微积分有两种定义： 
这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量，那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数也就从中得到了定义：是两个微小变量的比值=dy/dx。所以导数也被称为微商。这是古典定义，可以看出是非常容易理解的。

2、基于极限的微积分。 
古典微积分虽然直观但是不够严谨，因此全新的微积分定义被发明了，这就是基于极限的微积分。导数首先被严格的定义为了一种极限： 
然后微分在导数的基础上得到了定义：（来源于维基）

从定义可以看出，微分dy被定义为了一个函数，这个函数是y真实变化量ΔyΔy的一个线性近似。ΔyΔy和ΔxΔx是非线性关系，但是dy和ΔxΔx是线性关系。那么在点x处，且ΔxΔx趋近于0时，线性关系中的A值就是函数在x处的导数。所以有： 
可以看出这里dy也可以像古典微积分定义的微分那样被理解为一个微小变化量，只不过其中的含义更深刻了

不定积分的定义 
首先明确一点，一定要区分不定积分和定积分。从概念上说，这是两个定义完全不同的东西。 
不定积分是给定一个函数，求该函数的带有一个常数项的原函数的过程。所以不定积分的结果是一个函数。相比之下，定积分得到的结果是一个数值。

计算不定积分的方法： 
2、不定积分满足加性、齐性。（线性映射的两个性质！） 
暂时把这个定积分看成不定积分。严格的讲，积分表达式中dx这个符号是整体的一部分，并不表示微分的概念。然而，如果把dx当做微分，根据微分的定义，进行第一换元法中的变化就是合情合理的了，因为这个过程其实是将一个微分替换为另一个微分。 
第二换元法是第一换元法的相反过程。把dx分解，x可以看做是一个函数，然而x可以被变换为任何的函数，所以第二换元法更加灵活和困难。 
这是由导数的乘法法则来的。