1 2 3 4 5 6 8 12 24这九个数要如何排列才能使方格横竖斜乘积相等原理
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09-09-11 &匿名提问
【初赛试题与解答】&华罗庚金杯&少年数学邀请赛每隔一年举行一次.今年是第二届.问2000年是第几届 【解法】&每隔一年举行一次&的意思是每2年举行一次.今年是1988年,到2000年还有年,因此还要举行12÷2=6届.今年是第二届,所以2000年是2+6=8届答:2000年举行第八届.【分析与讨论】这题目因为数字不大,直接数也能很快数出来:92,98,2000年分别是第二,三,四,五,六,七,八届.一个充气的救生圈(如图32).虚线所示的大圆,半径是33厘术.实线所示的小圆,半径是9厘米.有两只蚂蚁同时从A点出发,以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行.问:小圆上的蚂蚁爬了几圈后,第一次碰上大圆上的蚂蚁 【解法】由于两只蚂蚁的速度相同,由距离÷速度=时间这个式子,我们知道大,小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比.而圈长的比又等于半径的比,即:33:9.要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈,就是要找一个最小的时间,它是大,小圆上蚂蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍.由上面的讨论可见,如果我们适当地选取时间单位,可以使小圆上的蚂蚁爬一圈用9个单位的时间,而大圆上的蚂蚁爬一圈用33个单位的时间.这样一来,问题就化为求9和33的最小公倍数的问题了.不难算出9和33的最小公倍数是99,所以答案为99÷9=11.答:小圆上的蚂蚁爬了11圈后,再次碰到大圆上的蚂蚁.【分析与讨论】这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍数的问题.注意观察,看到生活中的数学,这是华罗庚教授经常启发青少年们去做的.图33是一个跳棋棋盘,请你算算棋盘上共有多少个棋孔 【解法】这个题目的做法很多.由于时间所限,直接数是来不及的,而且容易出错.下图(图34)给出一个较好的算法.把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形,如图34.平行四边形中的棋孔数为9×9=91,每个小三角形中有10个棋孔.所以棋孔的总数是81+10×4=121个答:共有121个棋孔.【分析与讨论】玩过跳棋的同学们,你们以前数过棋孔的数目吗 有兴趣的同学在课余时都可以数一数,看谁的方法最巧 有一个四位整数.在它的某位数字前面加上一个小数点,再和这个四位数相加,得数是2000.81.求这个四位数.【解法1】由于得数有两位小数,小数点不可能加在个位数之前.如果小数点加在十位数之前,所得的数是原米四位数的百分之一,再加上原来的四位数,得数2000.81应该是原来四位数的1.01倍,原来的四位数是.01=1981.类似地,如果小数点加在百位数之前,得数2000.81应是原来四位数的1.001倍,小数点加在千位数之前,得数2000.81应是原来四位数的1.0001倍.但是(.001)和(.0001)都不是整数,所以只有1981是唯一可能的答案.答:这个四位数是1981.【解法2】注意到在原来的四位数中,一定会按顺序出现8,1两个数字.小数点不可能加在个位数之前;也不可能加在千位数之前,否则原四位数只能是8100,在于2000.81了.无论小数点加在十位数还是百位数之前,所得的数都大于1而小于100.这个数加上原来的四位数等于2000.81,所以原来的四位数一定比2000小,但比1900大,这说明它的前两个数字必然是1,9.由于它还有8,1两个连续的数字,所以只能是1981.【分析与讨论】解法1是用精确的计算,解法2靠的是&判断&.判断也需要技巧,而且是建立在对问题的细致分析上.这里需要指出,不能一看到得数2000.81中有二位小数就得出&小数点正好加在十位数之前&的结论.请同学们想想为什么 图35是一块黑白格子布.白色大正方形的边长是14厘米,白色小正方形的边长是6厘米.问:这块布中白色的面积占总面积的百分之几 【解法】格子布的面积是图36面积的9倍,格子布白色部分的面积也是图36上白色面积的9倍.这样,我们只需计算图36中白色部分所占面积的百分比就行了.这个计算很简单:答:格子布中白色部分的面积是总面积的58%.【分析与讨论】这个题目的关键是看到格子布可以分割成9块如图35的正方形.这实质上是利用了格子布的&对称性&:格子布图案是由一块图案重复地整齐排列而成的.&对称&不仅是数学中的重要概念,而且是自然界构成的一条基本规律.因此,自古以来,在各个不同领域,如数学,物理学,化学,甚至美学等,都把&对称性&与&不对称性&作为重要的课题来研究.著名数学家H·魏尔曾专门写过一本名为《对称》的书(有中译本),内容非常丰富,思想极其深刻,很值得一读.图37是两个三位数相减的算式,每个方框代表一个数字.问:这六个方框中的数字的连乘积等于多少 图 37【解法】两数相减,习惯上先考虑个位数.但仔细看一下就会发现,两个二位数的个位是不确定的:这两个个位数同时加1或同时减1,它们的差不变.这样一来,六个方框中的数字的连乘积就会不确定了,除非有一个方框的数字是0,使得乘积总是0.这就启发我们试着找方框中的0.两个三位数的首位当然不是0,因此减数的首位最少是1,被减数的首位至多是9.但因为差的首位是8,所以只有一种可能,就是被减数首位是9,减数的首位是1.这样一来,第二位数上的减法就不能借位了.被减数的第二位至多是9而减数的第二位至少是0,这两数的差是9,所以也只有一种可能:被减数的第二位是9,减数的第二位是0.这样我们就确定了六个方框中有一个方框里的数必是0.答:六个方框中的数字的连乘积等于0.【分析与讨论】这道题不需要完全确定这两个三位数,而且也不能完全确定,例如被减数与减数可以分别是(996,102),也可以是(994,100),(999,105),等等.有的同学会说:这个题目的答案是猜出来的.&猜&也是数学上的一种方法.数学上有许多著名的猜想对数学的发展产生了重要的影响.这里要着重说明二点:第一,数学上的&猜想&不是毫无根据的&胡思乱想&,而是指数学家对问题经过深入的分析或大量的例证检验后所设想的答案;是有一定道理的.象本题的解法中,我们经过分析发现,如果六个方框中没有0,这个题目的答案就不是唯一的了,所以猜想答案是0.如果猜测答案是100就没有道理了.第二,&猜想&不等于答案,猜想要经过严格的证明才能成为答案.例如,著名的哥德巴赫猜想至今还未能得到证明,因此仍然被称为&猜想&.图38中正方形的边长是2米,四个圆的半径都是1米,圆心分别是正方形的四个顶点.问:这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米 【解法】每个圆和正方形的公共部分是一个扇形,它的面积是圆的面积的四分之一.因此,整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积.而四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍.因此,整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍,也就是2×2+π×1×1×3≈13.42(平方米).答:这个正方形和四个圆盖住的面积约是13.42平方米.有七根竹竿排成一行.第一根竹竿长1米,其余每根的长都是前一根的一半.问:这七根竹竿的总长是几米 【解法】我们这样考虑:取一根2米长的竹竿,把它从中截成两半,各长1米.取其中一根作为第一根竹竿.将另外一根从中截成两半,取其中之一作为第二根竹竿.如此进行下去,到截下第七根竹竿时,所剩下的一段竹竿长为因此,七根竹竿的总长度是2米减去剩下一段的长,也【分析与讨论】中国古代就有&一尺之棰,日取其半,万世不竭&这样一个算术问题.就是说,有一根一尺长的短棍,每天截去它的一半,永远也截不完.那么,每天剩下多少呢 第七天剩下多少呢 用上面的解法计算七根竹竿的总长,时间是绰绰有余的.但如果先把每根竹竿都算出来再相加,需要通分,时间恐怕就来不及了.同学们不妨试一试.有三条线段A,B,C,A长2.12米,B长2.71米,C长3.53米,以它们作为上底,下底和高,可以作出三个不同的梯形.问:第几个梯形的面积最大 【解法】首先注意,梯形的面积=(上底+下底)×高÷2.但我们现在是比较三个梯形面积的大小,所以不妨把它们的面积都乘以2,这样只须比较(上底+下底)×高的大小就行了.我们用乘法分配律:第一个梯形的面积的2倍是:(2.12+3.53)×2.71=2.12×2.17+3.53×2.71第二个:(2.71+3.53)×2.12=2.71×2.12+3.53×2.12第三个:(2.12+2.71)×3.53=2.12×3.53+2.71×3.53先比较第一个和第二个.两个式子右边的第一个加数,一个是2.12×2.71,另一个是2.71×2.12.由乘法交换律,这两个积相等.因此只须比较第二个加数的大小就行了.显然3.53×2.71比3.53×2.12大,因为2.71比2.12大.因此第一个梯形比第二个梯形的面积大.类似地,如果比较第一个和第三个,我们发现它们有边第二个加数相等,而第一个加数2.12×2.71&2.12×3.53.因此第三个梯形比第一个梯形面积大.综上所述,第三个梯形面积最大.答:第三个梯形面积最大.【分析与讨论】做这个题目应该充分利用所学过的乘法交换律,乘法分配律等知识,而不应该直接计算面积.很明显,直接计算三个梯形的面积要浪费很多时间.有一个电子钟,每走9分钟亮一次灯,每到整点响一次铃.中午12点整, 电子钟响铃又亮灯.问:下一次既响铃又亮灯是几点钟 【解法】因为电子钟每到整点响铃,所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了.从中午12点起,每9分钟亮一次灯,要过多少个9分钟才到整点呢 由于1小时=60分钟,这个问题换句话说就是:9分钟的多少倍是6O分钟的整数倍呢 这样一来问题的实质就清楚了:是求9分和60最小公倍数.不难算出9和60的最小公倍数是180.这就是说,从正午起过180分钟,也就是3小时,电子钟会再次既响铃又亮灯.答:下一次既响铃又亮灯时是下午3点钟.【分析与讨论】这样的问题在生活中到处都会遇到.同学们能不能再举些例子呢 一副扑克牌有四种花色,每种花色有13张.从中任意抽牌.问:最少要抽多少张牌,才能保证有四张牌是同一花色的 【解法】这里&保证&的意思就是无论怎样抽牌,都一定有4张牌为同一花色.我们先看抽12张牌是否能保证有4张同花的 虽然有时12张牌中可能有4张同花,甚至4张以上同花,但也可能每种花色正好3张牌,因此不能保证一定有4张牌同花.那末,任意抽13张牌是否保证有4张同花呢 我们说可以.证明如下:如果不行的话,那末每种花色最多只能有3张,因此四种花色的牌加起来最多只能有12张,与抽13张牌相矛盾.所以说抽13张牌就可以了.这种证明的方法称为反证法.答:至少要抽13张牌,才能保证有四张牌是同一花色的.【分析与讨论】这个题目用的是所谓&抽屉原则&.比如说有4个抽屉,要在里面放13本书,那么至少有一个抽屉要放4本.这个原则也被称作&鸽子笼原则&或&重迭原则&.抽屉原则虽然简单,在数学上却有很多巧妙的应用.有兴趣的同学可以阅读常庚哲著的《抽屉原则及其他》这本书.有一个班的同学去划船.他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人;如果减少一条船,正好每条船坐9人.问:这个班共有多少同学 【解法1】假定先增加一条船,那么正好每条船坐6人.现在去掉两条船,就会余下6×2=12名同学没有船坐.而现在正好每条船9人,也就是说,每条船增加9-6=3人,正好可以把余下的12名同学全部安排上去,所以现在还有12÷3=4条船,而全班同学的人数是9×4=36人.答:这个班共有36个人.【解法2】由题目的条件可知,全班同学人数既是6的倍数,又是9的倍数,因而是6和9的公倍数.6和9的最小公倍数是18.如果总数是18人,那么每船坐6人需要有18÷6=3条船,而每船坐9人需要18÷9=2条船,就是说,每船坐6人比每船坐9人要多一条船.但由题目的条件,每船坐6人比每船坐9人要多用2条船.可见总人数应该是18×2=36.【分析与讨论】我国古代有很多类似于这个题目的问题,流传到现在.例如&鸡兔同笼&之类.这道题也可以用列方程来解.同学们不妨试一试.四个小动物换座位.一开始,小鼠坐在第1号位子,小猴坐在第2号,小兔坐在第3号,小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子.第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换后再左右两排交换.第三次再上下两排交换.第四次再左右两排交换……这样一直换下去.问:第十次交换位子后,小兔坐在第几号位子上 (参看图39)【解法】这道题问的是第十次交换位子后,小兔坐在第几号位子上 我们先根据题意将小兔座位变化的规律找出来.从图40的箭头图可以看出:每一次交换座位,小兔的座位按顺时针方向转动一格,每4次交换座位,小兔的座位又转回原处.知道了这个规律,答案就不难得到了.第十次交换座位后,小兔的座位应该是第2号位子.答:第十次交换座位后,小兔坐在第2号位子.【分析与讨论】&小动物换座位&这样的运动,在数学上称为&置换&,而小兔座位的改变称为&旋转&.置换和旋转都是群论,几何学等数学分支中的重要概念.这道题虽然简单,但其中却有不少有趣的道理呢!为了使同学们加深理解,我们再出两个思考题,请同学们想想.(1)找出其它三个小动物座位变化的规律.它们的规律有什么相同点,有什么不同点.(2)将题目中的提问改为:&第十次交换位子后,第4号座位上坐的是哪个小动物 &你知道怎么做吗 想想看.用1,9,8,8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数 【解法】什么样的数能被11整除呢 一个判定法则是:比较奇位数字之和与偶位数字之和,如果它们之差能被11除尽,那么所给的数就能被11整除,否则就不能够.现在要求被11除余8,我们可以这样考虑:这样的数加上3后,就能被11整除了.所以我们得到&一个数被11除余8&的判定法则:将偶位数字相加得一个和数,再将奇位数字相加再加上3,得另一个和数,如果这两个和数之差能被11除尽,那么这个数是被11除余8的数;否则就不是.要把1,9,8,8排成一个被11除余8的四位数,可以把这4个数分成两组,每组2个数字.其中一组作为千位和十位数,它们的和记作A;另外一组作为百位和个位数,它们之和加上3记作B.我们要适当分组,使得能被11整除.现在只有下面4种分组法:经过验证,第(1)种分组法满足前面的要求:A=1+8,B=9+8+3=20,B-A=11能被11除尽.但其余三种分组都不满足要求.根据判定法则还可以知道,如果一个数被11除余8,那么在奇位的任意两个数字互换,或者在偶位的任意两个数字互换,得到的新数被11除也余8.于是,上面第(1)分组中,1和8中任一个可以作为千位数,9和8中任一个可以作为百位数.这样共有4种可能的排法:18,8819.答:能排成4个被11除余8的数【分析与讨论】用1,9,8,8可能组成12个互不相同四位数.如果把这12个数都列出来,再分别检验它们被除的余数,就不胜其繁了.所以在解题时一定要先设法简化检验过程.图41是一个围棋盘,它由横竖各19条线组成.问:围棋盘上有多少个与图42中的小正方形一样的正方形 【解法】要能准确迅速地数出小正方形的个数,需要动动脑筋.我们先在右图小正方形中找一个代表点,例如右下角的点E作为代表点.然后将小正方形按题意放在围棋盘上,仔细观察点E应在什么地方.通过观察,不难发现:(1)点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD(包括边界)的格子点上.(2)反过来,右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E,也只能作为一个小正方形的点E.这样一来,就将&小正方形的个数&化为&正方形ABCD中的格子点个数&了.很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10=100个.答:共有100个.【分析讨论】这个题目有很多种解法,而上面这个解法既巧妙又迅速.它利用了&一一对应就一样多&这个简单的道理.一一对应是数学上的一个重要的基本概念.从这个题目可以看出,仅仅是搞清楚这么一个概念,就会起很大的作用了.思考题:如果两个图形均为长方形,情况有什么不同 例如:大棋盘是20×30,而小棋盘是10×15.问大棋盘中有多少个与小棋盘相同的长方形 【复赛试题与解答】计算【解】有三张卡片,在它们上面各写有一个数字(图43).从中抽出一张,二张,三张,按任意次序排起来,可以得到不同的一位数,二位数,三位数.请你将其中的素数都写出来.【解法】我们知道,一个比1大的自然数,如果除了1和它本身,不再有别的约数,那末这个数就叫做质数,也叫做素数.我们先回想一下被3整除的判定法则:如果一个数的各位数字之和能被3整除,那末这个数也能被3整除.因为三张卡片上的数字分别为1,2,3.这三个数字的和为6,能被3整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除,因此不可能是素数.再看二张卡片的情形.因为1+2=3,根据同样的道理,用1,2组成的二位数也能被3整除,因此也不是素数.这样剩下要讨论的二位数只有13,31,23,32这四个了.其中13,31和23都是素数,而32不是素数.最后,一位数有三个:1,2,3.1不是素数.2和3都是素数.总之,本题中的素数共有五个:2,3,13,23,31.答:共有五个素数:2,3,13,23,31.【分析与讨论】这道题主要考察问学们对素数概念的掌握以及整除的基本规律(如被3整除的特点).当然,如果将二张卡片组成的所有数都写出来,再一个一个地分析,也可以做出来.但这样做是不可取的.有大,中,小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米,3米,2米.把两堆碎石分别沉没在中,小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米 【解法】把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积,就等于所沉入的碎石的体积.因此,沉入水池中的碎石的体积是3米×3米×0.06米=0.54米3而沉入小水池中的碎石的体积是2米×2米×0.04米=0.16米3这两堆碎石的体积一共是0.54米3+0.16米3=0.7米3.把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3.而大水池的底面积是6米×6米=36米2.所以水面升高了:在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),如图44.小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔.你知道这个圆圈上共有多少个孔吗 【解法】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号;A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,……B孔的编号就是圆圈上的孔数.我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上 很容易看出应在1,4,7,10,……上.也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1.同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数.如果将孔数减1,那么得数是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就等于孔数,而且能被7整除.注意15被7除余1,所以15×6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出,15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除,而15×7=105已经大于100,7以上的倍数都不必考虑.因此,总孔数只能是15×6+l=91.答:圆圈上共有91个孔.【分析与讨论】这道题其实是下面一类问题的特殊情形.一般的问题是:有一个未知整数,只知道它被某几个整数除后所得的余数,求这个整数.中国古代数学名著《孙子算经》中,已经有解决这类问题的一般方法了.这个方法在国际上被普遍称为&中国余数定理&.华罗庚教授曾为高小初中学生写过一本小册子《从孙子的&神奇妙算&谈起》,深入浅出地介绍了解决这个问题的巧妙方法,还由此引伸出其他一些很有趣的问题,极富启发性.这本小册子已被选入《华罗庚科普著作选集》(上海教育出版社),有兴趣的同学可以读读.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入图45的方框中,每个数字只用一次:使得这三个数中任意两个都互质.其中一个三位数已填好,它是714.【解法】我们知道,如果两个数的最大公约数是1,那末这两个数就叫做互质数.已经填好的三位数714是个合数,它的质因数分解是714=2×3×7×17.使得这三个数中任意两个都互质.其中一个三位数已填好,它是714.由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5,6中只能选5,也就是说,第三行的一位数只能填5.现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2,3,6这三个数字.因为任意两个偶数都有公约数2,因此不互质.而714是偶数,所以第二行的三位数不能是偶数,也就是说,2和6不能填在个位上,因此个位数只能是3.这样一来,第二行的三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质.最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质.显然,263与5也互质.因此,714,263和5这一个数两两互质.答:填法是:图47是一张道路图,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数.请问小王从A出发走到B,最快需要几分钟 【解法1】为叙述方便,我们把每个路口都标上字母,如图48,图49所示首先我们将道路图逐步简化.从A出发经过C到B的路线都要经过DC和GC.面从A到C有两条路线可走:ADC需时间14+13=27(分钟);AGC需时间15+11=26(分钟).我们不会走前一条路线,所以可将DC这段路抹去.但要注意,AD不能抹去,因为从A到B还有别的路线(例如AHB)经过AD,需要进一步分析.由G到E也有两条路线可走:CCE需16分钟,GIE也是16分钟.我们可以选择其中的任一条路线,例如选择前一条,抹掉GIE.(也可以选择后一条而抹掉CE.但不能抹掉GC,因为还有别的路线经过它.)这样,道路图被简化成图49的形状.在图49中,从A到F有两条路线,经过H的一条需14+6+17=37(分钟),经过G的一条需15+11+10=36(分钟),我们又可以将前一条路线抹掉(图50).图50中,从C到B也有两条路线,比较它们需要的时间,又可将经过E的一条路线抹掉.最后,剩下一条最省时间的路线(图51),它需要15+11+10+12=48(分钟).答:最快需要48分钟.【解法2】要抓住关键点C.从A到B的道路如果经过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC;从C到B的道路中也选一条最省时间的,即CFB.因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的,即AGCFB.它的总时间是48分钟.剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB,看那个更省时间.不经过C点的道路只有两条:①ADHFB,它需要49分钟;②AGIEB,它也需要49分钟.所以,从A到B最快需要48分钟.【分析与讨论】上面的简化过和并不需要逐一画图,只要在原图上将准备抹掉的路段打上记号,就能很快找出需时最短的路线来.即使更复杂的道路图,也很容易得到简化.图52是稍为复杂一些的道路图,图中数字意义与本题相同.请同学们试用上面的逐步简化方法求出从A到B的最短时间.本题在应用数学中有个专门的名称,叫做&最短路线问题&.最短路线问题在交通运输,计划规划等许多方面都有广泛的应用.在实际问题中,道路图往往很复杂,要找出从A到B的所有路线是很困难的.因此,象上面这样的间化方法,就十分必要了.梯形 ABCD的中位线EF长15厘米(见图53),∠ABC=∠AEF=90°,G是EF上的一点.如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5,那么EG的长是几厘米 [解]梯形ABCD的面积等于EF×AB,而三用形ABC的面积等于(1/2)EG×AB,因此三角形ABG和梯形 ABCD的面积比等于(1/2)EG与EF的比. 由题目的条件,三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的1/5,或者说EG是EF的2/的长就是15厘米×2/5=6厘米答:EG长6厘米.[分析与讨论]在本题中,假设∠ABC=∠AEG=90°,这个条件其实是多余的.只是考虑到小学同学可能还没有学过有关中位线的性质,才加上这个条件的.有兴趣的同学可以考虑一下,如果去掉这个条件,这一题应该怎样做 有三堆砝码,第一堆中每个法码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克.请你取最少个数的砝码,使它们的总重量为130克写出的取法:需要多少个砝码 其中3克,5克和7克的砝码各有几个 [解法] 为厂使问题简化,我们首先分析一下这三排砝码之间的关系.很明显,一个3克的破码加上一个7 克的砝码正好等于两个5克的砝码(都是10兑).因此,如果用一个3克的砝码和一个7克的砝码去替换两个5克的砝码,砝码的个数及总重量都保持不变.这样一来,我们就可以把 5克砝码两个两个地换掉,直到只剩一个5克的砝码或者没有5克砝码为止.这样就将问题归结为下面两种情形:一,所取的砝码中没有5克砝码.很明显,为了使所取的砝码个数尽量少,应该尽可能少取3克砝码,而130克减去3克砝码的总重量应该是7无的倍数.计算一下就可以知道,取0个,1个,2个,3个,4个,5个3克砝码,所余下的重量都不是7克的倍数 .面如果取6个3克砝码,则130-3克×6=112克=7克×16.于是可以取16个7克砝码和6个3个克砝码,总共22个砝码,二,所取的砝码中有一个5克的.那么3克和7克砝码的总重最是130克-5克=125克,和第一种情形类似,可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码,这样总共有17+2+1=20个 砝码.比较上面两种情形,我们得知最少也取20个砝码.取法可以就象后十种情形那样;2个3克的,1个5克的,17个7克的;当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克的砝码, 例如可以取5个5克的和15个7克的.答:最少要取 20个砝码,取法如上述.[分析和讨论] 在这个问题中,有三个数(即三种砝码的个数)是可以变的.上面的解法实质上是先固定一个数(5克砝码的个数),那么只剩下的个数在变, 就比较容易处理了.如果三个数都在变,就会变得很乱,即使是找到一种只需20个砝码的取法,也很难说清楚为什么这就是最少的.如果同学们还想冉做一个这样的习题,那么不妨算一下,在本题的条件下,至多可以取多少个砝码 怎样取 有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米,4米,5米,8米,9米;请将这5块花圃分成两组,分别交给两个班管便两班所管 理的面积尽可能接近.[解法]我们知道,每个圆的面积等于直径的平方乘以(π/4).现在要把5个圆分组, 两组的总面积累尽可能接近或者说;两组总面积的比尽可能接近!由于每个圆面积都有因子(π/ 4).而我们关心的只是面积的比,所以不把这个共同的因索都去掉,而把问题简化为:将5个圆公成两组,使两组圆的直径?
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福州市2007年小学生迎春杯数学竞赛试卷及参考答案
六年级数学 1．20.07?＋19.87?－20.07×19.87－20.07×19.87＝ 3． 2007 年元旦是星期一， 下一个元旦是星期一的年份是。2．周长为 15,且每条边长都是整数的三角形共有m n 5种。年。 要使 12 ×9 这个积是 6 的倍数， 4. 并要使 m+n 最小，<b
r />则 m= ,n= 。5．小明写出 4 个连续自然数的和，与小强写出的 7 个连续自然数的和相等，小明写的最小数与小 强写出的最大数是一样的，这个一样的数是 。6．一个长方体水箱，从里面量长 30 厘米，宽 25 厘米，高 40 厘米， 水箱里放有一个边长为 20 厘米的正方体铁块， 水箱起初装满水， 后来放出 16400 立方厘米的水， 这时水位的高度是 厘 米。7．A、B 两个不相同的数字，要使算式 成立。A＝ ；B＝ 。8．700 以内能被 7 整除的所有数中，包 含有 个数字 1。9．8 个选手进行象棋比赛，每 2 个选手中都进行一场比赛，胜者得 2 分，负者得 0 分，如果和棋各得 1 分，比赛结束后 8 名选手得分各不相同，依得分顺序排好名次后，发现第 2 名的得分与第 5、6、7、8 名的四个选手得分 的和相等，第 4 名得 9 分，那么第一名得到了 分。10.在长方形 ABCD 中间有一个边长为 lcm 的小正方形，连线如图。 已知上下 2 个梯形的面积各为 8cm ，左右 2 个梯形的面积各为 9cm ，那么，长方形 ABCD 的周长为2 2cm。11．甲乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午 5 时在途中相遇，如果他们每人每小时都比预定 速度快 1 千米，则可在下午 4 时相遇，如果他们每人每小时都比预订速度慢 1.5 千米，即要在下午 7 时相遇，A、B 两地的 距离是 千米。12．试证明：在任意 4 个奇数中，一定可以选出 2 个数，它们的和或差的未位是 0。 福州市 2007 年小学生迎春杯数学竞赛试题参考答案 1、根据平方差公式，原式＝（20．07－19．87）×（20．07－19．87） ＝0.04 2、根据三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边,可得共 7 种(1、7、7)、(2、6、7)、(3、5、7)、 （3、 6、6）（4、4、7）（4、5、6）（5、5、5） 、 、 、 。3、2018 年。平年多出一天，闰年多出 2 天。四年一闰，从 2007 年开始，共 要过 3 个闰年 8 个平年，超出 14 天，又回到周一元旦。4、M＝3，N＝1 5、9。 7X=4（X＋4.5）,解得 X＝6. 6＋3 ＝9 6、16。16400-（30× 40）÷2=÷ 25× （30× 25－20× 20）＝4，20－4＝16。 7、A=8，B=6 8、34。 解:个位从 3× 到 93× 共 10 个 十位有 14、112、119、212、217、315、412、419、511、616 共 10 个 百位有 15× 到 28× 7 7 7 7 共 14 个。因此共 34 个。9、13。8 名选手的循环赛总盘数是 28。总分是 56 分。后四名选手，看成 4 人循环赛，要赛 6 盘， 每盘出现 2 分，这四人之间的比赛要累计 12 分，那么这四人的最后总得分至少要有 12 分，同时第二名至少 12 分，第四名 9 分。所以第一名和第三名共得 23 分，所以第一名得 13，第三名得 10 分。 10、24 11、180． 解法一：设:早 1 小时到达的时间为 T,每小时少走 3 千米的速度为 V,则①2T=1(V+3) ②2V=3(T+1) 由①得 V=2T-3 将之代入②容易得到 T=9 同理可得,V=15. 全程为 9× (15＋5)＝180 或(9＋3)× 15=180 解法二：也可由速度(即两人速度和)减少 5 千米,时间(即相遇时间)多用 3 小时.得到：5T=3V 得到 T=（3÷ 5）v 设每小时少走 3 千米的速度为 X，列方程为：X+3=2× （3÷ 5）X 或 3× （3÷ 5）X+1× 3=2X 均可得到 X=15 12、奇数按个位分，共有 5 种情况：个位 1、个位 3、个位 5、个位 7、个位 9。按照（个位 1 和个位 9）（个位 3、个位 7） 、 、 （个位 5）看做三个抽屉，任意 4 个奇数看作 4 个苹果，则一定有 2 个数出自同一个抽屉。它们的和或差的末位必然是 0。 1、1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/33+1/35+1/45+1/55+1/77=（ ）2、数列 1、5、14、30、55、91、??，中第九个数是（ ） 3、2001 年的国庆节是星期一，2008 年的元旦是星期（ ）4、写出 5 个不相同的自然数，使其中任意三个自然数的和能 被 3 整除，这 5 个自然数的和至少是（ ）5、在 8×8 的棋盘上可以找到（）个形如的图形。6、四个连续的自然数的倒数之和等于 19/20，则这四个自然数两两相乘积的和等于（ ） 。7、在 0 时到 12 时之间，钟面上的时针与分针成 60 度角共有( )次。 8、甲乙丙三人中只有 1 人会开车，甲说： “我会开， ”乙说： “我不会开,”丙说： ”甲不会开” 。三人中只有一句是真话，会 开车的是（ ） 。9、一个底面是正方形的容器里盛着水，从里面量边长是 13 厘米，水的高度是 6 厘米，把一个 15 厘米高 的铁质实心圆椎直立在容器里，水的高度上升到 10 厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。10、下式中每个汉字表示 1―912中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热 +爱22222+小 =学 +奥 +数 ，那么：学+奥+数=（） 。11、一项工程，甲队要 20 天完成，乙队要 30 天完成，现两队合做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天，从开工到完 工共用了 16 天，那么乙队休息了（ ）天。12、从装满 200 克浓度为 50%的盐水中倒出 40 克盐水后，然后再倒入清水将 杯装满，搅拌后再倒出 40 克盐水，然后再倒入清水将杯装满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（ ） 。13、某书店出 售一种挂历，每出售一本可获利润 18 元，出售 2/5 后，每本减价 10 元，全部售完，共获利润 3000 元。这个书店出售这种 挂历（ ）本。14、一堆棋子，白子的个数是黑子的 3/4，从中取出 91 个棋子，其中白子的个数是黑子的 5/8，剩下的棋子1 中白子的个数是黑子的 1 3 倍，这堆棋子共有（）个。15、一次测验，共有 5 道题，测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有 85%的同学做对第 4 题，有 91%的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的同学做对第 5 题， 如果做对了 3 道或 3 道以上的同学为考试合格。那么这次考试的合格率最多可达（ ）%，最少可达（ ）%。 16、小明跑步速度是步行速度的 3 倍，他每天从家到学校都是步行，有一天由于晚出发 10 分钟，她不得不跑步行了一半路 程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间与平时一样，那么小明每天步行上学需要时间（ ）分钟。 17、六年级共有 190 个学生参加考试，数学考试有 178 人及格，语文考试有 181 人及格，英语考试有 174 人及格，那么三科 全部及格的学生至少有（ ）人。18、将 60 个小球染成各种颜色（每个小球染成单一颜色） ，主要任意取出 10 个小球至 少有 3 个是同样颜色的，那么这 60 个小球至多有（ ）种颜色。20、假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照 此测算，地球上资源可供 137.5 亿人生活 112.5 年，或可供 112.5 亿人生活 262.5 年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多 能养活 （ ） 亿人。 三个数 a 、 a+1 、 a+3、 1、 都是质数， 它们倒数和是______。 观察 1+3=4 4+5=9 9+7=16 16+9=25 2. 25+11=36 这五道算式找出规律，则下一道算式是_________.3、甲数和乙数的比是 2s3，乙数和丙数的比是 4s5，甲、乙、 丙三个数的比是____4、用 10 米长的钢筋做原材料，截取 2 米和 4 米长的钢筋各 100 根，至少要用根____原材料。 5、车过河交费 3 元，马过河交费 2 元，人过河交费 1 元。某天过河的车和马的数量比是 2.9，马和人的数量比是 3.7，共收 得渡费 945 元，这天渡河的人、马、车的数目各是___、 ___ 、 ____。6、甲、乙、丙三个同学分别拿着 2 各，1 各，3 各 暖水瓶在排列打水，热水壶上只有一个水龙头。按_____________顺序，可使他们打完水所花的总时间最少。 7、有红、黄、蓝、白、黑五种球各 15 只，混放在一只球箱里，如果蒙住你的眼睛，让你在. 球箱里摸球，至少要摸出_____ 个球才能保证必有 2 只球的颜色相同。8、有一堆棋子 1000 各，两人轮流从中任取，每次取的个数不得超过 7 各，取得最后 棋子者为败，先取者有必胜策略，其第一步应取_____个。9、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在 20 秒钟里男孩 可以走 27 级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端。该扶梯共有_____级台 阶。10、小红四科成绩的平均分 92 分，并且每一科的成绩都没低于 90 分，那么成绩最高的一科有可能_____分。 11、一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 24 立方厘米，如果宽增加 3 厘米，则体积增加 24 立方厘米，如果高增加 4 厘米，则体积增加 24 立方厘米。原长方体的表面积是______。12、某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱与每个 11 元的 利润卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个_____元。13、甲、乙两人共同完成一项工程需要 12 天，现在由甲做3 3 天后，再由乙接着做 1 天，共完成这项工程的 20 ，.如果这项工程由甲独做需要_____天。14、大、中、小三个圆的共同部 1 分的面积是大圆面积的十分之一，是中圆面积的 8 1 ，是小圆面积的 2 。则大、中、小三个圆面积比是___________。15、 两个数的和是 374，其中一个加数的个位是 0，若把 0 去掉则与另一个加数相同，这两个数分别是（ ）和（ ） 。 16、 甲、乙、丙三个班共有学生 161 人，甲比乙多 2 人，乙比丙多 6 人，甲班有（ ）人。 17、甲乙两人分别从相距 35.8 千米的两地出发，相向而行。甲每小时行 4 千米，但每隔 30 分钟就休息 5 分钟；乙每分钟行 12 千米，则经过（ ）小时（ ）分的时候两人相遇。18、15 个小朋友中，至少有（ ）个小朋友在同一个月出生。 19、两辆大巴同时从甲、乙两站相向而行，相遇后继续前进各自到达对方车站马上返回，它们第一次相遇离甲站 180 千米， 第二次相遇离乙站 175 千米，甲、乙两站相距（ ）千米。21、一根竹笋从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过 10 天长 到 40 分米，求当长到 2.5 分米时经过（ ）天。22、已知 A÷B=12??15，且 A＋B=353，那么 A=（ ） ，B=（ ） 23、一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒过来看的 2 / 3。这个三位数是几？ 24. 99-97+95-93+91-89+......+7-5+3-1=______ 26、两辆卡车为农场送化肥，第一辆卡车以每小时 30 千米的速度 由仓库开往农场二辆卡车晚开 12 分钟， 以每小时 40 千米的速度由开往农场， 结果两车同时到达农场。 到农场的路程有多远？ 27、.两列同向行驶的火车在途中相遇了，客车每秒行 30 米，货车每秒行 24 米。如果从两车头对齐起算，则 24 秒后客车可2超过货车好呀是两车尾对齐丐算，则 28 秒后客车超过货车。问客车、货车各长多少米？28、一列火车经过某电线杆用了 15 秒，经过一座 1200 米长的大桥用了 75 秒，那么，这列火车的长度是多少米？29、.某列火车通过 250 米长的隧道用了 25 秒； 通过 210 米长的隧道用了 23 秒。该列车与另一列长 320 米，每秒行驶 18 米的列车在两条平行轨道上相对开过需要多少秒？ 30、有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子，今年他们的年龄加在一起，总共 75 岁。其中父亲比母亲大 3 岁， 女儿比儿子大 2 岁。又知 4 年前，家里所有的年龄之和是 60 岁。请计算，母亲今年多少岁？31、父亲比儿子大 28 岁，母亲 比儿子大 23 岁，父亲与母亲的年龄和是 73 岁，儿子的年龄是多少？32、人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游。 如果每车坐 45 人，有 10 人不能坐车；如果每车多坐 5 人又多出 1 辆汽车，一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 33、在桥上用绳子测量桥的高度，把绳子对折后垂到水面时还余 5 米，把绳子 3 折后垂到水面还余 2 米。求桥高和绳长。 34、紧接着 1997 的后面写数，写出的数字都必须是前面两个数字相乘的积的个位数字：??试问，这串数从第 一个数字开始往右第 1998 个数字是几？35、把化成小数，从小数点右边第一个数字至第 1992 个数字全部加起来，所得的数被 5 除余数是几？3、自然数 2×2×2×?×2－1 的个位数字是（ ） 。 67 个 2 4、做抢答题规定，每做对一题得 10 分，每做错一题倒扣 8 分，小王抢答 13 题，共得 76 分。他做对了（）题。1 5、一个分数的分子比分母少 14，如果分母加上 4，则可约分成 3 ，原分数是() 。6、小刚在计算 11 个整数的平均数时（按四舍五入法保留两位小数）得数是 15.35。老师说，最后一位数字错了，正确的结果是（ ） 。7、一个口袋装 有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各 10 个，至少从中摸出（ ）个球，才能保证摸出的小球中有 4 个颜色是相同的。8、 甲乙两人今年的年龄和正好是 100 岁，当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半，甲今年（ ）岁。 9、一根竹笋从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过 10 天长到 40 分米，求当长到 2.5 分米时经过（ ）天。 11、暑假小明去游泳，遇到甲、乙、丙、丁四位同学，小明和四位同学都握了手，甲和 3 个人握了手，乙和 2 个人握了手， 丙和 1 个人握了手，那么丁和（ ）个人握了手。12、有甲、乙、丙、丁四头牛，牧童骑在牛背上赶牛过河，已知甲牛 过河需 2 分钟，乙牛需 3 分钟，丙牛要 6 分钟，丁牛要 7 分钟，每次只能赶两头牛到对岸去，至少要（ ）分钟才可把牛 全部赶过河。13、两人轮流报数，规定报出的数为不超过 8 的整数，也不能为 0，把两人报的数累加起来，谁先得到 88，谁 就获胜，让你先报，你第一次报（ ）时就一定能获胜。14、把一个长 25 厘米的、宽 10 厘米的、高 4 厘米的长方体木 块，锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大正方体，问 ：这个大正方体的表面积是（ ）平方厘米。15、甲1 1 乙两车同时从 A 地开往 B 地，当甲车行至全程的 3 处时，乙车行了全程的 2 ；当乙车到达 B 地时，甲车距 B 地还有 20 千米， AB 两地相距（ ）千米。16、火车进隧道，从车头进入洞口到车尾进入洞口，共用 a 分钟，又知车头开始进入 洞口到车尾出洞口共用 b 分钟，且 b:a＝8:3，山洞隧道长 300 米，那么火车总长（ ）米。17、如下表，第 15 行第三列 的数是（ ） 。 列 行 1 2 3 18 、 上 图 中 ， 直 角 三 角 3 如果阴影 （I）的面积比 4 7 19、某市举行数学竞赛， 5 6 不 及 格 人 数 是 及 格?? 人数 ?一二 1 1 5 5 9 ?三 3 9 7 3 1 ?四 5 7 9 1 3 5五 7 5 1 9 5 3六 9 3 3 7 7 1七 1 5 9 ABC 的直角边 AB 是圆的直径，且 AB=20 厘米， 阴影 （II） 的面积大 7 平方厘米， BC= 则 （ ） 。 参赛学生都要参加两场考试。考试结果：第一场1 的 7 ；第二场及格人减少 24 人，不及格人数是及1 格人数的 5 ，问：参加数学竞赛的一共有（）人。320、星期日早晨小聪与爸爸、妈妈一起在体育场的跑道上跑步。已知妈妈的速度是小聪的 3 倍，每隔 10 分钟爸爸就超过小 聪，每隔 20 分钟爸爸就超过妈妈。爸爸每跑一圈用（ ）分钟。 一、计算： （写出主要的过程） 1. 99-97+95-93+91-89+......+7-5+3-1 2. 77× 13+255× 999+510 1. 两个数的和是 374，其中一个加数的个位是 0，若把 0 去掉则与另一个加数相同，这两个数分别是（ ）和（ ） 。 2. 大钟 1 点敲一下，7 点时，大钟敲了 42 秒，那么到 10 点时敲（ ）秒。3. 两支钢笔和一支圆珠笔共 16 元，一支钢笔 和 2 支圆珠笔共 11 元， 钢笔一支是 （ ） 元。 如图， 4． 一长方形被一条直线分成两个长方形， 这两个长方形的宽的比为 1∶ 3，若阴影三角形面积为１．５平方厘米，则原长方形面积为______平方厘米．5. 已知九个数的平均数 5.图中空白部分占正方形面积的______分之______.4. 幼儿园买来一批玩具，如果每班分 16 个，恰 好分完，如果少分给 2 个班，则每班多分 1 个，还剩 10 个，这批玩具有（ ）个。6. 在一条长 360 米的公路两旁种树， 每隔 5 米种一棵，两头都要种，一共要种（ ）棵树。7. 甲、乙、丙三个班共有学生 161 人，甲比乙多 2 人，乙比丙多 6 人，乙班有（ ）人。８.甲乙两筐同样重的水果，甲卖出３１千克，乙卖出１９千克后，则乙是甲的４倍，每筐水果 重有（ ）千克。. ９. 找出规律, 填上适当的数。 （1）1， 4， 7， 5， 8， 11， 9， 12， （ ） （ ）（2）3， ， ； 12， 27， 48， 75， （ ） （ ） 10. 黄、张、王三位学生在中心、五湖、济川读书，分别读四年、五年、六年。 ， 。 已知： 黄不在中心； 张不在五湖； 在中心的不是六年， 在五湖是四年， 张不是五年。 （ 黄在 ）（ ） 读 年， 张在 （ ） 读（ ）年，王在（ ）读（ ）年。11. 9 时 15 分时针和分针的夹角是（ ）度。动物园售票处规定，一人券 2 元一张，团体券 15 元一张（可供 10 人参观） ，六年级一班有 58 人，买门票最少要用（ ）元。1. 有 3 个箱子，如果两箱 两箱地称它们的重量，分别是 83 公斤、公斤和 86 公斤。问：其中最轻的箱子重多少公斤？ 为了开宴会，一个男子买了相同数目的橘子和苹果。橘子 3 个的价格为 2 元，苹果 4 个的价格为 3 元。他支付苹果的钱比橘 子的钱多 5 元，请问他一共支付多少元？ 大、小客车分别从甲乙两地同时相向开出，大小客车速度的比是 4：5，两车开出二又二分之一小时相遇，相遇后继续前进， 大客车比小客车晚多少小时到达目的地？4. 一个矩形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的 15％，黄色三 角形的面积是 21 平方厘米。问：矩形的面积是多少平方厘米？2．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、及格、不及格 四等.已知人数不超过 60 人，则该班不及格的学生有______人． 3．六个自然数的平均数是 7，其中前四个数的平均数是 8， 第 4 个数是 11，那么后三个数的平均数是______． 4．在两位自然数的十位与个位中间插入 0～9 中的一个数码，这个两位 数就变成了三位数．某些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，是原来两位数的 9 倍．这样的两位数共有______个． 5．10 个连续偶数的和是从 1 开始的 10 个连续奇数和的 3．5 倍，其中最大的偶数是______. 6．一堆草，可以供 3 头 牛或 4 只羊吃 14 天，或者供 4 头牛和 15 只羊吃 7 天.将这堆草供给 6 头牛和 7 只羊吃，可以吃______天． 7．将一根长为 1997 厘米的铁丝截成 199 厘米和 177 厘米两种长度的铁丝，剩余部分最少是______厘米． 8． 如图， 在长方形 ABCD 中， AB=6 厘米， BC=8 厘米， 四边形 EFHG 的面积是 3 平方厘米， 阴影部分的面积和是______平方厘米．9．分子小于 6，而分母小于 60 的不可约真分数有______个． 10．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的 3 倍，每隔 10 分有一辆公共汽车超过小光， 每隔 20 分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么相邻两车间隔______分． 2．一个分数，分母是 901，分子是一个质数，现在有下面两种方法： （1）分子和分母各加一个相同的一位数； （2）分子和分母各减一个相同的一位数．子． 3．1997 个数排成一行，除两头的两个数之外，其余每数的 3 倍恰好等于与它相邻前后两数之和，这一行数最左边的几4个数是：0，1，3，8，?，问最右边那个数除以 6 余几？4．有一个蓄水池装有 9 根水管，其中 1 根为进水管，其余 8 根为 相同的出水管．开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水．池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内 的水再全部排光．如果把 8 根出水管全部打开，需要 3 小时可将池内的水排光；而若仅打开 3 根出水管，则需要 18 小时．问 如果想要在 8 小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 2.设 A=30×70×110×170×210，那么不是 A 的约数 的最小质数为______． 3．一张试卷共有 15 道题，答对一道题得 6 分，答错一道题扣 4 分，小明答完了全部的题目却得了 0 分，那么他一共答对了______道题．4．一行苹果树有 16 棵，相邻两棵间的距离都是 3 米，在第一棵树旁有一口水井，小 明用 1 只水桶给苹果树浇水，每棵浇半桶水，浇完最后一棵时，小明共走了______米．5．有一个四位数，它的个位数字与 千位数字之和为 10，且个位既是偶数又是质数，去掉个位数字和千位数字，得到一个两位质数，又知道这个四位数能被 72 整除，则这个四位数是______? 6．甲、乙二人分别以每小时 3 千米和 5 千米的速度从 A、B 两地相向而行．相遇后二人 继续往前走，如果甲从相遇点到达 B 地共行 4 小时，那么 A、B 两地相距______千米．7．如图，在△ABC 中，DC=3BD， DE=EA，若△ABC 面积是 2，则阴影部分的面积是______.8．小朋从 1997 年的日历中抽出 14 张，是从 5 月 14 日到 5 月 27 日连续 14 天的．这 14 天的日期 数相加是 287．小红也抽出连续的 14 天的日历 14 张，这 14 天的日期数虽然与小明的不相同，但相加后恰好也是 287．小红 抽出的 14 张是从______月______日到______月______日的． 9．今有五个自然数，计算其中任意三个数的和，得到了 10 个不同的自然数，它们是：15、16、18、19、21、22、23、 26、27、29，这五个数的积是______．10．某工厂的记时钟走慢了，使得标准时间每 70 分钟分针与时针重合一次．李师傅 按照这慢钟工作 8 小时，工厂规定超时工资要比原工资多 3．5 倍，李师傅原工资每小时 3 元，这天工厂应付给李师傅超时 工资______元． 1．计算问参加演出的男、女生各多少人？ 3．国际象棋比赛的奖金总数为 10000 元，发给前五名．每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比名次在后的钱 数多，每份奖金钱数都是 100 元的整数倍．现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，第二名的钱数是第四、五名两 人之和，那么第三名最多能得多少元？ 4．在一条公路上，甲、乙两地相距 600 米，小明和小强进行竞走训练，小明每小时行走 4 千米，小强每小时行走 5 千 米．9 点整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1 分后二人都调头反向而行，又过 3 分，二人又都调头相向而行， 依次按照 1、3、5、7、?（连续奇数）分钟数调头行走，那么二人相遇时是几点几分？ 练习 3 一、填空题：2．以正方形的 4 个顶点和正方形的中心（共 5 个点）为顶点，可以套出______种面积不等的三角形． 3．某校组织不到 200 名同学外出参观，集合时，他们排成了一个正方形的队伍，乘车时，由于每人都要有座位，因此 需要每辆有 60 个座位的大轿车至少 4 辆．那么参加活动的共有______人． 4．服装厂的工人每人每天可以生产 4 件上衣或 7 条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有 66 名工人生产，每天 最多能生产______套．6．一列客车从甲站开往乙站，每小时行 65 千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行 60 千米，已知货车比客车早开 出 5 分，两车相遇的地点距甲乙两站中点 10 千米，甲乙两站之间的距离是______千米．57．55 道数学题， 分给甲、 乙、 丙三人计算。已知乙分到的题比甲多 1 倍，丙分到的题最少， 却是个两位数， 且个位不是 0．甲 分到______道题，乙分到______道题，丙分到______道题． 8．如图，已知 CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线 AB 将图 形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是______.数超过了试题总数的一半，则他们 都答对的题有______道． 10．有一水果店一天之中共进了 6 筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别为 8、9、16、20、22、27 千克．当天只卖 出了一筐桔子．在剩下的五筐水果中香蕉的重量是桔子重量的 2 倍，那么当天共进了______筐香蕉． 1．甲、乙、丙、丁四人共同购买一只价值 4200 元的游艇，甲支付的现的现金是多少元？ 2．如图，九个小长方形组成一个大长方形，按图中编号，则 1 号长方形的面积恰好是 1 平方厘米，2 号恰好是 2 平方 厘米，3 号恰好是 3 平方厘米，4 号恰好是 4 平方厘米，5 号恰好是 5 平方厘米，6 号的面积是多少平方厘米？3．某人连续打工 24 天，挣了 190 元。星期一到星期五全天工作，日工资 10 元；星期六半天工作，发半资 5 元；星期 日不工作，无工资．已知他打工是从 3 月下旬的某一天开始的，这个月的 1 日是星期日，那么他打工结束的那一天是 4 月几 日？4．有甲、乙、丙三组工人，甲组 4 人的工作，乙组需 5 人完成；乙组 3 人的工作，丙组需 8 人完成．一项工作，需甲 组 13 人、乙组 15 人合作 3 天完成．如果让丙组 10 人去做，需要多少天完成？2．将 1、2、3、4、5、6、8、9 这八个数组成两个四位数，使这两个数的差最 小，这个差是______. 3．如图，将它折成一个正方体，相交于同一顶点的三个面上的数之和最大是______．4．将 1 至 9 这九个数分别填在下面九个方框中，使等式成立：5．如图，平行四边形 ABCD 的一边 AB=8 厘米，AB 上的高等于 3 厘米，四边形 EFOG 的面积等于 2 平方厘米，则阴 影部分的面积与平行四边形的面积之比是______.66．200 个连续自然数的和是 32300，取出其中所有的第偶数个数（第 2 个，第 4 个，??，第 200 个） ，将它们相加， 则和是______．7．某人从甲地到乙地，如果每分钟走 75 米，迟到 8 分，如果每分钟走 80 米，迟到 6 分，他应以每分钟走 ______米的速度走才能准时到达．8．快慢两列火车的长分别是 200 米、300 米，它们相向而行．坐在慢车上的人见快车通 过此人窗口的时间是 8 秒，则坐在快车上的人见慢车通过此人窗口所用的时间是______秒．9．至少有一个数字是 0，且能 被 4 整除的四位数有______个．10．如图，九个小正方形内各有一个一位数，并且每行、每列及两条对角线上的三个整数的 和相等，那么 x=______.2．甲、乙、丙三人，甲每五天去李老师家，乙每四天去李老师家，丙每六天去李老师家。三人在 1997 年元旦去了李老 师家，下一次三人在李老师家相聚是几月几日？ 3．编号为 1 至 7 的 7 个盘子，每盘都放有玻璃球，共放有 80 个，其 中第 1 号盘里放有 18 个，并且编号相邻的三个盘里的玻璃球数的和相等，问第 6 个盘中玻璃球最多可能是多少个？已知他骑车每小时行 8 千米，乘车每小时行 16 千米，则此人从家到单位的距离是多少千米？2．三个不同的三位数相加的和是 2993，那么这三个加数是______. 3． 小明在计算有余数的除法时， 把被除数 472 错看成 427， 结果商比原来小 5， 但余数恰巧相同． 则该题的余数是______． 4．在自然数中恰有 4 个约数的所有两位数的个数是______．5．如图，已知每个小正方形格的面积是 1 平方厘米，则不 规则图形的面积是______．6．现有 2 克、3 克、6 克砝码各一个，那么在天平秤上能称出______种不同重量的物体． 7．有一个算式：五入的近似值，则算式□中的数依次分别是______． 8．某项工作先由甲单独做 45 天，再由乙单独做 18 天可以完成，如果甲乙两人合作可 30 天完成。现由甲先单独做 20 天，然后再由乙来单独完成，还需要______天． 9．某厂车队有 3 辆汽车给 A、B、C、D、E 五个车间组织循环运输。如图所示，标出的数是各车间所需装卸工人数．为 了节省人力，让一部分装卸工跟车走，最少安排______名装卸工保证各车间的需要．710．甲容器中有纯酒精 340 克，乙容器有水 400 克，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容 器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这时甲容器中纯酒精含量 70％， 乙容器中纯酒精含量为 20％，则第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是______克． 1．有红黄两种玻璃球一堆，其中红球个数是黄球个数的 1．5 倍，如果从这堆球中每次同时取出 红球 5 个，黄球 4 个，那么取了多少次后红球剩 9 个，黄球剩 2 个？ 2．小明一家四口人的年龄之 和是 147 岁，爷爷比爸爸大 38 岁，妈妈比小明大 27 岁，爷爷的年龄是小明与妈妈年龄之和的 2 倍，问小明一家四口人的年 龄各是多少岁？ 3．A、B、C、D、E 五人在一次满分为 100 分的考试中，A 得 94 分，B 是第一名，C 得分是 A 与 D 的平 均分，D 得分是五人的平均分，E 比 C 多 2 分，是第二名，则 B 得了多少分？ 4．甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步， 出发点在圆直径的两端．如果他们同时出发，并在甲跑完 60 米时第一次相遇，乙跑一圈还差 80 米时俩人第二次相遇，求跑 道的长是多少米？ 1． （4.16×84-2.08×54-0.15×832）÷（0.3）2=______.2．如果两个自然数相除，商是 16，余数是 13， 被除数、除数、商与余数的和是 569，那么被除数是______．3．某项工作，甲单独干 15 天可完成．现甲做了 6 天后另有任 务，剩下的工作由乙完成，用了 8 天．若这项工作全部由乙单独完成需______天． 4．小刚晚上 9 点整将手表对准，可早 晨 7 点起床时发现手表比标准时间慢了 15 分，那么小刚的手表每小时慢______分． 5．如图，四边形 ABCD 的面积是 42 平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是 3 平方厘米和 4 平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是______平方厘米．的差最大是______．7．从 1 到 1000 的自然数中，有______个数出现 2 或 4． 8．小红与小丽在一次校运动会上，预测她 们年级四个班比赛结果，小红猜测是 3 班第一名，2 班第二名，1 班第三名，4 班第四名．小丽猜测的名次顺序是 2 班、4 班、 3 班、1 班．结果只有小丽猜到 4 班是第二名是正确的．这次运动会第一名是______班． 9．将 17 分成几个自然数的和， 再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，这个乘积是______．10.小于 5 且分母为 12 的最简分数有______个；这些 最简分数的和是______．1．买 6 个足球和 4 个排球共需 322 元，如果每个足球比每个排球贵 7 元，每个足球与排球各是多 少元？2．一批苹果装箱．如果已装了 42 箱，剩下的苹果是这批苹果的 70％；如果装了 85 箱，则还剩下 1540 个苹果．这 批苹果共有多少个？3．某旅游团安排住宿，若有 5 个房间，每间住 4 人，其余的 3 人住一间，则剩 5 人；若有 2 个房间， 每间住 4 人，其余的 5 人住一间，则正好分完．求有多少个房间？旅游团有多少人？ 4．如图，将 1.8，5.6，4．7，2．8， 6．9 分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中．找 出一种填法，使三角内的数尽可能大，那么△中填的数是多少？3．将 1 个棱长是 5 厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体 的体积不要求都相等，那么最少可以分割成______个小正方体． 4．A、B 两数都只含有质因数 3 和 4，它们的最大公约数 是 36．已知 A 有 12 个约数，B 有 8 个约数，那么 A+B=______.5．正方形的一组对边增加 6 厘米，另一组对边减少 4 厘米， 结果得到的长方形与原正方形面积相等，原正方形的面积是______平方厘米． 6 如图，图中有 18 个小方格，要把 3 枚硬 币放在方格里，使每行、每列只出现一枚硬币，共有______种放法．8个数是______．8．1997 名同学排成一排，从排头到排尾 1 至 4 报数；再从排尾向排头 1 至 5 报数，那么两次报数都报 3 的 共有______人．9．把一个大长方体木块表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的 小正方体恰好是 16 块，那么至少要把这个大长方形分割成______个小长方体．10．有一个长方形，长有 420 个小方格，宽 有 240 个小方格．如果把每个小方格的顶点称为格点，连结这个长方形的对角线共经过______个格点（包括对角线两端） ． 1．某沿海地区甲、乙两码头，已知一艘船从甲到乙每天航行 300 千米，从乙到甲每天航行 360 千米，如果这艘船在甲、 乙两码头间往返航行 4 次共 22 天，那么甲、乙两码头间的距离是多少千米？2．有 8 盏灯，从 1 到 8 编号，开始时 3、6、7 编号的灯是亮的。如果一个小朋友按从 1 到 8，再从 1 到 8，?的顺序拉开关，一共拉动 500 次，问此时哪几个编号的灯是 亮的？3．一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 1 升后，用水加满，再倒出 1 升，再用水加满，然后再倒出 1 升，用水加满，这 时容器内的酒精溶液浓度是多少？4．能否用 2 个田字形和 7 个 T 字形（如图） ，恰好覆盖住一个 6 ×6 的正方形网格？2．有一些数字卡片，上面写的数都是 2 的倍数或 3 的倍数，其中 2 的卡片共有 ______张．． 6．甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的速度的 2 倍。两个相遇后继续 往前走，各自到达 B、A 后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇地点是 12 千米，那么 A、 B 两地相距______千米． 7．下面是按规律排列的三角形数阵：那么第 1997 行的左起第三个数是______.8．分子和分母相乘的积是 2100 的最简真分数共有______个．9．有一块长 36 厘米，宽 16 厘米的长方形材料，要剪截成小长方形（不能接拼） ．现有两种方案，方案甲：都截成长 10 厘米，宽 4 厘米的 小长方形；方案乙：都截成长 10 厘米，宽 6 厘米的小长方形．采用方案______可使余下材料的面积最小，余下材料的面积 是______平方厘米，请画出你的剪截方案．10．用 0 到 3 可以组成许多没有重复数字的四位数，则所有这些四位数的平均数 是______.2．三个数分别是 189，456，372，请 再写一个比 996 大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数，则所写的三位数是多少？94．有甲、乙、丙三个足球队，两两比 赛一场，共比赛了三场球，每个队的比赛结果如图所示，那么这三场球赛的具体比分是多少？2．3 支铅笔和 8 支圆珠笔的价钱是 11．9 元， 7 支铅笔和 6 支圆珠笔的价钱是 11．3 元，一支铅笔和一支钢笔的价钱是______元． A=9.5876× 1.23456，B=9.5875× 1.23457，则 A______B． 3．比较下面两个积的大小：第______个分数． 5．从 1，2，3，4，…，1997 这些自然数中，最多可以取______个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于 8． 6．用 1 至 9 这九个数字每个数字各一次，组成三个能被 9 整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，这三个数分别 是______． 如图， 7． AD=DE=EC， 是 BC 中点， 是 FC 中点， F G 如果三角形 ABC 的面积是 24 平方厘米， 则阴影部分是______ 平方厘米．8．某次考试，A、B、C、D、E 五人的平均成绩是 90 分，A、B 两人的平均成绩是 96 分，C、D 两人 的平均成绩是 92．5 分，A、D 两人的平均成绩是 97．5 分，且 C 比 D 得分少 15 分，则 B 的分数是______．9．某年级学 生人数在 200 至 250 之间，若列队 4 人一排余 1 人，5 人一排余 3 人，6 人一排余 5 人，则这个年级有______名学生．10．商 店用相同的费用购进甲、乙两种不同的糖果．已知甲种糖果每公斤 18 元，乙种糖果每公斤 12 元，如果把这两种糖果混在一 起成为什锦糖，那么这种糖每公斤的成本是______元． 1．有一个棱长是 10 厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个 面中心分别穿一个 3 厘米见方的孔，直至对面．求穿孔后木块的体积．2．分母是 964 的最简真分数共有多少个？3．一个城 市交通道路如图，数字表示各段路的路程（单位：千米） ，求出图中从 A 到 F 的最短路程．4．两名运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度每秒 0．6 米，他们同时分别从游 泳池的两端出发，来回共游了 10 分，如果不计转身时间，那么这段时间内共相遇多少次？ 练习 10103．37□5□能被 72 整除，这个数除以 72 的商是______. 每 小 时 60 千 米 的 速 度 通 过 一 座 200 米 长 的 桥 ， 用 了 214．一列火车以秒 ， 则 火 车 的 车 长 是 ______7．有两支蜡烛，第一支 5 小时燃尽，第二支 4 小时 燃尽．如果同时点燃这两支蜡烛， 并且蜡烛燃烧的速度不变，在点燃______小时后， 第一支蜡烛的长度是第二支蜡烛的 3 倍．9.恰有 8 个约数的两位数有______个．10．某小学组织六年级学生春游，学校买了 182 瓶汽水分给每个学生．如果每 5 个空瓶又可换得 1 瓶汽水，那么这些汽水瓶最多可换得______瓶汽水． 1．如果 1 个小正方体木块的表面积是 24 平方厘 米，那么由 512 个这样的小正方体木块所组成的一个大正方体的体积是多少立方厘米？3．有 6 对夫妻参加一次聚会，每个男士与每一个人握手（但不包括自己的妻子） ，女士之间相互不握手，那么这 12 个 人共握手多少次？4．甲、乙、丙三人同时从 A 地出发，到离 A 地 F18 千米的 B 地，当甲到达 B 地时，乙、丙两人离 B 地 分别还有 3 千米和 4 千米，那么当乙到达 B 地时，丙离 B 地还有多少千米？2．有 20 个约数的最小自然数是______． 3．如图，AB=6 厘米，BC=2 厘米，ABCD 是长方形，则阴影部分的面积是______平方厘米．4．把 1，2，7，8，9，10，12，13，14，15 填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是 60．116．体操选手的选拔赛上，每 名裁判员给选手的最高分不超过 10 分．某位选手的得分情况如下：全体裁判员给的分数的平均分是 9.72 分，如果去掉一个 最低分，则其余裁判员给的分数的平均数是 9.76 分，如果去掉一个最高分，则其余裁判给的分数的平均数是 9.68 分．那么 所有裁判员给的分数中最低分至少是______分，共有______名裁判员．7．一个自然数，各个数位上的数字之和是 1997，则 这个自然数最小是______．8．甲、乙、丙、丁四个学生共有 80 张卡片，甲给乙 10 张，乙给丙 12 张，丙给丁 7 张，丁给甲 4 张，这时四人手里的卡片数相等，则甲、乙、丙、丁原有卡片分别是______张．个可约分数，□内的数最大是______．10．在 8 张小圆纸片上面分别写上 2，5，8，11，14，17，20，23 这 8 个数，把其中 的四张分别放在一个大正方形的四个角上，再把余下的四张分别放在该正方形的四条边上，使得正方形每条边上的三个小圆 纸片的数字之和都相等，那么这四个角上的四个数和最大是______． 1．一艘轮船第一次顺流航行 36 千米，逆流航行 12 千米，共用 12 小时；第二次用同样的时间，顺流航行了 12 千米，逆流航行了 20 千米．求这艘轮船的静水速度及水流速 度．2．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为 900 米的环行跑道跑步，甲每分钟 360 米，乙每分钟 300 米， 丙每分钟 210 米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？3．分母为 1992 的所有最简分数之和是多少？4．如图，一块 半径为 1 厘米的圆板，从平面 1 的位置沿 AB、BC、CD 滚动到位置 2．如果 AB=BC=CD=10 厘米，那么圆板滚过的面积是多少平方厘米？（π 取 3，保留小数点后面 2 位数字） 1．在□里填上适当的数，使等式成立 73.06-□×（2.357＋7.643）-42.06=13 则□=______．2．如图，图中包含“★” 的大、小三角形共有______个．3．如果买 6 根铅笔的价钱等于买 5 块橡皮的价钱，而买 6 块橡皮要比买 5 根铅笔多花 1.1 元，则一根铅笔______元， 一块橡皮______元．4．两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走 1 至 5 根火柴，但不可以不取， 直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有 55 根火柴，首先移火柴的人在第一次移走______根时才能在游戏中 保证获胜．5．把整数部分是 0，循环节是 3 的纯循环小数化成最简分数后，如果分母是一个两位数，那么这样的最简分数 有______个．6．如图， 直角梯形 ABCD 的上底是 5 厘米，下底是 7 厘米， 高是 4 厘米，且三角形 ADE、ABF 和四边形 AECF 的面积相等，则三角形 AEF 的面积是______．7．用 5、6、7、8 这四个数可以组成许多没有重复数字的四位数，所有这些四位数的和是______．8．如图，五个圆相 交后被分成了九个区域，现在两个区域里已分别填上数字 15、16，请在另外七个区域里分别填进 2，3，4，5，7，8，9 这 七个数字，使每个圆内的数字和是 20．9．三个连续偶数的积是 8□□□8，这三个偶数的平均数是______．1210．七位数 436□75□的末位数字是______的时候，千位数字不管是 0 到 9 中的任何一个数字，这个七位数都不是 11 的倍数． 1．在 6 个塑料袋里放着同样块数的糖，如果从每个袋里拿出 80 块糖，则 6 个袋里剩下的糖相当于原来 2 个袋 里的糖数，求每个袋里原有多少块糖？ 2．有一个 200 米的环形跑道，甲、乙两人同时从同一地点同方向出发．甲以每秒 0.8 米的速度步行，乙以每秒 2.4 米的速度跑步，乙在第 2 次追上甲时用了多少秒？3．某班有 46 人，其中有 40 人会骑车， 38 人会打乒乓球，35 人会打羽毛球，27 个人会游泳，则这个班至少有多少人以上四项运动都会？数线高 6 分，没被录取的学生的平均分比录取分数线低 24 分，所有考生的平均成绩是 60 分，那么录取分数线是多少分？2．甲、乙两人骑车同时分别 从 A、 两地相对出发， B 甲每小时行 16 千米， 乙每小时行 14 千米， 两人在距中点 2 千米处相遇， A、 两地的距离是______ 则 B 千米． 3．有五个数，每取两个相加，得到 10 个和，再把这十个和相加，得到的和是 2064，原来五个数的和是______． 4．将 1 至 1996 这 1996 个自然数依次写下来，得一多位数 112?，则这一多位数除以 9 的余 数是______．5．如图，共有长方形______个．6．如图是半径为 6 厘米的半圆，让这个半圆绕 A 点按顺时针方向旋转 30°，此时 B 点移动到 B′点，则阴影部分的面 积是______平方厘米．8．有一批零件由老张和小王两人合作完成，原计划老张比小王多做 30 个，结果小王实际做的比计划做的少 20 个．他 做的总数比老张实际做的总数9．有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了四次，分别得到 以下四个数：22、25、34、39，那么原来的四个数中最大的一个数是______．10．在一次国际象棋的比赛中，每两个人都要 赛一场，胜者得 2 分，平局两人各得 1 分，负者得 0 分．现有五位同学统计了全部选手的总分，分别是 551，552，553，554， 555，但只有一个统计是正确的，则共有______选手参赛． 1．一件工程，甲单独做 16 天完成，乙单独做 12 天完成，若 甲先做若干天后，由乙接着单独做余下的工程，完成全部的工程共用了 14 天，问甲先做了多少天？ 2．一个数，除 50 余 2，除 65 余 5，除 91 余 7，求这个数是多少？ 3．将 200 拆成两个自然数之和，其中一个是 17 的倍数，另一个是 23 的倍 数，那么这两个自然数的积是多少？ 4．在 1，2，3，4，?，100 这 100 个自然数中任取两个不同的数，使得取出的两数 之和是 6 的倍数，则有多少种不同的取法？ 1． （78.6-0.786×25+75％×21.4）÷15×1997=______． 3．小宏上学骑车去学校，放学步行回家，往返一次需 20 分；如果往返都步行需要 30 分，那么骑车从家到学校需要______分（往返骑车或步行的速度不变） 4．如图，ABCD 是 ． 直角梯形，AD=5 厘米，DC=3 厘米，三角形 DOC 的面积是 1.5 平方厘米，则阴影部分的面积是______平方厘米．13上的这个数是______．个位是______，十位是______，百位是______． 7．某会议代表 200 人左右，分住房时，如果每 4 人一间多 1 人，每 6 人 一间少 1 人，每 7 人一间多 6 人，共有代表______人． 8．某校原有篮球和排球共 30 个，其中篮球与排球的比是 7∶3， 又买进几个排球，这时排球的个数占总数的 40％，则买进______个排球． 9．有 8 个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别 为 7，9，11，?，21，若把这些正方体全部锯成棱长为 1 的小正方体，在这些小正方体中，有______个至少是一面有漆． 10．某小学五年级进行速算比赛，共出了 100 道题，甲每分做 4 道题，乙每算出 20 道题比甲算出同样多的题少用 1.5 分，则乙做完 100 道题时，甲还有______道题没做． 1．一个正方体的六个面分别标上 1，2，3，4，5，6 这六个数字，从三个不同角度看正方体如图所示，那么标有数字 2 的对面是数字几？2．妈妈给小乔 21.5 元，让她买 2 千克香蕉，1.5 千克的芦柑，结果她把买的数量给弄颠倒了，这样还剩下 1.7 元，问香 蕉每 500 克售价是多少元？3．小玲准备炒一个西红柿鸡蛋的菜，她洗切西红柿用了 1.5 分，洗葱切葱用了 2.5 分，敲蛋打蛋 用了 2 分，洗锅 2 分，把锅烧热 1 分，将油烧热用 3 分，炒 4 分，小玲烧好这道菜花了 16 分．请你巧妙安排，设计出一个 顺序，使烧好这道菜的时间最短．4．在 20～50 的自然数中，最多取出多少个数，使取出的这些数中任意两个不同数的和都 不是 9 的倍数？3． 有一条 5.6 米长的木料， 如锯成每段长为 0.8 米的短木料， 需要 30 分钟， 那么锯成每段长为 0.7 米的短木料需要______ 分钟．4．街心花园有一个正方形的花坛，四周有一条宽 1.5 米的甬道（如图） ，如果甬道的面积是 27 平方米，那么中间的 花坛面积是______平方米．5．按规律排列的一串数：1，2，4，7，11，16，22，29，?，这串数的第 1997 个数是______．6．某学校四、五、六 三个年级组织了一场文艺演出，共演出 18 个节目．如果每个年级至少演出四个节目，那么，这三个年级演出节目数的所有 不同情况共有______种．7．471 除以一个两位数，余数是 37，则这个两位数是______．8．如果 384×540×875×1875×（ ） 的积的最后十个数字都是零，那么括号内填入的自然数最小是______．9．将 1，2，3，4，5，6，7 这七个数分成两组，组 成一个三位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，那么这个三位数是______． 10．平面上有 10 个圆，最多能把平 面分成______个部分． 1．买语文书 18 本，数学书 15 本，共花 167.1 元，已知每本语文书比每本数学书贵 0.3 元，语文 书、数学书每本各多少元？ 2．小强期末五门考试的平均分数是 87.5 分，其中语文考了 96 分．如果小强语文只得了 88 分，14那么他的平均成绩应是多少分？3．甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长分别是乙、正方体，要求每种木块至少用一块， 那么最少需要这三种木块多少块？ 4．甲、乙两人在相距 200 米的直路上来回跑步，如果他们同时于 6 点 05 分分别在直路两端出发，当他们第 11 次相遇 时，时间是 6 点 19 分，已知甲每秒比乙每秒多跑 1 米，问甲、乙两人的速度是每秒多少米？a×b=______，a÷b______． 2．用长短相同的火柴棍摆成 5×1997 的方格网，每一个小方格的边长为一根火柴棍长 （如图） 共需用______根火柴棍． ，要分别装入小瓶并无剩余，并且每瓶重量相等，照这种装法，最少要用______个瓶子． 4．一块长方形耕地如图所示，已知其中三块小长方形的面积分别是 15、16、20 亩，则阴影部分的面积是______亩．5．现有大小油桶 40 个，每个大桶可装油 5 千克，每个小桶可装油 3 千克，大桶比小桶共多装油 24 千克，那么，大油 桶一个，小油桶______个．6．如图，把 A，B，C，D，E，F 这六个部分用 5 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同 一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有______种不同的着色方法．7． “112?282930”是一个多位数，从中划去 40 个数字，使剩下的数字（先后顺序不能变）组成最大的多 位数，这个最大的多位数是______．8．一水库存水量一定，河水均匀流入水库内．5 台抽水机连续抽 10 天可以抽干；6 台 同样的抽水机连续抽 8 天可以抽干。若要求 4 天抽干，需要同样的抽水机______台．9．如图，A、C 两地相距 3 千米，C、 B 两地相距 8 千米．甲、乙两人同时从 C 地出发，甲向 A 地走，乙向 B 地走，并且到达这两地又都立即返回．如果乙的速 度是甲的速度的 2 倍，那么当甲到达 D 地时，还未能与乙相遇，他们相距 1 千米，这时乙距 D 地______千米．10．一次足球赛，有 A、B、C、D 四队参加，每两队都赛一场．按规则，胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．比赛结果，C 队得 5 分，A 队得 3 分，D 队得 1 分，所有场次共进了 9 个球，C 队进球最多，进了 4 个球，A 队共失了 3 个球，B 队一个球也没进，D 队与 A 队比分是 2∶3，则 D 队与 C 队的比分是______． 1．一个人以相同的速度在小路 上散步，从第 1 棵树走到第 13 棵树用了 18 分，如果这个人走了 24 分，应走到第几棵树？2．在黑板上写出 3 个整数分别是 1，3，5，然后擦去一个换成其它两数之和，这样操作下去，最后能否得到 57，64，108？为什么？ 4．如图，四个圆相互交叉，它们把四个圆面分成 13 个区域．如果在这些区域上（加点的）分别填上 6 至 18 的自然数， 然后把每个圆中的数各自分别相加，最后把这四个圆的和相加得总和，那么总和最大可能是多少？152．甲、乙两人手里各有一些画片，如果甲给乙 12 张画 片，则他俩手里的画片数相等，如果乙给甲 12 张画片，则甲的画片数是乙的 4 倍，则甲原有画片______张．3．四个连续自 然数的积是 24024，这四个自然数的和是______．4．有一根长 240 厘米的绳子，从一端开始每 4 厘米作一个记号，每 6 厘 米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成______段．5．如图，E 是平行四边形 ABCD 边 CD 的中点，AC 和 BE 相交于 F，如果三角形 EFC 的面积是 1 平方厘米，则平行四边形 ABCD 的面积是______平方厘米．6．从 1 开始依次将自然数写出来：??从左向右数，数到第 12 个数字起将开始第一次出现三 个连续的 1，数到第______个数字起将开始第一次出现五个连续的 2．7．一条环形公路上有五个仓库（如图） ，数字表示各 段路的千米数，A 仓存粮 50 吨，B 仓存粮 5 吨，C 仓存粮 10 吨，D 仓存粮 35 吨．现在要调整存放数，每个仓库存粮各 20 吨．已知每吨粮运 1 千米为 5 元，那么完成上述调运计划，最节省的方案运费需要______元．8．某商店同时卖出两件商品，每件各得 36 元，但其中一件赚了 25％，另一件亏了 25％，则这个商 店卖出这两件商品是______（赚或亏）了______元． 9．有许多等式： 1+2+3＋4=5+6-1 7+8＋9+10＋11＋12=13＋14＋15＋16-1 17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24=25＋26＋27＋28＋29＋30-1 ?? 第 10 个等式的左右两边结果都是______． 10 ． 从 15 开 始 的 若 干 个 连 续 自 然 数 ， 如 果 去 掉 其 中 一 个 ， 剩 下 的 数 的1．小丽从家去学校，如果每分走 60 米，则要迟到 5 分，如果每 分走 90 米，则能提前 4 分，小丽家到学校的距离是多少米？ 2．一个四位数，它被 146 除余 69，被 145 除余 84，求它被 57 除余数是多少？ 3 ． 水 池 上 装 有 甲 、 乙 两 个 水 管 ， 合 开 15 小 时 注 满 水 池 ， 但 甲 管 开 6 小 水16??最后恰好分完，并且每人分到的玻 璃球数相等，问共有多少个玻璃球？有多少个孩子？ 1． ［240-（0.125×76＋12.5％×24）×8］÷14=______．2．下面的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的 汉字代表相同的数字。那么这些不同的汉字代表的数字之和是______．3．如图，长方形 ABCD 的面积是 1，E 是 BC 边的中点，F 是 CD 边的中点。那么阴影部分的面积等于______．4．一个数除以 9 余 8，除以 6 余 5，这个数加上 1 就能被 5 整除，则符合条件的最小自然数是______． 5．印刷某一本书的页码时，所用数码的个数是 975 个（如第 23 页用 2 个数码，第 100 页用 3 个数码） ，那么这本书应 有的页数是______． 6．将 1 至 1997 的自然数，分成 A、B、C 三组： A 组：1，6，7，12，13，18，19，? B 组：2，5，8，11，14，17，20，? C 组：3，4，9，10，15，16，21，? 则（1）B 组中一共有______个自然数； （2）A 组中第 600 个数是______； （3）1000 是______组里的第______个数．则（1）2* （6*7）=______； （2） 如果 x*（6*7）=109，那么 x=______． 9．用等长的火柴棍为边长，在桌上摆大小相同的三角形（如图） ．摆 6 个三角形至少用 12 根，那么摆 29 个三角形，至 少要用______根．10．一个长方体的体积是 1560，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是______． 1．小明妈妈比他大 26 岁，去年小明妈妈的年龄是小明年龄的 3 倍，小明今年多少岁？2．一件工作，甲独做 10 小时完 成，乙独做 12 小时完成，丙独做 15 小时完成，现在三人合作，但甲因中途另有任务提前撤出，结果 6 小时完成，甲只做了 多少小时？3．甲、乙、丙三种糖果每千克分别是 14 元、10 元、8 元．现把甲种糖果 4 千克，乙种糖果 3 千克，丙种糖果 5 千克混合在一起，问买 2 千克这种混合糖果需多少元？4．甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同．一列火车从甲身边开 过用了 6 秒，4 分后火车又从乙身边开过用了 5 秒，那么从火车遇到乙开始，再过多少分甲、乙两人相遇？17=______. 2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立：□+□+□=60．3．一辆汽车开动后，先用 28 分行驶了 31 千米，后来 以每小时 54 千米的速度又行驶了 36 分才到达目的地．则这辆汽车平均每分约行______千米（结果保留两位小数） ． 4．蓄水池有甲、乙、丙三个注水管，如果甲单独开需要 18 小时注满水池；乙、丙合开需要 9 小时注满水池；甲、丙合 开需要 10 小时注满水池．则乙单开需要______小时注满水池．减少 0.02．则正确结果应该是______． 6． 如图， 三角形 ABC 和三角形 DEF 分别是等腰直角三角形． 已知 DF=6， AB=5， EB=2.6， 则阴影部分的面积是______．7．从 1949 至 1997 所有自然数之积的尾部有______个连续的零．面第 1 位到第 1997 位中，数字 3 出现了______次． 9．有一楼梯共 12 级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第 12 级，共有______不同的走法． 10．有三个数字，能组成 6 个不相同的三位数，这 6 个三位数之和等于 1998，那么其中最大的那个三位数是______． 1．哥哥和弟弟共有图书 120 本，哥哥给了弟弟 5 本书后，哥哥还比弟弟多 10 本，哥哥与弟弟原有图书各多少本？ 2．一条船顺水而行，6 小时行 60 千米，逆水航行这段路，10 小时才能到达，那么这条船在静水中的速度及水流的速度 各是多少？3．爸爸有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 40 秒，而闹钟却比标准时间每小时慢 40 秒，那么爸爸 的手表一昼夜比标准时间差多少秒？4．从 1 到 300 的自然数中，至多选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个 数的倍数？2．乔乔每天早上步行上学，如果 每分走 50 米，则要迟到 5 分，如果每分走 70 米，则可提前 5 分到校．乔乔到学校的路程是______．3．三个连续自然数的 乘积是 504，则这三个数是______．4．现在是九点，时针与分针第二次重合时的时刻是______．5．如果把一个数码 6 写在 某个自然数的右端，该数增加了 7999A，这里的 A 表示一个看不清的数码，则 A=______，这个数是______．7．两个数的最大公约数是 126，最小公倍数是 7938，其中一个数是 1134，则另一个数是______． 8．如图所示，正方 形 ABCD 的面积为 2 平方厘米，它的对角线长 AC=2 厘米，扇形 ACD 是以 D 为圆心，以 AD 为半径的圆面积的一部分，那 么阴影部分的面积是______平方厘米．9．如图中的正方体，用两个平面去截这个正方体，请你在这个正立方体的展开图中画出相应的截线． 10．用一个自 然数去除另一个整数，商是 28，余数是 10，且被除数、除数、商数、余数的和是 715，则被除数为______，除数为______． 1． 一只船在河里航行， 顺流而行时航速为每小时 20 千米． 已知此船顺水航行 3 小时和逆水航行 5 小时所行的路程相等，18问船速和水速分别为多少？ 2 ． 蔡 明 家 有 很 多 书 ， 他 把 这 些 书 借 给 同 班 同 学 看 ， 他 先 借 给 了 甲2本3．某班有 26 个女生，在期末考试中全班有 34 人超过 95 分，问：男生中超过 95 分的比女生中未超过 95 分的多几人？ 4．某小商店进了三种不同的果仁，所用的钱一样多．已知三种果仁的价钱分别是每斤 7 元、8 元和 9 元，若将三种果 仁混合后再卖，那么，混合后果仁的成本是每斤多少元？ 六年级数学竞赛试题（06 年 5 月） 1、已知：11×13×17×19=46189，计算：3.8×8.5×11×39=( ). 2、在右面的算式，是由 1-9 这九个不同的数字所组成的 3 位数减法算式。那么差的十位数字是（ ） 。 3、三个连续偶数的和比其中最大的一个大 10。这三个连续的偶数之和是（ ） 。 4、1―100 中有（ ）个质数。 5、甲数比乙数多 25%，乙数比甲数少（ ）%。 6、用一张纸对折，第一次前一半比后一半长 1 厘米，第二次后一半比前一半长 1 厘米，两次折痕相距（ ）厘米。 7、小敏读一本有趣的课外书，每天总是读完前几天读过页数的 2 倍，第 6 天他读了这本书页数的 1/9，小敏第（ ）天读 完这本书。 8、有两缸金鱼，从甲缸取出 1 条放入乙缸，这时两缸鱼的条数相等，从乙缸取出 1 条放入甲缸，这时乙的是甲的 1/2。甲缸 原有鱼（ ）条，乙原有（ ）条。 9、把 32 分成两个质数的和，使这两个质数的乘积最大，则这两个质数的差是（ ） 。 10、一个直角三角形，两条直角边相差 2 米， ，斜边的长是 10 米。这个直角三角形的面积是（ ）平方米。 11、8 点到 9 点之间时针在“8”的两边，并且所形成的射线到“8”的距离相等，这时是 8 点（ ）分。 12、把重量大小都一样，只有颜色不同的红、白、绿三种小球混合在一起，已知其中红球 12 个，白球 10 个，绿球 15 个， 问：最少一次摸出（ ）个球才能保证其中至少有 2 个白球。 13、六年级学生有若干个人，正好排成一个方阵。若将方阵改排成长方阵，因而减少 6 行，同时各行均增加 10 人，则学生 人数为（ ）人。 14、把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后在大正方体的表面涂满红色。已知一面涂满红色的小正方体有 96 块，则两面涂满红色的小正方体有（ ）个。 15、甲乙两个粮站共有粮食 10400 袋，甲站运走了它的 3/4，乙站运走了它的 3/5，剩下的粮食乙站比甲站多 520 袋，则两个 粮站原来共有粮食（ ）袋。 16、小明、小华、小强三个小朋友做投球的游戏。三个人共投了 100 个球，有六次没有投进。小明和小华共投进 60 个，小 华和小强共投 61 个，小华投（ ）个。 17、从一个直角边分别是 60 厘米和 40 厘米的直角三角形纸片中，剪出一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ） 厘米。 18、已知 A÷B=12?}