数学。求连续闭区间上连续函数有界，需过程
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黄冈中学高考数学典型例题
黄冈中学高考数学典型例题
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&数学的奥秘
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1.1开头的话
什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？（）
A、质子理论
B、中子理论
C、夸克理论
正确答案：D
弦理论认为宇宙是几维的？（）
正确答案：C
数学是素质教育中最重要的载体。（）
正确答案：√
天王星被称为“笔尖上发现的行星”。（）
正确答案：&
1.2数学思维
美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力？（）
正确答案：C
下列哪个是孪生数对?（）
A、（17，19）
B、（11，17）
C、（11，19）
D、（7，9）
正确答案：A
谁写了《几何原本杂论》？（）
正确答案：B
仅存在有限对孪生的素数。（）
正确答案：&
1.3数学学习
偶数和正整数哪个多？（）
B、正整数多
D、无法确定
正确答案：C
以下哪个汉字可以一笔不重复的写出？（）
正确答案：A
数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。（）
正确答案：√
高斯解决了著名的七桥问题（）。
正确答案：&
2.1从圆的面积谈起
下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比？（）
B、欧多克索斯
C、欧几里得
D、阿基米德
正确答案：B
以下什么成果是阿基米德首先得到的？（）
A、圆周率的值
B、圆的面积与圆的直径的平方成正比
C、抛物线弓形的面积
正确答案：C
穷竭法的思想源于欧多克索斯。（）
正确答案：√
欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。（）
正确答案：&
2.2曲线的切线斜率
抛物线&在&&处的斜率是多是？
正确答案：B
圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。（）
正确答案：&
曲线切线的斜率和非均匀运动的速度属于微分学问题。（）
正确答案：√
2.3微积分的工具和思想
下列具有完备性的数集是？（）
·&A、实数集
·&B、有理数集
·&C、整数集
·&D、无理数集
正确答案：A
康托尔创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？（）
B、量子理论
D、拓扑理论
正确答案：A
下列表明有理数集不完备的例子是？（）
正确答案：D
微积分的基本思想是极限。（）
正确答案：√
2.4微积分的历程
微积分的创立阶段始于（）。
A、14世纪初
B、15世纪初
C、16世纪初
D、17世纪初
正确答案：D
积分学的雏形阶段的代表人物不包括（）。
A、欧多克索斯
B、阿基米德
C、卡瓦列里
正确答案：C
欧拉被视为是近代微积分学的奠基者。（）
正确答案：&
费马为微积分的严格化做出了极大的贡献。（）
正确答案：&
3.1梵塔之谜
自然数的本质属性是（）
·&A、可数性
·&B、相继性
·&C、不可数性
·&D、无穷性
目前，世界上最常用的数系是（）
C、六十进制
D、二十进制
现代通常用什么方法来记巨大或巨小的数？
C、六十进制
D、科学记数法
3.2希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆的故事告诉我们什么？（）
A、自然数与奇数一样多
B、自然数比奇数多
C、有理数比自然数多
D、有理数比奇数多
下列集合与自然数集不对等的是？（）
C、有理数集
下列集合与区间[0，1]对等的是？（）
C、有理数集
希尔伯特旅馆的故事展现了无穷与有限的差别。（）
3.3有理数的“空隙”
建立了实数系统一基础的是哪位数学家?（）
下列关于有理数，无理数，实数的之间的关系说法正确的是？（）
A、有理数，无理数都与实数对等
B、有理数与实数对等，无理数与实数不对等
C、无理数与实数对等，有理数与实数不对等
D、有理数，无理数都与实数不对等
第一次数学危机是毕达哥拉斯发现了勾股定理。（）
实数可分为代数数和超越数。（）
3.4无穷集合的基数
下列哪个集合不具有连续统？（）
A、实数全体
B、无理数全体
C、闭区间上连续函数全体
D、坐标（x,y）分量均为整数的点
设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数的点）为中心有理数为半径的圆的全体，那么该集合是？（）
C、不可数集
下列关于集合的势的说法正确的是（）。
A、不存在势最大的集合
B、全体实数的势为&
C、实数集的势与有理数集的势相等
D、一个集合的势总是等于它的幂集的势
可数集的任何子集必是可数集。（）
4.1从图片到电影---极限
1下列数列收敛的的是（）。
下列数列发散的是（）。
函数极限是描述在自变量变化情形下函数变化趋势。（）
数列极限总是存在的。（）
4.2视频截屏---极限的算术化
下列关于&的定义不正确的是？（）
A、对任意给定的&，总存在正整数&，当&时，恒有&
的任一&邻域&，只有有限多项&
C、对任意给定的正数&
，总存在自然数&，当&时，&
D、对任意给定的正数&
，总存在正整数&，&
改变或增加数列&的有限项，影不影响数列&的收敛性？（）
C、视情况而定
D、无法证明
收敛的数列是有界数列。（）
收敛的数列的极限是唯一的。（）
4.3有限点也神秘---函数的极限
正确的说法是：若在&这一去心邻域中有&，并且&，则&（）
极限&=（）。
若存在，则唯一。（）
5.1连续不简单
定义在区间[0，1]区间上的黎曼函数在无理点是否连续？（）
C、取决于具体情况
D、尚且无法证明
下列关于函数连续不正确的是（）。
A、函数&在点&
连续&在点&有定义，&存在，且&=&
在点&连续&
在点&连续&
,则&一定在点&点连续
函数&，&，则&是该函数的（）？
A、跳跃间断点
B、可去间断点
C、无穷间断点
D、振荡间断点
函数的连续性描述的是函数的整体性质。（）
5.2连续很精彩
下列在闭区间&上的连续函数，一定能够在&上取到零值的是？（）
关于闭区间上连续函数，下面说法错误的是？（）
A、在该区间上可以取得最大值
B、在该区间上可以取得最小值
C、在该区间上有界
D、在该区间上可以取到零值
方程&在&上是否有实根？
B、至少有1个
C、至少有3个
有限个连续函数的和（积）仍是连续函数。（）
5.3连续很有用
方程&在&有无实根，下列说法正确的是？（）
B、至少1个
C、至少3个
下列结论正确的是（）。
A、若函数&(x)在区间[a,b]上不连续，则该函数在[a,b]上无界
B、若函数&(x)在区间[a,b]上有定义，且在(a,b)内连续，则&(x)在[a,b]上有界
C、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)&(b)≤0，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
D、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)=&(b)=0，且分别在x=a的某个右邻域和x=b的某个左邻域单调增，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
函数&在区间_____上连续？
设Δy=&(x+Δx)-&(x)，那么当Δx→0时必有Δy→0。
6.1近似计算与微分
当（）时，变量&为无穷小量。
设&，则当&时（）。
高阶的无穷小量。
是比&低阶的无穷小量。
是与&等价的无穷小量
是与&同阶但不等价的无穷小量
若&均为&的可微函数，求&的微分。（）
常数零是无穷小。（）
6.2曲线的切线斜率
已知&，则&=（）。
设&为奇函数，&存在且为-2，则&=（）。
设曲线&在点&处的切线与&轴的交点为&，则（）。
导数是函数随自变量变化快慢程度的表达式。（）
6.3导数的多彩角度
一个圆柱体，初始圆柱半径是柱高的两倍，随后，圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积？（）
·&A、单调增加
·&B、单调减少
·&C、先增后减
·&D、先减后增
设&，&，则&（）。
任意常函数的导数都是零。（）
函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且相等。（）
7.1罗尔中值定理
求函数&的最大值，最小值。（）
A、最大值&
B、最大值&
C、最大值&
D、最大值&
作半径为r的球的外切正圆锥，问圆锥的高为多少时，才能使圆锥的体积最小？
函数&的最值情况为（）。
A、最大值为&
B、最小值为&
C、没有最值
D、以上说法都不正确
最值点就是极值点。（）
7.2拉格朗日中值定理
下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.
方程&正根的情况，下面说法正确的是（）。
A、至少一个正根
B、只有一个正根
C、没有正根
罗尔中值定理指出：可导函数在区间内取得极值点处切线斜率为零。（）
函数&满足罗尔中值定理。
7.3求极限的利器
对任意&，不等式&成立吗？（）
C、视情况而定
D、无法证明
设&，下列不等式正确的是（）。
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理在函数两端值相等时的特例。（）
8.1函数的单调性
求极限&=（）。
求极限&。（）
求极限&=（）。
并非一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限。（）
8.2函数的极值
函数&(x)=sinx-x在零点的个数为（）。
若在区间&上&，则&或&的大小顺序为（）。
函数&(x)=x-arctanx的单调性为（）。
A、在(-∞，∞)内单调递增
B、在(-∞,∞)内单调递减
C、在(-∞,∞)内先增后减
如果可导函数&(x)在区间I上单调，那么其导函数&&(x)也单调。
8.3最优化和最值问题
为何值时，函数&在&处取得极值？（）
求函数&的极值。（）
函数&(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点一定是极大（小）值点。（）
如果函数&在区间I上有连续的导函数，则在区间I内有这样的&，使得&是极值的同时&又是拐点。（）
9.1函数的凸凹性
函数&的凹凸性为（）。
凸，在&凹,&拐点
D、在&凹，在&
函数&的凹凸性为（）。
C、在&上凸，在&
D、无法确定
函数&的凹凸区间为（）。
A、凸区间&，凹区间&
B、凸区间&及&
C、凸区间&，凹区间&
D、凸区间&
若可导函数&(x)的导函数&&(x)在I内单调增加（减少），则&(x)在I内是凸（凹）。（）
9.2凸凹性的妙用
函数y=lnx的凸性为（）。
C、视情况而定
D、暂时无法证明
设&与&是任意两个正数，&，那么关于&，&的大小关系是（）。
下列关于&，&（&）的说法正确的是（）。
如果曲线在拐点处有切线，那么，曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧。（）
9.3函数的模样
设函数&，其图像为（）。
设函数&(x)=|x(1-x)|，则（）。
A、x=0是&(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是&(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是&(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是&(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
设&，则（）.
的极小值点，但&不是曲线&的拐点
的极小值点，但&是曲线&的拐点
C、是&的极小值点，且&
是曲线&的拐点
不是&的极小值点，&也不是曲线&的拐点
研究函数时，通过手工描绘函数图像能形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法的。（）
10.1从有限增量公式
求函数&的麦克劳林公式。（）
函数&在&处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。
函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度。()
泰勒公式是拉格朗日中值公式的推广。（）
10.2麦克劳林公式
函数&在&处的三阶麦克劳林公式为（）。
求函数&的麦克劳林公式？（）
当&时，&是几阶无穷小？（）
麦克劳林公式是泰勒公式在时的特殊情形。（）
10.3精彩的应用
求&的近似值，精确到&。（）
A、0.173647
B、0.134764
C、0.274943
D、0.173674
求函数极限&。（）
多项式&在&上有几个零点？（）
泰勒公式给出了在局部用多项式逼近函数的表达式，是进行计算的重要工具。（）
11.1求导运算的逆运算
求不定积分&？（）
求不定积分&？()
求不定积分&？（）
定义在区间内的连续函数一定存在原函数。（）
11.2不定积分的计算
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和。（）
11.3数学建模和微分方程
求解微分方程&的通解？（）
求解微分方程&?（）
微分方程的通解包含了微分方程的一切解。（）
海王星的发现是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理导出常微分方程研究天王星的运行的轨道异常后发现的。（）
12.1阿基米德的智慧
阿基米德生活的时代是（）。
A、公元前287-前212
B、公元前288-前210
C、公元前280-前212
D、公元前297-前212
谁首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积？（）
B、莱布尼兹
C、阿基米德
D、欧几里得
阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）
A、用平衡法去求面积
B、用穷竭法去证明
C、先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明
D、先用穷竭法求解面积，再用平衡法加以证明
阿基米德应用穷竭法得到弓形区域的面积。（）
12.2和式的极限
微分思想与积分思想谁出现得更早些？（）
C、同时出现
现代微积分通行符号的首创者是谁？（）
B、莱布尼兹
D、欧几里得
微积分主要是由谁创立的？（）
A、牛顿和莱布尼兹
B、欧几里得
在微积分创立的初期，牛顿和莱布尼兹都没能解释清楚无穷小量和零的区别。（）
12.3黎曼积分
对任意常数&,比较&与&的大小?()
不论&的相对位置如何，比较&与&的大小？（）
定义黎曼积分中的Λ→0，表示对区间[a,b]的划分越来越细的过程。随着Λ→0，必有小区间的个数n→∞。但反之，n→∞并不能保证Λ→0。（）
区间[a,b]上的连续函数和只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）
13.1牛顿－莱布尼兹公式
设&，则&=？（）
D、都不正确
利用定积分计算极限&=？
牛顿-莱布尼兹公式不仅为计算定积分提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来。（）
由莱布尼兹公式可知：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数，则f在区间[a,b]上可积。（）
13.2曲边形的面积
求由抛物线&和&所围成平面图形的面积？
求曲线&与&以及直线&和&所围成图形的面积？
求椭圆&所围成图形的面积？
求一曲边形的面积实际上求函数的不定积分。（）
13.3工程也积分
设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力？
一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力?
一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物的顶部？（）
A、2700(J)
B、2744(J)
C、2800(J)
D、2844(J)
微元分析法是处理诸如面积，体积，功等一类具有可加性问题的重要思想方法。（）
14.1橄榄球的体积
以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积?
求椭圆&绕&轴旋转所得旋转体的体积？
求由内摆线(星形线)&绕x轴旋转所成的旋转体的体积?
设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积为。
14.2不可思议的证明
求星形线&的全长？（）
求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）
求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）
若曲线为，则弧长为。（）
14.3奇妙的号角
求反常积分&=？
求无穷积分&=？（）
当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分收敛。（）
1求星形线&的全长？（）A、B、C、D、&2求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）A、B、C、D、&3求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）A、αB、3αC、6αD、8α&4如果曲线为，则弧长为。（）
15.1搅动的咖啡
慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？（）
C、需要考虑搅拌方式
D、尚且无法证明
假如你去登山，上午6点从山脚出发，一路上悠哉游哉，走走停停，直到中午12点才到山顶。无限风光在险峰，所以你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）
C、需要考虑具体情况
D、尚且无法证明
设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则至少存在一点，使得。
设为维单位闭球，是连续映射，则至少存在一点，使得。
15.2不动点定理和应用
1下列哪个体现了压缩映射的思想？（）
A、搅动咖啡
B、显微成像
C、压缩文件
D、合影拍照
函数&在实数域上的不动点是什么？（）
任意维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
有限维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
15.3诺贝尔经济学奖
美籍法裔经济学家G.Debreu由于什么贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖？（）
A、创立了一般均衡理论
B、在非合作博弈的均衡理论方面做出了开创性贡献
C、运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论
D、对资产价格的实证分析
Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理有什么关系？（）
B、前者包含后者
C、后者包含前者
D、没有关系
电影“a beautiful
mind”中男主人公的原型既是一位经济学家，又是一位大数学家，他的名字是（）。
A、G. Debreu
B、J.F. Nash
C、L.V. Kantorovich
D、Adam Smith
1968年瑞典银行为庆祝建行300年，决定以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）
16.1基本元素
求幂级数&的收敛区间？（）
求幂级数&的和函数？
幂级数与其逐项求导后的级数及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）
设幂级数&和&的收敛半径分别为&,则和级数&=&+&的收敛半径&.
16.2傅里叶级数
函数&在&上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是&,问其中Fourier系数&的表达式是？
下列哪个著作可视为调和分析的发端？（）
A、《几何原本》
B、《自然哲学的数学原理》
C、《代数几何原理》
D、《热的解析理论》
式子&（其中&）的值是什么？
Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）
16.3爱恨无穷
关于数学危机，下列说法错误的是？（）
A、第一次数学危机是无理数的发现，芝诺提出了著名的悖论，把无限性，连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来。
B、第二次数学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿，莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论。
C、第三次数学危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论，动摇了集合论的基础。
D、经过这三次数学危机，数学已经相当完善，不会再出现危机了。
不完全性定理是由谁建立的？（）
A、希尔伯特
下列不是产生悖论根源的是？（）
A、构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念
B、如利用康托尔朴素的集合论的概括原则构成集合
C、无限概念的参与
D、人们对客观世界认识的局限性
希尔伯特认为一些悖论是自然语言表达语义内容造成的。为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统，在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反过来，每一个定理都可翻译成一个数学真理。这样的系统称完全的。（）
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大一高数第一章
函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 函数、由于社会和科学发展的需要，到了 17 世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题. 与之相适应， 数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为 “高等数学时期” 的新时代， 这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以 积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期 最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整 个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性 质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概 念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念， 它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.第一节 变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化 的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变， 它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、 数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一 个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数的全体组成的集合叫做闭区间， 记为 ?a , b ? ，即 ? ??a , b ? = {x | a ≤ x ≤ b} ； ? ? 满足不等式 a & x & b 的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为 (a, b) ，即 (a , b) = {x | a & x & b} ；满足不等式 a & x ≤ b (或 a ≤ x & b )的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 ( a, b ? (或 ?a, b ) )，即 ? ?≤ b} (或 ?a , b ) = {x | a ≤ x & b} )， ? 左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数 a ， b 称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数 b ? a 称为区间的长度.此外还有无限区间： (?∞， ∞) = {x | ?∞ & x & +∞} = R ， +( a, b ? = {x | a & x ?( ?∞, b ? = {x | ?∞ & x ?≤ b} ，(?∞, b) = {x | ?∞ & x & b} ，?a， ∞ ) = {x | a ≤ x & +∞} ， ? + (a， ∞) = {x | a & x & +∞} ， + 等等. 这里记号“ ?∞ ”与“ +∞ ”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设 x 0 是一个给定的实数， δ 是某一正数，称数集: {x | x 0 ? δ & xo称点 x 0 为该邻域的中心，δ 为该邻域的半径(见图 1-1).称 U (x 0 , δ ) ? {x 0 } 为 x 0 的去心 δ 邻域，U (x 0 , δ ) = {x | 0 & x ? x 0 & δ}°& x 0 + δ} 为点 x 0 的 δ 邻域，记作 U (x 0 , δ ) .即 U ( x 0 , δ ) = {x | x 0 ? δ & x & x 0 + δ}记作 U (x 0 , δ ) ，即图 1-1 下面两个数集( ) U ( x , δ ) = {x | x° + 0o? U x 0 , δ = {x | x 0 ? δ & x & x 0 } ，°0& x & x 0 + δ} ，o分别称为 x 0 的左 δ 邻域和右 δ 邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用 U (x 0 ) ， U (x 0 ) 分别表? + 示 x 0 的某邻域和 x 0 的某去心邻域， U x 0 , δ ， U x 0 , δ 分别表示 x 0 的某左邻域和 x 0 的某右邻()°()域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼 此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧 的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖 关系，称为函数关系. 定义 1 设 A ， B 是两个实数集，如果有某一法则 f ，使得对于每个数 x ∈ A ，均有一个 确定的数 y ∈ B 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 内的函数.习惯上，就说 y 是 x 的函数，记作 其中， x 称为自变量， y 称为因变量， f ( x ) 表示函数 f 在 x 处的函数值.数集 A 称为函数 f 的f ( A ) = { y | y = f (x ), x ∈ A } ? By = f (x )(x ∈ A )定义域，记为 D ( f ) ；数集称为函数 f 的值域，记作 R ( f ) .此时应理解为“由对应关系 y = f ( x ) 所确定的函数 f ”.确定一个函数有两个基本要素，即定义从上述概念可知，通常函数是指对应法则 f ，但习惯上用“ y = f ( x ) , x ∈ A ”表示函数，域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取 值范围.在实际问题中， 定义域可根据函数的实际意义来确定.例如， 在时间 t 的函数 f ( t ) 中，t 通 常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有 意义的自变量 x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量 之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与 三角函数值的对应关系.因此， 气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给 出函数的方法， 分别称为图示法和列表法.但在理论研究中， 所遇到的函数多数由数学公式给出， 称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数 都是用公式法表示的函数. 称为函数 y = f ( x ) 的图像 （如图 1-2 所示） 函数 y = f ( x ) 的图像通常是一条曲线 y = f ( x ) 也 （ . 的图像通常是一条曲线， ；相反，一些几何问 称为这条曲线的方程.这样， ，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现； 题，有时也可借助于函数来作理论探讨. 有时也可借助于函数来作理论探讨 现在我们举一个具体函数的例子.从几何上看，在平面直角坐标系中 在平面直角坐标系中，点集 {(x , y ) | y = f ( x ) , x ∈ D ( f )}图 1-2 1 的定义域. 例 1 求函数 y = 4 ? x 2 + x ?1 要使数学式子有意义 解 要使数学式子有意义， x 必须满足?4 ? x 2 ≥ 0, ? ? ?x ? 1&0 , ?即? x ≤ 2, ? ? ?x &1. ?由此有 1& x ≤ 2， 因此函数的定义域为 (1，? . 2? 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则 分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数. 下面给出一些今后常用的分段函数 例 2 绝对值函数 ?x , x ≥ 0, y = x =? ??x , x &0. 的定义域 D ( f ) = ( ?∞， ∞) ， + ，值域 R ( f ) = [0, +∞ ) ，如图 1-3所示. 例 3 符号函数??1, x &0, ? y = sgn x = ?0, x = 0, ?1, x &0 ? 的定义域 D ( f ) = ( ?∞， ∞ ) ，值域 R ( f ) = {?1， 1} ，如图 1－4 所示. + 0，1图 1-3 例4图 1-4 -? 1? 最大取整函数 y = ?x ? ， ? ? ? ? 其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数.例如， ? 3 ? = ?1 ， 0 ? = 0 ， ? ? ? ? ? ? ? 2 ? = 1 ， ? π ? = 3 等等.函数 y = ?x ? 的定义域 D ( f ) = (?∞， ∞ ) ，值域 R ( f ) = {整数} .一般地， + ? ? ? ? ? ? y = ?x ? = n ， n ≤ x & n + 1 ， ? ?n = 0， 1, ±2,L ，如图 1-5 所 ± 示.值函数.若给定一个对应法则 g ，对每个 x ∈ D ( g ) ，总有确定的 y 值与之对应，但这个 y 不总 是唯一的，我们称这种法则 g 确定了一个多值函数.例如，设变量 x 与 y 之间的对应法则由方程图 1-5 在函数的定义中，对每个 x ∈ D ( f ) ，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单x 2 + y 2 = 25 给出，显然，对每个 x ∈ [?5, 5] ， 由方程 x 2 + y 2 = 25 可确定出对应的 y 值，当 x = 5 或 ?5 时，对应 y = 0 一个值；当 x ∈ ( ?5, 5) 时，对应的 y 有两个值.所以这个方程确定了一个多 值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函 数称为多值函数的单值分支.例如，由方程 x 2 + y 2 = 25 给出的对应法则中，附加“ y ≥ 0 ”的条件， “ x 2 + y 2 = 25 且 y ≥ 0 ” 即以 作为对应法则， 就可以得到一个单值分支 y = g 1 ( x ) = 25 ? x 2 ； 附加“ y ≤ 0 ”的条件，即以“ x 2 + y 2 = 25 且 y ≤ 0 ” 作为对应法则， 就可以得到一个单值分支y = g 2 (x ) = ? 25 ? x 2 . 在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应 关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径 r 的关系，就是通过另外一个变量其 底面圆面积 S 建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.函数 u = g ( x ) 在 D 上有定义， g ( D ) ? D ( f ) . 且 定义 2 设函数 y = f ( u ) 的定义域为 D ( f ) ， 则由下式确定的函数 称为由函数 y = f ( u ) 与函数 u = g ( x ) 构成的复合函数，记作y = ( f °g )( x ) = f ( g ( x ) ) ， x ∈ D ，y = f (g (x )) ， x ∈ D所有使得 g ( x ) ∈ D ( f ) 的实数 x 的全体的集合.例如， y = f ( u ) = u ，它的定义域为 D ，变量 u 称为中间变量. 这里值得注意的是，D 不一定是函数 u = g ( x ) 的定义域 D ( g ) ， D ? D ( g ) . D 是 D ( g ) 中 但u 的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，而 D ( f ) = (0, +∞ ) .因此， D＝ ? ?1,1? ，而此时 R ( f °g ) = ?0,1? . ? ? ? ?u = g ( x ) = 1 ? x 2 .显然，两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形. 例如， y = x u = a ? loga x ( a & 0且a ≠ 1) 可看成由指数函数 y = a u 与 u = ?loga x 复合而成.又形 如 y = u (x )v (x ) = a v (x ) log a u ( x ) ?u ( x )＞0 ? ( a & 0且a ≠ 1) 的函数称为幂指函数，它可看成由 y = a w 与 ? ? w = v (x )log a u (x ) 复合而成. 而 y = sin x 2 可看成由 y = u ， u = sinv ， v = x 2 复合而成. x 例 5 设 f (x ) = ( x ≠ ?1) ，求 f f ( f ( x ) ) x +1()解令 y = f ( w ) ， w = f ( u ) ， u = f ( x ) ，则 f f ( f ( x ) ) 是通过两个中间变量 w 和 u 复()合而成的复合函数，因为w = f (u ) = y = f (w ) =所以u = u +1 w = w +1x x +1 x x +1+1=x 1 ，x ≠ ? ； 2x + 1 2 = x 1 ,x ≠? ， 3x + 1 3f f ( f (x )) =()x 2x + 1 x 2x +1+1x ， x ≠ ?1, ? 1 , ? 1 . 3x + 1 2 3因变量的函数，称为函数 y = f ( x ) 的反函数，记为 x = f 从几何上看， 函数 y = f ( x ) 与其反函数 x = f?1 ?1关系式 y = f ( x ) 中唯一确定的 x 值与之对应， 则得到一个定义在 R ( f ) 上的以 y 为自变量，x 为?1其值域为 R ( f ) .如果对于 R ( f ) 中的每一个 y 值， 都有只从 定义 3 设给定函数 y = f ( x ) ，量， y 表示因变量，因此反函数 x = f 函数 y = f?1y = f ( x ) 的反函数. 此时，由于对应关系 f( y ) 有同一图像.但人们习惯上用 x 表示自变 ( y ) 常改写成 y = f ?1 ( x ) .今后，我们称 y = f ?1 ( x ) 为?1(y ).未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反( x ) 与直接函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称，如图1 - 6 所示.图 1-6 值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数 y = x 2 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ，值 + 域为，但 ?0， ∞ ) 对每一个 y ∈ ( 0， ∞ ) ，有两个 x 值即 x 1 = y 和 x 2 = ? y 与之对应，因此 x 不 + ? + 是 y 的函数，从而 y = x 2 不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若 f 是从 D ( f ) 到 R ( f 的一一映射，则 f 才存在反函数 f ?1 . x 例 6 设函数 f (x + 1) = ( x ≠ ?1) ，求 f ?1 ( x + 1) . x +1 解 函数 y = f ( x + 1) 可看成由 y = f ( u ) ， u = x + 1 复合而成.所求的反函数 y = f 可看成由 y = f?1)?1( u ) ， u = x + 1 复合而成.因为f (u ) =( x + 1)x u ?1 = ，u ≠ 0， x +1 u u ? 1 ，从而， 1 即y = ， u ( y ? 1) = ?1 ， u = u 1? y 所以 因此f?1y=f?11 (u ) = 1 ? u ，x ≠ 0.1 1 ( x + 1) = 1 ? (x + 1) = ? x ,三、函数的几种特性1. 函数的有界性 设函数 f ( x ) 在数集 D 上有定义，若存在某个常数 L ，使得对任一 x ∈ D 有 则称函数 f ( x ) 在 D 上有上界（或有下界） ，常数 L 称为 f ( x ) 在 D 上的一个上界（或下界） ； 否则，称 f ( x ) 在 D 上无上界（或无下界）. 若函数 f ( x ) 在 D 上既有上界又有下界，则称 f ( x ) 在 D 上有界；否则，称 f ( x ) 在 D 上无 ， f ( x ) ≤ L （或 f ( x ) ≥ L ）界.若 f ( x ) 在其定义域 D f ） （ 上有界，则称 f ( x ) 为有界函数.容易看出，函数 f ( x ) 在 D 上有界 的充要条件是：存在常数 M&0 ，使得对任一 x ∈ D ，都有f (x ) ≤ M .例如，函数 y = sinx 在其定义域 ( ?∞， ∞ ) 内是有界的，因为对任一 x ∈ ( ?∞， ∞ ) 都有 + +sinx ≤ 1 ，函数 y =1 在 ( 0, 1) 内无上界，但有下界. x 从几何上看，有界函数的图像界于直线 y = ± M 之间.2. 函数的单调性 设函数 f ( x ) 在数集 D 上有定义，若对 D 中的任意两数 x 1 , x 2 (x 1 & x 2 ) ，恒有则称函数 f ( x ) 在 D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号， 则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调 函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图 1-7 所示.f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) [或 f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) ]，图 1-7 例如，函数 f ( x ) = x 在其定义域 ( ?∞， ∞ ) 内是严格单调增加的；函数 f ( x ) = cosx 在 +3（ π） 0, 内是严格单调减少的.交于一点，因此 y = f ( x ) 有反函数.从几何上看，若 y = f ( x ) 是严格单调函数，则任意一条平行于 x 轴的直线与它的图像最多 3. 函数的奇偶性 设函数 f ( x ) 的定义域 D ( f ) 关于原点对称（即若 x ∈ D ( f ) ，则必有 ?x ∈ D ( f ) .若对任意f ( ?x ) = ? f ( x ) [或 f ( ?x ) = f ( x ) ]，的 x ∈ D ( f ) ，都有则称 f ( x ) 是 D ( f ) 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于 y 轴，如图 1－11 所示.例 7 讨论函数 f ( x ) = ln x + 1 + x+ 解 函数 f ( x ) 的定义域 ( ?∞， ∞ ) 是对称区间，因为(2) 的奇偶性.图 1-8 -? 1 f ( ?x ) = ln ?x + 1 + x 2 = ln ? ? 2 ?x + 1+x()= ?ln x + 1 + x 2 = ? f ( x )所以， f ( x ) 是 ( ?∞， ∞ ) 上的奇函数. + 4. 函数的周期性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ( f ) ，若存在一个不为零的常数 T ，使得对任意 x ∈ D ( f ) ，有()? ? ? ?（x ± T） D f ） ∈ （ ，且 f（x + T） f（x） = ，则称 f ( x ) 为周期函数，其中使上式成立的常数 T 称为果存在的话）. 例如，函数 f（x） sinx 的周期为 2π ； f ( x ) = tanx 的周期是 π . = 并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet）函数 ?1, x 为有理数， D (x ) = ? ? 0, x 为无理数.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期.f ( x ) 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数 T T （如 四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式. 例 8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过 50 千克时，按基本运费计算.如从上海 到某地每千克以 0.15 元计算基本运费，当超过 50 千克时，超重部分按每千克 0.25 元收费.试求 上海到该地的行李费 y （元）与重量 x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解 当 0 & x ≤ 50 时， y = 0.15x ；当 x & 50 时， y = 0.15 × 50 + 0.25(x ? 50) . 所以函数关系式为： 0 & x ≤ 50; ?0.15x , y =? ?7.5 + 0.25(x ? 50), x & 50. 这是一个分段函数，其图像如图 1－9 所示.图 1-9 下午到超市 B 工作， 晚饭后再到酒店 C 服务， 早、 例 9 某人每天上午到培训基地 A 学习， 晚饭在宿舍吃， 中午带饭在学习或工作的地方吃. A，B，C 位于一条平直的马路一侧， 且酒店在 基地与超市之间，基地与酒店相距 3km，酒店与超市相距 5km，问该打工者在这条马路的 A 与 ，才能使每天往返的路程最短. B 之间何处找一宿舍（设随处可找到） ，用 f（x） 表示每天往返的路程函 解 如图 1-10 所示，设所找宿舍 D 距基地 A 为 x （km） 数.图 1-10 当 D 位于 A 与 C 之间，即 0 ≤ x ≤ 3 时，易知 f ( x ) = x + 8 + 8 ? x） 2 ( 3 ? x ) = 22 ? 2x ， （ + 当 D 位于 C 与 B 之间，即 3 ≤ x ≤ 8 时，则 f ( x ) = x + 8 + (8 ? x ) + 2(x ? 3) = 10 + 2x . 所以?2 ? 2x ,0 ≤ x ≤ 3; f (x ) = ? ?10 + 2x ,3 ≤ x ≤ 8. 这是一个分段函数，如图 1-11 所示，在 ?0, 3? 上， f ( x ) 是单调减少，在 ?3, 8 ? 上， f ( x ) 是 ? ? ? ?单调增加.从图像可知，在 x = 3 处，函数值最小.这说明，打工者在酒店 C 处找宿舍，每天走的 路程最短. 图 1-11五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我 下面我们再对这几类 们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便， 函数作一简单介绍. 1. 幂函数 函数y =x ?( ? 是常数)称为幂函数. 幂函数 y = x ? 的定义域随 ? 的不同而异， 但无论 ? 为何值， 函数在 ( 0， ∞ ) 内总是有定义的. + 当 ? & 0 时， y = x ? 在 ?0， ∞ ) 上是单调增加的，其图像过点 0,0 及点 (1,1) ，图 1-12 列出 （ ） ? +了?=1 ， ? = 1 ， ? = 2 时幂函数在第一象限的图像. 21 当 ? & 0 时， = x ? 在 ( 0， ∞ ) 上是单调减少的， y 其图像通过点 (1,1) ， 1-13 列出了 ? = ? ， 图 + 2 ? = ?1 ， ? = ?2 时幂函数在第一象限的图像.图 1-12图 1-132. 指数函数函数y = a x ( a 是常数且 a & 0，a ≠ 1 ) 称为指数函数. 指数函数 y = a x 的定义域是 ( ?∞， ∞ ) ，图像通过点 ( 0, 1) ，且总在 x 轴上方. + 当时 a & 1 ， y = a x 是单调增加的；当 0 & a & 1 时， y = a x 是单调减少的，如图 1-14 所示. 以常数 e = 2.L 为底的指数函数 y = ex 是科技中常用的指数函数.图 1-143. 对数函数 指数函数 y = a x 的反函数，记作 y = loga x （ a 是常数且 a & 0, a ≠ 1 )， 称为对数函数. 对数函数 y = loga x 的定义域为 ( 0， ∞ ) ，图像过点 (1, ) .当 a & 1 时， y = loga x 单调增加； + 0 当 0 & a & 1 时， y = loga x 单调减少，如图 1-15 所示. 科学技术中常用以 e 为底的对数函数 y = logex ，图 1-15 它被称为自然对数函数，简记作y = lnx .另外以 10 为底的对数函数y = log10 x ， 也是常用的对数函数，简记作 y = lgx .4. 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数 y = sinx ， 余弦函数 y = cosx ， 正切函数 y = tanx ， 余切函数 y = cot x ， 其中自变量 x 以弧度作单位来表示. 它们的图形如图 1-16，图 1-17，图 1-18 和图 1-19 所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线， 正切曲线和余切曲线.图 1-16 -图 1-17 正弦函数和余弦函数都是以 2π 为周期的周期函数，它们的定义域都为 ( ?∞, +∞ ) ，值域都为? ?1,1? .正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. ? ?图 1-18 图 1-19 ? x + π ? ，所以，把正弦曲线 y = sinx 沿 x 轴向左移动 π 个单位，就获得余 由于 cosx = sin ? ? 2 2? ? 弦曲线 y = cosx . sin x 正切函数 y = tan x = 的定义域为 cos x D ( f ) = {x | x ∈ R，x ≠ (2n + 1), n为整数} . 余切函数 y = cot x =正切函数和余切函数的值域都是 ( ?∞， ∞ ) ， 且它们都是以 π 为周期的函数， 且都是奇函数. + 另外，常用的三角函数还有 正割函数 y = secx ； 余割函数 y = cscx .cos x 的定义域为 sin x D ( f ) = {x x ∈ R ，x ≠ n π, n为整数} . ｜ 它们都是以 2π 为周期的周期函数，且 1 sec x = ； cos x 5. 反三角函数csc x =1 . sin x常用的反三角函数有 反正弦函数 y = arcsinx (如图 1-20)； 反余弦函数 y = arccosx (如图 1-21)； 反正切函数 y = arctanx (如图 1-22)； y = arccotx (如图 1-23). 反余切函数 它们分别称为三角函数 y = sinx ， y = cosx ， y = tanx 和 y = cotx 的反函数. 这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三角函数 y = sinx ， y = cosx ， y = tanx 和 y = cotx 在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数 y ，有多个 x 与之 对应.但这些函数在其定义域的每一个单调增加 （或减少） 的子区间上存在反函数.例如， = sinx y ? ? π , π ? 上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数 arcsinx 的主值， 在闭区间 ? ? 2 2? ? 记作 y=arcsinx.通常我们称 y = arcsinx 为反正弦函数.其定义域为 ? ?1, 1? ，值域为 ? ? π , π ? .反正 ? ? ? 2 2? ? ? 弦函数 y = arcsinx 在 ? ?1, 1? 上是单调增加的，它的图像如图 1-20 中实线部分所示. ? ? 类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值 y = arccosx , y = arctanx 和 y = arccotx ， 它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数. 反余弦函数 y = arccosx 的定义域为 ? ?1,1? ，值域为 ?0, π ? ，在 ? ?1,1? 上是单调减少的， ? ? ? ? ? ? 其图像如图 1-21 中实线部分所示.π 反正切函数 y = arctanx 的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，值域为 ? ? π ， ? ，在 ( ?∞， ∞ ) 上是单调增 + ? ? ? 2 2? 加的，其图像如图 1-22 中实线部分所示. 反余切函数 y = arccotx 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ，值域为 0, π） ，在 ( ?∞， ∞ ) 上是单调减少 （ + +的，其图像如图 1-23 中实线部分所示.图 1-20 -图 1-21 - 图 1-22图 1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数， 称为初等函数.例如，y = 3x 2 + sin4x ，y = ln x + 1 + x 2 ，y = arctan2x 3 + lg(x + 1) + sin x x 2 +1 等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的， 有些分 段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已.例如，绝对值函数也可 ? ?1, x & a, (x ? a )2 ? ? .这两个函 以表示成 y = x = x 2 ；函数 f (x ) = ? 也可表示成 f (x ) = 1 ? 1 ? 2? x ?a ? ?0, x & a ? ? 数也是初等函数.()七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数 双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数.定义如下： x ?x 双曲正弦 shx = e ? e (?∞ & x & +∞) ， 2 ex + e?x 双曲余弦 chx = (?∞ & x & +∞) ， 2 sh x ex ? e?x 双曲正切 thx = = (?∞ & x & +∞) ， ch x ex + e? x 其图像如图 1-24 和图 1-25 所示图 1-24 -图 1-25 - . 双曲正弦函数的定义域为 (?∞ & x & +∞) ， 它是奇函数， 其图像通过原点 ( 0,0 ) 且关于原点对 称.在 (?∞ & x & +∞ ) 内单调增加. 在 ( ?∞,0 ) 内单调减少；在 ( 0， ∞ ) 内单调增加. + 双曲余弦函数的定义域为 (?∞ & x & +∞ ) ， 它是偶函数， 其图像通过点 ( 0, 1) 且关于 y 轴对称， 双曲正切函数的定义域为 (?∞ & x & +∞) ， 它是奇函数， 其图像通过原点 ( 0,0 ) 且关于原点对称.在 (?∞ & x & +∞ ) 内是单调增加的. 由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立. sh ( x ± y ) = shx chy ± chx shy ，ch ( x ± y ) = chx chy ± shx shy ，sh2x = 2shx chx ， ch2x = ch 2 x + sh 2 x = 1 + 2sh 2x = 2ch 2x ? 1 ， ch 2x ? sh 2x = 1 .2. 反双曲函数 双曲函数的反函数称为反双曲函数， y = shx ， y = chx 和 y = thx 的反函数，依次记为 反双曲正弦函数 y = arshx ， 反双曲余弦函数 y = archx ， 反双曲正切函数 y = arthx . 反双曲正弦函数 y = arshx 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ， 它是奇函数， ( ?∞， ∞ ) 内单调增加， 在 + + 由 y = shx 的图像，根据反函数作图法，可得 y = arshx 的图像，如图 1-26 所示.利用求反函数 的方法，不难得到y = arshx = ln x + x 2 + 1 .反双曲余弦函数 y = archx 的定义域为 ?1， ∞ ) ，在 ?1， ∞ ) 上单调增加，如图 1-27 所示， ? + ? + 利用求反函数的方法，不难得到()y = archx = ln x + x 2 ? 1 .()图 1-26 图 1-27 反双曲正切函数 y = artanhx 的定义域为 (?1， ，它在 (?1， 内是单调增加的.它是奇函数， 1) 1) 其图像关于原点 (0， 对称，如图 1-28 所示.容易求得 0)y = arthx = ln 1 + x . 1?x 图 1-28 -第二节 数列的极限一、数列极限的定义23L 定 义 1 如 果 函 数 f 的 定 义 域 D ( f ) = N * = {1，，， } ， 则 函 数 f 的 值 域列中的每个数称为一项，而 x n = f ( n ) 称为一般项.简称数列，即 f (1) , f ( 2 )， , f ( n )， .通常数列也写成 x 1，x 2， , x n， ，并简记为 {x n } ，其中数 L L L L对于一个数列，我们感兴趣的是当 n 无限增大时， x n 的变化趋势.f ( N * ) = { f ( n ) | n ∈ N * } 中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，我们看下列例子： 1 , 2 ,L , n ,L 数列 2 3 n +1 的项随 n 增大时，其值越来越接近 1； 数列 2，，， ，n， 46 L2 L 的项随 n 增大时，其值越来越大，且无限增大；1 + ( ?1)n ?1 1，1 L， 0，， ,L n 的各项值交替地取 1 与 0；(1－2－1) (1－2－2)数列(1－2－3)的一般项 x n 无限地趋近于某一个常数 a（即 x n ? a 无限地接近于 0） 那么就说 a 是数列 {x n } 的 ，( ?1) ,L (1－2－4) 数列 1, ? 1 , 1 ,L , 2 3 n 的各项值在数 0 的两边跳动，且越来越接近 0； 数列 2，，， ，， (1－2－5) 22 L2 L 各项的值均相同. 在中学教材中， 我们已知道极限的描述性定义， “如果当项数 n 无限增大时， 即 无穷数列 {x n }n ?1? (?1)n ?1 ? 极限”.于是我们用观察法可以判断数列 n ? 1 ， ? 0， ? ，{2} 都有极限，其极限分别为 1, 2 . n ? n ? 但什么叫做“ x n 无限地接近 a ”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明.我们知道， 两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 b ? a 来度量.在数轴{ } 上 b ? a 表示点 a 与点 b 之间的距离， b ? a 越小，则 a 与 b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因 为xn ?1 = ? 1 = 1 ， n n1 1 我们知道， n 越来越大时， 越来越小， 当 从而 x n 越来越接近 1.因为只要 n 足够大， x n ? 1 = n n 1 就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数 ，只要 n & 100 即可得 100 x n ? 1 & 1 ， n = 101, 102,L 100 1 如果给定 ，则从 10001 项起，都有下面不等式 10000 xn ?1 & 1 10000 n ?1 成立.这就是数列 x n = (n = 1, 2,L) ，当 n → ∞ 时无限接近于 1 的实质. n 一般地，对数列 {x n } 有以下定义.定义 2 设 {x n } 为一数列，若存在常数 a 对任意给定的正数 ε (无论多么小)，总存在正整数xn ?a & εN ，当 n & N 时，有不等式即 x n ∈ U (a , ε) ，则称数列 {x n } 收敛， a 称为数列 {x n } 当 n→∞时的极限，记为lim x n = a 或 x n → a ( n → +∞ ) .n →∞若数列 {x n } 不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数 N 与 ε 有关，一般说来， N 将随 ε 减小而增大，这样的 N 也不是唯一的. 显然，如果已经证明了符合要求的 N 存在，则比这个 N 大的任何正整数均符合要求，在以后有 关数列极限的叙述中， 如无特殊声明，N 均表示正整数.此外， 由邻域的定义可知，x n ∈ U ( a，ε ) 等价于 x n ? a & ε . 我们给“数列 {x n } 的极限为 a ”一个几何解释： 将常数 a 及数列 x 1 , x 2 , x 3 ,L , x n ,L 在数轴上用它们的对应点表示出来， 再在数轴上作点 a 的ε 邻域，即开区间 (a ? ε, a + ε) ，如图 1-29 所示? 因两个不等式 图 1-29 ， a ?ε&xn &a +ε | x n ? a |& ε等价，所以当 n & N 时，所有的点 x n 都落在开区间 (a ? ε, a + ε) 内，而只有有限个点（至多只有符号“ min {X } ”表示数集 X 中的最小数.数列极限 lim x n = a 的定义可表达为：n →∞N 个点）在这区间以外. 为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“ ? ”表示“对于任意的”“对于所 、 有的”或“对于每一个” ；符号“ ? ”表示“存在”；符号“ max {X } ”表示数集 X 中的最大数；lim x n = a ? ?ε & 0 ， ? 正整数 N ，当 n & N 时，有 x n ? a & ε .n →∞ 例 1 证明 证lim 1 = 0 . n→∞ 2n1 1 ?ε & 0 (不防设 ε & 1 )，要使 1 ? 0 = 1 & ε ，只要 2n & ，即 n & ln ） ln2 . （ / n n ε ε 2 2 ? ? 1 因此， ?ε & 0 ，取 N = ?? ln ? /ln2? ，则当 n & N 时，有 1 ? 0 & ε .由极限定义可知 ? ? 2n ?? ε ? ? lim 1 = 0 . n →∞ 2n 1 nπ = 0 . 例 2 证明 lim cos n →∞ n 4 1 由于 1 cos n π ? 0 = 1 cos n π ≤ 1 ，故 ?ε & 0 ，要使 1 cos n π ? 0 & ε ，只要 & ε ， 证 n n 4 n 4 n n 4 1 即n & . ε 因此， ?ε & 0 ，取 N = ? 1 ? ，则当 n & N 时，有 1 cos n π ? 0 & ε .由极限定义可知 ?ε? n 4 ? ? lim 1 cos n π = 0 . n →∞ n 4 用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方 法.二、数列极限的性质定理 1（惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一 （惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一. 反设极限不惟一： lim x n = a ，lim x n = b ， a ≠ b ， 即 且 不妨设 a & b ， 证 设数列 {x n } 收敛，n →∞ n →∞b ? a ，则 b ? a ，即 由极限定义，取 ε = ?N 1＞0 ，当 n & N 1 时， x n ? a & 2 2 3a ? b ＜x ＜ a + b ， （1-2-6） n 2 2 b?a ?N 2 & 0 ，当 n & N 2 时， x n ? b & ，即 2 a + b ＜x ＜ 3b ? a ， (1-2-7) n 2 2 取 N = max { N 1 , N 2 } ，则当 n & N 时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列 {x n } 的极限必惟一. 定义 3 设有数列 {x n } ，若存在正数 M ，使对一切 n = 1, 2,L ，有 x n ≤ M ，则称数列 {x n }存在常数 M ，使对 n = 1, 2,L ，有 x n ≥ M ，则称数列 {x n } 有下界. 显然，数列 {x n } 有界的充要条件是 {x n } 既有上界又有下界. 例 3n是有界的，否则称它是无界的. 对于数列 {x n } ，若存在常数 M ，使对 n = 1，， ，有 x n ≤ M ，则称数列 {x n } 有上界；若 2L数列（ { ? 1）n ? 1} 既无上界又无下界.{ }1 有界；数列 n 2 有下界而无上界；数列 ?n 2 有上界而无下界；数列 n2 + 1{ }{ } 收敛， 有界. 定理 2（有界性） 若数列 {x n } 收敛，则数列 {x n } 有界 （有界性） 证 设 lim x n = a ，由极限定义， ?ε & 0 ，且 ε & 1 ， ?N & 0 ，当 n & N 时，| x n ? a |& ε & 1 ，n →∞从而 x n &1 + a .取 M = max 1 + a , x 1 , x 2 ,…, x N ，则有 x n ≤ M ，对一切 n = 1, 2, 3,L ，成立，即 {x n } 有 界. 定理 2 的逆命题不成立，例如数列 (?1)n 有界，但它不收敛. ，则 定理 3（保号性） 若 lim x n = a ， a & 0 （或 a & 0 ） 则 ?N & 0 ，当 n & N 时， x n & 0 （或 （保号性） ，n →∞{}{}x n & 0 ）.证 由极限定义 ，对 ε =a &0 a a 3 ， ?N & 0 ，当 n & N 时， x n ? a & ，即 & x n & a ，故当 2 2 2 2a n & N 时， x n & & 0 . 2 类似可证 a & 0 的情形. 当 推论 设有数列 {x n } ， ?N & 0 ，当 n & N 时， x n & 0 (或 x n & 0 )，若 lim x n = a ，则必有 若 则必有n →∞a ≥ 0 (或 a ≤ 0 ). 或 在推论中，我们只能推出 a ≥ 0 (或 a ≤ 0 )，而不能由 x n & 0 (或 x n & 0 )推出其极限(若存在)也大于 0(或小于 0).例如 x n =称它为 {x n } 的一个子列.?1 &0 1 ，但 lim x n = lim = 0 . n →∞ n →∞ n n 下面我们给出数列的子列的概念. 定义 4 在数列 {x n } 中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，在选出的子列中，记第 1 项为 x n 1 ，第 2 项为 x n 2 ，…，第 k 项为 x n k ，…，则数列 {x n } 的子列可记为 x n k . k 表示 x n k 在子列 x n k 中是第 k 项， nk 表示 x n k 在原数列 {x n } 中是第 nk 项.显 然，对每一个 k ，有 nk ≥ k ；对任意正整数 h ，k ，如果 h ≥ k ，则 nh ≥ nk ；若 nh ≥ nk ，则 h ≥ k ? 由于在子列 x n k 中的下标是 k 而不是 nk ， 因此 x n k 收敛于 a 的定义是：?ε & 0 ，?K & 0 ， 当 k & K 时，有 x n k ? a & ε .这时，记为 lim x n k = a .? 定理 4 的充要条件是： 的任何子列{ 都收敛，且都以 lim xn = a 的充要条件是： {x n } 的任何子列 x n k }都收敛 且都以 a 为极限.? 都收敛k →∞ k →+∞{ }{ }{ }{ }证 先证充分性.由于 {x n } 本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证.? 下面证明必要性.?由 lim xn = a ， ?ε & 0 ， ?N & 0 ，当 n & N 时，有k →∞x n ? a & ε .?今取 K = N ，则当 k & K 时，有 nk & n K = n N ≥ N ，于是 x n k ? a & ε .? 故有 定理 4 用来判别数列 {x n } 发散有时是很方便的.如果在数列 {x n } 中有一个子列发散，或者k →∞lim xn k = a .?有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言 {x n } 是发散的.? 例 4 判别数列 xn = sin解 在 {x n } 中选取两个子列：*{nπ , n ∈ N * 的收敛性.? 8}? 20 π ? (16k + 4 ) π ? (16k + 4 ) π , ? ? ?? . ? ? , ? ? ? sin , k ∈ N * ? ，即 ?sin ?sin ? 8 8 8 ? ? ? ? ? ?k {sin 88π , k ∈ N } ，即 {sin 88π ,sin 168π ,? ? ?sin 8k8π , ? ? ?} ；显然，第一个子列收敛于 0 ，而第二个子列收敛于 1 ，因此原数列 sin n π 发散. 8{}三、收敛准则定义 5 数列 {x n } 的项若满足 x 1 ≤ x 2 ≤ L ≤ x n ≤ x n +1 ≤ L ，则称数列 {x n } 为单调增加数列；若满足 x 1 ≥ x 2 ≥ L ≥ x n ≥ x n +1 ≥ L ，则称数列 {x n } 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成 立时，则分别称 {x n } 是严格单调增加和严格单调减少数列.单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n ? ? ? 1 ? 例 5 证明数列 ?? 1 + ? ? 收敛. ? ? n? ? ? ? ? ?n ? ? ? 1 ? 证 根据收敛准则，只需证明 ?? 1 + ? ? 单调增加且有上界（或单调减少且有下界）. ? ? n? ? ?? ? ? 由二项式定理，我们知道 1 2 n x n = (1 + 1 )n = 1 + Cn 1 + Cn 12 + L + Cn 1n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 2 n ?1 = 1 + 1 + (1 ? ) + (1 ? )(1 ? ) + L + (1 ? )(1 ? )L (1 ? )， 2! n 3! n n n! n n n 1 n +1 1 1 1 1 2 n +1 x n +1 = (1 + ) = 1 + Cn + 1 + Cn + 1 + L + Cn + 1 2 n +1 n +1 (n + 1) (n + 1)n +1 = 1 + 1 + 1 (1 ? 1 ) + 1 (1 ? 1 )(1 ? 2 ) + L 2! n + 1 3! n +1 n +1 1 (1 ? 1 )(1 ? 2 ) + L + (1 ? n ? 1 ) + n! n +1 n +1 n +1 1 1 2 n + (1 ? )(1 ? ) + L + (1 ? )， (n + 1)! n +1 n +1 n +1 逐项比较 x n 与 x n +1 的每一项，有x n & x n +1 ， n = 1,2,L.这说明数列 {x n } 单调增加，又x n & 1 + 1 + 1 + 1 +L+ 1 2! 3! n! 1 + 1 +L + 1 &1+1+ 2 22 2n 1 ? 1n 2 = 3? 1 & 3. = 1+ 2 n?1 1? 1 2 n n ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 即数列 ?? 1 + ? ? 有界，由收敛准则可知 ?? 1 + ? ? 收敛. ? ? ? ? n? ? n? ? ?? ?? ? ? ? ? n ?? ? ? 1 ? 我们将 ?? 1 + ? ? 的极限记为 e ，即 ? n? ? ? ? ? ?1 lim ? 1 + ? = e . ? ? n →∞ ? n?n第三节函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际 问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数 值的变化趋势， 即所谓的函数极限， 才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义， 数列 {x n } 可看做自变量为正整数 n 的函数：x n = f (n ) ，n∈ N* ，所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型.一、 x → ∞ 时函数的极限当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所 不同的只是自变量的变化可以是连续的. 如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数 ε （无 定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , +∞ ) 上有定义，论它多么小） ，总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x & X 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等 式 那么，称函数 f ( x ) 当 x 趋于+∞时极限存在并以 A 为极限，记作lim f (x ) = A 或 f (x ) → Ax →∞f (x ) ? A & ε ，(x → +∞) .使得当 x & X 时，函数 y = f ( x ) 图形位于这两条直线之间.以 A 为极限意味着： A 的任何邻域必含有 f 在某个区间 ? X , +∞ ) 的所有函数值. ? 定义 1 的几何意义如图 1-30 所示， 作直线 y = A ? ε 和 y = A + ε ， 则总有一个正数 X 存在，在定义中正数 X 的作用与数列极限定义中的正整数 N 类似，说明 x 足够大的程度，所不同 的是， 这里考虑的是比 X 大的所有实数 x ， 而不仅仅是自然数 n ， 因此， x → +∞ 时， 当 函数 f ( x ) 图 1-30 类似于定义 1，我们定义 x 趋于 ?∞ 时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数 f ( x ) 在 区间 (?∞, a ] 上有定义，如果存在常数 A ， ?ε & 0 ， ?X & 0 ，使得当 x & ? X 时，总有 则称 f ( x ) 当 x → ?∞ 时极限存在并以 A 为极限，记作x →?∞f (x ) ? A & ε ，lim f (x ) = A 或 f (x ) → A ( x → ?∞ ).cos x =0. 例 1 证明 lim x →+∞ x证 由于cos x cos x 1 ，故 ?0 = ≤ ? ε ＞0， x x xcos x ? 0 & ε ，只要 1 & ε ，即 x & 1 . ε2 x x 因此， ?ε & 0 ，可取 X = 1 ， ε2要使 则当 x & X 时， 故 例 2 证明 lim 10x = 0 .x →?∞cos x ?0 & ε， x lim cos x = 0 . x →+∞ x证?ε & 0 ，要使 10x ? 0 = 10x & ε ，只要 x & lg ε .因此可取 X =| lg ε | +1 ，当 x & ? X 时，即有 10x ? 0 & ε ，故由定义 1 得定义 2论它多么小） ，总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x & X 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等 式f (x ) ? A & ε ，设函数 f ( x ) 当 x 充分大时有定义， 如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数 ε（不x →+∞lim 10x = 0 .那么，常数 A 就称为函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限，记作lim f (x ) = A 或x →∞f (x ) → A ( x → ∞ ).由定义 1、定义 2 及绝对值性质可得下面的定理. lim f (x ) = A 的充要条件是 lim f (x ) = lim f (x ) = A 定理 1x →+∞ x →+∞ x →?∞ 例 3 证明 lim 证x ?2 =1. x +1 3 而 3 ?ε & 0 ， 要使 x ? 2 ? 1 = 3 & ε ， 只需 x + 1 & ， x + 1 ≥ x ? 1 ， 故只需 x ? 1& ， ε ε x +1 x +1x →∞3 即 x &1 + . ε 3 则当 x ?2 =1. 因此，?ε & 0 ， 可取 X = 1 + ， 有 ? 故由定义 2 得 lim x & X 时， x 2 ? 1 & ε ， x →∞ x + 1 ε x +1二、 x → x 0 时函数的极限对一般函数而言，除了考察自变量 x 的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可 研究 x 无限接近 x 0 时，函数值 f ( x ) 的变化趋势问题.它与 x → ∞ 时函数的极限类似，只是 x 的 趋向不同，因此只需对 x 无限接近 x 0 时 f ( x ) 的情形作出确切的描述即可. 定义 3 设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某个去心邻域内有定义， A 为常数，若对于任意给定的正数，总存在正数 δ ，使得当 x 满足不等式 0 & x ? x 0 & δ 时，对应的函数值 f ( x ) ε（无论它多么小） 都满足f (x ) ? A & ε ，则称函数 f ( x ) 当 x → x 0 时的极限存在并以 A 为极限，记作 “ 定义.研究 f ( x ) 当 上述定义称为 x → x 0 时函数极限的分析定义或 x → x 0 时函数极限的 ε ? δ ”x →x 0lim f (x ) = A ，或 f ( x ) → A （ x → x 0 时）.有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说 f ( x ) 在 x = x 0 处有无极限 与函数在该点有没有定义无关. 函数 f ( x ) 当 x → x 0 时的极限为 A 的几何解释如下：任意给定一正数 ε ，作平行于 x 轴的我们关心的是 x 无限趋近 x 0 时 f ( x ) 的变化趋势， 而不关心 f ( x ) 在 x = x 0 处 x → x 0 的极限时，两条直线 y = A + ε 和 y = A ? ε ，介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的 ε ， 存在着点 x 0 的一个 δ 邻域( x 0 ? δ ，x 0 + δ )， y = f ( x ) 的图形上的点的横坐标 x 在邻域( x 0 ? δ ， 当x 0 + δ )内，但 x ≠ x 0 时，这些点的纵坐标 f(x)满足不等式f (x ) ? A & ε ，或 A ? ε & f (x ) & A + ε .亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图 1-31 所示.图 1-31 x ?1 = 2 . 例 4 证明 lim x →1 x ? 12 x 2 ? 1 在 x = 1 处无定义. 证 函数 f (x ) = x ?1?ε & 0 ，要找 δ & 0 ，使 0 & x ? 1 & δ 时，x 2 ?1 ? 2 = x ? 1｜＜ε 成立. ｜ x ?1 x 2 ?1 ? 2 & ε 成立， x ?1因此， ?ε & 0 ，据上可取 δ = ε ，则当 0 & x ? 1 & δ 时， 由定义 1 得 lim x ? 1 = 2 . x →1 x ? 1 例 5 证明 lim sinx = sinx 0 .2x →x 0证因为 x 0 → 0 时，由于 sinx ≤ x ， x ≤ 1 ，所以 cos| sinx ? sinx 0 |= 2 cosx +x0 x ?x0 sin ≤ x ?x0 2 2因此， ?ε & 0 ，取 δ = ε ，则当 0 & x ? x 0 & δ 时， | sinx ? sinx 0 |& ε 成立，由定义 3 得 在考察函数 f ( x ) 当 x → x 0 的极限时，应注意 x 趋于点 x 0 的方式是任意的，动点 x 在 x 轴 上既可以从 x 0 的左侧趋于 x 0 ，也可以从 x0 的右侧趋于 x 0 ，甚至可以跳跃式地时左时右地从左 右两侧趋于 x 0 .但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑 x 从点 x 0 的一侧( x & x 0 或 x & x 0 )趋 于 x 0 ，这时函数的极限，即所谓的单侧极限. 定义 4 设函数 y = f ( x ) 在 x 0 的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给x →x 0lim sinx = sinx 0 .( 0 & x 0 ? x & δ )时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 则称 A 为 f ( x ) 当 x → x 0 时的右(左)极限，记作+ x →x 0定的正数 ε （无论它多么小） 总存在着正数 δ ，使得当 x 满足不等式 0 &x ?x0 & δ ，f (x ) ? A & ε? lim f (x ) = A ? ? x →x 0? ? ? ?? ? f (x 0 ) = A ? . ? ?lim f (x ) = A+ f (x 0 ) = A或左极限与右极限统称为单侧极限. 由定义 3 和定义 4 可得下面的结论. lim f (x ) = a 的充要条件是 lim? f (x ) = lim+ f (x ) = a . 定理 2x →x 0x →x 0 x →x 0由此可以看出，如果 f (x ) 、 f (x ) 中至少有一个不存在，或者它们虽然都存在，但不相 等时就可以断言函数在 x0 处的极限不存在.这一方法常常用来讨论分段函数在分界点的极限不 存在问题. 例6 设 ?cos x , x & 0, f (x ) = ? ? 1 ? x x ≥ 0, 试讨论 lim f (x ) .x →0+ 0? 0解x = 0 是此分段函数的分段点，仿照例 5 的方法可得 x →0 ?lim f (x ) = lim? cos x = cos 0 = 1 ，x →0 x →0而x →0x →0+lim f (x ) = lim+ (1 ? x ) = 1 .故由定理 3 可得 lim f (x ) = 1 . 例7 设?x , x ≤ 0, f (x ) = ? ? 1 x & 0,试讨论 lim f (x ) .x →0解 由于x → 0? x → 0+lim f (x ) = lim? x = 0 ，x →0 x →0lim f (x ) = lim+ 1 = 1 ，x →0所以 lim? f (x ) ≠ lim+ f (x ) ，故 lim f (x ) 不存在.x →0 x →0?ex + 1, x & 0, ? 例 8 设 f (x ) = ? ? x + b, x ≤ 0. ?问 b 取何值时，可使极限 lim f (x ) 存在？x →0解 由于x → 0+lim f (x ) = lim+ (ex + 1) = 2 ，x →0x →0 x →0lim? f (x ) = lim? (x + b) = b ，x →0 x →0 x →0由定理 2 可知，要使 lim f (x ) 存在，必须 lim+ f (x ) = lim? f (x ) ，因此 b = 2 .三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有下述性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证 明过程相似，有兴趣的读者可自行完成各定理的证明.此外，下面未标明自变量变化过程的极限 符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立. 存在，则必惟一. 定理 3 若 lim f (x ) 存在，则必惟一. 定理 4 (函数的局部有界性 如果 lim f (x ) = A ，那么存在常数 M & 0 和 δ & 0 ，使得当 函数的局部有界性)如果 函数的局部有界性x →x 00 & x ? x 0 & δ 时，有f (x ) ≤ M .证 时，有因为 lim f (x ) = A ， 根据函数极限的 ε ? δ ” “ 定义， ε = 1 ， ?δ & 0 ， 0 & x ? x 0 & δ 取 则 当x →x 0f (x ) ? A & 1 ，而f (x ) = f (x ) ? A + A ≤ f (x ) ? A + A & A + 1 ，记 M = A + 1 ，故f (x ) ≤ M .类似可证：如果 lim f (x ) = A ，那么存在正常数 M 和 X ，使得当 x & X 时，有x →∞ f (x ) ≤ M .对于单侧极限也有类似的结论.另外，我们必须注意，该定理的逆命题是不成立的.例如 sinx 为 有界函数，但 lim sin x 不存在.x →∞定理 5若 lim f (x ) = A ，且 A & 0 （或 A & 0 ） 则存在 δ & 0 ，使得对一切满足不等式 ，则 使得对一切满足不等式x →x 00 & x ? x 0 & δ 的 x ，有 f (x ) & 0x →∞[或 f ( x ) & 0 ].若 lim f (x ) = A ，且 A & 0 (或 A & 0 )，则 ?X & 0 ，使得对一切满足不等式 x 则 使得对一切满足不等式 若 f ( x ) ≥ 0 [或 f ( x ) ≤ 0 ]，且 limf ( x ) = A ，则 A ≥ 0 ( A ≤ 0 ) . 且f ( x ) & 0 ［或 f ( x ) & 0 ］.& X 的 x ，有 有推论第四节无穷大量与无穷小量有两种极限是数学理论研究和处理实际问题时经常遇到的，这就是本节要介绍的无穷大量 和无穷小量的概念，尤其是无穷小量的概念非常有用.一、无穷大量在函数极限不存在的各种情形下，有一种较为特别的情形，即当 x → x 0 或 x → ∞ 时，f (x ) 无限增大的情形. 例如，函数 f (x ) =1 ，当 x → 1 时， 1 无限增大这就是 f (x ) = 1?x 1?x我们要介绍的无穷大量. 定义 1 设函数 f ( x ) 在 x 0 的某一去心邻域内（或 x 大于某一正数时）有定义，如果对于 任意 给定的正数 M （不论它多 么大） 总存在正数 δ （或正数 X ） ， ，只要 x 满足不等式 0 & x ? x 0 & δ (或 x & X )，对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式f (x ) & M则称函数 f ( x ) 为当 x → x 0 （或 x → ∞ ）时的无穷大量.有时简称为无穷大.若用 f (x ) & M 代替 上述定义中的 f (x ) & M ，则得到正无穷大量的定义；若用 f (x ) & ? M 代替 f (x ) & M ，则得 到负无穷大量的定义. 分别将某极限过程中的无穷大量、正无穷大量、负无穷大量记作： lim f (x ) = ∞ , lim f (x ) = +∞, lim f (x ) = ?∞ . 例11 1 是正无穷大量； = +∞ ，即 x → 1 时， 2 (x ? 1) (x ? 1)2 ?1 是负无穷大量； lim ?1 = ?∞ ，即 x → ?1 时， x →?1 (x + 1) 2 (x + 1)2 lim+ ln x = ?∞ , lim? tan x = +∞ , lim+ tan x = ?∞ . limx →1x →0x →π 2x →π 2应该注意，称一个函数为无穷大量时，必须明确地指出自变量的变化趋势.对于一个函数， π 一般来说，自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同.例如函数 y = tanx ，当 x → 时，它是一 2 个无穷大量，而当 x → 0 时，它趋于零. 由无穷大量的定义可知，在某一极限过程中的无穷大量必是无界变量，但其逆命题不成立. 1 1 例如，函数 y = sin 在区间 ( 0,1? 上无界，但这函数当 x → 0+ 时不是无穷大. ? x x二、无穷小量如果对于任意给 定义 2 设函数 α(x ) 在 x 0 的某个去心邻域内(或 x 大于某一正数时)有定义， 定的 ε & 0 （无论它多么小） ，总存在 δ & 0 (或 X & 0 )，使得当 0 & x ? x 0 & δ （或 x & M ）时， 有α(x ) & ε |成立，则称函数 α(x ) 为 x → x 0 （或 x → ∞ ）时的无穷小量. 习惯上， 我们往往把无穷小量说成是 “极限为零的变量” 这使得它的判别与应用更加简单. ， 例2 当 x → 2 时， y = 2x ? 4 是无穷小量，因为容易证明 lim (2x ? 4) = 0 .x →21 1 当 x → ∞ 时， y = 也是无穷小量，因为 lim = 0 . x →∞ x x 下面的定理说明了无穷小量与函数极限的关系. 定理 1 lim f ( x ) = A 的充要条件是 f (x ) = A + α(x ) ，其中 α(x ) 为该极限过程中的无穷小 其中量. 证 为方便起见，仅对 x → x 0 的情形证明，其他极限过程可仿此进行. 设 lim f (x ) = A ， α(x ) = f (x ) ? A ， ?ε & 0 ， δ & 0 ， x ∈ U (x 0 , δ ) 时， f ( x ) ? A & ε ， 记 则 ? 当ox →x 0即 α(x ) ? 0 & ε . 由极限定义可知， lim α(x ) = 0 ，即 α(x ) 是 x → x 0 时的无穷小量，且x →x 0f (x ) = A + α(x ) .α(x ) ? 0 & ε ，即 f ( x ) ? A & ε ，由极限定义可知， lim f (x ) = A .x →x 0反 过来，若 当 x → x 0 时， α(x ) 是 无穷 小量 ，则 ?ε & 0 ， ?δ & 0 ，当 x ∈ U (x 0 , δ ) 时，o下面推导无穷大量与无穷小量之间的关系. 在某极限过程中， 为无穷大量， 定理 2 在某极限过程中，若 f (x ) 为无穷大量，则1 为无穷小量；反之， 为无穷小量；反之，若 f (x ) 为无 f (x )1 为无穷大量. 穷小量， 穷小量，且 f (x ) ≠ 0 ，则 为无穷大量 f (x ) 证 我们仅对 x → x 0 的情形证明，其他情形仿此可证.设 lim f (x ) = ∞ ，则 ?ε & 0 ，令 M =x →x 0° 1 ，则 ?δ & 0 ，当 1 x ∈ U (x 0，δ ) 时， f (x ) & M = ， ε ε即1 & ε ，故 1 为 x → x 0 时的无穷小量. f (x ) f (x )反之，若 lim f (x ) = 0 ，且 f (x ) ≠ 0 ，则 ?M & 0 ， 令 ε =x →x 0° 1 ，则 ?δ & 0 ， 当 x ∈ U (x 0，δ ) M时， f (x ) & ε =1 ，即 1 & M ，故 1 为 x → x 时的无穷大量. 0 f (x ) M f (x ) 三、无穷小量的性质在某一极限过程中， 是无穷小量， 也是无穷小量. 定理 3 在某一极限过程中，如果 α(x ) ， β(x ) 是无穷小量，则 α(x ) ± β(x ) 也是无穷小量 证 我们只证 x → x 0 的情形，其他情形的证明类似. 由于 x → x 0 时， α(x ) ， β(x ) 均为无穷小量，故 ?ε & 0 ，?δ1 & 0 ，当 0 & x ? x 0 & δ1 时，α(x ) & ε ， 2(1－4－1)?δ2 & 0 ，当 0 & x ? x 0 & δ2 时，β(x ) & ε ， (1－4－2) 2 取 δ = min {δ1 , δ 2 } ，则当 0 & x ? x 0 & δ 时， （1－4－1）（1－4－2）两式同时成立，因此 、 α(x ) ± β(x ) ≤ α(x ) + β(x ) & ε + ε = ε . 2 2 由无穷小量的定义可知， x → x 0 时， α(x ) ± β(x ) 为无穷小量. 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 推论 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量 在某一极限过程中， 是无穷小量， 是有界变量， 定理 4 在某一极限过程中，若 α(x ) 是无穷小量， f ( x ) 是有界变量，则 α(x ) f ( x ) 仍是无穷小量. 穷小量 证 我们只证 x → ∞ 时的情形，其他情形证法类似. 设 f (x ) 为 x → ∞ 时的有界量，则 ?M & 0 ，当 x & X 1 & 0 时，有f (x ) & M ，ε 来说， ?X 2 & 0 ，当 x & X 2 时，有 M α(x ) & ε ， M 取 X = max {X 1 , X 2 } ，则当 x & X 时，有又因 lim α(x ) = 0 ，则 ?ε & 0 ，对x →∞α(x ) f (x ) = α(x ) ? f (x ) & ε ? M = ε . M 这就证明了当 x → ∞ 时， α(x ) f (x ) 是无穷小量.例 3 求 limx →∞1 sin x . xx →∞（ + ， 解 因为 ?x ∈ ? ∞， ∞） sinx ≤ 1 ，且 lim1 =0 ，故由定理 4 得 xlim 1 sin x = 0 . x →∞ x 在某一极限过程中， 是无穷小量， 推论 在某一极限过程中， C 为常数，α(x ) 和 β(x ) 是无穷小量， Cα(x ) ，α(x ) β(x ) 均 若 为常数， 则 为无穷小量. 这是因为 C 和无穷小量均为有界变量，由定理 4 即可得此推论.此推论可推广到有限个无穷 小量乘积的情形. 定理 5 在 某一极限过程中，如果 α(x ) 是无穷小量， f (x ) 以 A 为极限，且 A ≠ 0 ， 则 某一极限过程中， 是无穷小量， 为极限， α(x ) f (x ) 仍为无穷小量.证 由定理 4 可知，只需证1 有界即可.我们仅对 x → x 0 时进行证明，其他情形类似可 f (x ) 证. 因为 lim f (x ) = A ， A ≠ 0 ，则对 ε =x →x 0° A ， ?δ & 0 ，当 x ∈ U (x 0 , δ ) 时，有 x A f (x ) ? A ≤ f (x ) ? A & ， 2 A 3A & f (x ) & ， 2 2 1 2 & =M ， f (x ) A从而 故即1 为 x 0 的去心 δ 邻域内有界. f (x )第五节 极限的运算法则前面我们说过，用极限的定义来求极限是很不方便的.因此，需要寻求其他求极限的方法. 本节我们将讨论有关极限的运算法则.一、极限的四则运算法则lim 定理 1 若 lim f ( x ) = A， g ( x ) = B ，则(1) lim ? f ( x ) ± g ( x )? = A ± B = lim f ( x ) ± lim g ( x ) ； ? ? (2) lim ? f ( x ) g ( x ) ? = A B = lim f ( x ) lim g ( x ) ； ? ?f (x ) A lim f (x ) = = ( B ≠ 0) . g (x ) B lim g (x ) ， ，将（1）留给读者证明. 证 我们仅证（2）（3） 因为 lim f ( x ) = A ,lim g ( x ) = B ，所以 (3) lim其中 lim α ( x ) = 0， β ( x ) = 0 ，于是 limf ( x ) = A + α ( x )，g ( x ) = B + β ( x ) ，f ( x ) g ( x ) = [ A + α(x )][ B + β ( x )] = A B + A β ( x ) + Bα(x ) + α(x ) β ( x )由第四节定理 4 及其推论可得 lim Bα(x ) = 0, lim A β ( x ) = 0, lim α x )β ( x ) = 0 . ( 由（1）可知lim ? f ( x ) g ( x ) ? = A B = limf ( x ) limg ( x ) . ? ? f (x ) A ? 是无穷小量即可，因为 g (x ) B同理，对于式（3） ，只需证f (x ) A A + α(x ) A Bα(x ) ? A β(x ) ? = ? = ， g (x ) B B + β(x ) B B ? B + β(x ) ? ? ? 由第四节定理 3，定理 4 的推论可知 lim ? B α(x ) ? A β ( x ) ? = 0 . ? ?由刚获证的式（2）可知 lim{B[ B + β ( x )]} = limBlim[ B + β ( x )] = B 2 .最后由第四节中的定理 5，便得 f (x ) A lim f (x ) lim = = g (x ) B lim g (x ) 存在， 为常数， 推论 1 若 limf ( x ) 存在， C 为常数，则（B ≠ 0 . ）limC f ( x ) = Climf ( x ) .这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为 limC = C . 存在， 推论 2 若 limf ( x ) 存在， n ∈ N* ，则lim ? f (x ) ? = ?lim f (x ) ? ? ? ? ?例 1 求 limnn解 例2 解3x + 1 . x ?3 3x + 1 lim (3x + 1) 4 lim = x →1 = = ?2 . x →1 x ? 3 lim(x ? 3) ?2x →1x →1求 limx →1x ?1 ，其中 m，n ∈ N* . x m ?1n0 由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“ ”型，对此情形不能直接运用极限运 0 算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.那么 (x ? 1)(x n ?1 + x n ?2 + ? ? ? + x + 1) x n ?1 lim m = lim x →1 x ? 1 x →1 (x ? 1)(x m ?1 + x m ?2 + ? ? ? + x + 1)= lim例3 解x n ?1 + x n ?2 + ? ?? + x + 1 n = . x →1 x m ?1 + x m ? 2 + ?? ? + x + 1 m求 lim x + 7 ? 3 . x →2 x ?2 0 此极限仍属于“ ”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”. 0( x + 7 ? 3)( x + 7 + 3) lim x + 7 ? 3 = lim x →2 x →2 x ?2 (x ? 2)( x + 7 + 3) x ?2 = lim x →2 (x ? 2)( x + 7 + 3) 1 1 = lim = . x →2 x +7 +3 6例 4 求 limx2 +4 . x →∞ 2x 2 ? 3解 分子、分母均为无穷大量，这种情形称为“ 运算法则，通常应设法将其变形.1 + 42 x 2 + 4 = lim x =1. lim 2 x →∞ 2x ? 3 x →∞ 2 ? 32 2 x ? 1 ? 3 ?. 例 5 求 lim ? ? x →?1 ? x + 1 x 3 +1?∞ ”型.对于它，我们也不能直接运用极限 ∞ 解x →?1lim (1 3 x 2 ?x +1?3 ? 3 ) = lim x + 1 x + 1 x →?1 (x + 1)(x 2 ? x + 1) (x + 1)(x ? 2) (x + 1)(x 2 ? x + 1) = lim 2x ? 2 = ?1 . x →?1 x ? x + 1 = limx →?1例 6 求 lim ( x 2 + x ? x 2 + 1) .x →+∞解x →+∞lim ( x 2 + x ? x 2 + 1) = limx ?12x →+∞x +x + x 2 +1 (x ? 1) ? 1 x = lim x →+∞ 2 2 ( x + x + x + 1) ? 1 x 1? 1 1 x = lim = . x →+∞ 2 ( 1 + 1 + 1 + 12 ) x x二、复合函数的极限定理 2 复合而成， 设函数 y = f ( φ ( x ) ) 是由 y = f ( u )，u = ( x ) 复合而成， 如果 lim φ(x ) = u 0 ， 且在 x 0x →x 0 u →u0的一个去心邻域内， 的一个去心邻域内， φ ( x ) ≠ u 0 ，又 lim f (u ) = A ，则x →x 0lim f (φ(x )) = A = lim f (u ) .u →u 0证 按函数极限的定义，要证: ?ε & 0, ?δ & 0 .使得当 0 &| x ? x 0 |& δ 时， | f (φ (x )) ? A |& ε 成立. 由于 lim f (u ) = A , ?ε & 0, ?η & 0, 当 0 &| u ? u 0 |& η 时，u →u 0| f (u ) ? A |& ε成立. 又由于 lim φ (x ) = u 0 , 对于上面得到的 η & 0, ?δ1 & 0, 当 0 &| x ? x 0 |& δ1 时，x →x 0| φ (x ) ? u 0 |& η成立. 由 假 设 ， 当 x ∈ U (x 0 , δ0 ) 时 ， φ(x ) ≠ u 0 , 取 δ = min{δ0 , δ1 }, 则 当 0 &| x ? x 0 |& δ 时 ， | φ (x )- u 0 |& η及|φ (x )- u 0 |≠ 0 同时成立，即 0 &| φ (x ) ? u 0 |& η 成立，从而| f (φ (x )) ? A |=| f (u ) ? A |& ε°成立. 由极限定义知x →x 0 x →x 0lim f ( φ (x )) = A = lim f (u ) .u →u 0 x →x 0 x →∞ u →u 0在 定理 2 中 ， 把 lim φ (x ) = u 0 换 成 lim φ (x ) = ∞或 lim φ (x ) = ∞ ， 而 把 lim f (u ) = A 换 成lim f (u ) = A ，可得类似的定理.x →∞ 定理 2 表示，如果函数 f (u ) 和 φ (x ) 满足该定理的条件，那么作代换 u = φ (x ) 可把求x →x 0lim f (φ(x )) 化为求 lim f (u ) ，这里 u 0 = lim φ(x ).u →u 0 x →x 0第六节 极限存在准则与两个重要极限有些函数的极限不能 （或者难以） 直接应用极限运算法则求得， 往往需要先判定极限存在， 然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍 了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理.一、夹逼定理夹逼定理） 的某去心邻域内有定义， 定理 1（夹逼定理）设函数 f ( x ) ， F1 ( x ) 和 F2 ( x ) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义，并且满足 （1） F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) ；x →x 0 x →x 0（2） lim F1 (x ) = lim F2 (x ) = a ） 则有 lim f (x ) = a .x →x 0证 由已知条件， ?δ1 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ1 ) 时， 又由 lim F1 ( x ) = lim F2 ( x ) = a 知 ?ε & 0 ，x →x 0 x →x 0°°F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) .?δ2 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ2 ) 时， F1 ( x ) ? a & ε ，?δ3 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ3 ) 时， F2 ( x ) ? a & ε .取 δ = min° °{δ1 , δ 2 , δ3 } ，则当 x ∈ U ( x 0 , δ ) 时，得x →x 0a ? ε & F1(x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) & a + ε.由极限定义可知 lim f (x ) = a . 定理仍成立，证明亦相仿.例如，若 ?X & 0 使 x & X 时有 F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) ，且x →+∞夹逼定理虽然只对 x → x 0 的情形作了叙述和证明，但是将 x → x 0 换成其他的极限过程，lim F1 ( x ) = lim F2 ( x ) = a,x →+∞则x →+∞lim f (x ) = a夹逼定理对数列极限也成立.如果数列 {x n },{y n } 及 {z n } 满足 y n ≤ x n ≤ z n (n = 1,2,3,...), 且 lim y n = a,lim z n = a ，那么数列 {x n } 的极限存在，且 lim x n = a .n →∞ n →∞ n →∞二、函数极限与数列极限的关系定理 2x →x 0lim f (x ) = a 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 数 列 {x n } ， x n ∈ D ( fn →∞)( x n ≠ x 0 ) ， 当时，都有 lim f ( xn ) = a ，这里 a 可为有限数或为 ∞ . x n → x （n → +∞） 0 此定理的证明较繁，此处从略. 定理 2 常被用于证明某些极限不存在. 1 例 1 证明极限 lim cos 不存在. x →0 x 1 1 =0 ，则 lim x n = lim ，而 证 取 {x n } = n →∞ n →∞ 2n π 2n π 1 lim cos = lim cos2n π = 1 . n →∞ x n n →∞? ? ? ? 1 1 = 0 ，而 又取 x n′ = ? ，则 lim x n ′ = lim n →∞ n →∞ 2n + 1 π ( 2n + 1) π ? ( ) ? ? ? ?lim cosn →∞{ }1 x n′= lim cos(2n + 1) π = ?1 ，n →∞由于lim cosn →∞1 1 ≠ lim cos n →∞ xn x ′n1 故 lim cos 不存在. x →0 x＊三、柯西收敛准则定理 3x →x 0lim f (x ) = a 的充要条件是： ?ε & 0，?δ& 0 ，当 x 1 , x 2 ∈ D f ） 0 & x 1 ? x 0 & δ ， 的充要条件是： （ 且0 & x 2 ? x 0 & δ 时，有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) & ε .证明从略. 定理 3 中的极限过程改为 x → +∞，x → ?∞ 或 x → ∞ 时，结论仍成立. lim f (x ) = a 的充要条件是： ε & 0，?X & 0 ， x 1 , x 2 ∈ D f ） 且 x 1 & X ， 2 & X 2 的充要条件是： （ ， ? x 定理 4 当x →∞时，有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) & ε.四、两个重要极限利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限. 1. limx →0sin x = 1 x sin x = 1 π .因为 x → 0+ ，可设 x ∈ ? 0， ? .如图 1－32 所示，其中， EA B 为 ? ? x ? 2?我们首先证明 lim+x →0单位圆弧，且OA = OB = 1，∠A OB = x ， 则 OC = cosx ，A C = sinx ，DB = tanx ， 又△AOC 的面积＜扇形 OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sinx ＜x ＜tanx . 图 1-35 π 因为 x ∈ ? 0， ? ，则 cosx & 0，sinx & 0 ，故上式可写为 ? ? ? 2? cosx & sin x & 1 . x cos x 1 =1 由 lim cos x = 1 ， lim ，运用夹逼定理得 x →0 cos x x →0 sin x lim = 1. x → 0+ x sin x 是偶函数，从而有 注意到 x sin( ?x ) lim sin x = lim? = lim+ sin z = 1 . x →0? x →0 z →0 x ?x z 综上所述，得 lim sin x = 1 . x →0 x tan x = 1 . 例 2 证明 lim 2 x →0 x lim tan x = lim sin x 1 证 x →0 x →0 x x cos x = lim sin x lim 1 = 1 . x →0 x x →0 cos x 1 ? cos x . 例 3 求 lim x →0 x2(1-6-1)? sin x ? 2(sin x )2 1 ? cos x 2 = 1 lim ? 2? =1. lim = lim 解 x →0 x →0 2 x →0 ? x ? 2 x2 x2 ? ? ? 2 ? tan x ? sin x . 例 4 求 lim x →0 x3 sin x (1 ? cos x ) tan x ? sin x lim = lim 解 3 x →0 x →0 x x 3 cos x = lim sin x 1 ? cos x 1 = 1 . x →0 x cos x 2 x2 1 例 5 求 lim x sin . x →∞ x 1 解 令 u = ，则当 x → ∞ 时， u → 0 ，故 x2 lim x sin 1 = lim sin u = 1 . x →∞ x u →0 u 从以上几例中可以看出， （2-6-1） 式 中的变量可换为其他形式的变量， 只要在极限过程中， 该 变 量 趋 于 零 . 即 如 果 在 某 极 限 过 程 中 ( x → x 0 , x → ∞, x → ?∞, x → +∞ ) 有 sin u (x ) lim u (x ) = 0[u (x ) ≠ 0] ，则 lim = 1 仍然成立的. u (x )1? ? 2. lim ? 1 + ? = e x →∞ ? x? 1 在本章第三节例 5 中，我们已证明了 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →∞ ? n? 对于任意正实数 x ， n = [x ] [x ] 的定义见第一节例 4） 则有 n ≤ x & n + 1 ， 取 （ ， 并且有 x → +∞与 n → ∞ 两个极限过程是等同的.故有 1 +nx1 &1+ 1 ≤1+ 1 ，及 n +1 x nn x n +1?1 + 1 ? & ?1 + 1 ? & ?1 + 1 ? ? ? ? ? ? ? n +1? ? x? ? n? ? 由于 x → +∞ 时，有 n → ∞ ，而?1 + 1 ? ? ? n +1? ? 1 + 1 ? = lim ? lim ? ? n →∞ ? n + 1 ? n →∞ 1 + 1 n +1n n +1.= e，1 lim ? 1 + ? ? ? n →∞ ? n? 1 由夹逼定理使得 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →+∞ ? x?xn +11 1 = lim ? 1 + ? ? 1 + ? = e ， ? ? ? ? n →∞ ? n? ? n?n1 下面证 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →?∞ ? x? 令 x = ? ( t + 1) ，则 x → ?∞ 时， t → +∞ ，故 1 1 ? lim ? 1 + ? = lim ? 1 + ? ? ? ? x →?∞ ? x ? t →+∞ ? t +1?t x ? (t +1)x? t ? = lim ? ? t →+∞ ? t + 1 ?? ( t + 1)t ? ? t ? = lim ? ? ? ? ?=e. t →+∞ ? t + 1 ? ? t + 1 ?综上所述，即有1 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →∞ ? x?在式（1-6-2）中，令 z =x(1-6-2)1 ，则当 x → ∞ 时， z → 0 ，这时式（1-7-2）变为 xlim (1 + z ) z = e .z →0 1(1-6-3)为了方便地使用式（1-6-1）和式（1-6-2） ，将它们记为下列形式： （1） 在某极限过程 x → x 0，x → ∞，x → ?∞，x → +∞） （ 中，若 lim u ( x ) = ∞ ，则? ? lim ?1 + 1 ? u (x ) ? ?u (x )=e； （2） 在某极限过程中，若 lim u ( x ) = 0 ，则lim ?1 + u (x ) ? u ( x ) = e . ? ?1k? ? 例 6 求 lim ? 1 + ? ( k ≠ 0 ) . x →∞ ? x?解k lim ? 1 + k ? = lim ? 1 + k ? ? ? ? ? x →∞ ? x →∞ ? x? x? x x ?kxx ? ? ? 1 + k ? k ? = ek . = lim ?? ? x →∞ ?? x? ? ? ?k? x +1? . 例 7 求 lim ? ? x →∞ ? x + 2 ?解xx +1? ?1 ? ?1 ? ? ? lim ? ? ? = lim ? 1 + ? = lim ? 1 + ? x →∞ ? x + 2 ? x →∞ ? x →∞ ? }
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黄冈中学高考数学典型例题
黄冈中学高考数学典型例题
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资源库-微信公众号2016&超星尔雅慕课&数学的奥秘：本质与思考&答案_琢磨俗僧_新浪博客
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&数学的奥秘
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1.1开头的话
什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？（）
A、质子理论
B、中子理论
C、夸克理论
正确答案：D
弦理论认为宇宙是几维的？（）
正确答案：C
数学是素质教育中最重要的载体。（）
正确答案：√
天王星被称为“笔尖上发现的行星”。（）
正确答案：&
1.2数学思维
美国哪位总统喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力？（）
正确答案：C
下列哪个是孪生数对?（）
A、（17，19）
B、（11，17）
C、（11，19）
D、（7，9）
正确答案：A
谁写了《几何原本杂论》？（）
正确答案：B
仅存在有限对孪生的素数。（）
正确答案：&
1.3数学学习
偶数和正整数哪个多？（）
B、正整数多
D、无法确定
正确答案：C
以下哪个汉字可以一笔不重复的写出？（）
正确答案：A
数学的抽象能力是数学学习的最重要的目的。（）
正确答案：√
高斯解决了著名的七桥问题（）。
正确答案：&
2.1从圆的面积谈起
下面哪个人物用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比？（）
B、欧多克索斯
C、欧几里得
D、阿基米德
正确答案：B
以下什么成果是阿基米德首先得到的？（）
A、圆周率的值
B、圆的面积与圆的直径的平方成正比
C、抛物线弓形的面积
正确答案：C
穷竭法的思想源于欧多克索斯。（）
正确答案：√
欧多克索斯完全解决了圆的面积的求法。（）
正确答案：&
2.2曲线的切线斜率
抛物线&在&&处的斜率是多是？
正确答案：B
圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。（）
正确答案：&
曲线切线的斜率和非均匀运动的速度属于微分学问题。（）
正确答案：√
2.3微积分的工具和思想
下列具有完备性的数集是？（）
·&A、实数集
·&B、有理数集
·&C、整数集
·&D、无理数集
正确答案：A
康托尔创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？（）
B、量子理论
D、拓扑理论
正确答案：A
下列表明有理数集不完备的例子是？（）
正确答案：D
微积分的基本思想是极限。（）
正确答案：√
2.4微积分的历程
微积分的创立阶段始于（）。
A、14世纪初
B、15世纪初
C、16世纪初
D、17世纪初
正确答案：D
积分学的雏形阶段的代表人物不包括（）。
A、欧多克索斯
B、阿基米德
C、卡瓦列里
正确答案：C
欧拉被视为是近代微积分学的奠基者。（）
正确答案：&
费马为微积分的严格化做出了极大的贡献。（）
正确答案：&
3.1梵塔之谜
自然数的本质属性是（）
·&A、可数性
·&B、相继性
·&C、不可数性
·&D、无穷性
目前，世界上最常用的数系是（）
C、六十进制
D、二十进制
现代通常用什么方法来记巨大或巨小的数？
C、六十进制
D、科学记数法
3.2希尔伯特旅馆
希尔伯特旅馆的故事告诉我们什么？（）
A、自然数与奇数一样多
B、自然数比奇数多
C、有理数比自然数多
D、有理数比奇数多
下列集合与自然数集不对等的是？（）
C、有理数集
下列集合与区间[0，1]对等的是？（）
C、有理数集
希尔伯特旅馆的故事展现了无穷与有限的差别。（）
3.3有理数的“空隙”
建立了实数系统一基础的是哪位数学家?（）
下列关于有理数，无理数，实数的之间的关系说法正确的是？（）
A、有理数，无理数都与实数对等
B、有理数与实数对等，无理数与实数不对等
C、无理数与实数对等，有理数与实数不对等
D、有理数，无理数都与实数不对等
第一次数学危机是毕达哥拉斯发现了勾股定理。（）
实数可分为代数数和超越数。（）
3.4无穷集合的基数
下列哪个集合不具有连续统？（）
A、实数全体
B、无理数全体
C、闭区间上连续函数全体
D、坐标（x,y）分量均为整数的点
设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数的点）为中心有理数为半径的圆的全体，那么该集合是？（）
C、不可数集
下列关于集合的势的说法正确的是（）。
A、不存在势最大的集合
B、全体实数的势为&
C、实数集的势与有理数集的势相等
D、一个集合的势总是等于它的幂集的势
可数集的任何子集必是可数集。（）
4.1从图片到电影---极限
1下列数列收敛的的是（）。
下列数列发散的是（）。
函数极限是描述在自变量变化情形下函数变化趋势。（）
数列极限总是存在的。（）
4.2视频截屏---极限的算术化
下列关于&的定义不正确的是？（）
A、对任意给定的&，总存在正整数&，当&时，恒有&
的任一&邻域&，只有有限多项&
C、对任意给定的正数&
，总存在自然数&，当&时，&
D、对任意给定的正数&
，总存在正整数&，&
改变或增加数列&的有限项，影不影响数列&的收敛性？（）
C、视情况而定
D、无法证明
收敛的数列是有界数列。（）
收敛的数列的极限是唯一的。（）
4.3有限点也神秘---函数的极限
正确的说法是：若在&这一去心邻域中有&，并且&，则&（）
极限&=（）。
若存在，则唯一。（）
5.1连续不简单
定义在区间[0，1]区间上的黎曼函数在无理点是否连续？（）
C、取决于具体情况
D、尚且无法证明
下列关于函数连续不正确的是（）。
A、函数&在点&
连续&在点&有定义，&存在，且&=&
在点&连续&
在点&连续&
,则&一定在点&点连续
函数&，&，则&是该函数的（）？
A、跳跃间断点
B、可去间断点
C、无穷间断点
D、振荡间断点
函数的连续性描述的是函数的整体性质。（）
5.2连续很精彩
下列在闭区间&上的连续函数，一定能够在&上取到零值的是？（）
关于闭区间上连续函数，下面说法错误的是？（）
A、在该区间上可以取得最大值
B、在该区间上可以取得最小值
C、在该区间上有界
D、在该区间上可以取到零值
方程&在&上是否有实根？
B、至少有1个
C、至少有3个
有限个连续函数的和（积）仍是连续函数。（）
5.3连续很有用
方程&在&有无实根，下列说法正确的是？（）
B、至少1个
C、至少3个
下列结论正确的是（）。
A、若函数&(x)在区间[a,b]上不连续，则该函数在[a,b]上无界
B、若函数&(x)在区间[a,b]上有定义，且在(a,b)内连续，则&(x)在[a,b]上有界
C、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)&(b)≤0，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
D、若函数&(x)在区间[a,b]上连续，且&(a)=&(b)=0，且分别在x=a的某个右邻域和x=b的某个左邻域单调增，则必存在一点ξ∈(a,b)，使得&(ξ)=0
函数&在区间_____上连续？
设Δy=&(x+Δx)-&(x)，那么当Δx→0时必有Δy→0。
6.1近似计算与微分
当（）时，变量&为无穷小量。
设&，则当&时（）。
高阶的无穷小量。
是比&低阶的无穷小量。
是与&等价的无穷小量
是与&同阶但不等价的无穷小量
若&均为&的可微函数，求&的微分。（）
常数零是无穷小。（）
6.2曲线的切线斜率
已知&，则&=（）。
设&为奇函数，&存在且为-2，则&=（）。
设曲线&在点&处的切线与&轴的交点为&，则（）。
导数是函数随自变量变化快慢程度的表达式。（）
6.3导数的多彩角度
一个圆柱体，初始圆柱半径是柱高的两倍，随后，圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积？（）
·&A、单调增加
·&B、单调减少
·&C、先增后减
·&D、先减后增
设&，&，则&（）。
任意常函数的导数都是零。（）
函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且相等。（）
7.1罗尔中值定理
求函数&的最大值，最小值。（）
A、最大值&
B、最大值&
C、最大值&
D、最大值&
作半径为r的球的外切正圆锥，问圆锥的高为多少时，才能使圆锥的体积最小？
函数&的最值情况为（）。
A、最大值为&
B、最小值为&
C、没有最值
D、以上说法都不正确
最值点就是极值点。（）
7.2拉格朗日中值定理
下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.
方程&正根的情况，下面说法正确的是（）。
A、至少一个正根
B、只有一个正根
C、没有正根
罗尔中值定理指出：可导函数在区间内取得极值点处切线斜率为零。（）
函数&满足罗尔中值定理。
7.3求极限的利器
对任意&，不等式&成立吗？（）
C、视情况而定
D、无法证明
设&，下列不等式正确的是（）。
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日中值定理在函数两端值相等时的特例。（）
8.1函数的单调性
求极限&=（）。
求极限&。（）
求极限&=（）。
并非一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限。（）
8.2函数的极值
函数&(x)=sinx-x在零点的个数为（）。
若在区间&上&，则&或&的大小顺序为（）。
函数&(x)=x-arctanx的单调性为（）。
A、在(-∞，∞)内单调递增
B、在(-∞,∞)内单调递减
C、在(-∞,∞)内先增后减
如果可导函数&(x)在区间I上单调，那么其导函数&&(x)也单调。
8.3最优化和最值问题
为何值时，函数&在&处取得极值？（）
求函数&的极值。（）
函数&(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点一定是极大（小）值点。（）
如果函数&在区间I上有连续的导函数，则在区间I内有这样的&，使得&是极值的同时&又是拐点。（）
9.1函数的凸凹性
函数&的凹凸性为（）。
凸，在&凹,&拐点
D、在&凹，在&
函数&的凹凸性为（）。
C、在&上凸，在&
D、无法确定
函数&的凹凸区间为（）。
A、凸区间&，凹区间&
B、凸区间&及&
C、凸区间&，凹区间&
D、凸区间&
若可导函数&(x)的导函数&&(x)在I内单调增加（减少），则&(x)在I内是凸（凹）。（）
9.2凸凹性的妙用
函数y=lnx的凸性为（）。
C、视情况而定
D、暂时无法证明
设&与&是任意两个正数，&，那么关于&，&的大小关系是（）。
下列关于&，&（&）的说法正确的是（）。
如果曲线在拐点处有切线，那么，曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧。（）
9.3函数的模样
设函数&，其图像为（）。
设函数&(x)=|x(1-x)|，则（）。
A、x=0是&(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是&(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是&(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是&(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
设&，则（）.
的极小值点，但&不是曲线&的拐点
的极小值点，但&是曲线&的拐点
C、是&的极小值点，且&
是曲线&的拐点
不是&的极小值点，&也不是曲线&的拐点
研究函数时，通过手工描绘函数图像能形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法的。（）
10.1从有限增量公式
求函数&的麦克劳林公式。（）
函数&在&处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。
函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式，比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度。()
泰勒公式是拉格朗日中值公式的推广。（）
10.2麦克劳林公式
函数&在&处的三阶麦克劳林公式为（）。
求函数&的麦克劳林公式？（）
当&时，&是几阶无穷小？（）
麦克劳林公式是泰勒公式在时的特殊情形。（）
10.3精彩的应用
求&的近似值，精确到&。（）
A、0.173647
B、0.134764
C、0.274943
D、0.173674
求函数极限&。（）
多项式&在&上有几个零点？（）
泰勒公式给出了在局部用多项式逼近函数的表达式，是进行计算的重要工具。（）
11.1求导运算的逆运算
求不定积分&？（）
求不定积分&？()
求不定积分&？（）
定义在区间内的连续函数一定存在原函数。（）
11.2不定积分的计算
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
求不定积分&？（）
函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和。（）
11.3数学建模和微分方程
求解微分方程&的通解？（）
求解微分方程&?（）
微分方程的通解包含了微分方程的一切解。（）
海王星的发现是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理导出常微分方程研究天王星的运行的轨道异常后发现的。（）
12.1阿基米德的智慧
阿基米德生活的时代是（）。
A、公元前287-前212
B、公元前288-前210
C、公元前280-前212
D、公元前297-前212
谁首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积？（）
B、莱布尼兹
C、阿基米德
D、欧几里得
阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）
A、用平衡法去求面积
B、用穷竭法去证明
C、先用平衡法求解面积，再用穷竭法加以证明
D、先用穷竭法求解面积，再用平衡法加以证明
阿基米德应用穷竭法得到弓形区域的面积。（）
12.2和式的极限
微分思想与积分思想谁出现得更早些？（）
C、同时出现
现代微积分通行符号的首创者是谁？（）
B、莱布尼兹
D、欧几里得
微积分主要是由谁创立的？（）
A、牛顿和莱布尼兹
B、欧几里得
在微积分创立的初期，牛顿和莱布尼兹都没能解释清楚无穷小量和零的区别。（）
12.3黎曼积分
对任意常数&,比较&与&的大小?()
不论&的相对位置如何，比较&与&的大小？（）
定义黎曼积分中的Λ→0，表示对区间[a,b]的划分越来越细的过程。随着Λ→0，必有小区间的个数n→∞。但反之，n→∞并不能保证Λ→0。（）
区间[a,b]上的连续函数和只有有限个间断点的有界函数一定可积。（）
13.1牛顿－莱布尼兹公式
设&，则&=？（）
D、都不正确
利用定积分计算极限&=？
牛顿-莱布尼兹公式不仅为计算定积分提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来。（）
由莱布尼兹公式可知：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数，则f在区间[a,b]上可积。（）
13.2曲边形的面积
求由抛物线&和&所围成平面图形的面积？
求曲线&与&以及直线&和&所围成图形的面积？
求椭圆&所围成图形的面积？
求一曲边形的面积实际上求函数的不定积分。（）
13.3工程也积分
设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力？
一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力?
一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物的顶部？（）
A、2700(J)
B、2744(J)
C、2800(J)
D、2844(J)
微元分析法是处理诸如面积，体积，功等一类具有可加性问题的重要思想方法。（）
14.1橄榄球的体积
以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积?
求椭圆&绕&轴旋转所得旋转体的体积？
求由内摆线(星形线)&绕x轴旋转所成的旋转体的体积?
设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的体积为。
14.2不可思议的证明
求星形线&的全长？（）
求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）
求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）
若曲线为，则弧长为。（）
14.3奇妙的号角
求反常积分&=？
求无穷积分&=？（）
当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任意取定，如果反常积分同时收敛，则反常积分收敛。（）
1求星形线&的全长？（）A、B、C、D、&2求阿基米德螺线&上从&到&一段的弧长？（）A、B、C、D、&3求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。（）A、αB、3αC、6αD、8α&4如果曲线为，则弧长为。（）
15.1搅动的咖啡
慢慢搅动的咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？（）
C、需要考虑搅拌方式
D、尚且无法证明
假如你去登山，上午6点从山脚出发，一路上悠哉游哉，走走停停，直到中午12点才到山顶。无限风光在险峰，所以你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山，2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻，使得你昨天和今天在同一高度。（）
C、需要考虑具体情况
D、尚且无法证明
设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，则至少存在一点，使得。
设为维单位闭球，是连续映射，则至少存在一点，使得。
15.2不动点定理和应用
1下列哪个体现了压缩映射的思想？（）
A、搅动咖啡
B、显微成像
C、压缩文件
D、合影拍照
函数&在实数域上的不动点是什么？（）
任意维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
有限维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。（）
15.3诺贝尔经济学奖
美籍法裔经济学家G.Debreu由于什么贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖？（）
A、创立了一般均衡理论
B、在非合作博弈的均衡理论方面做出了开创性贡献
C、运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论
D、对资产价格的实证分析
Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理有什么关系？（）
B、前者包含后者
C、后者包含前者
D、没有关系
电影“a beautiful
mind”中男主人公的原型既是一位经济学家，又是一位大数学家，他的名字是（）。
A、G. Debreu
B、J.F. Nash
C、L.V. Kantorovich
D、Adam Smith
1968年瑞典银行为庆祝建行300年，决定以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）
16.1基本元素
求幂级数&的收敛区间？（）
求幂级数&的和函数？
幂级数与其逐项求导后的级数及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。（）
设幂级数&和&的收敛半径分别为&,则和级数&=&+&的收敛半径&.
16.2傅里叶级数
函数&在&上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是&,问其中Fourier系数&的表达式是？
下列哪个著作可视为调和分析的发端？（）
A、《几何原本》
B、《自然哲学的数学原理》
C、《代数几何原理》
D、《热的解析理论》
式子&（其中&）的值是什么？
Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。（）
16.3爱恨无穷
关于数学危机，下列说法错误的是？（）
A、第一次数学危机是无理数的发现，芝诺提出了著名的悖论，把无限性，连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来。
B、第二次数学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿，莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论。
C、第三次数学危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论，动摇了集合论的基础。
D、经过这三次数学危机，数学已经相当完善，不会再出现危机了。
不完全性定理是由谁建立的？（）
A、希尔伯特
下列不是产生悖论根源的是？（）
A、构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念
B、如利用康托尔朴素的集合论的概括原则构成集合
C、无限概念的参与
D、人们对客观世界认识的局限性
希尔伯特认为一些悖论是自然语言表达语义内容造成的。为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统，在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反过来，每一个定理都可翻译成一个数学真理。这样的系统称完全的。（）
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大一高数第一章
函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 函数、由于社会和科学发展的需要，到了 17 世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题. 与之相适应， 数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为 “高等数学时期” 的新时代， 这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以 积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期 最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整 个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性 质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概 念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念， 它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.第一节 变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化 的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变， 它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、 数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一 个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数的全体组成的集合叫做闭区间， 记为 ?a , b ? ，即 ? ??a , b ? = {x | a ≤ x ≤ b} ； ? ? 满足不等式 a & x & b 的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为 (a, b) ，即 (a , b) = {x | a & x & b} ；满足不等式 a & x ≤ b (或 a ≤ x & b )的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 ( a, b ? (或 ?a, b ) )，即 ? ?≤ b} (或 ?a , b ) = {x | a ≤ x & b} )， ? 左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数 a ， b 称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数 b ? a 称为区间的长度.此外还有无限区间： (?∞， ∞) = {x | ?∞ & x & +∞} = R ， +( a, b ? = {x | a & x ?( ?∞, b ? = {x | ?∞ & x ?≤ b} ，(?∞, b) = {x | ?∞ & x & b} ，?a， ∞ ) = {x | a ≤ x & +∞} ， ? + (a， ∞) = {x | a & x & +∞} ， + 等等. 这里记号“ ?∞ ”与“ +∞ ”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设 x 0 是一个给定的实数， δ 是某一正数，称数集: {x | x 0 ? δ & xo称点 x 0 为该邻域的中心，δ 为该邻域的半径(见图 1-1).称 U (x 0 , δ ) ? {x 0 } 为 x 0 的去心 δ 邻域，U (x 0 , δ ) = {x | 0 & x ? x 0 & δ}°& x 0 + δ} 为点 x 0 的 δ 邻域，记作 U (x 0 , δ ) .即 U ( x 0 , δ ) = {x | x 0 ? δ & x & x 0 + δ}记作 U (x 0 , δ ) ，即图 1-1 下面两个数集( ) U ( x , δ ) = {x | x° + 0o? U x 0 , δ = {x | x 0 ? δ & x & x 0 } ，°0& x & x 0 + δ} ，o分别称为 x 0 的左 δ 邻域和右 δ 邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用 U (x 0 ) ， U (x 0 ) 分别表? + 示 x 0 的某邻域和 x 0 的某去心邻域， U x 0 , δ ， U x 0 , δ 分别表示 x 0 的某左邻域和 x 0 的某右邻()°()域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼 此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧 的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖 关系，称为函数关系. 定义 1 设 A ， B 是两个实数集，如果有某一法则 f ，使得对于每个数 x ∈ A ，均有一个 确定的数 y ∈ B 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 内的函数.习惯上，就说 y 是 x 的函数，记作 其中， x 称为自变量， y 称为因变量， f ( x ) 表示函数 f 在 x 处的函数值.数集 A 称为函数 f 的f ( A ) = { y | y = f (x ), x ∈ A } ? By = f (x )(x ∈ A )定义域，记为 D ( f ) ；数集称为函数 f 的值域，记作 R ( f ) .此时应理解为“由对应关系 y = f ( x ) 所确定的函数 f ”.确定一个函数有两个基本要素，即定义从上述概念可知，通常函数是指对应法则 f ，但习惯上用“ y = f ( x ) , x ∈ A ”表示函数，域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取 值范围.在实际问题中， 定义域可根据函数的实际意义来确定.例如， 在时间 t 的函数 f ( t ) 中，t 通 常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有 意义的自变量 x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量 之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与 三角函数值的对应关系.因此， 气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给 出函数的方法， 分别称为图示法和列表法.但在理论研究中， 所遇到的函数多数由数学公式给出， 称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数 都是用公式法表示的函数. 称为函数 y = f ( x ) 的图像 （如图 1-2 所示） 函数 y = f ( x ) 的图像通常是一条曲线 y = f ( x ) 也 （ . 的图像通常是一条曲线， ；相反，一些几何问 称为这条曲线的方程.这样， ，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现； 题，有时也可借助于函数来作理论探讨. 有时也可借助于函数来作理论探讨 现在我们举一个具体函数的例子.从几何上看，在平面直角坐标系中 在平面直角坐标系中，点集 {(x , y ) | y = f ( x ) , x ∈ D ( f )}图 1-2 1 的定义域. 例 1 求函数 y = 4 ? x 2 + x ?1 要使数学式子有意义 解 要使数学式子有意义， x 必须满足?4 ? x 2 ≥ 0, ? ? ?x ? 1&0 , ?即? x ≤ 2, ? ? ?x &1. ?由此有 1& x ≤ 2， 因此函数的定义域为 (1，? . 2? 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则 分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数. 下面给出一些今后常用的分段函数 例 2 绝对值函数 ?x , x ≥ 0, y = x =? ??x , x &0. 的定义域 D ( f ) = ( ?∞， ∞) ， + ，值域 R ( f ) = [0, +∞ ) ，如图 1-3所示. 例 3 符号函数??1, x &0, ? y = sgn x = ?0, x = 0, ?1, x &0 ? 的定义域 D ( f ) = ( ?∞， ∞ ) ，值域 R ( f ) = {?1， 1} ，如图 1－4 所示. + 0，1图 1-3 例4图 1-4 -? 1? 最大取整函数 y = ?x ? ， ? ? ? ? 其中 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数.例如， ? 3 ? = ?1 ， 0 ? = 0 ， ? ? ? ? ? ? ? 2 ? = 1 ， ? π ? = 3 等等.函数 y = ?x ? 的定义域 D ( f ) = (?∞， ∞ ) ，值域 R ( f ) = {整数} .一般地， + ? ? ? ? ? ? y = ?x ? = n ， n ≤ x & n + 1 ， ? ?n = 0， 1, ±2,L ，如图 1-5 所 ± 示.值函数.若给定一个对应法则 g ，对每个 x ∈ D ( g ) ，总有确定的 y 值与之对应，但这个 y 不总 是唯一的，我们称这种法则 g 确定了一个多值函数.例如，设变量 x 与 y 之间的对应法则由方程图 1-5 在函数的定义中，对每个 x ∈ D ( f ) ，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单x 2 + y 2 = 25 给出，显然，对每个 x ∈ [?5, 5] ， 由方程 x 2 + y 2 = 25 可确定出对应的 y 值，当 x = 5 或 ?5 时，对应 y = 0 一个值；当 x ∈ ( ?5, 5) 时，对应的 y 有两个值.所以这个方程确定了一个多 值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函 数称为多值函数的单值分支.例如，由方程 x 2 + y 2 = 25 给出的对应法则中，附加“ y ≥ 0 ”的条件， “ x 2 + y 2 = 25 且 y ≥ 0 ” 即以 作为对应法则， 就可以得到一个单值分支 y = g 1 ( x ) = 25 ? x 2 ； 附加“ y ≤ 0 ”的条件，即以“ x 2 + y 2 = 25 且 y ≤ 0 ” 作为对应法则， 就可以得到一个单值分支y = g 2 (x ) = ? 25 ? x 2 . 在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应 关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径 r 的关系，就是通过另外一个变量其 底面圆面积 S 建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.函数 u = g ( x ) 在 D 上有定义， g ( D ) ? D ( f ) . 且 定义 2 设函数 y = f ( u ) 的定义域为 D ( f ) ， 则由下式确定的函数 称为由函数 y = f ( u ) 与函数 u = g ( x ) 构成的复合函数，记作y = ( f °g )( x ) = f ( g ( x ) ) ， x ∈ D ，y = f (g (x )) ， x ∈ D所有使得 g ( x ) ∈ D ( f ) 的实数 x 的全体的集合.例如， y = f ( u ) = u ，它的定义域为 D ，变量 u 称为中间变量. 这里值得注意的是，D 不一定是函数 u = g ( x ) 的定义域 D ( g ) ， D ? D ( g ) . D 是 D ( g ) 中 但u 的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，而 D ( f ) = (0, +∞ ) .因此， D＝ ? ?1,1? ，而此时 R ( f °g ) = ?0,1? . ? ? ? ?u = g ( x ) = 1 ? x 2 .显然，两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形. 例如， y = x u = a ? loga x ( a & 0且a ≠ 1) 可看成由指数函数 y = a u 与 u = ?loga x 复合而成.又形 如 y = u (x )v (x ) = a v (x ) log a u ( x ) ?u ( x )＞0 ? ( a & 0且a ≠ 1) 的函数称为幂指函数，它可看成由 y = a w 与 ? ? w = v (x )log a u (x ) 复合而成. 而 y = sin x 2 可看成由 y = u ， u = sinv ， v = x 2 复合而成. x 例 5 设 f (x ) = ( x ≠ ?1) ，求 f f ( f ( x ) ) x +1()解令 y = f ( w ) ， w = f ( u ) ， u = f ( x ) ，则 f f ( f ( x ) ) 是通过两个中间变量 w 和 u 复()合而成的复合函数，因为w = f (u ) = y = f (w ) =所以u = u +1 w = w +1x x +1 x x +1+1=x 1 ，x ≠ ? ； 2x + 1 2 = x 1 ,x ≠? ， 3x + 1 3f f ( f (x )) =()x 2x + 1 x 2x +1+1x ， x ≠ ?1, ? 1 , ? 1 . 3x + 1 2 3因变量的函数，称为函数 y = f ( x ) 的反函数，记为 x = f 从几何上看， 函数 y = f ( x ) 与其反函数 x = f?1 ?1关系式 y = f ( x ) 中唯一确定的 x 值与之对应， 则得到一个定义在 R ( f ) 上的以 y 为自变量，x 为?1其值域为 R ( f ) .如果对于 R ( f ) 中的每一个 y 值， 都有只从 定义 3 设给定函数 y = f ( x ) ，量， y 表示因变量，因此反函数 x = f 函数 y = f?1y = f ( x ) 的反函数. 此时，由于对应关系 f( y ) 有同一图像.但人们习惯上用 x 表示自变 ( y ) 常改写成 y = f ?1 ( x ) .今后，我们称 y = f ?1 ( x ) 为?1(y ).未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反( x ) 与直接函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称，如图1 - 6 所示.图 1-6 值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数 y = x 2 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ，值 + 域为，但 ?0， ∞ ) 对每一个 y ∈ ( 0， ∞ ) ，有两个 x 值即 x 1 = y 和 x 2 = ? y 与之对应，因此 x 不 + ? + 是 y 的函数，从而 y = x 2 不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若 f 是从 D ( f ) 到 R ( f 的一一映射，则 f 才存在反函数 f ?1 . x 例 6 设函数 f (x + 1) = ( x ≠ ?1) ，求 f ?1 ( x + 1) . x +1 解 函数 y = f ( x + 1) 可看成由 y = f ( u ) ， u = x + 1 复合而成.所求的反函数 y = f 可看成由 y = f?1)?1( u ) ， u = x + 1 复合而成.因为f (u ) =( x + 1)x u ?1 = ，u ≠ 0， x +1 u u ? 1 ，从而， 1 即y = ， u ( y ? 1) = ?1 ， u = u 1? y 所以 因此f?1y=f?11 (u ) = 1 ? u ，x ≠ 0.1 1 ( x + 1) = 1 ? (x + 1) = ? x ,三、函数的几种特性1. 函数的有界性 设函数 f ( x ) 在数集 D 上有定义，若存在某个常数 L ，使得对任一 x ∈ D 有 则称函数 f ( x ) 在 D 上有上界（或有下界） ，常数 L 称为 f ( x ) 在 D 上的一个上界（或下界） ； 否则，称 f ( x ) 在 D 上无上界（或无下界）. 若函数 f ( x ) 在 D 上既有上界又有下界，则称 f ( x ) 在 D 上有界；否则，称 f ( x ) 在 D 上无 ， f ( x ) ≤ L （或 f ( x ) ≥ L ）界.若 f ( x ) 在其定义域 D f ） （ 上有界，则称 f ( x ) 为有界函数.容易看出，函数 f ( x ) 在 D 上有界 的充要条件是：存在常数 M&0 ，使得对任一 x ∈ D ，都有f (x ) ≤ M .例如，函数 y = sinx 在其定义域 ( ?∞， ∞ ) 内是有界的，因为对任一 x ∈ ( ?∞， ∞ ) 都有 + +sinx ≤ 1 ，函数 y =1 在 ( 0, 1) 内无上界，但有下界. x 从几何上看，有界函数的图像界于直线 y = ± M 之间.2. 函数的单调性 设函数 f ( x ) 在数集 D 上有定义，若对 D 中的任意两数 x 1 , x 2 (x 1 & x 2 ) ，恒有则称函数 f ( x ) 在 D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号， 则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调 函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图 1-7 所示.f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) [或 f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) ]，图 1-7 例如，函数 f ( x ) = x 在其定义域 ( ?∞， ∞ ) 内是严格单调增加的；函数 f ( x ) = cosx 在 +3（ π） 0, 内是严格单调减少的.交于一点，因此 y = f ( x ) 有反函数.从几何上看，若 y = f ( x ) 是严格单调函数，则任意一条平行于 x 轴的直线与它的图像最多 3. 函数的奇偶性 设函数 f ( x ) 的定义域 D ( f ) 关于原点对称（即若 x ∈ D ( f ) ，则必有 ?x ∈ D ( f ) .若对任意f ( ?x ) = ? f ( x ) [或 f ( ?x ) = f ( x ) ]，的 x ∈ D ( f ) ，都有则称 f ( x ) 是 D ( f ) 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于 y 轴，如图 1－11 所示.例 7 讨论函数 f ( x ) = ln x + 1 + x+ 解 函数 f ( x ) 的定义域 ( ?∞， ∞ ) 是对称区间，因为(2) 的奇偶性.图 1-8 -? 1 f ( ?x ) = ln ?x + 1 + x 2 = ln ? ? 2 ?x + 1+x()= ?ln x + 1 + x 2 = ? f ( x )所以， f ( x ) 是 ( ?∞， ∞ ) 上的奇函数. + 4. 函数的周期性 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ( f ) ，若存在一个不为零的常数 T ，使得对任意 x ∈ D ( f ) ，有()? ? ? ?（x ± T） D f ） ∈ （ ，且 f（x + T） f（x） = ，则称 f ( x ) 为周期函数，其中使上式成立的常数 T 称为果存在的话）. 例如，函数 f（x） sinx 的周期为 2π ； f ( x ) = tanx 的周期是 π . = 并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet）函数 ?1, x 为有理数， D (x ) = ? ? 0, x 为无理数.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期.f ( x ) 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数 T T （如 四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式. 例 8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过 50 千克时，按基本运费计算.如从上海 到某地每千克以 0.15 元计算基本运费，当超过 50 千克时，超重部分按每千克 0.25 元收费.试求 上海到该地的行李费 y （元）与重量 x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解 当 0 & x ≤ 50 时， y = 0.15x ；当 x & 50 时， y = 0.15 × 50 + 0.25(x ? 50) . 所以函数关系式为： 0 & x ≤ 50; ?0.15x , y =? ?7.5 + 0.25(x ? 50), x & 50. 这是一个分段函数，其图像如图 1－9 所示.图 1-9 下午到超市 B 工作， 晚饭后再到酒店 C 服务， 早、 例 9 某人每天上午到培训基地 A 学习， 晚饭在宿舍吃， 中午带饭在学习或工作的地方吃. A，B，C 位于一条平直的马路一侧， 且酒店在 基地与超市之间，基地与酒店相距 3km，酒店与超市相距 5km，问该打工者在这条马路的 A 与 ，才能使每天往返的路程最短. B 之间何处找一宿舍（设随处可找到） ，用 f（x） 表示每天往返的路程函 解 如图 1-10 所示，设所找宿舍 D 距基地 A 为 x （km） 数.图 1-10 当 D 位于 A 与 C 之间，即 0 ≤ x ≤ 3 时，易知 f ( x ) = x + 8 + 8 ? x） 2 ( 3 ? x ) = 22 ? 2x ， （ + 当 D 位于 C 与 B 之间，即 3 ≤ x ≤ 8 时，则 f ( x ) = x + 8 + (8 ? x ) + 2(x ? 3) = 10 + 2x . 所以?2 ? 2x ,0 ≤ x ≤ 3; f (x ) = ? ?10 + 2x ,3 ≤ x ≤ 8. 这是一个分段函数，如图 1-11 所示，在 ?0, 3? 上， f ( x ) 是单调减少，在 ?3, 8 ? 上， f ( x ) 是 ? ? ? ?单调增加.从图像可知，在 x = 3 处，函数值最小.这说明，打工者在酒店 C 处找宿舍，每天走的 路程最短. 图 1-11五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我 下面我们再对这几类 们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便， 函数作一简单介绍. 1. 幂函数 函数y =x ?( ? 是常数)称为幂函数. 幂函数 y = x ? 的定义域随 ? 的不同而异， 但无论 ? 为何值， 函数在 ( 0， ∞ ) 内总是有定义的. + 当 ? & 0 时， y = x ? 在 ?0， ∞ ) 上是单调增加的，其图像过点 0,0 及点 (1,1) ，图 1-12 列出 （ ） ? +了?=1 ， ? = 1 ， ? = 2 时幂函数在第一象限的图像. 21 当 ? & 0 时， = x ? 在 ( 0， ∞ ) 上是单调减少的， y 其图像通过点 (1,1) ， 1-13 列出了 ? = ? ， 图 + 2 ? = ?1 ， ? = ?2 时幂函数在第一象限的图像.图 1-12图 1-132. 指数函数函数y = a x ( a 是常数且 a & 0，a ≠ 1 ) 称为指数函数. 指数函数 y = a x 的定义域是 ( ?∞， ∞ ) ，图像通过点 ( 0, 1) ，且总在 x 轴上方. + 当时 a & 1 ， y = a x 是单调增加的；当 0 & a & 1 时， y = a x 是单调减少的，如图 1-14 所示. 以常数 e = 2.L 为底的指数函数 y = ex 是科技中常用的指数函数.图 1-143. 对数函数 指数函数 y = a x 的反函数，记作 y = loga x （ a 是常数且 a & 0, a ≠ 1 )， 称为对数函数. 对数函数 y = loga x 的定义域为 ( 0， ∞ ) ，图像过点 (1, ) .当 a & 1 时， y = loga x 单调增加； + 0 当 0 & a & 1 时， y = loga x 单调减少，如图 1-15 所示. 科学技术中常用以 e 为底的对数函数 y = logex ，图 1-15 它被称为自然对数函数，简记作y = lnx .另外以 10 为底的对数函数y = log10 x ， 也是常用的对数函数，简记作 y = lgx .4. 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数 y = sinx ， 余弦函数 y = cosx ， 正切函数 y = tanx ， 余切函数 y = cot x ， 其中自变量 x 以弧度作单位来表示. 它们的图形如图 1-16，图 1-17，图 1-18 和图 1-19 所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线， 正切曲线和余切曲线.图 1-16 -图 1-17 正弦函数和余弦函数都是以 2π 为周期的周期函数，它们的定义域都为 ( ?∞, +∞ ) ，值域都为? ?1,1? .正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. ? ?图 1-18 图 1-19 ? x + π ? ，所以，把正弦曲线 y = sinx 沿 x 轴向左移动 π 个单位，就获得余 由于 cosx = sin ? ? 2 2? ? 弦曲线 y = cosx . sin x 正切函数 y = tan x = 的定义域为 cos x D ( f ) = {x | x ∈ R，x ≠ (2n + 1), n为整数} . 余切函数 y = cot x =正切函数和余切函数的值域都是 ( ?∞， ∞ ) ， 且它们都是以 π 为周期的函数， 且都是奇函数. + 另外，常用的三角函数还有 正割函数 y = secx ； 余割函数 y = cscx .cos x 的定义域为 sin x D ( f ) = {x x ∈ R ，x ≠ n π, n为整数} . ｜ 它们都是以 2π 为周期的周期函数，且 1 sec x = ； cos x 5. 反三角函数csc x =1 . sin x常用的反三角函数有 反正弦函数 y = arcsinx (如图 1-20)； 反余弦函数 y = arccosx (如图 1-21)； 反正切函数 y = arctanx (如图 1-22)； y = arccotx (如图 1-23). 反余切函数 它们分别称为三角函数 y = sinx ， y = cosx ， y = tanx 和 y = cotx 的反函数. 这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三角函数 y = sinx ， y = cosx ， y = tanx 和 y = cotx 在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数 y ，有多个 x 与之 对应.但这些函数在其定义域的每一个单调增加 （或减少） 的子区间上存在反函数.例如， = sinx y ? ? π , π ? 上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数 arcsinx 的主值， 在闭区间 ? ? 2 2? ? 记作 y=arcsinx.通常我们称 y = arcsinx 为反正弦函数.其定义域为 ? ?1, 1? ，值域为 ? ? π , π ? .反正 ? ? ? 2 2? ? ? 弦函数 y = arcsinx 在 ? ?1, 1? 上是单调增加的，它的图像如图 1-20 中实线部分所示. ? ? 类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值 y = arccosx , y = arctanx 和 y = arccotx ， 它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数. 反余弦函数 y = arccosx 的定义域为 ? ?1,1? ，值域为 ?0, π ? ，在 ? ?1,1? 上是单调减少的， ? ? ? ? ? ? 其图像如图 1-21 中实线部分所示.π 反正切函数 y = arctanx 的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，值域为 ? ? π ， ? ，在 ( ?∞， ∞ ) 上是单调增 + ? ? ? 2 2? 加的，其图像如图 1-22 中实线部分所示. 反余切函数 y = arccotx 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ，值域为 0, π） ，在 ( ?∞， ∞ ) 上是单调减少 （ + +的，其图像如图 1-23 中实线部分所示.图 1-20 -图 1-21 - 图 1-22图 1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数， 称为初等函数.例如，y = 3x 2 + sin4x ，y = ln x + 1 + x 2 ，y = arctan2x 3 + lg(x + 1) + sin x x 2 +1 等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的， 有些分 段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已.例如，绝对值函数也可 ? ?1, x & a, (x ? a )2 ? ? .这两个函 以表示成 y = x = x 2 ；函数 f (x ) = ? 也可表示成 f (x ) = 1 ? 1 ? 2? x ?a ? ?0, x & a ? ? 数也是初等函数.()七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数 双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数.定义如下： x ?x 双曲正弦 shx = e ? e (?∞ & x & +∞) ， 2 ex + e?x 双曲余弦 chx = (?∞ & x & +∞) ， 2 sh x ex ? e?x 双曲正切 thx = = (?∞ & x & +∞) ， ch x ex + e? x 其图像如图 1-24 和图 1-25 所示图 1-24 -图 1-25 - . 双曲正弦函数的定义域为 (?∞ & x & +∞) ， 它是奇函数， 其图像通过原点 ( 0,0 ) 且关于原点对 称.在 (?∞ & x & +∞ ) 内单调增加. 在 ( ?∞,0 ) 内单调减少；在 ( 0， ∞ ) 内单调增加. + 双曲余弦函数的定义域为 (?∞ & x & +∞ ) ， 它是偶函数， 其图像通过点 ( 0, 1) 且关于 y 轴对称， 双曲正切函数的定义域为 (?∞ & x & +∞) ， 它是奇函数， 其图像通过原点 ( 0,0 ) 且关于原点对称.在 (?∞ & x & +∞ ) 内是单调增加的. 由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立. sh ( x ± y ) = shx chy ± chx shy ，ch ( x ± y ) = chx chy ± shx shy ，sh2x = 2shx chx ， ch2x = ch 2 x + sh 2 x = 1 + 2sh 2x = 2ch 2x ? 1 ， ch 2x ? sh 2x = 1 .2. 反双曲函数 双曲函数的反函数称为反双曲函数， y = shx ， y = chx 和 y = thx 的反函数，依次记为 反双曲正弦函数 y = arshx ， 反双曲余弦函数 y = archx ， 反双曲正切函数 y = arthx . 反双曲正弦函数 y = arshx 的定义域为 ( ?∞， ∞ ) ， 它是奇函数， ( ?∞， ∞ ) 内单调增加， 在 + + 由 y = shx 的图像，根据反函数作图法，可得 y = arshx 的图像，如图 1-26 所示.利用求反函数 的方法，不难得到y = arshx = ln x + x 2 + 1 .反双曲余弦函数 y = archx 的定义域为 ?1， ∞ ) ，在 ?1， ∞ ) 上单调增加，如图 1-27 所示， ? + ? + 利用求反函数的方法，不难得到()y = archx = ln x + x 2 ? 1 .()图 1-26 图 1-27 反双曲正切函数 y = artanhx 的定义域为 (?1， ，它在 (?1， 内是单调增加的.它是奇函数， 1) 1) 其图像关于原点 (0， 对称，如图 1-28 所示.容易求得 0)y = arthx = ln 1 + x . 1?x 图 1-28 -第二节 数列的极限一、数列极限的定义23L 定 义 1 如 果 函 数 f 的 定 义 域 D ( f ) = N * = {1，，， } ， 则 函 数 f 的 值 域列中的每个数称为一项，而 x n = f ( n ) 称为一般项.简称数列，即 f (1) , f ( 2 )， , f ( n )， .通常数列也写成 x 1，x 2， , x n， ，并简记为 {x n } ，其中数 L L L L对于一个数列，我们感兴趣的是当 n 无限增大时， x n 的变化趋势.f ( N * ) = { f ( n ) | n ∈ N * } 中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，我们看下列例子： 1 , 2 ,L , n ,L 数列 2 3 n +1 的项随 n 增大时，其值越来越接近 1； 数列 2，，， ，n， 46 L2 L 的项随 n 增大时，其值越来越大，且无限增大；1 + ( ?1)n ?1 1，1 L， 0，， ,L n 的各项值交替地取 1 与 0；(1－2－1) (1－2－2)数列(1－2－3)的一般项 x n 无限地趋近于某一个常数 a（即 x n ? a 无限地接近于 0） 那么就说 a 是数列 {x n } 的 ，( ?1) ,L (1－2－4) 数列 1, ? 1 , 1 ,L , 2 3 n 的各项值在数 0 的两边跳动，且越来越接近 0； 数列 2，，， ，， (1－2－5) 22 L2 L 各项的值均相同. 在中学教材中， 我们已知道极限的描述性定义， “如果当项数 n 无限增大时， 即 无穷数列 {x n }n ?1? (?1)n ?1 ? 极限”.于是我们用观察法可以判断数列 n ? 1 ， ? 0， ? ，{2} 都有极限，其极限分别为 1, 2 . n ? n ? 但什么叫做“ x n 无限地接近 a ”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明.我们知道， 两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 b ? a 来度量.在数轴{ } 上 b ? a 表示点 a 与点 b 之间的距离， b ? a 越小，则 a 与 b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因 为xn ?1 = ? 1 = 1 ， n n1 1 我们知道， n 越来越大时， 越来越小， 当 从而 x n 越来越接近 1.因为只要 n 足够大， x n ? 1 = n n 1 就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数 ，只要 n & 100 即可得 100 x n ? 1 & 1 ， n = 101, 102,L 100 1 如果给定 ，则从 10001 项起，都有下面不等式 10000 xn ?1 & 1 10000 n ?1 成立.这就是数列 x n = (n = 1, 2,L) ，当 n → ∞ 时无限接近于 1 的实质. n 一般地，对数列 {x n } 有以下定义.定义 2 设 {x n } 为一数列，若存在常数 a 对任意给定的正数 ε (无论多么小)，总存在正整数xn ?a & εN ，当 n & N 时，有不等式即 x n ∈ U (a , ε) ，则称数列 {x n } 收敛， a 称为数列 {x n } 当 n→∞时的极限，记为lim x n = a 或 x n → a ( n → +∞ ) .n →∞若数列 {x n } 不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数 N 与 ε 有关，一般说来， N 将随 ε 减小而增大，这样的 N 也不是唯一的. 显然，如果已经证明了符合要求的 N 存在，则比这个 N 大的任何正整数均符合要求，在以后有 关数列极限的叙述中， 如无特殊声明，N 均表示正整数.此外， 由邻域的定义可知，x n ∈ U ( a，ε ) 等价于 x n ? a & ε . 我们给“数列 {x n } 的极限为 a ”一个几何解释： 将常数 a 及数列 x 1 , x 2 , x 3 ,L , x n ,L 在数轴上用它们的对应点表示出来， 再在数轴上作点 a 的ε 邻域，即开区间 (a ? ε, a + ε) ，如图 1-29 所示? 因两个不等式 图 1-29 ， a ?ε&xn &a +ε | x n ? a |& ε等价，所以当 n & N 时，所有的点 x n 都落在开区间 (a ? ε, a + ε) 内，而只有有限个点（至多只有符号“ min {X } ”表示数集 X 中的最小数.数列极限 lim x n = a 的定义可表达为：n →∞N 个点）在这区间以外. 为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“ ? ”表示“对于任意的”“对于所 、 有的”或“对于每一个” ；符号“ ? ”表示“存在”；符号“ max {X } ”表示数集 X 中的最大数；lim x n = a ? ?ε & 0 ， ? 正整数 N ，当 n & N 时，有 x n ? a & ε .n →∞ 例 1 证明 证lim 1 = 0 . n→∞ 2n1 1 ?ε & 0 (不防设 ε & 1 )，要使 1 ? 0 = 1 & ε ，只要 2n & ，即 n & ln ） ln2 . （ / n n ε ε 2 2 ? ? 1 因此， ?ε & 0 ，取 N = ?? ln ? /ln2? ，则当 n & N 时，有 1 ? 0 & ε .由极限定义可知 ? ? 2n ?? ε ? ? lim 1 = 0 . n →∞ 2n 1 nπ = 0 . 例 2 证明 lim cos n →∞ n 4 1 由于 1 cos n π ? 0 = 1 cos n π ≤ 1 ，故 ?ε & 0 ，要使 1 cos n π ? 0 & ε ，只要 & ε ， 证 n n 4 n 4 n n 4 1 即n & . ε 因此， ?ε & 0 ，取 N = ? 1 ? ，则当 n & N 时，有 1 cos n π ? 0 & ε .由极限定义可知 ?ε? n 4 ? ? lim 1 cos n π = 0 . n →∞ n 4 用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方 法.二、数列极限的性质定理 1（惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一 （惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一. 反设极限不惟一： lim x n = a ，lim x n = b ， a ≠ b ， 即 且 不妨设 a & b ， 证 设数列 {x n } 收敛，n →∞ n →∞b ? a ，则 b ? a ，即 由极限定义，取 ε = ?N 1＞0 ，当 n & N 1 时， x n ? a & 2 2 3a ? b ＜x ＜ a + b ， （1-2-6） n 2 2 b?a ?N 2 & 0 ，当 n & N 2 时， x n ? b & ，即 2 a + b ＜x ＜ 3b ? a ， (1-2-7) n 2 2 取 N = max { N 1 , N 2 } ，则当 n & N 时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列 {x n } 的极限必惟一. 定义 3 设有数列 {x n } ，若存在正数 M ，使对一切 n = 1, 2,L ，有 x n ≤ M ，则称数列 {x n }存在常数 M ，使对 n = 1, 2,L ，有 x n ≥ M ，则称数列 {x n } 有下界. 显然，数列 {x n } 有界的充要条件是 {x n } 既有上界又有下界. 例 3n是有界的，否则称它是无界的. 对于数列 {x n } ，若存在常数 M ，使对 n = 1，， ，有 x n ≤ M ，则称数列 {x n } 有上界；若 2L数列（ { ? 1）n ? 1} 既无上界又无下界.{ }1 有界；数列 n 2 有下界而无上界；数列 ?n 2 有上界而无下界；数列 n2 + 1{ }{ } 收敛， 有界. 定理 2（有界性） 若数列 {x n } 收敛，则数列 {x n } 有界 （有界性） 证 设 lim x n = a ，由极限定义， ?ε & 0 ，且 ε & 1 ， ?N & 0 ，当 n & N 时，| x n ? a |& ε & 1 ，n →∞从而 x n &1 + a .取 M = max 1 + a , x 1 , x 2 ,…, x N ，则有 x n ≤ M ，对一切 n = 1, 2, 3,L ，成立，即 {x n } 有 界. 定理 2 的逆命题不成立，例如数列 (?1)n 有界，但它不收敛. ，则 定理 3（保号性） 若 lim x n = a ， a & 0 （或 a & 0 ） 则 ?N & 0 ，当 n & N 时， x n & 0 （或 （保号性） ，n →∞{}{}x n & 0 ）.证 由极限定义 ，对 ε =a &0 a a 3 ， ?N & 0 ，当 n & N 时， x n ? a & ，即 & x n & a ，故当 2 2 2 2a n & N 时， x n & & 0 . 2 类似可证 a & 0 的情形. 当 推论 设有数列 {x n } ， ?N & 0 ，当 n & N 时， x n & 0 (或 x n & 0 )，若 lim x n = a ，则必有 若 则必有n →∞a ≥ 0 (或 a ≤ 0 ). 或 在推论中，我们只能推出 a ≥ 0 (或 a ≤ 0 )，而不能由 x n & 0 (或 x n & 0 )推出其极限(若存在)也大于 0(或小于 0).例如 x n =称它为 {x n } 的一个子列.?1 &0 1 ，但 lim x n = lim = 0 . n →∞ n →∞ n n 下面我们给出数列的子列的概念. 定义 4 在数列 {x n } 中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，在选出的子列中，记第 1 项为 x n 1 ，第 2 项为 x n 2 ，…，第 k 项为 x n k ，…，则数列 {x n } 的子列可记为 x n k . k 表示 x n k 在子列 x n k 中是第 k 项， nk 表示 x n k 在原数列 {x n } 中是第 nk 项.显 然，对每一个 k ，有 nk ≥ k ；对任意正整数 h ，k ，如果 h ≥ k ，则 nh ≥ nk ；若 nh ≥ nk ，则 h ≥ k ? 由于在子列 x n k 中的下标是 k 而不是 nk ， 因此 x n k 收敛于 a 的定义是：?ε & 0 ，?K & 0 ， 当 k & K 时，有 x n k ? a & ε .这时，记为 lim x n k = a .? 定理 4 的充要条件是： 的任何子列{ 都收敛，且都以 lim xn = a 的充要条件是： {x n } 的任何子列 x n k }都收敛 且都以 a 为极限.? 都收敛k →∞ k →+∞{ }{ }{ }{ }证 先证充分性.由于 {x n } 本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证.? 下面证明必要性.?由 lim xn = a ， ?ε & 0 ， ?N & 0 ，当 n & N 时，有k →∞x n ? a & ε .?今取 K = N ，则当 k & K 时，有 nk & n K = n N ≥ N ，于是 x n k ? a & ε .? 故有 定理 4 用来判别数列 {x n } 发散有时是很方便的.如果在数列 {x n } 中有一个子列发散，或者k →∞lim xn k = a .?有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言 {x n } 是发散的.? 例 4 判别数列 xn = sin解 在 {x n } 中选取两个子列：*{nπ , n ∈ N * 的收敛性.? 8}? 20 π ? (16k + 4 ) π ? (16k + 4 ) π , ? ? ?? . ? ? , ? ? ? sin , k ∈ N * ? ，即 ?sin ?sin ? 8 8 8 ? ? ? ? ? ?k {sin 88π , k ∈ N } ，即 {sin 88π ,sin 168π ,? ? ?sin 8k8π , ? ? ?} ；显然，第一个子列收敛于 0 ，而第二个子列收敛于 1 ，因此原数列 sin n π 发散. 8{}三、收敛准则定义 5 数列 {x n } 的项若满足 x 1 ≤ x 2 ≤ L ≤ x n ≤ x n +1 ≤ L ，则称数列 {x n } 为单调增加数列；若满足 x 1 ≥ x 2 ≥ L ≥ x n ≥ x n +1 ≥ L ，则称数列 {x n } 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成 立时，则分别称 {x n } 是严格单调增加和严格单调减少数列.单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n ? ? ? 1 ? 例 5 证明数列 ?? 1 + ? ? 收敛. ? ? n? ? ? ? ? ?n ? ? ? 1 ? 证 根据收敛准则，只需证明 ?? 1 + ? ? 单调增加且有上界（或单调减少且有下界）. ? ? n? ? ?? ? ? 由二项式定理，我们知道 1 2 n x n = (1 + 1 )n = 1 + Cn 1 + Cn 12 + L + Cn 1n n n n n 1 1 1 1 2 1 1 2 n ?1 = 1 + 1 + (1 ? ) + (1 ? )(1 ? ) + L + (1 ? )(1 ? )L (1 ? )， 2! n 3! n n n! n n n 1 n +1 1 1 1 1 2 n +1 x n +1 = (1 + ) = 1 + Cn + 1 + Cn + 1 + L + Cn + 1 2 n +1 n +1 (n + 1) (n + 1)n +1 = 1 + 1 + 1 (1 ? 1 ) + 1 (1 ? 1 )(1 ? 2 ) + L 2! n + 1 3! n +1 n +1 1 (1 ? 1 )(1 ? 2 ) + L + (1 ? n ? 1 ) + n! n +1 n +1 n +1 1 1 2 n + (1 ? )(1 ? ) + L + (1 ? )， (n + 1)! n +1 n +1 n +1 逐项比较 x n 与 x n +1 的每一项，有x n & x n +1 ， n = 1,2,L.这说明数列 {x n } 单调增加，又x n & 1 + 1 + 1 + 1 +L+ 1 2! 3! n! 1 + 1 +L + 1 &1+1+ 2 22 2n 1 ? 1n 2 = 3? 1 & 3. = 1+ 2 n?1 1? 1 2 n n ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 即数列 ?? 1 + ? ? 有界，由收敛准则可知 ?? 1 + ? ? 收敛. ? ? ? ? n? ? n? ? ?? ?? ? ? ? ? n ?? ? ? 1 ? 我们将 ?? 1 + ? ? 的极限记为 e ，即 ? n? ? ? ? ? ?1 lim ? 1 + ? = e . ? ? n →∞ ? n?n第三节函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际 问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数 值的变化趋势， 即所谓的函数极限， 才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义， 数列 {x n } 可看做自变量为正整数 n 的函数：x n = f (n ) ，n∈ N* ，所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型.一、 x → ∞ 时函数的极限当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所 不同的只是自变量的变化可以是连续的. 如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数 ε （无 定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , +∞ ) 上有定义，论它多么小） ，总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x & X 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等 式 那么，称函数 f ( x ) 当 x 趋于+∞时极限存在并以 A 为极限，记作lim f (x ) = A 或 f (x ) → Ax →∞f (x ) ? A & ε ，(x → +∞) .使得当 x & X 时，函数 y = f ( x ) 图形位于这两条直线之间.以 A 为极限意味着： A 的任何邻域必含有 f 在某个区间 ? X , +∞ ) 的所有函数值. ? 定义 1 的几何意义如图 1-30 所示， 作直线 y = A ? ε 和 y = A + ε ， 则总有一个正数 X 存在，在定义中正数 X 的作用与数列极限定义中的正整数 N 类似，说明 x 足够大的程度，所不同 的是， 这里考虑的是比 X 大的所有实数 x ， 而不仅仅是自然数 n ， 因此， x → +∞ 时， 当 函数 f ( x ) 图 1-30 类似于定义 1，我们定义 x 趋于 ?∞ 时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数 f ( x ) 在 区间 (?∞, a ] 上有定义，如果存在常数 A ， ?ε & 0 ， ?X & 0 ，使得当 x & ? X 时，总有 则称 f ( x ) 当 x → ?∞ 时极限存在并以 A 为极限，记作x →?∞f (x ) ? A & ε ，lim f (x ) = A 或 f (x ) → A ( x → ?∞ ).cos x =0. 例 1 证明 lim x →+∞ x证 由于cos x cos x 1 ，故 ?0 = ≤ ? ε ＞0， x x xcos x ? 0 & ε ，只要 1 & ε ，即 x & 1 . ε2 x x 因此， ?ε & 0 ，可取 X = 1 ， ε2要使 则当 x & X 时， 故 例 2 证明 lim 10x = 0 .x →?∞cos x ?0 & ε， x lim cos x = 0 . x →+∞ x证?ε & 0 ，要使 10x ? 0 = 10x & ε ，只要 x & lg ε .因此可取 X =| lg ε | +1 ，当 x & ? X 时，即有 10x ? 0 & ε ，故由定义 1 得定义 2论它多么小） ，总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x & X 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等 式f (x ) ? A & ε ，设函数 f ( x ) 当 x 充分大时有定义， 如果存在常数 A ， 对于任意给定的正数 ε（不x →+∞lim 10x = 0 .那么，常数 A 就称为函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限，记作lim f (x ) = A 或x →∞f (x ) → A ( x → ∞ ).由定义 1、定义 2 及绝对值性质可得下面的定理. lim f (x ) = A 的充要条件是 lim f (x ) = lim f (x ) = A 定理 1x →+∞ x →+∞ x →?∞ 例 3 证明 lim 证x ?2 =1. x +1 3 而 3 ?ε & 0 ， 要使 x ? 2 ? 1 = 3 & ε ， 只需 x + 1 & ， x + 1 ≥ x ? 1 ， 故只需 x ? 1& ， ε ε x +1 x +1x →∞3 即 x &1 + . ε 3 则当 x ?2 =1. 因此，?ε & 0 ， 可取 X = 1 + ， 有 ? 故由定义 2 得 lim x & X 时， x 2 ? 1 & ε ， x →∞ x + 1 ε x +1二、 x → x 0 时函数的极限对一般函数而言，除了考察自变量 x 的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可 研究 x 无限接近 x 0 时，函数值 f ( x ) 的变化趋势问题.它与 x → ∞ 时函数的极限类似，只是 x 的 趋向不同，因此只需对 x 无限接近 x 0 时 f ( x ) 的情形作出确切的描述即可. 定义 3 设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某个去心邻域内有定义， A 为常数，若对于任意给定的正数，总存在正数 δ ，使得当 x 满足不等式 0 & x ? x 0 & δ 时，对应的函数值 f ( x ) ε（无论它多么小） 都满足f (x ) ? A & ε ，则称函数 f ( x ) 当 x → x 0 时的极限存在并以 A 为极限，记作 “ 定义.研究 f ( x ) 当 上述定义称为 x → x 0 时函数极限的分析定义或 x → x 0 时函数极限的 ε ? δ ”x →x 0lim f (x ) = A ，或 f ( x ) → A （ x → x 0 时）.有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说 f ( x ) 在 x = x 0 处有无极限 与函数在该点有没有定义无关. 函数 f ( x ) 当 x → x 0 时的极限为 A 的几何解释如下：任意给定一正数 ε ，作平行于 x 轴的我们关心的是 x 无限趋近 x 0 时 f ( x ) 的变化趋势， 而不关心 f ( x ) 在 x = x 0 处 x → x 0 的极限时，两条直线 y = A + ε 和 y = A ? ε ，介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的 ε ， 存在着点 x 0 的一个 δ 邻域( x 0 ? δ ，x 0 + δ )， y = f ( x ) 的图形上的点的横坐标 x 在邻域( x 0 ? δ ， 当x 0 + δ )内，但 x ≠ x 0 时，这些点的纵坐标 f(x)满足不等式f (x ) ? A & ε ，或 A ? ε & f (x ) & A + ε .亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图 1-31 所示.图 1-31 x ?1 = 2 . 例 4 证明 lim x →1 x ? 12 x 2 ? 1 在 x = 1 处无定义. 证 函数 f (x ) = x ?1?ε & 0 ，要找 δ & 0 ，使 0 & x ? 1 & δ 时，x 2 ?1 ? 2 = x ? 1｜＜ε 成立. ｜ x ?1 x 2 ?1 ? 2 & ε 成立， x ?1因此， ?ε & 0 ，据上可取 δ = ε ，则当 0 & x ? 1 & δ 时， 由定义 1 得 lim x ? 1 = 2 . x →1 x ? 1 例 5 证明 lim sinx = sinx 0 .2x →x 0证因为 x 0 → 0 时，由于 sinx ≤ x ， x ≤ 1 ，所以 cos| sinx ? sinx 0 |= 2 cosx +x0 x ?x0 sin ≤ x ?x0 2 2因此， ?ε & 0 ，取 δ = ε ，则当 0 & x ? x 0 & δ 时， | sinx ? sinx 0 |& ε 成立，由定义 3 得 在考察函数 f ( x ) 当 x → x 0 的极限时，应注意 x 趋于点 x 0 的方式是任意的，动点 x 在 x 轴 上既可以从 x 0 的左侧趋于 x 0 ，也可以从 x0 的右侧趋于 x 0 ，甚至可以跳跃式地时左时右地从左 右两侧趋于 x 0 .但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑 x 从点 x 0 的一侧( x & x 0 或 x & x 0 )趋 于 x 0 ，这时函数的极限，即所谓的单侧极限. 定义 4 设函数 y = f ( x ) 在 x 0 的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给x →x 0lim sinx = sinx 0 .( 0 & x 0 ? x & δ )时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 则称 A 为 f ( x ) 当 x → x 0 时的右(左)极限，记作+ x →x 0定的正数 ε （无论它多么小） 总存在着正数 δ ，使得当 x 满足不等式 0 &x ?x0 & δ ，f (x ) ? A & ε? lim f (x ) = A ? ? x →x 0? ? ? ?? ? f (x 0 ) = A ? . ? ?lim f (x ) = A+ f (x 0 ) = A或左极限与右极限统称为单侧极限. 由定义 3 和定义 4 可得下面的结论. lim f (x ) = a 的充要条件是 lim? f (x ) = lim+ f (x ) = a . 定理 2x →x 0x →x 0 x →x 0由此可以看出，如果 f (x ) 、 f (x ) 中至少有一个不存在，或者它们虽然都存在，但不相 等时就可以断言函数在 x0 处的极限不存在.这一方法常常用来讨论分段函数在分界点的极限不 存在问题. 例6 设 ?cos x , x & 0, f (x ) = ? ? 1 ? x x ≥ 0, 试讨论 lim f (x ) .x →0+ 0? 0解x = 0 是此分段函数的分段点，仿照例 5 的方法可得 x →0 ?lim f (x ) = lim? cos x = cos 0 = 1 ，x →0 x →0而x →0x →0+lim f (x ) = lim+ (1 ? x ) = 1 .故由定理 3 可得 lim f (x ) = 1 . 例7 设?x , x ≤ 0, f (x ) = ? ? 1 x & 0,试讨论 lim f (x ) .x →0解 由于x → 0? x → 0+lim f (x ) = lim? x = 0 ，x →0 x →0lim f (x ) = lim+ 1 = 1 ，x →0所以 lim? f (x ) ≠ lim+ f (x ) ，故 lim f (x ) 不存在.x →0 x →0?ex + 1, x & 0, ? 例 8 设 f (x ) = ? ? x + b, x ≤ 0. ?问 b 取何值时，可使极限 lim f (x ) 存在？x →0解 由于x → 0+lim f (x ) = lim+ (ex + 1) = 2 ，x →0x →0 x →0lim? f (x ) = lim? (x + b) = b ，x →0 x →0 x →0由定理 2 可知，要使 lim f (x ) 存在，必须 lim+ f (x ) = lim? f (x ) ，因此 b = 2 .三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有下述性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证 明过程相似，有兴趣的读者可自行完成各定理的证明.此外，下面未标明自变量变化过程的极限 符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立. 存在，则必惟一. 定理 3 若 lim f (x ) 存在，则必惟一. 定理 4 (函数的局部有界性 如果 lim f (x ) = A ，那么存在常数 M & 0 和 δ & 0 ，使得当 函数的局部有界性)如果 函数的局部有界性x →x 00 & x ? x 0 & δ 时，有f (x ) ≤ M .证 时，有因为 lim f (x ) = A ， 根据函数极限的 ε ? δ ” “ 定义， ε = 1 ， ?δ & 0 ， 0 & x ? x 0 & δ 取 则 当x →x 0f (x ) ? A & 1 ，而f (x ) = f (x ) ? A + A ≤ f (x ) ? A + A & A + 1 ，记 M = A + 1 ，故f (x ) ≤ M .类似可证：如果 lim f (x ) = A ，那么存在正常数 M 和 X ，使得当 x & X 时，有x →∞ f (x ) ≤ M .对于单侧极限也有类似的结论.另外，我们必须注意，该定理的逆命题是不成立的.例如 sinx 为 有界函数，但 lim sin x 不存在.x →∞定理 5若 lim f (x ) = A ，且 A & 0 （或 A & 0 ） 则存在 δ & 0 ，使得对一切满足不等式 ，则 使得对一切满足不等式x →x 00 & x ? x 0 & δ 的 x ，有 f (x ) & 0x →∞[或 f ( x ) & 0 ].若 lim f (x ) = A ，且 A & 0 (或 A & 0 )，则 ?X & 0 ，使得对一切满足不等式 x 则 使得对一切满足不等式 若 f ( x ) ≥ 0 [或 f ( x ) ≤ 0 ]，且 limf ( x ) = A ，则 A ≥ 0 ( A ≤ 0 ) . 且f ( x ) & 0 ［或 f ( x ) & 0 ］.& X 的 x ，有 有推论第四节无穷大量与无穷小量有两种极限是数学理论研究和处理实际问题时经常遇到的，这就是本节要介绍的无穷大量 和无穷小量的概念，尤其是无穷小量的概念非常有用.一、无穷大量在函数极限不存在的各种情形下，有一种较为特别的情形，即当 x → x 0 或 x → ∞ 时，f (x ) 无限增大的情形. 例如，函数 f (x ) =1 ，当 x → 1 时， 1 无限增大这就是 f (x ) = 1?x 1?x我们要介绍的无穷大量. 定义 1 设函数 f ( x ) 在 x 0 的某一去心邻域内（或 x 大于某一正数时）有定义，如果对于 任意 给定的正数 M （不论它多 么大） 总存在正数 δ （或正数 X ） ， ，只要 x 满足不等式 0 & x ? x 0 & δ (或 x & X )，对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式f (x ) & M则称函数 f ( x ) 为当 x → x 0 （或 x → ∞ ）时的无穷大量.有时简称为无穷大.若用 f (x ) & M 代替 上述定义中的 f (x ) & M ，则得到正无穷大量的定义；若用 f (x ) & ? M 代替 f (x ) & M ，则得 到负无穷大量的定义. 分别将某极限过程中的无穷大量、正无穷大量、负无穷大量记作： lim f (x ) = ∞ , lim f (x ) = +∞, lim f (x ) = ?∞ . 例11 1 是正无穷大量； = +∞ ，即 x → 1 时， 2 (x ? 1) (x ? 1)2 ?1 是负无穷大量； lim ?1 = ?∞ ，即 x → ?1 时， x →?1 (x + 1) 2 (x + 1)2 lim+ ln x = ?∞ , lim? tan x = +∞ , lim+ tan x = ?∞ . limx →1x →0x →π 2x →π 2应该注意，称一个函数为无穷大量时，必须明确地指出自变量的变化趋势.对于一个函数， π 一般来说，自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同.例如函数 y = tanx ，当 x → 时，它是一 2 个无穷大量，而当 x → 0 时，它趋于零. 由无穷大量的定义可知，在某一极限过程中的无穷大量必是无界变量，但其逆命题不成立. 1 1 例如，函数 y = sin 在区间 ( 0,1? 上无界，但这函数当 x → 0+ 时不是无穷大. ? x x二、无穷小量如果对于任意给 定义 2 设函数 α(x ) 在 x 0 的某个去心邻域内(或 x 大于某一正数时)有定义， 定的 ε & 0 （无论它多么小） ，总存在 δ & 0 (或 X & 0 )，使得当 0 & x ? x 0 & δ （或 x & M ）时， 有α(x ) & ε |成立，则称函数 α(x ) 为 x → x 0 （或 x → ∞ ）时的无穷小量. 习惯上， 我们往往把无穷小量说成是 “极限为零的变量” 这使得它的判别与应用更加简单. ， 例2 当 x → 2 时， y = 2x ? 4 是无穷小量，因为容易证明 lim (2x ? 4) = 0 .x →21 1 当 x → ∞ 时， y = 也是无穷小量，因为 lim = 0 . x →∞ x x 下面的定理说明了无穷小量与函数极限的关系. 定理 1 lim f ( x ) = A 的充要条件是 f (x ) = A + α(x ) ，其中 α(x ) 为该极限过程中的无穷小 其中量. 证 为方便起见，仅对 x → x 0 的情形证明，其他极限过程可仿此进行. 设 lim f (x ) = A ， α(x ) = f (x ) ? A ， ?ε & 0 ， δ & 0 ， x ∈ U (x 0 , δ ) 时， f ( x ) ? A & ε ， 记 则 ? 当ox →x 0即 α(x ) ? 0 & ε . 由极限定义可知， lim α(x ) = 0 ，即 α(x ) 是 x → x 0 时的无穷小量，且x →x 0f (x ) = A + α(x ) .α(x ) ? 0 & ε ，即 f ( x ) ? A & ε ，由极限定义可知， lim f (x ) = A .x →x 0反 过来，若 当 x → x 0 时， α(x ) 是 无穷 小量 ，则 ?ε & 0 ， ?δ & 0 ，当 x ∈ U (x 0 , δ ) 时，o下面推导无穷大量与无穷小量之间的关系. 在某极限过程中， 为无穷大量， 定理 2 在某极限过程中，若 f (x ) 为无穷大量，则1 为无穷小量；反之， 为无穷小量；反之，若 f (x ) 为无 f (x )1 为无穷大量. 穷小量， 穷小量，且 f (x ) ≠ 0 ，则 为无穷大量 f (x ) 证 我们仅对 x → x 0 的情形证明，其他情形仿此可证.设 lim f (x ) = ∞ ，则 ?ε & 0 ，令 M =x →x 0° 1 ，则 ?δ & 0 ，当 1 x ∈ U (x 0，δ ) 时， f (x ) & M = ， ε ε即1 & ε ，故 1 为 x → x 0 时的无穷小量. f (x ) f (x )反之，若 lim f (x ) = 0 ，且 f (x ) ≠ 0 ，则 ?M & 0 ， 令 ε =x →x 0° 1 ，则 ?δ & 0 ， 当 x ∈ U (x 0，δ ) M时， f (x ) & ε =1 ，即 1 & M ，故 1 为 x → x 时的无穷大量. 0 f (x ) M f (x ) 三、无穷小量的性质在某一极限过程中， 是无穷小量， 也是无穷小量. 定理 3 在某一极限过程中，如果 α(x ) ， β(x ) 是无穷小量，则 α(x ) ± β(x ) 也是无穷小量 证 我们只证 x → x 0 的情形，其他情形的证明类似. 由于 x → x 0 时， α(x ) ， β(x ) 均为无穷小量，故 ?ε & 0 ，?δ1 & 0 ，当 0 & x ? x 0 & δ1 时，α(x ) & ε ， 2(1－4－1)?δ2 & 0 ，当 0 & x ? x 0 & δ2 时，β(x ) & ε ， (1－4－2) 2 取 δ = min {δ1 , δ 2 } ，则当 0 & x ? x 0 & δ 时， （1－4－1）（1－4－2）两式同时成立，因此 、 α(x ) ± β(x ) ≤ α(x ) + β(x ) & ε + ε = ε . 2 2 由无穷小量的定义可知， x → x 0 时， α(x ) ± β(x ) 为无穷小量. 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 推论 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量 在某一极限过程中， 是无穷小量， 是有界变量， 定理 4 在某一极限过程中，若 α(x ) 是无穷小量， f ( x ) 是有界变量，则 α(x ) f ( x ) 仍是无穷小量. 穷小量 证 我们只证 x → ∞ 时的情形，其他情形证法类似. 设 f (x ) 为 x → ∞ 时的有界量，则 ?M & 0 ，当 x & X 1 & 0 时，有f (x ) & M ，ε 来说， ?X 2 & 0 ，当 x & X 2 时，有 M α(x ) & ε ， M 取 X = max {X 1 , X 2 } ，则当 x & X 时，有又因 lim α(x ) = 0 ，则 ?ε & 0 ，对x →∞α(x ) f (x ) = α(x ) ? f (x ) & ε ? M = ε . M 这就证明了当 x → ∞ 时， α(x ) f (x ) 是无穷小量.例 3 求 limx →∞1 sin x . xx →∞（ + ， 解 因为 ?x ∈ ? ∞， ∞） sinx ≤ 1 ，且 lim1 =0 ，故由定理 4 得 xlim 1 sin x = 0 . x →∞ x 在某一极限过程中， 是无穷小量， 推论 在某一极限过程中， C 为常数，α(x ) 和 β(x ) 是无穷小量， Cα(x ) ，α(x ) β(x ) 均 若 为常数， 则 为无穷小量. 这是因为 C 和无穷小量均为有界变量，由定理 4 即可得此推论.此推论可推广到有限个无穷 小量乘积的情形. 定理 5 在 某一极限过程中，如果 α(x ) 是无穷小量， f (x ) 以 A 为极限，且 A ≠ 0 ， 则 某一极限过程中， 是无穷小量， 为极限， α(x ) f (x ) 仍为无穷小量.证 由定理 4 可知，只需证1 有界即可.我们仅对 x → x 0 时进行证明，其他情形类似可 f (x ) 证. 因为 lim f (x ) = A ， A ≠ 0 ，则对 ε =x →x 0° A ， ?δ & 0 ，当 x ∈ U (x 0 , δ ) 时，有 x A f (x ) ? A ≤ f (x ) ? A & ， 2 A 3A & f (x ) & ， 2 2 1 2 & =M ， f (x ) A从而 故即1 为 x 0 的去心 δ 邻域内有界. f (x )第五节 极限的运算法则前面我们说过，用极限的定义来求极限是很不方便的.因此，需要寻求其他求极限的方法. 本节我们将讨论有关极限的运算法则.一、极限的四则运算法则lim 定理 1 若 lim f ( x ) = A， g ( x ) = B ，则(1) lim ? f ( x ) ± g ( x )? = A ± B = lim f ( x ) ± lim g ( x ) ； ? ? (2) lim ? f ( x ) g ( x ) ? = A B = lim f ( x ) lim g ( x ) ； ? ?f (x ) A lim f (x ) = = ( B ≠ 0) . g (x ) B lim g (x ) ， ，将（1）留给读者证明. 证 我们仅证（2）（3） 因为 lim f ( x ) = A ,lim g ( x ) = B ，所以 (3) lim其中 lim α ( x ) = 0， β ( x ) = 0 ，于是 limf ( x ) = A + α ( x )，g ( x ) = B + β ( x ) ，f ( x ) g ( x ) = [ A + α(x )][ B + β ( x )] = A B + A β ( x ) + Bα(x ) + α(x ) β ( x )由第四节定理 4 及其推论可得 lim Bα(x ) = 0, lim A β ( x ) = 0, lim α x )β ( x ) = 0 . ( 由（1）可知lim ? f ( x ) g ( x ) ? = A B = limf ( x ) limg ( x ) . ? ? f (x ) A ? 是无穷小量即可，因为 g (x ) B同理，对于式（3） ，只需证f (x ) A A + α(x ) A Bα(x ) ? A β(x ) ? = ? = ， g (x ) B B + β(x ) B B ? B + β(x ) ? ? ? 由第四节定理 3，定理 4 的推论可知 lim ? B α(x ) ? A β ( x ) ? = 0 . ? ?由刚获证的式（2）可知 lim{B[ B + β ( x )]} = limBlim[ B + β ( x )] = B 2 .最后由第四节中的定理 5，便得 f (x ) A lim f (x ) lim = = g (x ) B lim g (x ) 存在， 为常数， 推论 1 若 limf ( x ) 存在， C 为常数，则（B ≠ 0 . ）limC f ( x ) = Climf ( x ) .这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为 limC = C . 存在， 推论 2 若 limf ( x ) 存在， n ∈ N* ，则lim ? f (x ) ? = ?lim f (x ) ? ? ? ? ?例 1 求 limnn解 例2 解3x + 1 . x ?3 3x + 1 lim (3x + 1) 4 lim = x →1 = = ?2 . x →1 x ? 3 lim(x ? 3) ?2x →1x →1求 limx →1x ?1 ，其中 m，n ∈ N* . x m ?1n0 由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“ ”型，对此情形不能直接运用极限运 0 算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.那么 (x ? 1)(x n ?1 + x n ?2 + ? ? ? + x + 1) x n ?1 lim m = lim x →1 x ? 1 x →1 (x ? 1)(x m ?1 + x m ?2 + ? ? ? + x + 1)= lim例3 解x n ?1 + x n ?2 + ? ?? + x + 1 n = . x →1 x m ?1 + x m ? 2 + ?? ? + x + 1 m求 lim x + 7 ? 3 . x →2 x ?2 0 此极限仍属于“ ”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”. 0( x + 7 ? 3)( x + 7 + 3) lim x + 7 ? 3 = lim x →2 x →2 x ?2 (x ? 2)( x + 7 + 3) x ?2 = lim x →2 (x ? 2)( x + 7 + 3) 1 1 = lim = . x →2 x +7 +3 6例 4 求 limx2 +4 . x →∞ 2x 2 ? 3解 分子、分母均为无穷大量，这种情形称为“ 运算法则，通常应设法将其变形.1 + 42 x 2 + 4 = lim x =1. lim 2 x →∞ 2x ? 3 x →∞ 2 ? 32 2 x ? 1 ? 3 ?. 例 5 求 lim ? ? x →?1 ? x + 1 x 3 +1?∞ ”型.对于它，我们也不能直接运用极限 ∞ 解x →?1lim (1 3 x 2 ?x +1?3 ? 3 ) = lim x + 1 x + 1 x →?1 (x + 1)(x 2 ? x + 1) (x + 1)(x ? 2) (x + 1)(x 2 ? x + 1) = lim 2x ? 2 = ?1 . x →?1 x ? x + 1 = limx →?1例 6 求 lim ( x 2 + x ? x 2 + 1) .x →+∞解x →+∞lim ( x 2 + x ? x 2 + 1) = limx ?12x →+∞x +x + x 2 +1 (x ? 1) ? 1 x = lim x →+∞ 2 2 ( x + x + x + 1) ? 1 x 1? 1 1 x = lim = . x →+∞ 2 ( 1 + 1 + 1 + 12 ) x x二、复合函数的极限定理 2 复合而成， 设函数 y = f ( φ ( x ) ) 是由 y = f ( u )，u = ( x ) 复合而成， 如果 lim φ(x ) = u 0 ， 且在 x 0x →x 0 u →u0的一个去心邻域内， 的一个去心邻域内， φ ( x ) ≠ u 0 ，又 lim f (u ) = A ，则x →x 0lim f (φ(x )) = A = lim f (u ) .u →u 0证 按函数极限的定义，要证: ?ε & 0, ?δ & 0 .使得当 0 &| x ? x 0 |& δ 时， | f (φ (x )) ? A |& ε 成立. 由于 lim f (u ) = A , ?ε & 0, ?η & 0, 当 0 &| u ? u 0 |& η 时，u →u 0| f (u ) ? A |& ε成立. 又由于 lim φ (x ) = u 0 , 对于上面得到的 η & 0, ?δ1 & 0, 当 0 &| x ? x 0 |& δ1 时，x →x 0| φ (x ) ? u 0 |& η成立. 由 假 设 ， 当 x ∈ U (x 0 , δ0 ) 时 ， φ(x ) ≠ u 0 , 取 δ = min{δ0 , δ1 }, 则 当 0 &| x ? x 0 |& δ 时 ， | φ (x )- u 0 |& η及|φ (x )- u 0 |≠ 0 同时成立，即 0 &| φ (x ) ? u 0 |& η 成立，从而| f (φ (x )) ? A |=| f (u ) ? A |& ε°成立. 由极限定义知x →x 0 x →x 0lim f ( φ (x )) = A = lim f (u ) .u →u 0 x →x 0 x →∞ u →u 0在 定理 2 中 ， 把 lim φ (x ) = u 0 换 成 lim φ (x ) = ∞或 lim φ (x ) = ∞ ， 而 把 lim f (u ) = A 换 成lim f (u ) = A ，可得类似的定理.x →∞ 定理 2 表示，如果函数 f (u ) 和 φ (x ) 满足该定理的条件，那么作代换 u = φ (x ) 可把求x →x 0lim f (φ(x )) 化为求 lim f (u ) ，这里 u 0 = lim φ(x ).u →u 0 x →x 0第六节 极限存在准则与两个重要极限有些函数的极限不能 （或者难以） 直接应用极限运算法则求得， 往往需要先判定极限存在， 然后再用其他方法求得.这种判定极限存在的法则通常称为极限存在准则.在第二节中我们介绍 了数列极限的收敛准则.下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理.一、夹逼定理夹逼定理） 的某去心邻域内有定义， 定理 1（夹逼定理）设函数 f ( x ) ， F1 ( x ) 和 F2 ( x ) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义，并且满足 （1） F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) ；x →x 0 x →x 0（2） lim F1 (x ) = lim F2 (x ) = a ） 则有 lim f (x ) = a .x →x 0证 由已知条件， ?δ1 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ1 ) 时， 又由 lim F1 ( x ) = lim F2 ( x ) = a 知 ?ε & 0 ，x →x 0 x →x 0°°F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) .?δ2 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ2 ) 时， F1 ( x ) ? a & ε ，?δ3 & 0 ，当 x ∈ U ( x 0 , δ3 ) 时， F2 ( x ) ? a & ε .取 δ = min° °{δ1 , δ 2 , δ3 } ，则当 x ∈ U ( x 0 , δ ) 时，得x →x 0a ? ε & F1(x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) & a + ε.由极限定义可知 lim f (x ) = a . 定理仍成立，证明亦相仿.例如，若 ?X & 0 使 x & X 时有 F1 ( x ) ≤ f ( x ) ≤ F2 ( x ) ，且x →+∞夹逼定理虽然只对 x → x 0 的情形作了叙述和证明，但是将 x → x 0 换成其他的极限过程，lim F1 ( x ) = lim F2 ( x ) = a,x →+∞则x →+∞lim f (x ) = a夹逼定理对数列极限也成立.如果数列 {x n },{y n } 及 {z n } 满足 y n ≤ x n ≤ z n (n = 1,2,3,...), 且 lim y n = a,lim z n = a ，那么数列 {x n } 的极限存在，且 lim x n = a .n →∞ n →∞ n →∞二、函数极限与数列极限的关系定理 2x →x 0lim f (x ) = a 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 数 列 {x n } ， x n ∈ D ( fn →∞)( x n ≠ x 0 ) ， 当时，都有 lim f ( xn ) = a ，这里 a 可为有限数或为 ∞ . x n → x （n → +∞） 0 此定理的证明较繁，此处从略. 定理 2 常被用于证明某些极限不存在. 1 例 1 证明极限 lim cos 不存在. x →0 x 1 1 =0 ，则 lim x n = lim ，而 证 取 {x n } = n →∞ n →∞ 2n π 2n π 1 lim cos = lim cos2n π = 1 . n →∞ x n n →∞? ? ? ? 1 1 = 0 ，而 又取 x n′ = ? ，则 lim x n ′ = lim n →∞ n →∞ 2n + 1 π ( 2n + 1) π ? ( ) ? ? ? ?lim cosn →∞{ }1 x n′= lim cos(2n + 1) π = ?1 ，n →∞由于lim cosn →∞1 1 ≠ lim cos n →∞ xn x ′n1 故 lim cos 不存在. x →0 x＊三、柯西收敛准则定理 3x →x 0lim f (x ) = a 的充要条件是： ?ε & 0，?δ& 0 ，当 x 1 , x 2 ∈ D f ） 0 & x 1 ? x 0 & δ ， 的充要条件是： （ 且0 & x 2 ? x 0 & δ 时，有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) & ε .证明从略. 定理 3 中的极限过程改为 x → +∞，x → ?∞ 或 x → ∞ 时，结论仍成立. lim f (x ) = a 的充要条件是： ε & 0，?X & 0 ， x 1 , x 2 ∈ D f ） 且 x 1 & X ， 2 & X 2 的充要条件是： （ ， ? x 定理 4 当x →∞时，有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) & ε.四、两个重要极限利用本节的夹逼定理，可得两个非常重要的极限. 1. limx →0sin x = 1 x sin x = 1 π .因为 x → 0+ ，可设 x ∈ ? 0， ? .如图 1－32 所示，其中， EA B 为 ? ? x ? 2?我们首先证明 lim+x →0单位圆弧，且OA = OB = 1，∠A OB = x ， 则 OC = cosx ，A C = sinx ，DB = tanx ， 又△AOC 的面积＜扇形 OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sinx ＜x ＜tanx . 图 1-35 π 因为 x ∈ ? 0， ? ，则 cosx & 0，sinx & 0 ，故上式可写为 ? ? ? 2? cosx & sin x & 1 . x cos x 1 =1 由 lim cos x = 1 ， lim ，运用夹逼定理得 x →0 cos x x →0 sin x lim = 1. x → 0+ x sin x 是偶函数，从而有 注意到 x sin( ?x ) lim sin x = lim? = lim+ sin z = 1 . x →0? x →0 z →0 x ?x z 综上所述，得 lim sin x = 1 . x →0 x tan x = 1 . 例 2 证明 lim 2 x →0 x lim tan x = lim sin x 1 证 x →0 x →0 x x cos x = lim sin x lim 1 = 1 . x →0 x x →0 cos x 1 ? cos x . 例 3 求 lim x →0 x2(1-6-1)? sin x ? 2(sin x )2 1 ? cos x 2 = 1 lim ? 2? =1. lim = lim 解 x →0 x →0 2 x →0 ? x ? 2 x2 x2 ? ? ? 2 ? tan x ? sin x . 例 4 求 lim x →0 x3 sin x (1 ? cos x ) tan x ? sin x lim = lim 解 3 x →0 x →0 x x 3 cos x = lim sin x 1 ? cos x 1 = 1 . x →0 x cos x 2 x2 1 例 5 求 lim x sin . x →∞ x 1 解 令 u = ，则当 x → ∞ 时， u → 0 ，故 x2 lim x sin 1 = lim sin u = 1 . x →∞ x u →0 u 从以上几例中可以看出， （2-6-1） 式 中的变量可换为其他形式的变量， 只要在极限过程中， 该 变 量 趋 于 零 . 即 如 果 在 某 极 限 过 程 中 ( x → x 0 , x → ∞, x → ?∞, x → +∞ ) 有 sin u (x ) lim u (x ) = 0[u (x ) ≠ 0] ，则 lim = 1 仍然成立的. u (x )1? ? 2. lim ? 1 + ? = e x →∞ ? x? 1 在本章第三节例 5 中，我们已证明了 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →∞ ? n? 对于任意正实数 x ， n = [x ] [x ] 的定义见第一节例 4） 则有 n ≤ x & n + 1 ， 取 （ ， 并且有 x → +∞与 n → ∞ 两个极限过程是等同的.故有 1 +nx1 &1+ 1 ≤1+ 1 ，及 n +1 x nn x n +1?1 + 1 ? & ?1 + 1 ? & ?1 + 1 ? ? ? ? ? ? ? n +1? ? x? ? n? ? 由于 x → +∞ 时，有 n → ∞ ，而?1 + 1 ? ? ? n +1? ? 1 + 1 ? = lim ? lim ? ? n →∞ ? n + 1 ? n →∞ 1 + 1 n +1n n +1.= e，1 lim ? 1 + ? ? ? n →∞ ? n? 1 由夹逼定理使得 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →+∞ ? x?xn +11 1 = lim ? 1 + ? ? 1 + ? = e ， ? ? ? ? n →∞ ? n? ? n?n1 下面证 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →?∞ ? x? 令 x = ? ( t + 1) ，则 x → ?∞ 时， t → +∞ ，故 1 1 ? lim ? 1 + ? = lim ? 1 + ? ? ? ? x →?∞ ? x ? t →+∞ ? t +1?t x ? (t +1)x? t ? = lim ? ? t →+∞ ? t + 1 ?? ( t + 1)t ? ? t ? = lim ? ? ? ? ?=e. t →+∞ ? t + 1 ? ? t + 1 ?综上所述，即有1 lim ? 1 + ? = e . ? ? x →∞ ? x?在式（1-6-2）中，令 z =x(1-6-2)1 ，则当 x → ∞ 时， z → 0 ，这时式（1-7-2）变为 xlim (1 + z ) z = e .z →0 1(1-6-3)为了方便地使用式（1-6-1）和式（1-6-2） ，将它们记为下列形式： （1） 在某极限过程 x → x 0，x → ∞，x → ?∞，x → +∞） （ 中，若 lim u ( x ) = ∞ ，则? ? lim ?1 + 1 ? u (x ) ? ?u (x )=e； （2） 在某极限过程中，若 lim u ( x ) = 0 ，则lim ?1 + u (x ) ? u ( x ) = e . ? ?1k? ? 例 6 求 lim ? 1 + ? ( k ≠ 0 ) . x →∞ ? x?解k lim ? 1 + k ? = lim ? 1 + k ? ? ? ? ? x →∞ ? x →∞ ? x? x? x x ?kxx ? ? ? 1 + k ? k ? = ek . = lim ?? ? x →∞ ?? x? ? ? ?k? x +1? . 例 7 求 lim ? ? x →∞ ? x + 2 ?解xx +1? ?1 ? ?1 ? ? ? lim ? ? ? = lim ? 1 + ? = lim ? 1 + ? x →∞ ? x + 2 ? x →∞ ? x →∞ ? }
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