高等数学求极限的常用方法(附例题和详解),(2)
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高等数学求极限的常用方法(附例题和详解),(2)
一、极限的定义 高等数学求极限的14种方法1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0；（ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在： limf(x)?A，收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的 （i）数列?xn?充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii）f(x)?A?f(x)??Ax??(iii)limx???x?x0lim?x????A ?limx?x0limf(x)?A?lim?limx?x0(iv)单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：???0,???0,使得当x1、x2?U?o(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|??二．极限的方法如下：1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?11g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。10?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）x2xne?xe?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx
cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xnln（1+x）=x- ????(?1)?(?1)n?123n(n?1)(1??x)(1+x)u=1?ux?u(u?1)2x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!以上公式对题目简化有很好帮助4.两多项式相除:设an,bm均不为零，P（x）=anxn?an?1xn?1???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0 ?an?b,(m?n)nP(x)P(x0)P(x)?? (i)（ii）若Q(x0)?0，则 ?limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0??,(n?m)x?????lim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设a?b?c?0，xn?an?bn?cn，求limxnn??解：由于a?xn?a,以及a?a,(alimlim)?a，由夹逼定理可知limxn?an??n??n????
（2）求lim?1?1???1? 2(n?1)2(2n)2?n???n解：由0?1?2n111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnnlim0?limn??n??1?0可知，原式=0 n(3)求解：?1?11?? ????lim??222n???n?1n?2n?n?由n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n,以及21n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??1??1得，原式=1求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1
(|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
?111?=?111????????1???????n?1)??lim??1?n?1)???1 limlim?1?22?3???n(n?1)?n???223?n??n???9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。 ann??解:设liman=A，（显然A?0）则A?2?1，即A2?2A?1?0，解得结果并舍去负值得A=1+2n??A（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxnn??解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，?xn?是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim?A，（显然A?0)则A?n??2?A，即A2?A?2?0。解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2n??10.两个重要极限的应用。（i）sinx?1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 limx0x?01(ii)lim?1?xx?e，在“1”型未定式中常用 ?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nnlimx?0arccosx??。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 sin2x22arccosx?2x??limx?0原式=2xlimx?0sin2xarccosx?2x??limt?0t1?? ?2sint2111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以???????n?in?2n?n?n???n?11?1n3????1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11???1?nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）例:设f(a)?0,f(a)'??1??fa?????n?? 存在，求lim??fa?n???????nf(a)1f(a?)?f(a)n?nf(a)n??1??1??f(a?)?f(a)??fa??fa??nf(a?)?f(a)????n??n??lim?1?解：原式=lim?1??f(a)f(a)?n???n??????????1f(a?)?f(a)1nf(a)nf'(a)f(a)
=limen???e45
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lim&x→0&（x-arctanx）/ln(1+x^3)
=lim&x→0&[1-1/(1+x^)]/[3x^/(1+x^3)]
=lim&x→0&(1+x^...
lim&x→0&[3sinx+x²cos(1/x)]/(1+cosx)ln(1+x)
=lim&x→0&[3sinx+x²cos(1/x)...
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&>&&>&高等数学极限习题500道
高等数学极限习题500道_3300字
若当x?0时，?(x)?(1?ax)
?1与?(x)?cosx?1是等价无穷小，则a?
A12　B32　C．?132　D．?2
．　　　　　　　　　　　　　答（　　）
n?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值．
sinx的值?_____________
求极限lim(1?2x)?cosx
A．?　　B．1　　C．0　　D．ln2
　　　　　　　　　　　　　答（　　）
A．1　　B．e2　　C．e　　D．2
　　　　　　　　　　　　　答（　　）limx2?9x?3x2?x?6
的值等于_____________
limex?4e?x
x??3ex?2e?x
　　B．2　　C．1　　D．不存在答：（
(2?x)3(3?x)5limx??(6?x)
A.?1　B.1　C.1
　D.不存在
(1?2x)10(1?3x)20
limx??(1?6x2)15?____________
的值等于____________
求极限limx3
x?1x3?x2?x?1．
求lim?6x??2x
关于极限lim
3　　B　0　　C　4
　D　不存在
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
limtanx?arctan
?A.0　　B.不存在.　　C.
　　　　　　　　　　　　答（　　）
limarctan(x2)x??x
?A.0　　B.?　　C.1　　D.
　　　　　　　　　　答（　　）
A.2　　B.?2　　C.?2　　D.不存在
　　　　　　　　　　　　　答（　　）
，则f(?0)?___________ 2?e
?A.0　　B.?　　C.不存在.　　D.
　　　　　　　　　　　　　答（　　）e2x?e?xlim?3xx?01?cosx
的值等于____________
2(1?cos2x)
A.　2　　B.　?2　　C.不存在.　　D.　0
设f(x)?，其中p、q为常数．
问：(1)p、q各取何值时，limf(x)?1；
　　(2)p、q各取何值时，limf(x)?0；
　　(3)p、q各取何值时，limf(x)?1．
(x2n?2)2?(x2n?2)2
求极限lim．
x??(xn?1)2?(xn?1)2
求极限lim．
x??(2x3?3)2
已知lim?4，试确定a，b之值．
1?cos(sinx)
的值等于___________ 2
应用等阶无穷小性质，求极限lim求极限lim
arctan(1?x)?arctan(1?x)
(A)1　(B)?　(C)0　(D)不存在但不是无穷大 lim
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
limxsin之值x??x
(A)?1　(B)?0　(C)??　(D)不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
Atanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e
?1　(其中A、B、C、D是非0常数)
则它们之间的关系为
(A)B?2D　(B)B??2D　(C)A?2C　(C)A??2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x3?3x2?3x?2
计算极限lim 2x?2x?x?2
计算极限lim
x?0x?ln(1?x2)
x?xe?2e求limx． x??3e?4e?x
?____________．
3x2?54lim?sin?_____________________ x??5x?3x
计算极限lim
当x??0时，下列变量中，为无穷大的是(A)
　(B)lnx　(C)arctan　(D)arccot
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）limxcos
(A)等于0　 ;
(B)等于2 ;
(C)为无穷大　;
(D)不存在，但不是无穷大 .
　　　　　　　　　　　　　　　
答（　　）
x3?ax2?x?4设lim?A，则必有x?1x?1(A)a?2，A?5　 ;
(B)a?4，A??10 ;(C)a?4，A??6　 ;
(D)a??4，A?10 .
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x2?1x?1当x?1时，f(x)?e的极限
(A)等于2　 ;
　(B)等于0 ;(C)为? ;
　　　(D)不存在但不是无穷大 .
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
求a，b使lim(?ax?b)?1
设lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 ,
试确定a，b之值。
计算极限lim
?xsinx?cos2x
4?tanx?4?sinx
计算极限lim tanxsinxx?0e?e
计算极限lim 2x?0x
计算极限lim(1??2)x
极限lim(cosx)x?
A．0；　B．　　C．1；　D．e．　　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim的值为（　　）
x?0x(1?x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（　　）
的值为（　　）
A．0；　B；　C；　D．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)
A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim(cosx)?
A．0；　B．e；　C．1；　D．e．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
当x?1时，无穷小量
A．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量；
C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
已知lim(1?kx)
?e，则k的值为
A．1；　B．?1；　C．1
；　D．2．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim(x??1?1
A．e；　B．e?1
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
A．e；　B1
；　C．e?2e
；　D．e2．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x?1x?x??x?1
的值为（　）
A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim?2x?1?
x????2x?1??
A．1；　B．e；　C．e?1
；　D．e?2．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
3的值为A．0；B．11
　　　　　　　　　　　答（　　）
A．1；　B．0；　C．?1；　D．?．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
?，则a的值为
A．0；　B．1；　C．2；　D．?1．
　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
??3，则k的值为
A．?3；　B．?；　C．6；　D．?6．
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）已知lim
极限lim2的值为
x?2x?8x?12
A．0；　B．1；　C．；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
极限lim(2?)的值为
A．0；　B．1；　C．?1；　D．?．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
数列极限lim(n2?n?n)的值为
A．0；　B．；　C．1；　D．不存在．
　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
已知lim??1，则C的值为
A．?1；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
已知lim?5，则a的值为
x?11?xA．7；　B．?7　C．2；　D．?2．
　　　　　　　　　　　　　答（　　）
x?设函数f(x)??
x?0，则limf??
x?cosx，x?0x?0
A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在．
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
?tankx设f(x)??
?x，x?0，且limf(x)存在，则k?．1；　B?x?3，x?0
A．2；　C．3；　D．4．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
当x?0时，2sinx(1?cosx)与x2比较是（　） A．冈阶但不等价无穷小；
B．等价无穷小；C．高阶无穷小；
D．低阶无穷小．
　　　　　　　　　　　　　　　
答（　　）
设函数f(x)?xcos1
，则当x??时，f(x)是
A．有界变量；　　　　B．无界，但非无穷大量；
C．无穷小量；　　　　D．无穷大量．
　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设函数f(x)?xsin，则当x?0时，f(x)为
A．无界变量;
　　　　B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;
　D．无穷小量．
　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
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