高中数学 (2.1 对数与对数运算 第1课时)示范教案 新人教A版必修1-海文库
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高中数学 (2.1 对数与对数运算 第1课时)示范教案 新人教A版必修1
对数函数2.2.1
对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.课时安排3课时教学过程第1课时
对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(x141x)＝？()＝0.125?x=? 222.(1+8%)=2?x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数 1
还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题(对于课本P572.1.2的例8)x①利用计算机作出函数y=13×1.01的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿?? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即18x20x30x=1.01,=1.01,=1.01,在这几个式子中,x分别等于多少？131313④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图
图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.18x20x30x=1.01,=1.01,=1.01,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这1313131818x种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可1313③类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:x一般地,如果a(a&0,a≠1)的x次幂等于N,就是a=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x就可表示了: x=log1.01201830,x=log1.01,x=log1.01.
131313如：2例
4=16?2=log416;10=100?2=log?22121-2=log42;10=0.01?-2=log100.01 2提出问题①为什么在对数定义中规定a&0,a≠1?②根据对数定义求loga1和logaa(a&0,a≠1)的值.③负数与零有没有对数?④alogaN=N与logaa=b(a&0,a≠1)是否成立? b讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）1; 2若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.②loga1=0,logaa=1.0因为对任意a&0且a≠1,都有a=1,所以loga1=0.同样易知：logaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.b③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,a＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.④因为a=N,所以b=logaN,a=aabbbbblogaN=N,即aalogaN=N. =N叫对数恒等式) 因为a=a,所以logaa=b.故两个式子都成立.(aalogaN思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗?活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28??为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）5=625;（2）2=4-611m;（3）()=5.73; 643(4)log116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.2活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.3
对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是1的对数. 641为底5.73的对数. 31的-4次幂. 2对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.解：（1）log5625=4;（2）log21=-6;（3）log15.73=m; 643（4）(1-4-22.303)=16;(5)10=0.01;(6)e=10. 2思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.变式训练课本P64练习
1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=?2;（2）logx8=6; 32（3）lg100=x;（4）-lne=x.活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.?6?(?)21-43解：（1）因为log64x=-,所以x=643=(2)=2=. 31622（2）因为logx8=6,所以x=8=2=(2).因为x&0,因此x=2. 636（3）因为lg100=x,所以10=100=10.因此x=2.22-x2（4）因为-lne=x,所以lne=-x,e=e.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.变式训练求下列各式中的x：①log4x=x213;②logx27=;③log5（log10x）=1. 2411解：①由log4x=,得x=42=2; 23②由logx27=,得x4=27,所以x=273=81; 44 34
③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=10.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（
）（1）若log5x=3,则x=15
（2）若log25x=若log5x=－3,则x=51,则x=5
（3）若logx5=0,则x=5
（4）21 125A.（2）（3）
B.（1）（3）
C.（2）（4）
D.（3）（4）活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.3对于（1）因为log5x=3,所以x=5=125,错误;1对于（2）因为log25x=,所以x=252=5,正确; 2对于（3）因为logx=0,所以x=,无解,错误;对于（4）因为log5x=－3,所以x=5=-3011,正确. 125总之（2）（4）正确.答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（
）22（1）若M=N,则logaM=logaN
（2）若logaM=logaN,则M=N
（3）若logaM=logaN,则M=N22（4）若M=N,则logaM=logaNA.（1）（3）
B.（2）（4）
D.（1）（2）（4）活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;22对（3）若logaM=logaN,则M=±N,因此错误;22对（4）若M=N=0时,则logaM与logaN都不存在,因此错误.综上,（2）正确.答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.例3计算：(1)log927;(2)log81;(3)log(2?)(2-3);(4)log354625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.5
解法一：(1)设x=log927,则9=27,3=3,所以x=xx2x33; 2(2)设x=log81,则()=81,3=3,所以x=16; 4x4(3)令x=log(2?x3)(2-)=log(2?-13)(2+), -1所以(2+)=(2+3),x=-1;(4)令x=log625,所以(354)=625,5x=5,x=3. x434354解法二：(1)log927=log93=log99=(2)log4381=log43()=16; 16323; 2(3)log(2?(4)log)(2-)=log(2?3)(2+)=-1; -154625=log54(54)=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.变式训练课本P64练习
3、4.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)4＝16;（2）3=1;（3）4＝2;（4）2＝0.5;(5)5=625;(6)3=20xx4-211-2;(7)()=16. 94解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log31;(7)-2=log116. 942.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7(5)log216=4;(6)log127=-3;(7)log31; 33x=6;(8)logx64=-6;(9)log)log327=a.解：(1)5＝27;(2)8＝７;(3)4＝3;(4)7＝=x;(8)x=64;(9)2=128;(10)3=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=?-67axxxx11-346 ;(5)2=16;(6)()=27;(7)(3)3332;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0. 436
??3?(?)23-21解：(1)因为log8x=?,所以x=83=(2)3=23=2=; 432223334(2)因为logx27=,所以x4=27=3,即x=(3)3=3=81; 4(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=5=25;1(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=10=10.4.(1)求log84的值;2m+n(2)已知loga2=m,loga3=n,求a的值.解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8=4,即2=2,所以x=mnx3x223422,即log84=; 33(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有a=2,a=3,2m+nm2n2所以a=(a)?a=(2)?3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.作业课本P74习题2.2A组
1、2.【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.（1）5?12=1;（2）log24=x;（3）3=x1; 27（4）(1x5)=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne=x. 4?12解：（1）5=1化为对数式是log51=?1; 2x22（2）x=logx4化为指数式是(2)=4,即2=2,2xx=2,x=4; 2（3）3=1113-3x化为对数式是x=log3,因为3=()=3,所以x=-3; 27273（4）(1x1x3)=64化为对数式是x=log164,因为()=64=4,所以x=-3; 444xx-4（5）lg0.0001=x化为指数式是10=0.0001,因为10=0.000 1=10,所以x=-4;5x5x5（6）lne=x化为指数式是e=e,因为e=e,所以x=5.7
2.计算3log3?log315的值.1111x1x解：设x=log3,则3=,(32)=()2,所以x=log555所以33log3135. ?3log315=?3log15=?165. 5=3.计算a解：alogab?logbc?logcN(a&0,b&0,c&0,N&0). logbc?logcNlogab?logbc?logcN=b=clogcN=N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.(设计者：路致芳)8
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2013湖南高一数学课件（新人教A版必修1）
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资源库-微信公众号简介/对数函数
对数函数函数y=a^x&(a&0,a≠1)&的反函数y=loga(x)&(a&0,a≠1)&叫做对数函数．的一般形式为 ，它实际上就是 的。因此里对于a的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的，因为它们互为反函数。（1）对数函数的为大于0的实数集合。（2）对数函数的为全部实数集合。（3）函数总是通过（1，0）这点。（4）a大于1时，为，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。
历史/对数函数
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。 德国的史提非（）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。 欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为 Nap．㏒x=107㏑(107/x) 由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。 瑞士的彪奇（）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。 英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。 对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（）说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”。又如家拉普拉斯（）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用“假数”为“对数”。 我国清代的数学家（）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（） 看到这些著作后，大为叹服。 当今中学数学教科书是先讲“指数”，后以反函数形式引出“对数”的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。
概念与知识点/对数函数
定义在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?　【在一个普通对数式里&a&0,或=1&的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：&
log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common&logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural&logarithm)，并且把logeN&记为In&N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a&0，a≠1时，aX=N→X=logaN。（N&0）由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：在实数范围内，负数和零没有对数logaa=1log以a为底a的对数为1(a为常数)&恒过点(1，0)性质定义域求解：对数函数y=logax&的定义域是{x&丨x&0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x&0且x≠1和2x-1&0&，得到x&1/2且x≠1，即其定义域为&{x&丨x&1/2且x≠1}值域：实数集R，显然对数函数无界。定点：函数图像恒过定点(1，0)。单调性：a&1时，在定义域上为单调增函数;0&&a&1时，在定义域上为单调减函数。&奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1注意：负数和0没有对数。两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：也就是说：若y=logab&(其中a&0,a≠1，b&0)当&a&1,0&b&1时，y=logab&0;当a&1,&b&1时，y=logab&0;当0&a&1,b&1时，y=logab&0;当a&1,&0&&b&1时，y=logab&0。&指数函数的求导:e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2....设a&0,a!=1----(log&a(x))'=lim(Δx→0)((log&a(x+Δx)-log&a(x))/Δx)=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*log&a((x+Δx)/x))=lim(Δx→0)(1/x*log&a((1+Δx/x)x/Δx))=1/x*lim(Δx→0)(log&a((1+Δx/x)x/Δx))=1/x*log&a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)=1/x*log&a(e)特殊地，当a=e时，(log&a(x))'=(ln&x)'=1/x。----设y=ax两边取对数ln&y=xln&a两边对求x导y'/y=ln&ay'=yln&a=a^xln&a特殊地，当a=e时，y'=(ax)'=(ex)'=e^ln&ex=ex。运算性质一般地，如果a(a&0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要&0且≠1&真数&0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a&1时)如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0&a&1时）当a&0且a≠1时，M&0,N&0，那么：(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga(M/N)=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R)(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A&(b&0且b≠1)(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)&证明：
设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)(6)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M&,&log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M&,&log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M3.log(a^n)M^n=log(a)M&,&log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M4.log(以&n次根号下的a&为底)(以&n次根号下的M&为真数)=log(a)M&,log(以&n次根号下的a&为底)(以&m次根号下的M&为真数)=(n/m)log(a)M5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1表达方式(1)常用对数：lg(b)=log10b(10为底数)(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义与指数的关系同底的对数函数与指数函数互为反函数。
当a&0且a≠1时，ax=N&x=㏒(a)N。
关于y=x对称。
对数函数的一般形式为&y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a&0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、
可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
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应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。
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