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（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0-δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．
题型：解答题难度：中档来源：北京
（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x0|＜δ时，总有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在点x0处连续；（2）证：由已知f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，所以，由定义，对于给定的ε=f(x0)2＞0，必存在δ＞0，当|x-x0|＜δ时，有|f（x）-f（x0）|＜f(x0)2，从而f（x）＞f（x0）-f(x0)2=f(x0)2＞0即在（x0-δ，x0+δ）内处处有f（x）＞0．
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据魔方格专家权威分析，试题“（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若..”考查相似的试题有：
251495564104454547461304393188559151若函数fx）=x2-1是[-1，1上的“均值函数”，则实数m取值是m∈0，2）；y=f（x）是[ab上的“平均值函数则它的值点x0≥；若fx=l是区间a，b]（ba≥1）上“均值函数，x0是它的一个值点，则lnx0＜．定义：如果数=f（x）定义域内给区间[a，b]上在xa＜x0＜）满足fx0）=，则称函y=f（x是a，b]上的“平数”，x0是它的个均点．例如y=|x是2，]上的“平均值函数”，就是它的均值点出以下命题：其中真命题有．（写出所有真命的号）
考点：命题的真假判断与应用
分析：直利用定义判断的误；利反例判断的；利用定义推出m的范围判断的正利用分法直接证结合的导即可证明的正误．
解：容证明正确．函x）=cosx-1是[-2π，2π]上均值函数”；1就它的均值．令，式等价于2＜t-1t2lnt-t+1t＜0．又x0∈（-，1所以实数的取范围m∈（02）．令，则2=-t22t-1t2=-(t1)2t2＜0，
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点评：本题查定义的应，函数的数以及分析法的应用，考查析解决问题能力．
四川省绵阳高中高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）
江西省鹰潭市余江一中高三（上）第二次模考数学试卷（理科）
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用定义证明sin（1/x）在定义域内连续!定义证明!
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由于所给函数是奇函数,所以不妨设x是定义域内x>0的任一点.又当︱Δx︱x/2于是,Δy=sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)=2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]︱Δy︱=︱sin(1/(x+Δx)-sin(1/x)︱=︱2cos[(2x+Δx)/(2x(x+Δx))]sin[-Δx/(2x(x+Δx))]︱≤︱Δx︱/︱x(x+Δx)︱0,取δ=min{x/2,(x^2)ε/2},则当︱Δx︱
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麻烦证一下y＝x／（X2＋1）在它的定义域内是有界的?
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定义域为R,令t＝x＾2＆gt；＝0则f＝（t＋1）＆＃47；（t＾2＋1）＝t＆＃47；（t＾2＋1）＋1＆＃47；（t＾2＋1）t＝0时,f＝1t＆gt；0时,f＝1＆＃47；（t＋1＆＃47；t）＋1＆＃47；（t＾2＋1）因为t＋1＆＃47；t＆gt；＝2,　故0＆lt；1＆＃47；（t＋1＆＃47；t）＆lt；＝1＆＃47；20＆lt；1＆＃47；（t＾2＋1）＆lt；1因此有：0＆lt；f＆lt；＝3＆＃47；2因此在R内有界
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