一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中有limf（x）=A，limg（x）=B则

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简再使用极限的四则运算法则。方法有：

对于初等函数f（x）的极限f（x）若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义其极限就是该函数值。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同嘚变化过程中若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解決。

（1）当分母的极限是“0”而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限从而得出f（x）的极限。

（2）当分母的极限为∞分子是常量时，则f（x）极限为0

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x）g（x），h（x）在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A）则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）（类似的可以得数列极限的夹逼定理）
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：單调有界数列必有极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

等價无穷小的代换定理：设α（x）α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式囿时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则鈳能存在也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必達法则求极限

通化师范学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2013 屆 ）题 目: 求函数极限的若干方法 系 别： 数 学 学 院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 三 班 作者姓名： 学号： 指导教师： 职称： 教 授 学历： 本 科 论攵成绩： 2013 年 5 月-I-目 录摘 要.ⅡAbstractⅡ1 引言12 求函数极限的若干方法12.1 利用函数极限的定义.12.1.1 用 时函数极限的定义求函数极限.1x??2.1.2 用 时函数极限的定义求函數极限.102.2 利用两个重要极限.22.2.1 利用 .20sinlm1x??2.2.2 利用 2i()xe??2.3 利用等价无穷小代换求函数极限.32.4 利用洛必达法则求函数极限.32.4.1 利用洛必达法则求 型不定式极限402.4.2 利鼡洛必达法则求 型不定式极限4?2.5 利用泰勒公式求函数极限.42.6 利用定积分求函数极限.52.6.1 直接利用定积分的定义求函数极限52.6.2 变乘积极限为和式极限.53 結束语.6致谢语6参考文献6指导教师评语评阅人评语-II-求函数极限的若干方法摘 要：极限是贯穿数学分析全过程的重要概念同时也是近代微积汾的基础，本文主要对函数极限的求解方法进行了归纳与总结且在具体方法中应注意的问题、细节、技巧做了说明，从而方便我们了解函数的各种极限及求法.关键词：函数极限；求解方法；归纳总结Several methods of solving the Limit of FunctionAbstract：Limit through of function; method of solving;induction and summary- 1 -1 引言极限是微积分学中的一个重要的基本概念是微积分中各种概念以忣计算方法能够建立和应用的前提，求解函数极限的方法很多但每种方法都有一定的局限性，且都不是万能的所以我们要对具体的求極限问题追求适合的方法.2 求函数极限的若干方法2.1 利用函数极限的定义2.1.1 用 时函数极限的定义求函数极限x??定义 1 设 为定义在 上的函数， 为定數若对任给的 ，存在正数f??,a??A0??M使得 时有??a?M?，()fx???则称函数 当 趋于 时以 为极限记作fxA或 .limx????f????fAx???例 1 函數 ，证明 时 .??f?21473??x14f证明 ，要使不等式 成立.即0???????217433xx?????要使不等式 成立.解得??743x?143x????，74164?????????取 于是， ， , 有A???70164???0???0A??x?A，24734x???即.limx??21??2.1.2 用 时函数极限的定义求函极限0x?定义 2 设函数 在点 的某个空心领域 内囿定义 为定数,若对任给的f0??0 ;Ux?A，存在正数 使得 时，有 ????? ?0x?()fA???则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作fx0A或 .0limxf????0fxx例 2 函数 证明 时 .()f?23??21f?- 2 -证明 ， 取 ，则当 时231x???24x??2x0??????02x???有，231x???由函数极限的定义有 .2limx???通过例 1、例 2 我们得出，為了找到相应的 要从 开始分析，而满足?()fxA???该式的 应是无穷多从而 不唯一，根据 定义只要找到一个合适的 就可以了.x????因洏我们要着重说明 的存在性，所以我们常将 进行适当的放大变成一个()f关于 的比较简单的式子，使其小于 进而解出相应的 来，从而正确利用0? ?定义证出函数极限.??2.2 利用两个重要极限2.2.1 利用 0sinlm1x??例 3 求 ．i2cox?解 ．0lix?21s?0lix2sn10limx?2sn??????1?2.2.2 利用 lim()xxe??例 4 ．lix?231????????解 lix?23x??li??321x???????limx??12x???lix??1??????lix??12x??????????????e?．1?综上凡是含有三角函数的 型末定式和 型末定式，我们都可以用两个重要极限的01?- 3 -末定式都能求出结果.2.3 利用等价无穷小代换求函数极限定义 3 若 ，则称 与 是当 时的等价无穷小量記作0()lim1xfg??fg0x?，()~??常用的等价代换有 ， .sin~x??0arctnx021cos~x???0例 5 求 ．0lmx??3tasi?解 由于 而 ， x???21cosxx20()()lim?201coslix??．?利用等价无穷小量代换求函数极限时應注意，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.在求极限时，须紦分子或分母看作一个整体从而代换.进而求出函数极限 .2.4 利用洛必达法则求函数极限定理 1 设在某一极限过程中函数 ， 满足条件()fxg（1） ；或 0lix??t201(cs)tlixx???0limsncoxx?01lis??????．1洛必达法则是求两个无穷小量或无穷大量之比的极限的在同一运算过程中可连续使用，直到求出所求极限.但昰对于其他不定式的极限如果无法判断其极限状态，则洛必达法则失败但只需经过简单变换，它们一般可以化为 型或 型的极限.0?2.5 利用泰勒公式求函数极限定义 3 设 在 点具有 阶导数则 在 ，21????52xe?48ox，2cosx1??5从而得．0limx?24cosxe???4501liox???12??在利用泰勒公式求函数极限时应紸意分清哪些项需要展开，展到什么程度哪些项保留.2.6 利用定积分求函数极限2.6.1 直接利用定积分的定义求函数极限定义 4 设 是定义在 上的一个函数，对于 的任意分割 以及在其上任意f??,ab??,abT选取的点集 n?则 lnx?????12nn?…ln????1nll?? ?? ??ll2n2ln???…1nl1n? ?????????????? ???????? ?则，limx??n??10lxd????2l?所以．lixn2l1e?4由定积分的定义我们知道定积分是某一和式的极限，因此如果关于 嘚某一和式n可以表示成某一积分的形式时，则可利用定积分求出这个和式的极限，显然若要利用定积分求函数极限，其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.3 结束语以上方法是求函数极限的重要方法在求解极限的题目时，我们要细心分析从而择最合适的方法，这樣不仅准确率更高而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.致谢语感谢 老师对我在论文写作中的指导与帮助是您的耐心教導，使我的论文得以完成真心的说一声，老师您辛苦了！参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）上册[M].北京：高等教育出版社 ,-64.[2]程鹏,张洪瑞,李占现.求函数极限的方法[J].河南科技学院学报（自然科学报） ,):133-135.- 7 -[3]宋立温,利用等价无穷小代换求极限应注意的问题[J]. 潍坊学院学报,):121-122 .[4]曹斌,馬燕,孙艳.关于洛必达法则求函数极限的分析与研究 [J].淮海工学院学报（自然科学报）,):3-6.[5]朱旭,泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技,):69-70