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高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
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高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答
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高数求极限方法总结及其例题详细解答1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例1.2.5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设，求极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。10.夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0&&2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。例十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大
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原极限=lim(n→∞)x·sinx/(2^n)/[x/(2^n)]显然，当n→∞时，x/(2^n)→0根据等价无穷小：sinx～x于是：原极限=lim(n→∞)x·x/(2^n)/[x&#47解：5）当x=0时，原极限=0当x≠0时
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分子分母同乘根号x(x+1)+x,就成了x/根号x(x+1）+x,再同除x就行，答案1/2
求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41xxx【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim;xxxxxxxx=42．分子分母同除求极限例2：求极限13lim323xxxx【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim13lim501;xxxxxxx【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；(2)nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim516;3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim22xxx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】13)13)(13(lim)13(lim483;xxxxxxxxxx0132lim22xxx例4：求极限30sin1tan1limxxxx【解】)sin1tan1(sintanlimsin1tan1lim3030xxxxxxxxxx41sintanlim21sintanlimsin1tan11lim3;xxxxxxxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx&#(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑X1，最后凑指数部分。【解】1lim121lim11limexxxxxxxxxxx例6：(1)xxx&#lim；(2)已知82limxxaxax，求a。5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex,abxaxxxb~11,21~cos12；(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。例7：求极限0ln(1)lim1cosxxxx【解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.例8：求极限xxxx30tansinlim【解】xxxx30tansinlim&#lim31coslimsinlimxxxxxxxxxx6．用罗必塔法则求极限例9：求极限220)sin1ln(2coslnlimxxxx【说明】或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】220)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim203sin112cos222sinlim20xxxxx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx【解】由于&#)())(()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000xfxduufxdttfxxx=.21)0()0()0(fff7．用对数恒等式求)()(limxgxf极限例11：极限xxx20)]1ln(1[lim【解】xxx20)]1ln(1[lim=)]1ln(1ln[20limxxxe=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00eeexxxxxx【注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限，也可用公式)()(limxgxf)1(=)
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2019考研数学高数第一章知识梳理：函数与极限
11:39:04 |
　2019考研交流群 &&
&　　考研数学一直是很多文科孩子们的&心病&，面对数学的难点和弱项，我们应该及早开始准备。如果不知道如何入手，看看小编分享2019考研高数第一章知识梳理：函数与极限！&
&　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
　　2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
　　3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
　　4.掌握基本初等函数的性质及图形。
　　5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
　　7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
　　8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　9.掌握极限性质及四则运算法则。
　　10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
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(责任编辑：赵白雪)
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