ ∑B Bk= 0 n k j= 0 n- kn+ 1 n+ 1n+ 1 k + jnn+ 1n+ 1x = xi- k jk jn kknxj∑ ∑k= 0 n j= 0k+ j∑ ∑Bk= 0 i= k nn+ 1 i i-i kxi- k∑i= 0n+ 1 i∑k= 0Bki-k=∑i= 0n+ 1 iB i (x ) ,由此及 ( 7) 即得 ( 6). 我们定义 (m + 1) × (m + 1) 的B ernou lli 矩阵 B 为 i- 1 B i- j , 若 i Ε j Ε 1, B ( i, j ) = j - 1 0, 其它, 则 ( 5) 和 ( 6) 可用矩阵表示为:[B 0 ( x ) , B 1 ( x ) , …, B m ( x ) ] T = B [ 1, x , …, x m ] T ,mδ [ 1, x , …, x ] = + P [B 0 ( x ) , B 1 ( x ) , …, B m ( x ) ]T.T( 8) ( 9)其中 + = d iag 1,1 1 δ) - 1 = P δ- 1 + - 1 , 从而 , …, 为对角矩阵. 由此我们得到, B = ( + P 2 m + 1 δ- 1 ( 10) P = B +.S = J B +J .　　定理 2　幂和矩阵 S 可以分解为:( 11)( n + 1) tt nt　　证明　 S k ( n ) 的指数型生成函数为:∞∑k= 0S k (n )t e - e e - 1 - t = e t + e2 t + … + en t = = k! t et - 1 e- t - 1∞k=∑k +k= 0 jnk+ 1t 1 k!j+ 1k∞∑ (k= 0 k+ 11) kB kt . k! k j -k所以, 当 k Ε 0 时,kS k (n ) =∑j= 0( - 1) k -k jBk- jnj + 1=∑nj= 1j( - 1) k -j+ 11Bk- j + 11j,j+ 1从而幂和多项式 S k ( n ) = a k , 1 n + a k , 2 n 2 + … + a k , k + 1 n k + 1 , 0 Φ k Φ m , 的系数 a k , j = ( - 1) k k j- 1 Bk- j+ 11j, 而 幂 和 矩 阵 S 的 元 素 S ( i , j ) = a i-1, j=(-1 ) i-jij -1 1Bi- j1j=?
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China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.ki.net3期杨胜良, 等: 计算幂和多项式的矩阵方法95[ 7 ] 　胡国胜, 张国红. 关于 1k + 2k + …n k 求和的三种方法 [J ]. 数学的实践与认识, ) : 320―323. [ 8 ] 　孙哲. 一个计算幂和多项式的积分递推公式 [J ]. 数学的实践与认识, ) : 149―153. [ 9 ] 　杨志强. 用逐差法求解自然数方幂之和 [J ]. 数学的实践与认识, ) : 136―137. [ 10 ] 　朱伟义. 有关自然数方幂和公式系数的一个新的递推公式 [J ]. 数学的实践与认识, ) : 170―173. [ 11 ] 　朱豫根, 刘玉清. 关于幂和公式系数的一个递推关系式 [J ]. 数学的实践与认识, ) : 164―167. [ 12 ] 　B raw er R , P irovino M. T he linear algeb ra of the Pascal m atrix [J ]. L inear A lgeb ra A pp l,
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(2) : 372―376. [ 15 ] 　 Srivastava H M. R em ark s on som e relation sh ip s betw een the Bernou lliand Eu ler po lynom ials [ J ]. A pp lied M athem atics L etters, ) : 375―380.A M a tr ix Approach to Sum s of In teger Powers1 2 YAN G Sheng 2liang , 　Q I AO Zhan 2ke( 1. D ep a rtm en t of A pp lied M a them a tics, L anzhou U n iversity of T echeno logy, L anzhou 730050, Ch ina ) ( 2. D ep a rtm en t of M a them a tics, Suzhou U n iversity of Scinece and T echeno logy, Suzhou 215009, Ch ina ) Abstract: 　 T he p resen t p ap er gives an un ified m ethod fo r com p u ting the sum s of in teger pow ers by u sing the Pa sca l m a trix. Keywords: 　 sum P B B ern M A PL E?
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二 项式展开式的方法,分块对角矩阵的方法, Jordan 标准形法,最小多项式的方 法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂,进而为 n 阶矩阵的幂运算来提 供...关键词:线性代数;方阵的幂;矩阵;高次幂;方法 方阵的幂的一般计算方法 数学...? 解: A 的特征多项式 ? I ? A =( ? +2) (? ? 1) 2 ,所以 A ...2h 为插值点的 f ( x ) 的二次插值多项式,用 P2 ( x) 导出计算积分 I...xk ?1 第八章 8.1 矩阵特征值 用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值与...实验二 [实验目的] MATLAB 数值运算与符号运算 1.掌握矩阵的定义和使用。 2....对于幂运算,当指数不为整数时的计算方法。 3.P61 基于数值运算的多项式创建、...法、二项式展 开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、 Jordan 标准形法、最小多项式法及 特殊矩阵法等多种方法求解矩阵的高次方幂,在许多实际问题、科学计算中...教育实验学院,电子信息类,13 级) 摘要 关键词 矩阵幂 特征多项式 零化多项式 引言 一般情况下,矩阵幂的计算是比较繁琐的,高等代数教 科书上通常介绍了两种方法...通过运用矩 阵二项式定理及多项式定理, 使得有关计算问题降低一个数量级,并用多...2003 年,姜 海勤发表了特殊方阵高次幂的求法[6]。 本文通过对特殊矩阵幂与...位移和初值(至少取 3 个)分别使 用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量,用反幂法求计算矩阵的按 模最小特征值及特征向量,并比较不同的原点位移和初值说明...矩阵 的元 的计算方法定义为第一个矩阵第 i 行的元素与第二个矩阵第 j 列元素对应乘积的和。 则矩阵 的元素由定义知其计算公式为: (2-4) 【例 2-1】 ...题目 幂法和反幂法求矩阵特征值 具 随机产生一对称矩阵,对不同的原点位移和初值(至少取 3 个) 体 分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量,用反幂法...
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自考 线性代数经管类 41页 方阵的方幂 例题&
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数学归纳法 现新课标 高中 选修2-3的内容主要步骤：1 说明n=1（式子成立的最小值）成立；2 假设 n=k成立；3,证明 n=k+1成立 （需要用到 上面的假设2 ）就可以说明 对所有 自然数 成立
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什么是随堂模式？
随堂模式课程一般为每学期一轮次，课程每周更新，作业、考试有截止时间，由课程提供方老师、助教指导，课程完结，成绩由老师确认后，统一发放证书。
什么是自主模式？
自主模式课程常年开放加入，课件全部开放，作业、考试无截止时间，有学堂在线招募选拔的助教指导，考核通过即可自动获得证书。
线性代数是现代数学的基础之一，在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用，同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。本课程做为清华大学非数学理工科各专业学生重要的必修课程，介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论，强调线性代数的理论与应用的结合。线性代数（1）围绕求解线性方程组，介绍高斯消元法、矩阵的性质运算和分解、向量空间、正交投影与最小二乘法、行列式的性质与计算、特征值特征向量与矩阵对角化、实对称矩阵的性质等基本知识点及其应用。通过本课程的学习，培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备线性代数的基本理论知识，熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法，掌握英文数学术语和表达规范，为后继的学习和提高奠定数学基础。
总引言课前引言第一讲 向量及其运算1.1 引言1.2 n维向量空间中的点1.3 向量1.4 向量空间的定义1.5 向量空间的线性组合1.6 向量的点积、长度1.7 向量的夹角1.8 两个不等式1.9 课后作业第二讲 矩阵与线性方程组2.1 矩阵与向量的乘积2.2 可逆矩阵2.3 线性方程组的行图和列图2.4 课后作业第三讲 高斯消元法3.1 Gauss消元法（上）3.1 Gauss消元法（下）3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵3.3 课后作业第四讲 矩阵的运算4.1 矩阵4.2 矩阵的加法和数乘4.3 矩阵的乘法4.4 矩阵的乘法的性质4.5 矩阵的方幂4.6 关于矩阵乘法的引入4.7 分块矩阵4.8 矩阵的转置4.9 课后作业第五讲 矩阵的逆5.1 可逆矩阵的定义5.2 矩阵可逆的性质5.3 初等矩阵的逆5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆5.5 矩阵可逆与主元个数5.6 下三角矩阵的逆5.7 分块矩阵的消元和逆5.8 课后作业第六讲 LU分解6.1 LU分解6.2 用LU分解解线性方程组6.3 消元法的计算量6.4 LU分解的存在性和唯一性6.5 对称矩阵的LDL^T分解6.6 置换矩阵6.7 PA=LU分解6.8 课后作业第七讲 向量空间7.1 引言7.2 向量空间和子空间7.3 列空间和零空间7.4 阶梯形7.5 课后作业第八讲 求解齐次线性方程组8.1 引言8.2 基础解系8.3 简化行阶梯形的列变换8.4 课后作业第九讲 求解非齐次线性方程组9.1 复习9.2 求特解9.3 解的一般性讨论9.4 课后作业第十讲 线性无关、基与维数10.1 引言10.2 n维空间的坐标系10.3 无关性、基与维数10.4 无关性、基与维数的性质10.5 关于秩的不等式10.6 课后作业第十一讲 四个基本子空间的基和维数11.1 四个基本子空间的基11.2 维数公式11.3 例题11.4 课后作业第十二讲 四个基本子空间的正交关系12.1 引言12.2 四个子空间的正交性12.3 正交补12.4 Ax=b在行空间中的唯一性12.5 课后作业期中考试及成绩查询考试系统入口（进入查看说明）成绩查询第十三讲 正交投影13.1 引言13.2 点在直线和平面上的投影13.3 一般情形13.4 课后作业第十四讲 最小二乘法14.1 复习14.2 最小二乘法14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合14.4 课后作业第十五讲 Gram-Schmidt正交化15.1 引言15.2 正交向量组和正交矩阵15.3 Gram-Schmidt正交化过程15.4 QR分解15.5 课后作业第十六讲 行列式的基本性质16.1 引言16.2 二阶行列式的几何含义16.3 一般行列式的定义16.4 行列式和初等变换16.5 课后作业第十七讲 行列式的计算17.1 行列式计算公式与展开定理17.2 典型例题17.3 课后作业第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义18.1 引言18.2.1 求逆矩阵公式18.2.2 线性方程组的公式解18.3 计算有向长度、面积和体积18.4 和QR分解的联系18.5 课后作业第十九讲 特征值与特征向量19.1 引言和定义19.2 例19.3 特征值的性质19.4 课后作业第二十讲 矩阵的对角化20.1 矩阵可对角化的条件20.2 特征值的代数重数和几何重数20.3 矩阵可对角化的应用20.4 同时对角化20.5 小结20.6 课后作业第二十一讲 特征值在微分方程中的应用21.1 引言21.2 A可对角化的情形21.3 矩阵的指数函数21.4 二阶常系数线性微分方程21.5 微分方程的稳定性21.6 课后作业第二十二讲 实对称矩阵22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量22.2 实对称阵正交相似于对角阵22.3 实对称阵特征值与主元的关系22.4 小结22.5 课后作业结束语总结和预告期末考试考试系统入口（进入查看说明）成绩查询
本课程采用什么教材？
课程成绩如何构成？}