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已知x+2y-z=8，2x-y+z=18，则8x+y+z=______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
x+2y-z=8，①2x-y+z=18，②由①×2+②×3，得8x+y+z=70，故答案为：70．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x+2y-z=8，2x-y+z=18，则8x+y+z=______．-数学-魔方格”主要考查你对&&三元（及三元以上）一次方程（组）的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三元（及三元以上）一次方程（组）的解法
三元一次方程的定义:就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数是1的整式方程。如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程。三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。例如：就是三元一次方程组。注：三元一次方程组必须满足：1.方程组中有且只有三个未知数；2.含未知数的项的次数都是1.3.每个方程中不一定都含有三个未知数。
三元一次方程（组）的解：一般的，使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值，叫作三元一次方程的解。三元一次方程组的三个方程的公共解，叫作三元一次方程的解。&三元一次方程组的解题思路及步骤：思路:通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，即准化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.&&类型：类型一：有表达式，用代入法；类型二：缺某元，消某元。还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的。步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;&&②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;&&③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。注意：①要根据方程的特点决定首先消去哪个未知数；②原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次；③将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左右两边的值不相等就不是原方程组的解。例：解方程组：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.解法1：消x②-① 得 y+4z=10 .④③代人① 得5y+z=12 . ⑤由④、⑤解得： 把y=2,代入③，得x=8.∴&& 是原方程组的解.方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标。解法2：消x 由③代入①②得&& 解得：把y=2代入③，得x=8.∴&& 是原方程组的解。
发现相似题
与“已知x+2y-z=8，2x-y+z=18，则8x+y+z=______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
501661179437544096501069415906219195f(x)在R上有连续的导函数,Z=xf(x/y)+2yf(y/x),求Zxy另请问二阶连续有有什么用,难道有＂fxy"?_百度作业帮
f(x)在R上有连续的导函数,Z=xf(x/y)+2yf(y/x),求Zxy另请问二阶连续有有什么用,难道有＂fxy"?
f(x)在R上有连续的导函数,Z=xf(x/y)+2yf(y/x),求Zxy另请问二阶连续有有什么用,难道有＂fxy"?
二阶连续说明f的二阶导数存在并且混合偏导可交换次序
可是f(x)不是一元函数吗，为什么会出现偏倒数呢，而且为什么倒数第三行的第三项，用y求fu的偏导不是。(dfu/du)*(du/dy)呢
f(x)的确是一元函数，但是f(x/y)或f(y/x)就不是一元函数，它是函数u=x/y或v=y/x与g=f(u)或g=f(v)的复合函数，你可以把它看成二元函数g(x,y)
至于求fu关于变量y的偏导数是因为fu是一个关于变量x和y的二元函数
还有当f=f(x)时，无fxy，但是当f=f(y/x)或f(x/y)时，就有fxy
为什么fu关于变量y的偏导数不是(dfu/du)*(du/dy)而直接是(dfu/dy)呢（ 哪个转一圈的符合打不出来 用d代替）
首先，在上式里的dfu/dy=(dfu/du)*(du/dy)，不写成后面那种形式是因为前者更简洁
更何况fu是一个没有给出表达式抽象函数，写成后面那样完全没必要
二阶连续告诉你连续可导，
请你把问题说清楚.我有心回答但不知回答你什么????什么叫二阶连续???还有,符号请规范些......我真心不知道你说的是什么?Zxy 是什么？？？
Zx=f(x/y)+x/y*f'(x/y)-2y/x^2*f'(y/x)Zxy=-1/y^2*f'(x/y)-x/y^2*f''(x/y)-[2/x^2*f'(y/x)+2y/x^3f''(y/x)]Zx表示Z对x的偏导数Zxy表示Zx再对y的偏导数。。求证明一个假设数学公式：如何证明 x-z*x/(x+y)-(x+a)+(z+a)*(x+a)/(x+y+a)这个式子计算的结果是负数?求高手能给证明一下上面这个式子的结果到底是正数还是负数,需要有证明过程,式子1=x-z*x/(x+y)式_百度作业帮
求证明一个假设数学公式：如何证明 x-z*x/(x+y)-(x+a)+(z+a)*(x+a)/(x+y+a)这个式子计算的结果是负数?求高手能给证明一下上面这个式子的结果到底是正数还是负数,需要有证明过程,式子1=x-z*x/(x+y)式
求证明一个假设数学公式：如何证明 x-z*x/(x+y)-(x+a)+(z+a)*(x+a)/(x+y+a)这个式子计算的结果是负数?求高手能给证明一下上面这个式子的结果到底是正数还是负数,需要有证明过程,式子1=x-z*x/(x+y)式子2=(x+a)-(z+a)*(x+a)/(x+y+a)就想比较一下这两个式子哪个比较大，式子2比式子1的x和z分别增加了一个a。而且x、y、z、a都是正数
原式=(z+a)*(x+a)/(x+y+a)-z*x/(x+y)-a=(zx+ax+az+a^2)/(x+y+a)-zx/(x+y)-a=(zx^2+ax^2+azx+a^2x+zxy+axy+azy+a^2y-zx^2-zxy-zxa)/((x+y)(x+y+a))-a=(ax^2+a^2x+axy+azy+a^2y)/(x^2+2xy+y^2+ax+ay)-a=(ax^2+a^2x+axy+azy+a^2y-ax^2-2axy-ay^2-a^2x-a^2y)/(x^2+2xy+y^2+ax+ay)=(-axy+azy-ay^2)/(x^2+2xy+y^2+ax+ay)=ay(z-x-y)/(x^2+2xy+y^2+ax+ay)所以z>x+y,式子1大,如果z=x+y一样大,如果z公考,家教,作文,写作,答案,中考,高考,语文,英语,培训,教师,律师,秘书,文秘,作业,辅导
&>&&>&高等数学李伟版课后习题答案第八章
高等数学李伟版课后习题答案第八章_39000字
习题8—1（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）一个点集E的内点一定属于E，其外点一定不属于E，其边界点一定不属于E，其聚点一定属于E；
（2）开集的所有点都是其内点，开集也称为开区域；
（3）一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心，适当长的线段为半径的圆内； （4）考查二元函数的定义域时，应从两方面去考虑：用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的x,y所对应的点(x,y)的集合（自然定义域）．对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集；
（5）当(x,y)沿某一条曲线趋于(x0,y0)时，函数z?f(x,y)的极限存在，并不能说明极限
(x,y)?(x0,y0)
f(x,y)存在，但如果当(x,y)沿某一条使函数有定义的曲线趋于(x0,y0)
(x,y)?(x0,y0)
时，函数z?f(x,y)的极限不存在，则
（6）为说明极限
limf(x,y)一定不存在；
(x,y)?(x0,y0)
limf(x,y)不存在，通常也采取用当(x,y)沿两条不同曲线趋
于(x0,y0)时，函数z?f(x,y)的极限不相等的方法；
（7）如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)连续，点(x0,y0)必须是函数z?f(x,y)定义域的内点；
（8）若P0是二元函数z?f(x,y)的间断点，那么limf(x,y)一定不存在．
答：（1）前两者都正确，这是根据内点、外点的定义；后两者都不正确，无论是边界点还是 聚点它们都可以是E的点，也可以是非E的点，如当E是闭集是，E的边界点是E的点当
E是开集时E的边界点就不是E的点；又如点(0,0) 是集合E?{(x,y)0?x2?y2?1}
的聚点，但是它不是E的点．
（2）前者正确，这是有开集定义决定的；后者不正确，连通的开集才是开区域，不连通 的开集不是开区域，如E?{(x，y)x?y?4x?}是开集，但是不是开区域．
（3）正确，这就是有界集的定义．
（4）正确，求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域，要从以下几个方面考虑： ①分式中分母不能为零，②开偶次方底数要大于等于零，③对数中真数要于零，④arcsinu、
arccosu中要求u?1，⑤ 若干个式子的四则运算中，取每个式子有意义的交集，等等．
（5）两者都正确，如：极限的???定义决定．
不存在，但是沿y?0取极限时值为1；后者是由
(x,y)?(0,0)x?ylim
（6）正确，这是证明多元函数极限不存在的基本方法，它源于在中，(x,y)?(x0,y0)是以（定义域内的）任意方式实现的．
（7）不正确．如：f(x,y)?
(x,y)?(x0,y0)
limf(x,y)?A
x?y在(0,0)点连续，但是(0,0)点不是函数定义域
D?{(x,y)x?y}的内点．
?xy,x2?y2?0,
（8）不正确．如：点(0,0)是函数f(x,y)??的间断点，但是极限 22
(x,y)?(0,0)
limf(x,y)?0．
2．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所组成的集合（称为导集，用E?表示）和边界?E：
（1）E?{(x,y)x?y?1}；
（2）E?{(x,y)0?x?y?1}； （3）E?{(x,y)y?x?0}；
（4）E?{(x,y)x?y?2,x?y． 解：（1）E是有界闭区域，其导集E??E，其边界?E?{(x,y)x?y?1}．
（2）E是非开非闭的有界区域，其导集E??{(x,y)x?y?1}，其边界
?E?{(x,y)x2?y2?1}?{(0,0)}．
（3）E是无界区域，其导集E??{(x,y)y?x?0}， ?E?{(x,y)y?x?0}．
（4）E是有界开集（不是区域），其导集E??{(x,y)x?y?2,x?y，
其边界?E?{(x,y)x?y?2,x?1}?{(x,y)y??x,x?1}．
3．设函数f(x,y)?
x2?y2，求f(?y,?x)，f(x,?x)．
解：f(?y,?x)?
(?y)2?(?x)2?y2?x2，
f(x,?x)?x2?(?x)2?0．
4．设函数f(x,y)?，求f(x?y,)．
y(x?y)2(1?y/x)(x?y)2(x?y)
解：f(x?y,)???(x?y)(x?y)?x2?y2．
5．设函数z?
y?f(x?1)，已知y?1时，z?x，求f(x)及z的表达式．
解：由y?1时，z?x，有x?1?f(3x?1)，即f(x?1)?x?1?[(x?1)?1]?1，
所以f(x)?(x?1)?1；而z?
y?f(x?1)?y?x?1．
6．设函数f(x?y,x?y)?xy，求f(x,y)的表达式． 解：（方法1）因为
4xyx2?2xy?y2?(x2?2xy?y2)(x?y)2?(x?y)2
f(x?y,x?y)???，
所以f(x,y)?．
（方法2）令x?y?u、x?y?v，则x?
、y?，于是 22
v?uv?uv2?u2y2?x2
f(u，v)?f(x?y,x?y)?xy??，所以f(x,y)?．
7．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：
（1）z?ln(y?x)；
（2）z?arcsiny?
yxln(16?x2?y2)
（3）z?arcsin?；
2222x1?x?y?4?x?y
解：（1）由y?x?0且x?0，得定义域D?{(x,y)y?
（2）由y?x?0及y?1，有x?y?1，得定义域D?{(x,y)x?y?1}．
?1、x?0、x?0、1?x2?y2?0，有x2?y2?1y?xx?0，得定x
义域D?{(x,y)x?y?1,y?x,x?0}．
（4）由16?x2?y2?0、x2?y2?4?0，有4?x2?y2?16，或2?得定义域D?{(x,y)2?
x2?y2?4}．
8．求下列极限：
（2）lim；
(x,y)?(1,1)2x?y(x,y)?(?,1)x2?y2
（4）； limxsin
22(x,y)?(0,1)2xy2(x,y)?(0,0)
(x,y)?(1,1)
sin(x2?y2)
（6）lim．
(x,y)?(1,1)x?yxy?3?2
(x,y)?(1,1)2x?y2?1lim
22(x,y)?(?,1)x2?y2??1lim
tanxy1tanxy111?limlim??1?1?．
(x,y)?(0,1)2xy22(x,y)?(0,1)xy(x,y)?(0,1)y22lim
（4）因为sin
(x,y)?(0,0)
limx?0，所以
(x,y)?(0,0)
(x,y)?(1,1)
xy?1xy?3?2
(xy?1)(xy?3?2)
?lim(xy?3?2)?4．
(x,y)?(1,1)(x,y)?(1,1)xy?1lim
sin(x2?y2)(x?y)sin(x2?y2)
（6）lim?lim?2?1?2． 22(x,y)?(1,1)(x,y)?(1,1)x?yx?y
9．证明下列极限不存在：
（2）lim．
(x,y)?(0,0)x?y(x,y)?(0,0)x2?y2
证明：（1）沿y?kx(k??1)取极限，则lim
x?yx?kx1?k
，当k取不同值?lim?
y?kxx?yx?0x?kx1?kx?0
时，该极限值不同，所以极限
(x,y)?(0,0)x?ylim
（2）先沿y?0取极限，则lim
?lim0?0； 22x?0x?y
sinxysinx21?lim?， 再沿y?x取极限，则lim2
y?xx?y2x?02x22x?0
由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限10．找出下列函数的间断点的集合E：
(x,y)?(0,0)x2?y2
x?ysin(x?y)
（3）z?． 22221?x?yxln(1?x?y)x?yxy
解：三个函数都是初等函数，找间断点只需找函数无定义的点，并且这些点又是定义域的聚点．
（1）函数只在(0，且(0，所以断点的集合E?{(0，0)点无定义，0)是定义域的聚点，0)}．
（2）函数在圆周x?y?1上无定义，且圆周x?y?1上的点都是定义域的聚点，所以断点的集合E?{(x,y)x?y?1}．
（3）函数的定义域D?{(x,y)x?y?0，x?y?0，x?0}，函数在x?y?0及x?0上无定义，这些点中只有x?y?0，及x?0（y?0）是定义域的聚点，所以断点的集合
E?{(x,y)x?y?0}?{(x,y)x?0,y?0}．
习题8—1（B）
1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为x、y（单位：元），两个市场的销售量Q1、Q2各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为件，当售价为12元时，销售量分别为件．如果生产该产品的成本函数是C??Q2)，试用x、y表示该厂生产此产品的利润L．
解：根据已知，设Q1?b1?a1x、Q2?b2?a2y，
由x?10时，Q1?2400；x?12时，Q1?2000，有?
，?b1?10a1?2400
得a1?200 、000，?b1?12a1?2
b1?4400，于是Q1?x．
?b2?10a2?850，
由y?10时，Q2?850；y?12时，Q2?700，有?得a2?75、
b?12a?700，2?2
b2?1600，于是Q2?1600?75y．
两个市场销售该产品的收入为R?xQ1?yQ2??， 该产品的成本C??Q2)???1500y
?0x?1500y． 根据利润等于收入减去成本，得
L???(0x?1500y)
． ?y?200x2?75y2?132000
?1?x2?y222
2．设函数f(x,y)??1?x2?y2 求函数值f(x,y)
?0,x2?y2?1?
解：当R??1时，则x?y?1，于是f(x,y)
当R??1时，则x?y?1，于是f(x,y)3．求函数z?ln[xln(x?y)]的定义域． 解：由xln(x?y)?0，
1?R2?． 1?R2
有x?0且ln(x?y)?0，即x?0且x?y?1，或写作x?0且y?x?1； 或x?0且ln(x?y)?0，即x?0且0?x?y?1，或写作x?0且x?1?y?x， 所以定义域D?{(x,y)x?0,y?x?1}?{(x,y)x?0,x?1?y?x}． 4．求下列极限：
（1）lim；
（2）lim(1?)；
(x,y)?(2,??)(x,y)?(0,0)x2?y2xy
(x,y)?(0,0)
（4）lim．
22(x,y)?(?,?)x4?y4x?y
解：（1）令x2?y2?t，则当(x，y)?(0，0)时，t?0，所以
ex?y?1et?1
lim?lim?1． (x,y)?(0,0)x2?y2t?0?t
或者：因为(x，y)?(0，0)时，e
?1与x2?y2是等价无穷小，所以
ex?y?1x2?y2
lim?lim?1．
(x,y)?(0,0)x2?y2(x,y)?(0,0)x2?y2
1y1（2）lim(1?)?lim[(1?)xy]x?e2?e．
(x,y)?(2,??)(x,y)?(2,??)xyxy
?cos?、y??sin?，则当(x，y)?(0，0)时，??0（其中?在区间
，所以[0，2?)内任意变化）
(x,y)?(0,0)
?lim?cos?sin??0．
x2?y2x2y211
（4）因为0?4， ????4444422
x?yx?yx?yxy
lim(?2)?0，而lim0?0， 根据“夹逼准则”得lim ?0．
(x,y)?(?,?)(x,y)?(?,?)x2(x,y)?(?,?)x4?y4y
5．证明极限lim不存在.
(x,y)?(0,0)x2y2?(x?y)2
?lim0?0， 证明：先沿y?0取极限，lim22
y?0xy?(x?y)2y?0x?0x?0
?lim4?1， 再y?x取极限，lim22
y?xxy?(x?y)2y?xxx?0x?0
由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限lim不存在．
(x,y)?(0,0)x2y2?(x?y)2
?xsin，xy?0，
6．讨论函数f(x，y)??的连续性． xy
解：当xy?0时，f(x，y)?xsin
是连续函数． xy
当xy?0时，满足xy?0的点是x轴上点(x0，0)或y轴上点(0，y0)， 对y轴上点(0，y0)，极限点．
对x轴上点(x0，，当y?0时， 0)（除去(0，0)）极限
(x,y)?(0,y0)
f(x，y)?0?f(0，y0)，这些点是函数的连续
(x,y)?(x0,0)
limf(x，y)?
(x,y)?(x0,0)
不存在（x极限不是零，sin震荡），所xyxy
以这些点是间断点．
综上，函数f(x，y)在点(x0，0)（x0?0）处不连续，其余点处都连续．
习题8—2（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由： （1）极限lim
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
既是x的一元函数z?f(x,y0)在点x0处的导
数，也是二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处对变量x的偏导数； （2）二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件；
（3）二元函数的两个二阶混合偏导数与只要存在就一定相等．
答：（1）正确，这是根据导数与偏导数的定义．
（2）不正确，例如函数z?
x2?y2在点O(0，，0)、z?，0)都0)处连续，但是z?x(0y(0
不存在．事实上：因为lim
z(?x，0)?z(0，0)
不存在，所以z?，0)不存在；x(0
由变量x、y的对称性得，z?，0)也不存在． y(0
（3）不正确．还需要与连续，否则它们不一定相等，如函数
?xy，x2?y2?0，?2
f(x,y)??x?y
?0，x2?y2?0，?
??(0，??(0，??(0，??(0，在点(0,0)处fxy0)??1，fyx0)?fyx0)．事实上， 0)?1，从而fxy
fx?(0，y)?lim
f(h，y)?f(0，y)
f(x，k)?f(x，0)
0)?0， ?lim2y??y，特别fx?(0，
?lim2x?x，特别fy?(0，0)?0， h?0x?k2
fy?(x，0)?lim
??(0，fxy0)?lim
fx?(0，k)?fx?(0，0)?k
lim??1， k?0kk
??(0，fyx0)?lim
fy?(h，0)?fy?(0，0)
2．求下列函数对各个自变量的一阶偏导数：
（1）z?xy?（3）z?（5
（2）z?sin2xy?cos(x?y)； y
ln(x?2y)；
（4）z?ln(x3?lny)；
（6）z?arcsin?xy； x
（7）z?arctan
（8）z?x?y
tan(x2?y2)
（10）u?zy．
解：（1）将函数改写为z?xy?
，?y2??y2??2xy?x?(?y?3/2)?2xy?
?x222xy2xy?y
?2sinxycosxy?y?sin(x?y)?ysin2xy?sin(x?y)， ?x
?2sinxycosxy?x?sin(x?y)?xsin2xy?sin(x?y)． ?y
?x2ln(x?2y)x?2y2(x?2y)ln(x?2y)
． ???(?2)?
?y2ln(x?2y)x?2y(x?2y)ln(x?2y)
?z111?z13x22
?3???3?3x?3
?xx?lnyx?lny?yx?lnyyy(x3?lny)
?zyyyy1?cos?xysin?(?2)?
?zxyy11?cos?xysin???y2xyxxx2
?x?(1?xy)2?xy2xy(1?xy)
?y?(1?xy)2?xy2xy(1?xy)
11?(x?y)?1?(x?y)y
x?y2(x?y)x?y1?()
1?1?(x?y)?1?(x?y)x
x?y2(x?y)2x2?y2
yx2?y2?xy?
由变量x、y的对称性，得．
?y(x?y2)3/2
?usec2(x2?y2)?2x2xsec2(x2?y2)
（9）， ?xzz
tan(x2?y2)?usec2(x2?y2)?(?2y)2ysec2(x2?y2)?u
??，． ???2?zz?yzz
（10）?zylnz??zylnz，?zylnz?(?2)??2zylnz，
?uxy?1x?z?z?zyy
3．求下列函数在指定点的偏导数：
（1）设f(x,y)?
（2）设z?xy?e?(x?1)sec
，求zx(1,0)及zy(1,0)．
解：（1）在x?0、y?0时，将函数改写为f(x,y)?
?xyy2xyxy2xx?y
]x?1????．
（2）因为z(x，所以zx(1,0)?0)?ex?x?1，
因为z(1，y)?y?e，所以zy(1,0)?
??z?1?2?x2?y2,
4．求曲线?在点M(1,1,3)处的切线与y轴正向的夹角．
?y2?x2?y2?y
??z?1?2?x2?y2,
用?表示曲线?在点M(1,1,3)处的切线与y轴正向的夹角，则
tan??，所以??arctan?26?34?．
5．求下列函数的高阶偏导数：
?2z?2z?4z?2z
（1）设z?xy?xy?x?y，求2，2，和22；
?x?x?y?y?x?y
（2）设z?xlnxy，求2，2和； 2
?x?y?x?y?2z?2zx?y?2z
（3）设z?arctan，求2，2和．
x?y?x?x?y?y
?2xy?y2?1，?x2?2xy?1， ?x?y
?2y，2?2x，?2x?2y?2(x?y)， ?x2?x?y?y
?2，22?0． 2
?lnxy?x??lnxy?1，?x??， ?xxy?yxyy
x?3z1?2zy1?2z?2zx1
????????22222
xyx?y?x?yxyy?x?y?xyy
1(x?y)?(x?y)y?2z2xy
??，， ?2222222x?y2(x?y)x?y?x(x?y)1?()
x?y1(x?y)?(x?y)x?2z2xy
?，， ??2222222x?y2(x?y)x?y?y(x?y)1?()
?2zx2?y2?y(?2y)y2?x2
?x?y(x2?y2)2(x?y2)2
6．设函数f(x,y,z)?xyz?y2z?z2x，求fxx(0,0,1)，fxz(1,0,2)和fzzx(2,0,1)．
0，1)?2(x)解：因为f(x，0，1)?x，则fxx(0，
(z2x)因为f(x，0，z)?zx，则fxz(1,0,2)?
fzzx(2,0,1)?2(z2x)
7．设函数z?e
xyx?1、z?2
?z?z?y?0． ?x?y
?z1z?z2x2xz
?2ey?2??3ey??3，所以 证明：因为
?z?z2xz2xz?y?2?(?2)?0． ?x?yyy
?y?． ，证明x
8．设函数z?
证明：因为
?z1yyy?z1y?sin?cos?cos，所以 ?x2xxxxx?yxx
?z?zxyyyyyxyz?y?si?co?co?si?． ?x?y2xxx2x2xx
y?2u?2u?2u
9．设函数u?zarctan，证明2?2?2?0．
?uzyyz?2uxyz
证明：因为，， ??(?)???
?x1?(y/x)xx?y?x(x?y)?uz1xz?2uxyz???
，， ??2222?y1?(y/x)2xx2?y2?y(x?y)
?arctan，2?0，
?2u?2u?2uxyzxyz
所以2?2?2?2??0?0． 22222
?x?y?z(x?y)(x?y)
10．若函数f(x),g(y)都可导，设z?f(x)g(y)，证明． ?z
?x?y?x?y?z?z?2z
?f?(x)g(y)，?f(x)g?(y)，证明：因为?f?(x)g?(y)， ?x?y?x?y?z?z?2z
?f?(x)g(y)f(x)g?(y)?zf?(x)g?(y)?z
习题8—2（B）
1．设一种商品的需求量Q是其价格p1及某相关商品价格p2的函数，如果该函数存在偏导
E??数，称E1??为需求对价格p1的弹性、2为需求对价格p2的交叉
弹性．如果某种数码相机的销售量Q与其价格p1及彩色喷墨打印机的价格p2有关，为
?10p2?p2， p1
当p1?50，p2?5时，求需求对价格p1的弹性、需求对价格p2的交叉弹性．
??2，??10?2p2，
?Qp210p2?2p2?Qp1250
有E1??，E2??， ??
?p1QQp1?p2QQ
当p1?50，p2?5时，Q?120?需求对价格p1的弹性：E1
?50?25?50 50
p1?50、p2?5
p1?50、Q?50
需求对价格p2的交叉弹性：E2
p1?50、p2?5
p2?5、Q?50
2．已知x、y、z满足z?xy3，证明
?z?y?x????1． ?y?x?z
?y1?4/3zy，有， ?z?(?x)?????x33xx3x?x
?3xy2，证明：由z?xy，有由y??y
?z?y?xy1z?x12
，有，得????3xy?(?)???1． 333
?y?x?z3xy?zyy
?2u?2u?2u1
3．设函数u?lnx?y?z，证明2?2?2?2． 22
?x?y?zx?y?z
证明：将函数改写为u?
ln(x2?y2?z2)，则 2
?ux?2ux2?y2?z2?x?2xy2?z2?x2
，2?， ?2?xx2?y2?z2?x(x2?y2?z2)2(x?y2?z2)2
?2ux2?z2?y2?2ux2?y2?z2
由变量的对称性，有2?2，2?2，所以 222222
?y(x?y?z)?z(x?y?z)?2u?2u?2u(y2?z2?x2)?(x2?z2?y2)?(x2?y2?z2)
?x2?y2?z2(x2?y2?z2)2x2?y2?z21
?2． ?222222
(x?y?z)x?y?z
4．设函数f(x,y)满足fyy(x，y)?2，且f(x,0)?1，fy(x,0)?x，求f(x,y)． 解：由fyy(x，y)?2，两边同时对y求不定积分，有fy(x，y)?2dy?2y??(x)，用
x?0代入该式，有fy(x，0)??(x)，根据条件fy(x,0)?x，得?(x)?x，于是
fy(x，y)?2y?x．
上式两边同时再对y求不定积分，有f(x，y)?(2y?x)dy?y?xy??(x)，由条件f(x,0)?1，得?(x)?1，所以 f(x,y)?y2?xy?1． 5．设函数f(x，y)?
xy，求fx?(0，0)及fy?(0，0)．
0)?lim解：fx?(0，
f(?x，0)?f(0，0)
fy?(0，0)?lim
f(0，?y)?f(0，0)
． ?lim0?0（或由变量x、y的对称性求得）
6．设函数f(x，y)??x?y证明在(0， 0)点处f(x,y)的两个偏导数都不存在．
?y?x，?0，
证明：因为极限lim
f(?x，0)?f(0，0)
f(0，?y)?f(0，0)1
不存在，极限lim
?x?0?x?y?0?y
不存在，所以在(0，0)点处f(x,y)的两个偏导数都不存在．
习题8—3（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）称函数z?f(x,y)在(x0,y0)可微分，如果在这一点函数的两个偏导数都存在，并且
(?x,?y)?(0,0)
?z?[fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y]
其中?z为函数f(x,y)在点(x
的全增量，??；
（2）函数在一点可微分，它在这点必连续；
（3）函数在一点可微分的充分必要条件是，在这点的偏导数都存在；
（4）函数z?f(x,y)在一点(x0,y0)的偏导数连续，能保证在这点附近曲面z?f(x,y)可以用平面z?L(x,y)来近似替代，其中
L(x,y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)．
答：（1）正确，可微的必要条件是两个偏导数存在，且A?fx(x0,y0)，B?fy(x0,y0)，
(?x,?y)?(0,0)
?z?[fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y]
?0，有?z?(A?x?B?y)?o(?)，
即．?z?A?x?B?y?o(?)，这就是函数可微的定义．
（2）正确，事实上，由可微，根据定义有?z?A?x?B?y?o(?)，于是
(?x,?y)?(0,0)
(?x,?y)?(0,0)
lim[A?x?B?y?o(?)]?0，这表明函数在该点连续．
（3）不正确，偏导数存在仅仅是可微的必要条件，而不是可微的充分条件，如函数
f(x，y)?xy在O(0，（习题8-2（B）5），但是函数f(x，y)0)两个偏导数都存在且等于零
在O(0，0)不可微．事实上，若可微，则?z?fx(0，0)?x?fy(0，0)?y?o(?)?o(?)，但是lim
?x?y(?x)?(?y)
不存在（分别沿?x?0、?y??x取极限，其值为0
及1/2），这与?z?o(?)矛盾，所以函数f(x，y)在O(0，0)不可微．
函数可微的充分条件是偏导数在该点连续．
（4）正确，若记x?x0??x、y?y0??y，则
f(x，y)?L(x，y)?f(x，y)?[f(x0，y0)?fx(x0，y0)(x?x0)?fy(x0，y0)(y?y0)]
?[f(x0??x，y0??y)?f(x0，y0)]?[fx(x0，y0)?x?fy(x0，y0)?y]??z?dz，
由此得f(x,y)?L(x,y)，这表明在点(x0，y0)附近曲面z?f(x,y)可以用平面
z?L(x,y)来近似替代，这就是所谓的局部线性化．
2．求下列函数的全微分：
（1）z?x2y?y；
（2）z?cos(x?
（3）z?e；
（4）z?lntan
（5）u?ln(x?2y?3z)；
（6）u?z解：（1）因为
?2xy，?x2?，所以dz?2xydx?(x2?)dy．
?z1111?z1??sin(x?)，??sin(x?)?(?2)?2sin(x?)，所以 ?xy?yyyyy
dz??sin(x?)dx?2sin(x?)dy?sin(x?)?(2dy?dx)．
（3）因为??2ex，?e，所以
dz??2exdx?exdy?2ex(xdy?ydx)．
?zxx122x?zxxx2x2x
?cotsec2??cos?cotsec2?(?2)??2cos，
?xyyyyy?yyyyyy
22x2x2x22x
cscdx?2cscdy?2csc?(ydx?xdy) yyyyyy
?u1?u?2?u3???，，，所以 ?xx?2y?3z?yx?2y?3z?zx?2y?3z
dx?2dy3dzdx?2dy?3dz
x?2y?3zx?2y?3zx?2y?3zx?2y?3z
222222?u?u?u
?2xzx?ylnz，?(x2?y2)zx?y?1，所以 ?2yzx?ylnz，?x?z?y
lnz?dx?2yzx
lnz?dy?(x2?y2)zx
x2?y2[2lnz?(xdx?ydy)?dz]．
3．当x?1，y?2时，求函数z?ln(1?4x2?y2)的全微分和局部线性化． 解：因为
?z8x?z?2y?z
??，，?x1?4x2?y2?y1?4x2?y2?x
所以dz?8dx?4dy，
而z(1，2)?ln1?0，
L(x，y)?z(1，2)?zx(1，2)(x?1)?zy(1，2)(y?2)
?0?8(x?1)?4(y?2)?8x?4y．
4．当x?2，y??1，?x??0.1，?y?0.2时，求函数z?的全增量?z及全微分dz．
?zy2?z2y?z解：，??2，?
当x?2，y??1，?x??0.1，?y?0.2时：
(y??y)2y2(?0.8)2(?1)264131
?????????0.1632，
?z?y17?y???(?0.1)?1?0.2????0.1750． (2,?1)
习题8—3（B）
1．一个圆柱形构件受压后发生形变，它的半径由20cm增加到20.05cm，高由100cm减少 到99cm，求此构件体积变化的近似值．
解：设构件的高为h、底半径为r、体积为V，则V??rh．
?2?rh，??r2，于是dV?2?rh?r??r2?h， ?r?h
当r?20、h?100、?r?0.05、?h??1时，
?V?dV??[2?20?100?0.05?202?(?1)]??200???628(cm) ，
即体积大约减少了628 (cm)．
2．计算.023?1.973的近似值． 解：考虑函数z?
x3?y3，取x0?1、y0?2、?x?0.02、?y??0.03，而
，z(1，2)?3、z?，2)?1/2、z?，2)?2，则 x(1y(1
.023?1.973?z(x0??x，y0??y)
?z(x0，y0)?z?x(x0，y0)?x?zy(x0，y0)?y
?3?0.5?0.02?2?(?0.03)?3?0.01?0.06?2.95．
3．设函数z?f(x,y)在点(0，且f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?)， 1)的某个邻域内可微，其中??
x2?y2，求函数z?f(x,y)在点(0，1)处的全微分及局部线性化．
解：在f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?)中，令x?0、y?0，得f(0，1)?1．
在点(0，1)考虑函数z?f(x,y)的全增量：
?z?f(?x，1??y)?f(0，1)?1?2?x?3?y?o(?)?1?2?x?3?y?o(?)，
(?x)2?(?y)2）根据全微分的定义，有
?2?x?3?y?2dx?3dy，并且得fx(0，1)?2、fy(0，1)?3．
L(x,y)?f(0，1)?fx(0，1)(x?0)?fy(0，1)(y?1)
?1?2x?3(y?1)?2x?3y?2．
4．设函数f(x,y)??x?y2 在O(0,0)点处讨论偏导数的存在性、偏导
?0,x2?y2?0,?
数的连续性以及函数f(x,y)的可微性．
解：因为lim
f(?x，0)?f(0，0)
?lim0?0，lim
f(0，?y)?f(0，0)
所以在O(0,0)点处函数f(x，y)的两个偏导数都存在，且fx(0， 0)?0、fy(0，1)?0．再讨论可微性，函数在O(0,0)处的全增量用?z表示，则
(?x)2??y22
??(?x)?(?y)，记，则 ?z?fx(0，0)?x?fy(0，0)?y??z?22
(?x)?(?y)lim
?z?fx(0，0)?x?fy(0，0)?y
不存在（沿?lim
(?x,?y)?(0,0)[(?x)2?(?y)2]3/2
?x?0取极限，其值为0；沿?y??x取极限，其值为1/22），所以函数f(x，y)在
O(0,0)点处不可微．
进而得偏导（函）数在O(0,0)点处不连续（若偏导（函）数在O(0,0)点处连续，根据可微的充分条件，则函数一点可微，与函数不可微矛盾）．
习题8—4（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）对多元复合函数来说，欲求其对自变量的偏导数，借助于树形图比较方便．不论中间变量是几元函数，最终求出的偏导数所含的项数等于从因变量到达该自变量的路径数目，某一项有几个因式，取决于与该项相对应的路径中所含有的线段数目；
（2）对于可微的复合函数z?f(x,u,v)，u?u(x,y)，v?v(x,y)，z对于x的偏导数
?z?z?z?u?z?v???； ?x?x?u?x?v?x
（3）利用全微分形式的不变性，对一个多元复合函数来说可以先求其全微分，最后再得出该复合函数对各自变量的偏导数．
答：（1）正确，这是复合函数的链式求导法则决定的，若
z?f(u，x，y)、u?u(x，y)、x?x(t)、y?y(t)
复合而成，复合函数的树形图为右图，而
dz?z?udx?z?udy?zdx?zdy
dt?u?xdt?u?ydt?xdt?ydt
在图中我们可以看到从变量z到变量t有四条路径，由此导数公式中有四项之和，而每一项中（如第一项）偏导数或导数的个数（3个）等于这条路径上从z到t段数（3段）．
含义不同，左式中表示z对 ?x?x
自变量x求导，它涉及图中三个x，而右式中的仅表示z对中间
（2）不正确，左、右式中的
变量x（一）求导，（当某一个变量在复合函数中有双重身份，既是
区别，此处应当用记 ?x
?f?z?z?f?f?z?f?f?u?f?v
、分别用、）表示，即写作???号（同时．
?x?u?v?u?v?x?x?u?x?v?x
自变量又是中间变量时会出现这种记号混淆情况），为了与左式中
（3）正确，即若某个复合函数的全微分是df?h(x，y)dx?g(x，y)dx（通常这个全微
分是由微分法则与微分形式不变性求得），则合函数求偏导数的方法之一．
2．设函数z?ln(2x?y)，而x?
?h(x，y)、?g(x，y)，这是多元复?x?y
，y?sin2t，求
解：（方法1）函数的复合关系如图，则
dz?zdx?zdy2111?sin2t
????2sintcost?．
dt?xdt?ydt2x?y2t2x?y2t?tsint
（方法2）消去中间变量，有z?ln(2?sint)，按一元函数求导，得
dz2/2?2sintcost1?tsin2t
dt2t?sint2t?sint
（注：具体函数的复合函数都有以上两种方法，并且方法2简单，但是本节的目的在于练习复合函数链式求导方法，所以后面只用方法1求导） 3．设函数z?x2cosy而y?y(x)是x的可微函数，求解：
dz?z?zdydy???2xcosy?x2siny??2xcosy?x2siny?y?(x)． dx?x?ydxdx
4．设函数z?x e解：
，而u?sinx、v?
，求． xdx
dz?z?zdu?zdv
??? dx?x?udx?vdx
sinx?12u?2vu?2vx
?xecosx?2xe(?2)?e(1?xcosx?)．
5．设函数z?ev，而u?x?y，v?x?y，求
?z?z?u?z?v1vu???e?1?2ev?1 解：
?x?u?x?v?xvv
ex?y， ?2e??2
2x?z?z?u?z?v1vuv?ux?y
e． ???e?1?2ev?(?1)?2ev?
(x?y)2?y?u?y?v?yvvv
6．设函数z?(x2?y2)xy?1，求
解：这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数， 为此令u?x2?y2、v?xy?1，则z?u
?z?z?u?z?v2x(xy?1)22
???vuv?12x?uvlnu?y?(x2?y2)xy?1[2?yln(x?y)]， 2?x?u?x?v?xx?y
2y(xy?1)?z?z?u?z?v???vuv?12y?uvlnu?x?(x2?y2)xy?1[2?xln(x2?y2)]． 2?y?u?y?v?yx?y
可以由变量x、y的对称性直接写出） ?y
7．求下列函数的一阶偏导数（其中函数f具有一阶连续的偏导数或导数）：
（1）z?f(xy，x2?y2)；
（2）z?f(，e
（3）z?xf(x?y)；
（4）u?f(x,x?2y?3z,xyz)． 解：（1）
?f1??y?f2??2x?yf1??2xf2?，?f1??x?f2??(?2y)?xf1??2yf2?．
?f1???f2??ex?y?f1??ex?yf2?， ?xyy
?f1??(?2)?f2??ex?y??2f1??ex?yf2?． ?yyy
x2?z2y?z2x
（3?f?xf????f?222222?y?xx?yx?t2x?y
?f1??1?f2??1?f3??yz?f1??f2??yzf3?，
u?f1??0?f2??2?f3??xz?2f2??xzf3?，
?f1??0?f2??3?f3??xy?3f2??xyf3?． ?z
8．设函数z?xyf()，其中f(u)是可微函数，证明x
yx?z?z?y?2z． ?x?y
?yf()?xyf?()?(?2)?yf()?f?()， 证明：因为?xxxxxxx
?xf()?xyf?()??xf()?yf?()，所以 ?yxxxxx
?z?zyyyyy?y?xyf()?y2f?()?xyf()?y2f?()?2xyf()?2z． ?x?yxxxxx
9．设函数z?
f(u)??，其中是可微函数，证明． 222
x?xy?yyf(x?y)
?zyf?(x2?y2)2xyf?(x2?y2)
证明：因为， ??22?2x??22
?xf(x?y)f(x?y)
?zf(x2?y2)?yf?(x2?y2)?(?2y)12y2f?(x2?y2)
?yf(x?y)f(x?y)f(x?y)
1?z1?z2yf?(x2?y2)12yf?(x2?y2)
所以 ???22??22
x?xy?yf(x?y2)yf(x2?y2)f(x?y2)
?z?z和． ?x?y
10．用微分形式不变性求函数z?(1?xy)x的偏导数
解：令u?1?xy，则z?u，则根据微分法则与微分形式不变性，得
dz?d(1?xy)x?d(ux)?uxlnudx?xux?1du ?(1?xy)xln(1?xy)dx?x(1?xy)x?1d(1?xy) ?(1?xy)xln(1?xy)dx?x(1?xy)x?1(ydx?xdy) ?[xy(1?xy)x?1?(1?xy)xln(1?xy)]dx?x2(1?xy)x?1dy
?z?z?xy(1?xy)x?1?(1?xy)xln(1?xy)，?x2(1?xy)x?1． ?x?y
习题8—4（B）
1．在解偏微分方程（含有未知函数的偏导数的方程，也称为数理方程）时，常常要用变量代换将一个复杂的方程化为一个简单的方程，从而可以求其解．设z?z(x,y)具有二阶连续偏导数，若用变量代换u?x?2y，v?x?ay将偏微分方程
?2z?2z?2z?2z
?0，求a的值．
62??2?0化为
?u?v?x?x?y?y
?z?z?u?z?v?z?z?z?z?u?z?v?z?z
????????2?a， ，
?x?u?x?v?x?u?v?y?u?y?v?y?u?v
?2z?2z?u?2z?v?2z?u?2z?v?2z?2z?2z?2???2?2?2?2，
?x?u?v?x?v?u?x?x?u?v?x?u?v?u?v
?2z?2z?u?2z?v?2z?u?2z?v?2z?2z2?z
， ??2(2?)?a(?2)?42?4a?a22
?v?u?y?v?y?u?v?y?u?y?u?v?y?u?v
?2z?2z?u?2z?v?2z?u?2z?v?2z?2z?2z
??????22?(a?2)?a2． ?x?y?u2?y?u?v?y?v?u?y?v2?y?u?v?u?v
由62???0，有
?2z?2z?2z?2z?2z?2z?2z?2z2?z62?12?62?22?(a?2)?a2?42?4a?a?0，
?u?v?u?u?v?v?u?v?u?v?u?v22?2z?2z2?z?(6?a?a)2?0，要化为?0，必须6?a?a2?0，且即(5a?10)
?u?v?u?v?v
由6?a?a?0，即(a?3)(a?2)?0，得a?3或a??2，但是由5a?10?0，
所以只能是a?3．
2．设u?u(x,y,z)有一阶连续偏导数，且满足u(x,2x，x2)?x，ux(x,2x，x2)?x，
uy(x,2x，x2)?uz(x,2x，x2)，求uy(x,2x，x2).
解：令y?2x、z?x2，等式u(x,2x，x2)?x两边同时对x求导，有
ux(x,2x，x2)?1?uy(x,2x，x2)?2?uz(x,2x，x2)?2x?1，
由于ux(x,2x，x2)?x，uy(x,2x，x2)?uz(x,2x，x2)，则（*）式化为
x?(2?2x)uy(x，2x，x3)?1，所以uy(x,2x，x2)?
3．若函数f(u)有二阶导数，且f(0)?0，f?(0)?2，又函数z?f(esiny)满足方程
?2?ze2x，求f(u)． 2?x?y
解：令u?esiny，则z?f(u)，于是
?zdz?u?zdz?u??f?(u)exsiny，??f?(u)excosy， ?xdu?x?ydu?y
?[f?(u)exsiny]?f??(u)(exsiny)2?f?(u)exsiny， 2
?[f?(u)excosy]?f??(u)(excosy)2?f?(u)exsiny， 2
?2z?2z2x2x
由2?2?ze2x，有f??(u)e?f(u)e，即f??(u)?f(u)?0，这是二阶常系?x?y
数线性齐次微分方程，特征方程是r?1?0，特征根为r1?1、r2??1，方程的通解是由条件f(0)?0，f?(0)?2，有C1?C2?0， f(u)?C1eu?C2e?u，f?(u)?C1eu?C2e?u，
C1?C2?2，得C1?1、C2??1，所求所求函数是f(u)?eu?e?u．
4．若函数f(x，y，z)可微，且对任何正实数t有f(tx，ty，tz)?tkf(x，y，z)，证明
xfx?yfy?zfz?kf(x，y，z)．
证明：等式f(tx，ty，tz)?tkf(x，y，z)两边同时对t导，则
?f(tx,ty,tz)?f(tx,ty,tz)?f(tx,ty,tz)
?x??y??z?ktk?1f(x，y，z)，
?(tx)?(ty)?(tz)
记tx?X，ty?Y，tz?Z，则上式为
?f(X,Y,Z)X?f(X,Y,Z)Y?f(X,Y,Z)ZXYZ
??????ktk?1f()，
?Xt?Yt?Ytttt
?f(X,Y,Z)?f(X,Y,Z)?f(X,Y,Z)
?X??Y??Z?kf(X，Y，Z)，将令t?1，得
该式中的X、Y、Z分别用x、y、z表示，则
?f(x,y,z)?f(x,y,z)?f(x,y,z)?x??y??z?kf(x，y，z)，即
xfx?yfy?zfz?kf(x，y，z)．
5．求下列函数的二阶偏导数（其中函数f具有二阶连续偏导数）：
（1）z?f(xy,x?y)；
（2）z?f(x，x?y)；
?yf1??f2?，?xf1??f2?， ?x?y
???????????2yf12???f22??， ?y(yf?f)?(yf?f)?yf
???????????2xf12???f22??， ?x(xf?f)?(xf?f)?xf
???f12??)?(xf21???f22??)?f1??xyf11???(x?y)f12???f22??． ??f1??y(xf11
?z?z?f1??2xf2?，?f1??0?2yf2??2yf2?， ?x?y
???2xf12??)?2f2??2x(f21???2xf22??)?2f2??f11???4xf12???4x2f22??， ?(f11
???0?2yf22??)?2f2??4y2f22??， ?2f2??2y(f21
???2xf22??)?2yf12???4xyf22??． ??2y(f21
6．设z?f[x?g(y)]，其中函数f(u)、g(y)有二阶导数，求2、2及.
?f?[x?g(y)]，?f?[x?g(y)]g?(y)， ?x?y
?{f?[x?g(y)]}?f??[x?g(y)]， 2
?{f?[x?g(y)]g?(y)}?f??[x?g(y)]g?2(y)?f?[x?g(y)]g??(y)， 2
?{f?[x?g(y)]}?f??[x?g(y)]g?(y)． ?x?y?y
7．设z?yf()?xg()，其中函数f(u)、g(u)有二阶导数，证明x2?y?0．
证明：因为
?zx1yyyxyyy?yf?()??g()?xg?()?(?2)?f?()?g?()?g()， ?xyyxxyxxxx
?2zx1yyyyyyy1xy2y??????????
?f()??g()?g()(?)?g()?(?)?f()?g()，22223yyxxxxxyyxx?xxx?2zxx1yyy1y1xxyy?f??()?(?2)?g?()?g??()??g?()???2f??()?2g??()． ?x?yyxxxxxxxyxyyx
?2z?2zxxy2yxxy2y 所以x2?y?f??()?2g??()?f??()?2g??()?0．
?x?x?yyyxyyxxx
习题8—5（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）要使方程F(x,y)?0确定一个隐函数，如果将定理5.1中的条件Fy(x0,y0)?0换 为Fx(x0,y0)?0而其它不变，则该方程仍能确定一个隐函数y?f(x)；
（2）如果函数F(x1，x2，?，xn)满足类似于定理5.1的条件，对各个自变量有连续偏 导数，且对某个变量的偏导数不为零，则n元方程F(x1，x2，?，xn)?0可以确定一个具有连续偏导数的n?1元函数；
（3）若按照教材中的说法，一个方程组可以确定一组多元函数．那么函数的个数等于 方程组中方程的个数，函数的元数等于方程中所含变量的总个数减去方程的个数；
（4）若方程组?
?F(x,y,u,v)?0,
能确定两个二元隐函数u?u(x,y),v?v(x,y),那么通
G(x,y,u,v)?0?
过对该方程组中的各个方程的两边对同一个变量x求导，就可以得到含有ux,vx的方程组，通过解这个方程组，就可以求得ux,vx．
答：（1）不正确，如方程x2?y2?1（其中F(x，y)?x2?y2?1），在点(1，0)处有
Fx(1，0)?2xx?1?2?0，但是它不能确定一个隐函数y?f(x)，因为在这点左侧附近给
定一个x对应有两个y值，在这点右侧附近没有y值对应；当Fx(x0,y0)?0且其它条件不变时，可以确定一个一元函数x?g(y)．
（2）正确，这是定理5.1的推广．
（3）正确，但是要注意两点，一是变量的个数需大于方程的个数（否则方程组可能只确定一点，或者无解）；二是要满足隐函数存在的条件（超出教学要求，此处略去）．
（4）正确，如同例5.4、例5.5等的解法． 2．若函数y?y(x)分别由下列方程确定，求
（1）y?1?xsiny；
（2）y?x?e；
（3）x?y?arctany；
（4）x?y．
解：（1）（方法1）设F(x，y)?y?1?xsiny，则Fx??siny、Fy?1?xcosy，
dxFy1?xcosy
?siny?xcosy，解得dxdx
（方法2）方程y?1?xsiny两边同时对x求导，有
（注：两种方法最大的差别在于：方法1中在求Fx、Fy时x、y都看作自变量，而方法2在求导过程中y要看作x的函数．尽管方法1简单一些，但是它有局限性，只适用于求一个方程确定的隐函数的一阶导数或偏导数，而方法2适用于各类隐函数的各阶导数或偏导数的求法，后面一般都按方法2作）
（2）方程y2?x?ey两边同时对x求导，有2y
dydydy1?1?ey，解得． ?dxdxdx2y?ey
（3）方程x?y?arctany两边同时对x求导，有1?
，得． ???1?
dx1?y2dxdxy2
（4）方程x?y两边取对数，有ylnx?xlny，该式两边同时对x求导，有
dydydyyxdy
xylnx?y2?xylny?x2，即，解得 lnx??lny?
dxdxdxxydx
dyy2?xylnyy2?y2lnxy2(1?lnx)
dxx2?xylnxx2?x2lnyx2(1?lny)
3．设函数y?y(x)分别由下列方程确定，求2．
（1）y?x?siny；
（2）y?1?xe．
解：（1）方程y?x?siny两边同时对x求导，有
?1?cosy，得?， dxdxdx1?cosy
(1?cosy)?xd2ysinydy?siny
dx(1?cosy)(1?cosy)dx(1?cosy)
（2）方程y?1?xe两边同时对x求导，有
?ey?xey?ey?(y?1)，解得 dxdxdx
dydy?(2?y)?ey?(?)2y?e(3?y)．
(2?y)2(2?y)3
4．若函数z?z(x,y)分别由下列方程确定，求
（1）zy?xz?1；
（2）x?y?z?2xyz；
（3）sin(xyz2)?xyz2；
xz?ln． zy
解：（1）（方法1）设F(x，y，z)?z2y?xz?1，则Fx??z、Fy?z2、Fz?2yz?x，
FyFx?zz?zz2
所以． ???????
?xFz2yz?x?yFz2yz?x
（方法2）方程z2y?xz?1两边对x求导，有2yz
?z?x?0，得?， ?z?z?x2yz?x
方程zy?xz?1两边对y求导，有2yz． ???z?x?0，得
?y?y?y2yz?x
（以下都按方法2作）
（2）方程x2?y2?z2?2xyz两边同时对x求导，有2x?2z
?2yz?2xy，得 ?x?x
?， ?xz?xy
方程x2?y2?z2?2xyz两边同时对y求导，有2y?2z
?2xz?2xy，得 ?y?y
?zy?xz?zy?xz
??（或由变量x、y的对称性，得）． ?yz?xy?yz?xy
)?yz2?2xyz， ?x?x
)?0，而cos(xyz2)?1?0，所以yz2?2xyz?0，即[cos(xyz)?1](yz?2xyz?x?x
（3）方程sin(xyz)?xyz两边对x求导，有cos(xyz)?(yz?2xyz
??得，由变量x、y对称性有． ????
?y2y?x2xyz2x
?ln改写为x?z(lnz?lny)， zy
?zz?zz1?zx?z
?ln?z?(?1)，得， ?xx?z?xyz?xz?x
方程x?z(lnz?lny)两边对x求导，有1?
?zz1?z1?zz2
ln?z(?)，得?方程x?z(lnz?lny)两边对y求导，有0?． ?yyz?yy?yy(x?z)
5．若函数x?x(y,z)，y?y(x,z)，z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0确定的隐函数，
其中F(x,y,z)有一阶连续非零的偏导数，证明
?x?y?z????1． ?y?z?x
证明：因为
Fy?yFF?x?z
????z??x，所以 ?yFx?zFy?xFz
FyFF?x?y?z
???(?)?(?z)?(?x)??1． ?y?z?xFxFyFz
6．设函数z?x，而函数y?y(x)由方程x?y?ey确定，求全导数解：方程x?y?ey两边同时对x求导，有1?
dydydy1?ey?，得， ydxdxdx1?e
xylnxdz?z?zdydyy?1y?1y
???yx?xlnx?yx?．
ydx?x?ydxdx1?e
7．设函数u?e
，而函数y?y(x)、z?z(x)分别由方程y?exy及
xz?ez确定，求全导数
dydydydyy2xy
?e(y?x)?y(y?x)，解：方程y?e两边同时对x求导，有得， ?dxdxdxdx1?xy
方程xz?e两边同时对x求导，有z?x
?ez?xz?，得，所以 dxdxdxdxxz?x
du?u?udy?udzy2zxyzxyz
????yze?xze?xyexyz
dx?x?ydx?zdx1?xyxz?xxy2zyz
?e(yz??)．
8．设函数u?xyz，而z?z(x,y)由方程x?y?z?3xyz确定，求
解：方程x?y?z?3xyz两边同时对x求导，有
?3(yz?xy)，用x?1、y?1、z?1代入，有 ?x?x
(1,1,1))，得
?u?z?u?2xyz2?3x2yz2，所以?x?x?x
习题8—5（B）
1．某工件的外表面是一个椭球面，方程由x?y?z?xz?yz?5给出，现在点(1，1，1)
处要将其局部线性化（即做一个切平面），求局部线性化表达式．
解：设方程x2?y2?z2?xz?yz?5在点(1，1，1)确定的隐函数为z?z(x，y)，
方程x2?y2?z2?xz?yz?5两边对x求导，有2x?2z用x?1、y?1、z?1代入，有3?4
?z?x?y?0，?z?z?z3
??，由变量x、y对称性，
(1,1)(x?1)?
L(x,y)?z(1，1)?
?1?(x?1)?(y?1)??x?y．
2．若函数z?z(x,y)由方程z?3xyz?1确定，求．
解：方程z3?3xyz?1两边对x求导，有3z
?z?z?zyz?3(yz?xy)?0，得， ?2?x?x?xz?xy
由变量x、y的对称性，得
?(yz?xy)?0两边同时对y求导，有 ?x?x
2?z?z?z?z?2z2?z
2z?z?(z?y?x?xy)?0， ?y?x?x?y?y?x?x?y
?2zxzyzxyz2z(z4?2xyz2?x2y2)
即(z?xy) ?z?y2?x2?2z2?222
?x?yz?xyz?xy(z?xy)(z?xy)
z(z4?2xyz2?x2y2)?2z
所以． ?23
?x?y(z?xy)?2z?yz或?(2) ?x?y?yz?xy
?z2?z)(z?xy)?yz(2z?x)
z(z4?2xyz2?x2y2)?y?y
(z2?xy)2(z2?xy)3
3．若函数z?(x,y)由方程f(xz,eyz)?0确定，其中f(u,v)是可微函数，求
解：方程f(xz,eyz)?0两边同时对x求导，有f1??(z?x
?z?z)?f2??eyz?y?0，解得 ?x?x
?xxf1??yef2?
方程f(xz,eyz)?0两边同时对y求导，有f1??x
?f2??eyz(z?y)?0，解得 ?y?y
?zeyzf2??z
?yxf1??yeyzf2?
4．若函数z?z(x,y)由方程
??f(?)确定，其中f(u)是可微函数，证明zxyx
?y2?z2． ?x?y
??f(?)两边同时对x求导，有?2?2?f?(?)2，得 zxyxyxxz?xx
证明：方程
?2[1?f?(?)]， ?xxyx
1?z1111111
??f(?)两边同时对y求导，有?2?f?(?)(?2)，得 zxyxyxz?yy
?2f?(?)， ?yyyx
?y2?z2[1?f?(?)]?z2f?(?)?z2． ?x?yyxyx
5．设函数z?f(u)，而u?u(x,y)由方程u??(u)?
其中函数P(t)连续，P(t)dt确定，
f(u)、?(u)可微，且??(u)?1，求P(x)
?P(y)． ?y?x
?u?P(x)?u?u
???(u)?P(x)，?得， ?x?x?x1???(u)
解：方程u??(u)?
有P(t)dt两边对x求导，
方程u??(u)?
有P(t)dt两边对y求导，
?uP(y)?u?u
?得． ???(u)?P(y)，
?y1???(u)?y?y
?z?u?P(x)f?(u)?z?uP(y)f?(u)
?f?(u)??f?(u)?，所以
???x?x1??(u)?y?y1??(u)
?z?zP(x)P(y)f?(u)P(y)P(x)f?(u)P(x)?P(y)???0．
?y?x1???(u)1???(u)
6．求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）?
?x?y?z?1，dydz
求和． 222
dxdx?x?y?z?4，
?x?eu?usinv，?u?u?v?v
（2）? 求及． u
?x?y?x?yy?e?ucosv，?
?1?dx?dx?0，?x?y?z?1，
解：（1）方程组?2两边同时对x求导，有? 22dydz?x?y?z?4?2x?2y?2z?0，
dzdydydyz?xdzdyx?y
?z(1?)?0，得，有x?y，而． ???1??dxdxdxdxdxy?zdxy?z
?x?eu?usinv，
（2）方程组?两边同时对x求导， u
?y?e?ucosv
?u?v?u?u1?e?sinv?ucosv，??x?x?x有?
?0?eu?cosv?usinv.
（1）?sinv?（2）?cosv，有sinv?e(sinv?cosv)
?usinv?vcosv?eu
?得，再代入到（2）之中得． ??x1?eu(sinv?cosv)?xu[1?eu(sinv?cosv)]
?u?v?u?u0?e?sinv?ucosv，??x?eu?usinv，??y?y?y
方程组?两边同时对求导，有 ?u?u?u?v
?y?e?ucosv?1?eu?cosv?usinv.
?u?cosv?vsinv?eu
?与前面解法类似，得，． ?
?y1?eu(sinv?cosv)?yu[1?eu(sinv?cosv)]
习题8—6（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）如果曲线的参数方程为?y?y(t), （a?t?b），那么它就对应一个向量值方程
r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k,若x?(t),y?(t),z?(t)存在并且不同时为零，那么，曲线在相应点
处的切向量为(x?(t),y?(t),z?(t))，由此利用直线的点向式方程就可写出该点处的切线方程；
（2）求曲线的切线方程与法平面方程的关键是求切向量，而其中又以参数方程为基础，其它形式的曲线方程都划归为参数方程，找出相应的切向量，然后写出要求的方程；
（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程F(x,y,z)?0为基础进行讨论的，如果曲面方程为z?f(x,y)的形式，那么必须把它化为F(x,y,z)?0的形式，其中
F(x,y,z)?f(x,y)?z，因而它在点M(x0,y0,z0)处的法向量一定为n
?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)，切平面方程为：
fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0；
（4）如果曲线为一般方程?
?F(x,y,z)?0,
那么，曲线在M(x0,y0,z0)点的切向量可取
?G(x,y,z)?0,
答：（1）正确，这就是曲线为参数方程时，切线方向向量的求法．此时切线方程为
x?x0y?y0z?z0
x?(t0)y?(t0)z?(t0)
法平面方程为
x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0．
（2）正确，对参数方程x?x(t)、y?y(t)、z?z(t)，在t?t0处的切向量
T?(x?(t0)，y?(t0)，z?(t0))；
对形如x?x(z)、y?y(z)的取向方程，将变量z看作参数，在z?z0处的切向量
T?(x?(z0)，y?(z0)，1)
?F(x，y，z)?0，
对一般方程?按隐函数它可以确定两个一元函数，如x?x(z)、
G(x，y，z)?0，?y?y(z)，按隐函数求导方法得到x?(z)、y?(z)，从而得在z?z0处的切向量
T?(x?(z0)，y?(z0)，1)．
（3）不确切，曲面z?f(x,y)的法向量可以直接由n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)给出， 也可以由n?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1)给出．
（4）正确，设曲面F(x，y，z)?0在M0点处的法向量为n1?(Fx,Fy,Fz)
G(x，y，z)?0在M0点处的法向量为n2?(Gx,Gy,Gz)
，根据法平面的定义有
，于是可取T?n1，T?n2T?n1?n2?Fx
2．空间一质点M在时刻t时的位置为r(t)?acost?i?asint?j?bt?k，求质点在
t??/2时刻的速度v．
????????dr
解：v()?t??/2?[?asint?i?acost?j?b?k]t??/2??ai?bk．
3．求曲线r(t)?ti?tj?tk在点M(?1，1，?1)处的切线及法平面方程．
?解：点M(?1，1，?1)对应参数为t??1，切向量T?(1，2t，3t2)t??1?(1，?2，3)，
切线方程为
法平面方程为(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0，即x?2y?3z?6?0． 4．求曲线x?方程．
解：切点为M(2cost2cost，2sint)
2cost，y?2cost，z?2sint在对应于t??/4的点处的切线及法平面
?M(1，12)，
切向量T?(?2sint，?2sint， 2cost)t??/4?(?1，?12)??(1，1，?2)，
切线方程为
法平面方程为(x?1)?(y?1)?2(z?2)?0，即x?y?2z?0． 5．求曲线y?1?x，z??2x?2x2在点M(1，0，1)处的切线及法平面方程． 解：y?(x)??1、z?(x)?
1?2x?2x?2x2
，切向量T?(1，y?(x)，z?(x))x?1?(1，?1，?1)，
切线方程为
??， 1?1?1
法平面方程为(x?1)?(y?0)?(z?1)?0，即x?y?z?0．
?x2?y2?z2?6,
6．求曲线?在点M(1，2，1)处的切线及法平面方程．
解：设F(x，y，z)?x2?y2?z2?6、G(x，y，z)?x?y?x，则切向量
Gx?jFyGy?kFzGz
??ij?241?1?k
2?(6，0，?6)?6(1，0，?1)， 1
切线方程为
法平面方程为(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0，即x?z?0． 7．求曲面x?
，1，4)处的切平面及法线方程． y?z?4在点M(1
解：设F(x，y，z)?x?y?z?4，则
)M?(2，2，1)，
法向量n?(Fx，Fy，Fz)
切平面方程是2(x?1)?2(y?1)?(z?4)?0，即2x?2y?z?8?0， 法线方程是
8．求曲面z?xy在点M(1，2，2)处的切平面及法线方程． 解：法向量n?(zx，zy，?1)
?(y，x，?1)M?(2，1，?1)
切平面方程是2(x?1)?(y?2)?(z?2)?0，即2x?y?z?2?0， 法线方程是
x?1y?2z?2??． 21?1
习题8—6（B）
1．求曲线x?
2cost，y?2sint，z?
t（0?t??）上平行于平面x?y?4的切
线方程，并写出该点处的法平面方程．
解：设切点坐标为M(x0，y0，z0)，该点对应参数t?t0，曲线在该点的切向量为
T?(?2sint02cots0，4/?)，由切线与平面x?y?4平行，有T?(1，1，0)，
得?2sint0?2cost0?0，即sint0?cost0，由于0?t??，所以t0??/4．
切点坐标为M(2cost02sint0，4t0/?)?(1，1，1)，
，1，4/?)?(??，?，4)，
切向量T?(x?(t0)，y?(t0)，z?(t0))?(?1
切线方程为
法平面方程为??(x?1)??(y?1)?4(z?1)?0，即?x??y?4z?4?0． 2．在椭球面x2?2y2?3z2?12上求平行于平面x?4y?3z?0的切平面方程．
解：设切点坐标为M(x0，y0，z0)，F(x，y，z)?x2?2y2?3z2?12，则法向量
n?(Fx，Fy，Fz)M?2(x0，2y0，3z0)，
由切平面平行于平面x?4y?3z?0，有
??，即y0?2x0、z0?x0，代入143
到曲面方程之中，有12x0?12，得x0??1，切点为(1，?2，?1)， ，2，1)或(?1
在(1，2，1)点，切平面为(x?1)?4(y?2)?3(z?1)?0，即x?4y?3z?12?0； 在(?1，?2，?1)点，切平面为(x?1)?4(y?2)?3(z?1)?0，即x?4y?3z?12?0． 3．问旋转抛物面z?
(x?y2)上哪一点处的切平面过曲线x?t2，y?t，z?3(t?1)4
在点M(1,1,0)处的切线．
解：设切点坐标为M0(x0，y0，z0)，则法向量
n?(zx，zy，?1)
?(x0/2，y0/2，?1)?
(x0，y0，?2)， 2
切平面方程为x0(x?x0)?y0(y?y0)?2(z?z0)?0，即
x0x?y0y?2z?x0?y0?2z0?2z0．
曲线x?t，y?t，z?3(t?1)在点M(1,1,0)对应参数t?1，曲线在点M(1,1,0)
处的切向量T?(2t，1，3)t?1?(2，1，3)．
由M0(x0，y0，z0)在曲面z?
(x?y2)上，有 4
122(x0?y0)．
由切平面过M(1,1,0)，有
x0?y0?2z0．
曲线x?t，y?t，z?3(t?1)在点M(1,1,0)处的切线在切平面上，有T?n
所以T?n?0，即
2x0?y0?6?0．
由方程①、②、③式解得x0?2、y0?2、z0?2或x0?于是所求点为(2,2,2)或(
1269、y0?、z0?，555
4．证明二次曲面ax2?by2?cz2?k在点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
ax0x?by0y?cz0z?k．
证明：设F(x，y，z)?ax2?by2?cz2?k，则曲面在M(x0,y0,z0)的法向量
n?(Fx，Fy，Fz)
?(2ax0，2by0，2cz0)?2(ax0，by0，cz0)，
切平面方程为ax0(x?x0)?by0(y?y0)?cz0(z?z0)?0，即
ax0x?by0y?cz0z?ax0?by0?cz0?k．
5．证明曲面xyz?a（a?0）上任一点处的切平面与三个坐标面围成的立体体积为定值． 证明：设M0(x0，y0，z0)是曲面上任一点，F(x，y，z)?xyz?a，则曲面在
M0(x0，y0，z0)处的法向量n?(y0z0，x0z0，x0y0)，切平面方程为
y0z0(x?x0)?x0z0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0，
即y0z0x?x0z0y?x0y0z?3x0y0z0，改写为截距式方程
切平面与三个坐标面围成的立体体积为
xyz???1． 3x03y03z0
3x0?3y0?3z0?a（定值）． 62
习题8—7（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
（1）所谓函数在点P沿l的方向导数，是说若函数在点P的某邻域有定义，l是过P的
直线，当动点沿l变动时，函数相应的变化率； （2）在方向导数的定义
f(x0?tcos?,y0?tsin?)?f(x0,y0)
分母是一个正数，它是动点与定点间的距离，因此，方向导数是函数关于距离的变化率，而偏导数的定义
(x0,y0)?lim
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
中，分母是自变量的增量，
它可正可负，因此，偏导数是函数关于自变量增量的变化率；
（3）当函数在一点的偏导数存在时，函数在这点沿任何方向的方向导数都存在； （4）当函数在一点沿任何方向的方向导数都存在时，函数在这一点的偏导数一定存在； （5）某函数的梯度是一个向量，在函数确定的情况下，它仅由点来决定；
（6）函数在一点处沿各个不同方向的方向导数可能是不同的，它与这点的梯度有关，还与方向与梯度的夹角有关．
??答：（1）不正确，在方向导数中，l是以P为起点的向量，方向导数是函数沿l方向上的变
化率，而不是沿直线l上的变化率．
（2）正确，正是因为t?0，才表明这方向导数是函数沿l方向上的变化率，就是方向导?
数的实际意义．另外要注意在方向导数的定义中，动点要在射线l上．
?3xy?，y?2x?0，
（3）不正确，如函数f(x，y)??y?2x在点O(0，0)处两个偏导数都存?0，y?2x?0?
在，但是在点O(0，0)处沿???/4方向上的方向导数不存在．事实上，
f(h，0)?f(0，0)
?0)?li?lim0?0，
fy?(0，0)?lim
f(0，k)?f(0，0)
即在点O(0，0)处两个偏导数都存在．但是，因为极限（其中取???/4）
f(tcos?，tsin?)?f(0，0)
不存在，所以在点O(0，0)处沿???/4方向上的方向导数不存在(其实本例在原点处只要不沿平行于坐标轴及直线y?2x方向，其方向导数都不存在)．
当函数在某点可微或偏导数连续，才能保证在该点沿任何方向上的方向导数存在．
（4）不正确，如函数z?
x2?y2在(0,0)点两个偏导数都不存在（前面证明过），但
是它在在(0,0)沿任何方向上的方向导数都存在，且等于1．事实上，对任何?，
f(tcos?，tsin?)?f(0，0)
t2cos2??t2sin2?t
?lim?lim?1， t?0?t?0?tt
（5）正确，这是由梯度定义gradf(x0,y0)?(fx(x0,y0)，fy(x0,y0))确定的．
（6）正确，事实上，函数在P0(x0，y0)沿l方向上的方向导数可以写为
?gradf(x0,y0)cos?,
其中?是方向l与梯度gradf(x0,y0)的夹角，由此可见它与这点的梯度有关，还与l方
向与梯度gradf(x0,y0)的夹角有关．
2．求函数z?xy在点P(1，2)处沿从P到Q(4，?2)方向上的方向导数．
???34解：l??(3，?4)，l的单位向量el?(，?)，
()P?(y，x)P?(2，1)（即gradz(1，所以 ，2)）?x?x?z34642
?(2，1)?(，?)???． P
3．求函数z?ln(e?e)在原点处沿与x轴正向成
角的方向上的方向导数．
1?z，由对称性2?y
(0,0)sin??
(0,0)cos??
4．求函数u?x?y?z?xyz在点M(1，2，2)处沿点M的向径方向上的方向导数．
)， 解：l??M?(1，2，2)，l的单位向量el?(333
gradu(1，2，2)?(2x?yz，2y?xz，2z?xy)
?(?2，2，2)，所以
?graud(1，2，2)?el?(?2，2，2)?()?????2．
5．求下列函数的梯度：
（1）f(x,y)?
x2?y2，在点P(3,4)处；
（2）f(x,y)?arctanxy，在任意点(x,y)处； （3）f(x,y,z)?
，在任意点(x,y,z)处；
解：（1）gradf(3，4)?(
)(3,4)?()(3,4)?()．
?x?y55x2?y2x2?y2
（2）gradf(x,y)?(
?f?fyx)?()． ?x?y1?x2y21?x2y2
?f1?f2xz?f2yz
，， ，所以 ?????
?z1?x?y?x?y(1?x?y)(1?x?y)
(1?x?y)(1?x?y)1?x?y
gradf(x,y,z)?(?
6．问函数f(x,y,z)?x?xy?z在点P(1,1,0)处沿什么方向的方向导数最大？沿什么方向的方向导数最小？
1，0)?(3x2?y2)解：因为fx(1，
?2、fy(1，1，0)??2xy
??2、fz(1， 1，0)??1，
所以grad根据方向导数与梯度的关系：沿梯度方向方向导数最大，f(1,1,0)?(2,?2,?1)，沿梯度反方向方向导数最小，得
沿l?gradf(1,1,0)?(2,?2,?1)方向的方向导数最大，且最大的方向导数是
gradf(1,1,0)?22?(?2)2?(?1)2?3；
沿l??gradf(1,1,0)?(?2,2,1)方向的方向导数最小，且最小的方向导数是
?gradf(1,1,0)??22?(?2)2?(?1)2??3．
习题8—7（B）
1．在点P(1,2)处，求函数z?ln(x?y)沿抛物线y?4x在该点处的切线方向上的方向
解：由y?4x，有x?y/4，x?(y)?y/2，抛物线y?4x在点P(1,2)处的切向量
??11l??(x?(y)，1)P?(1，1)，el??()．
grazd(1，2)?(
)P?()． x?yx?y33
． ?gradz(1，2)?el??()?()????
?)处，?1，1)处沿球面x2?y2?z2?1在点M(，2．求函数u?(x?2y?3z)2在点P(1
的内法向方向上的方向导数．
?)处的法向量解：设F(x，y，z)?x2?y2?z2?1，球面x2?y2?z2?1在点M(，
为n??(Fx，Fy，Fz)
??(2x，2y，2z)
??(2，2，?1)，
如图，球面在M处的内法向量与z轴夹锐角，有cos??0，所以
1)，取l?(?2，?2，内法向量是n?(?2，?2，1)，则
?221el?(?，?)．
gradu(P)?(2(x?2y?3z)，4(x?2y?3z)，6(x?2y?3z))P?(4，8，12)．
?221?8?16?12
?gradu(M)?el?(4，8，12)?(?，?)???4．
3．设函数u?u(x,y,z)和v?v(x,y,z)有连续偏导数，证明
（1） grad(u?v)?grad(u)?grad(v)； （2） grad(uv)?vgrad(u)?ugrad(v)；
（3） grad(u)?2ugrad(u)．
证明：（1）grad(u?v)?(
?u?v?u?v?u?v
???) ?x?x?y?y?z?z
?u?u?u?v?v?v
)?()?grad(u)?grad(v)． ?x?y?z?x?y?z
（2）grad(uv)?(v
?u?v?u?v?u?v?u，v?u，v?u) ?x?x?y?y?z?z
?u?u?u?v?v?v
)?u()?vgrad(u)?ugrad(v)． ?x?y?z?x?y?z
（3）grad(u)?(2u
?u?u?u?u?u?u，2u，2u)?2u()?2ugrad(u)． ?x?y?z?x?y?z
4．求函数u?u(x,y,z)在任意点处沿函数v?v(x,y,z)在该点的梯度方向上的方向导数．
???v?v?v?v?v?v?v?v?v
解：l?()，el?()/()2?()2?()2，
?x?y?z?x?y?z?x?y?z
?u?u?u?u??()?el ?l?x?y?z
?u?u?u?v?v?v?v?v?v
)?()/()2?()2?()2 ?x?y?z?x?y?z?x?y?z
gradu?gradv
或者，因为l?grad，所以
??ugradvgradu?gradv
． ?gradu?el?gradu??
?lgradvgradv
习题8—8（A）
1．判断下列论述是否正确，并说明理由：
?fx(x,y)?0,（1）对于可微分的函数z?f(x,y)，满足方程组?的点（也即驻点）就
f(x,y)?0?y
是该函数的极值点；
（2）二元函数z?f(x,y)的极值点一定是函数定义域的内点，而且可能是驻点或偏导 数不存在的点．但是这些点仅仅是“可疑点”，还要利用定理8.2（充分条件）去判断；
（3）连续函数z?f(x,y)在有界闭区域D上一定存在最大值与最小值，最值点一定是 极值点；
（4）用拉格朗日乘数法求条件极值时，要首先找到目标函数和约束条件，然后构造拉格朗日函数，问题就转化为求该拉格朗日函数的普通（无条件）极值问题． 答：（1）不正确，如在(0,0)点是函数z?xy的驻点，但是它不是极值点．
（2）不确切，在极值的定义中要求极值点一定是函数定义域的内点，并且对于偏导数存
在的函数定理8.1保证了极值点一定是驻点，而例子z?
x2?y2说明了极值点也可以是
偏导数不存在点；对于偏导数不存在的点不能用定理8.2判断，要通过极值定义判断，并且对于驻点，当AC?B?0时，也需要用极值定义判断．
（3）不正确，虽然有界闭区域上连续函数一定存在最大值与最小值，但是最值点可以在D的边界上取得，这时它就不是极值点．
（4）不确切，用拉格朗日乘数法求条件极值时，只是通过拉格朗日函数找目标函数的可能极值点，而不是求拉格朗日函数的极值．对于这样的可能极值点，到底是不是目标函数的极值点？一般是通过实际意义判定，别个题目也可以用“有界闭区域上连续函数一定存在最大值、最小值”来判定． 2．求下列函数的极值：
（1）f(x,y)?2x?x?y；
（2）f(x,y)?x?y?6x?3y?9x； （3）f(x,y)?e(x?2y?y)；
（4）f(x,y)?1?(x?y)
?fx(x，y)?2?2x?0，解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由?得唯一驻点
f(x，y)??2y?0，?y
(1，0)．A?fxx(1，0)??2?0、B?fxy(1，0)?0、C?fyy(1，0)??2，AC?B2?4?0，
根据二元函数极值的充分条件，点(1，0)是函数的极大值点，极大值为f(1,0)?1，该函数无极小值．
2??fx(x，y)?3x?12x?9?0，
（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由?即2
??fy(x，y)??3y?6y?0，
?(x?1)(x?3)?0，
得函数的所有驻点是P ，0)、P2(?1，2)、P3(?3，0)、P4(?3，2)．?1(?1
?y(y?2)?0，
对上述诸A?fxx(x，y)?6x?12、B?fxy(x，y)?0、C?fyy(x，y)??6y?6，点列表判定：
所以函数的极大值为f(?3,2)?4，极小值为f(?1,0)??4．
??fx(x，y)?e(1?x?2y?y)?0，
（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由?得x
f(x，y)?e(2?2y)?0，??y
唯一驻点(0，?1)．
fxx(x，y)?ex(2?x?2y?y2)、fxy(x，y)?ex(2?2y)、fyy(x，y)?2ex，
A?1?0、B?0、C?2，AC?B2?2?0，根据二元函数极值的充分条件，点
(0，?1)是函数的极小值点，极小值f(0,?1)??1，该函数无极大值．
22??fx(x，y)??3xx?y?0，
（4）定义域为全平面，函数处处可微．由?得唯一驻点
??fy(x，y)??3yx?y?0，
(0，0)．由于在(0，0)点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值
的定义，当x2?y2?0（即非(0，0)点）时f(x,y)?1?(x2?y2)3/2?1?f(0，0)，所以点(0，0)是该函数的极大值点，极大值为f(0,0)?1，该函数无极小值．
3．在附加条件：x?y?1下，求函数z?x?y的极值．
解：由条件x?y?1，有y?x?1，代入到目标函数z?x?y之中，得
z?2x?2x?1．
dz11?4x?2?0，得一元函数z?2x2?2x?1的唯一驻点x?，此时y??，dx22
?4?0，所以x?
是一元函数z?2x?2x?1的极小值点，所以当x?、22
时二元函数z?x?y在附加条件x?y?1下取得极小值，且极小值为2111
f(，?)?，该函数在附加条件x?y?1下无极大值． 222
（注：该题目不能用拉格朗日乘数法求解，否则无法判定，除非从几何意义）
4．（1）用铁板做一个容积为8（m3）的长方体有盖水箱，问如何设计最省材料？ （2）用面积为12（m2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？
解：（1）设水箱的长、宽、高分别为x、y、z，表面积为A，则目标函数为A?2(xy?xz?yz)（x?0，y?0，z?0），附加条件是xyz?8．
设L(x，y，z)?2(xy?xz?yz)??(xyz?8)（x?0，y?0，z?0），由
?Lx?L?y??Lz??L?
?2(y?z)??yz?0，
?2(x?z)??xz?0，
得唯一可能极值点x?y?z?2，
?2(x?y)??xy?0，?xyz?8?0，
根据实际意义，当长方体体积一定是其表面积有最小值，所以当长、宽、高都为2（m）时最省材料（此时用(24）m2的铁板）．
?2(y?z)??yz，（注：可按下面解法找可能极值点：在上面方程组中，前两个方程写为?
2(x?z)??xz，?
该两个方程作比值，有
?，得x?y，同样由第二、三方程得y?z，再代入到x?zx
xyz?8?0之中，就得到x?y?z?2，这种求解法在拉格朗日乘数法中经常使用）
y?0， (2) 设水箱的长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，则目标函数为V?xyz（x?0，
z?0），附加条件是xy?2xz?2yz?12．
设L(x，y，z)?xyz??(xy?2xz?2yz?12)（x?0，y?0，z?0），由
?Lx?yz??(y?2z)?0，
?L?xz??(x?2z)?0，?y
得唯一可能极值点x?y?2、z?1， ?
?Lz?xy?2?(x?y)?0，??xy?2xz?2yz?8，
根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m），高为1（m）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m3）)．
5．在xOy面上求一点，使得该点到两坐标轴及直线3x?4y?50的距离平方和最小．
(3x?4y?50)22
解：设所求点为(x，y)，则目标函数为D?x?y?（(x，y)?R），
??2x?6(3x?4y?50)/25?0，?Dx
?D?2y?8(3x?4y?50)/25?0，?y
?17x?6y?75?0，
得唯一可能极值点?
12x?41y?200?0，?
x?3、y?4，由实际意义，一点到三条直线距离平方和有最小值，所以所求点为(3，4)．
6．在斜边长为l的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．
解：设两直角边长分别为x、y，三角形周长为L，则目标函数是L?x?y?l（x?0，y?0），附加条件为x?y?l．
设F(x，y)?x?y?l??(x?y?l)，由
?Fx?1?2?x?0，
?Fy?1?2?y?0，在x?0，y?0时得唯一可能极值点x?y?，
?x2?y2?l2，
由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为
（即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为(1?2)l．
7．在半径为3的半球内，以半球的底面为一个侧面，求内接长方体的最大体积． 解：如图取坐标，设第一卦限的内接点为M(x，y，z)， 内接长方体体积为V体积，则目标函数为
V?4xyz（x?0，y?0，z?0），
附加条件是x?y?z?9．
设L(x，y，z)?4xyz??(x?y?z?9)，由
?4yz?2?x?0，?4xz?2?y?0，
在x?0，y?0，z?0得唯一可能极值点x?y?z?，
?4xy?2?z?0，?y2?z2?9，
由实际意义，半球的内接长方体体积有最大值，所以当第一卦限的内接点为
M(333)时，内接长方体体积最大，且最大体积值为V?4()3?．
8．求函数z?2x?3y?1在闭区域D：x?y?4上的最小值与最大值．
?z?x?4x?0，
解：先找区域内部的可能极值点，由?得驻点(0，0)，且z(0，0)??1．
?z?6y?0，?y
再求函数在区域边界上的最值，设L(x，y)?2x?3y?1??(x?y?4)，由
?Lx?2x(2??)?0，
?2)（???3）得可能极值点(0，、(?2，， 0)（???2）?Ly?2y(3??)?0，
?x2?y2?4，?
?2)?11、z(?2，在这些点上函数值为z(0，0)?7，于是函数在边界上的最小值为
m1?7，最大之为M1?11．
比较m1、M1、及z(0，0)??1，得函数在闭区域D：x?y?4上的最小值为
m?z(0,0)??1，最大值为M?z(0,?2)?11．
习题8—8（B）
1．某商家通过报纸及电视两种媒体做某商品广告． 如果销售收入
R?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2，
其中x（单位：万元）为报纸广告费用，y（单位：万元）为电视广告费用． （1）在不限定广告费用时，求最优广告策略； （2）若限定广告费用为1.5万元时，求最优广告策略． 解：用z表示销售收入减去广告费用，则
z(x,y)?15?13x?31y?8xy?2x?10y，
(x?0,y?0).
?z?x(x，y)?13?8y?4x?0，
（1）由? 得唯一驻点x?0.75，y?1.25．
??zy(x，y)?31?8x?20y?0，
由实际意义z有最大值，所以在不限定广告费用时，当报纸广告费为0.75万元，电视广告费为1.25万元时，广告策略最优．
（2） 当广告费用限定为1.5万元时，即约束条件是x?y?1.5，
设L(x，y)?15?13x?31y?8xy?2x?10y??(x?y?1.5)，由
?(x，y)?13?8y?4x???0，?Lx
得唯一可能极值点x?0，y?1.5． y(x，y)?31?8x?20y???0，
?x?y?1.5，?
由实际意义z有最大值，所以在限定广告费用为1.5万元时，将其全部用于做电视广 告，广告策略最优．
2．设函数z?z(x,y)由方程x?4y?z?2x?8y?4z?5?0确定，求z的最小值与
解：方程x?4y?z?2x?8y?4z?5?0两边同时对x求导，有
方程x?4y?z?2x?8y?4z?5?0两边同时对y求导，有
??0，由①、②式得驻点x?1、y?1． ?x?y
将x?1、y?1代入到原方程之中，有z?4z?0，得z?0或z?4，不难知道方程
，x2?4y2?z2?2x?8y?4z?5?0的图形是椭球面（(x?1)2?4(y?1)2?(z?2)2?4）由于椭球面是有界闭曲面，它的竖坐标z一定有最小值与最大值，所以z?z(x,y)的最小值是m?z(1,1)?0，最大值是M?z(1,1)?4．
3．求椭圆?上竖坐标z的最小值与最大值．
解：目标函数为f(x，y，z)?z，附加条件是x?y?2，及x?y?z?1．
设L(x，y，z)?z??(x?y?2)??(x?y?z?1)，由
?Lx?2?x???0，?L?2?y???0，y??
?Lz?1???0，
得可能极值点(1，1，?1)、(?1，?1，3)，
?x2?y2?2，???x?y?z?1，
由于椭圆是有界闭曲线，它的竖坐标z一定有最小值与最大值，所以当x?y?1时z最小，且最小值为m?z(1,1)??1，当x?y??1时z最大，且最大值为M?z(?1,?1)?3．
?x2?y2?2,4．求椭圆?的短半轴与长半轴．
解：由椭圆方程?不难看到椭圆中心的横、纵坐标分别为x?0、y?0，又椭
圆在平面x?y?z?1上，因此椭圆中心的竖坐标z?1，即椭圆中心是M0(0，0，1)．
设点M(x，y，z)是椭圆上任一点，取目标函数为d?MM0
?x2?y2?(z?1)2，
附加条件是x?y?2及x?y?z?1．
设L(x，y，z)?x?y?(z?1)??(x?y?2)??(x?y?z?1)，由
?Lx?2x?2?x???0，?L?2y?2?y???0，y??
?Lz?2(z?1)???0，
?x2?y2?2，???x?y?z?1，
得可能极值点是P，1，?1)、P2(?1，?1，3)、P3(1，?1，1)、P4(?1，1，1)， 1(1
又d(P1)?d(P2)?6，d(P3)?d(P4)?
2，而椭圆上点到椭圆中心的距离一定存
在最小值与最大值，所以2是这个距离的最小值，也就是椭圆的短半轴，同理椭圆的长半轴是6．
5．设a1,a2,?,an是n个正数，用条件极值证明它们的算术平均值不小于几何平均值，即
a1?a2???an?a1a2?an．
证明：先求函数u?x1x2?xn（xi?0，i?1,2,?,n）在条件x1?x2???xn?R下的最大值，为此设L(x1，x2，?，xn)?x1x2?xn??(x1?x2???xn?R)，由
?Lx1?x2x3?xn?2?x1?0，
?L?xx?x?2?x?0，x213n2??
???????????
?L?xx?x?2?x?0，xn12n?1n?2
??x1?x2???xn?R，
在xi?0，(i?1,2,?,n)时，得唯一可能极值点x1?x2???xn?
由函数u?x1x2?xn在n维空间中的有界闭“球面”x1?x2???xn?R上连续， 它一定有最小值与最大值，而最小值为0，在某一个自变量为?R，其余自变量为零时取得， 因此点x1?x2???xn?
是该问题的最大值点，最大值为umax?(
)n，即对任何正数 Rn
x1，x2，?，xn，当它们满足x12?x2???xn?R2时有x1x2?xn?(
对任何正数ai((i?1，2，?，n)，设xi?ai，并记x1?x2???xn?R，由
x12?x2???xnR2n
)n，有 x1x2?xn?()，即xx?x?()?(
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