[二阶行列式]二阶与三阶行列式
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篇一 : 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式二阶行列式 二阶与三阶行列式篇二 : 定义二阶行列式.abcd.=ad定义二阶行列式.abcd.=ad-bc，则函数f（x）=.sinx1cosx3.的值域是______．题型：填空题难度：偏易来源：不详由题意f（x）=.sinx1cosx3.=3sinx-cosx=2sin（x-π6）∈[-2，2]．故答案为：[-2，2]．考点：考点名称：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线， 1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。篇三 : 1.1二阶与三阶行列式线性代数电子教案会计系 雷彩明Tel：659959日星期六课程简介 第一章 行 列 式 第二章第三章矩阵n维向量及其线性相关性第四章线性方程组第五章二 次 型?本课程的性质、作用和任务?学习线性代数的具体要求、重点和难点?线性代数的学习方法本课程的性质、作用和任务一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合 的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。本课程的性质、作用和任务由于线性代数在数学、力学、物理学和技术 科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代 数分枝中占居首要地位。 不仅如此，该学科所体现的几何观念与代 数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公 理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳 综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智 能都是非常有用的。本课程的性质、作用和任务时至今日，多种专业人员都需要学习线性代数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题(不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而 由于电子计算机科学的高度发展，线性化的问题又 可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工 具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。本课程的性质、作用和任务1、具体与抽象 线性代数运用所谓公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新 的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实 例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概 括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理解深透。本课程的性质、作用和任务2、特殊与一般 就我们研究问题来说，或者说就我们的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。数学更不例外。对于解析几何中的二 次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线 性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研 究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化 标准形的一些具体的直观的思想并将它移植到我们更一般 的n维抽象空间上来。本课程的性质、作用和任务3、计算与论证 计算是按一定公式、法则机械地进行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。4、教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方 程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同， 起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加 了困难。学习线性代数的具体要求、重点和难点1、行列式 (1)掌握n阶行列式的概念；(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字 母行列式的计算。学习线性代数的具体要求、重点和难点2、矩 阵(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。学习线性代数的具体要求、重点和难点 3、n维向量及其线性相关性（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。学习线性代数的具体要求、重点和难点（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。重点是利用初等变换方法求出线性代数方程 组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如 何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。学习线性代数的具体要求、重点和难点4、线性方程组(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。学习线性代数的具体要求、重点和难点4、对称矩阵与二次型(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。学习线性代数的具体要求、重点和难点重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。线性代数的学习方法1、攻克“抽象化”堡垒 2、占领“一般性”阵地3、增强论证能力4、掌握全局和局部的关系第一章行 列 式?§1.1二阶与三阶行列式?§1.2n阶行列式及其性质 ?§1.3行列式的计算?§1.4克莱姆法则第一章行 列 式通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的 [教学目的]:概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解线性方程组. [重 点]: 行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。[难 点]： 高阶行列式及字母行列式的计算。 [学时数]： 4-6学时?§1.1二阶与三阶行列式?1.1.1二阶行列式的定义?1.1.2三阶行列式的定义 ?1.1.3用二阶行列式表示三阶 行列式第一章行列式§1.1 二阶与三阶行列式§1.1.1二阶行列式的定义用消元法解二元(一次)线性方程组: ?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 (1)?a22: (2)?a12: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, (1) (2)两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;（a11a22 ? a12a21）x1 ? b1a22 ? a12b2 ;类似地，消去 x1，得 （a11a22 ? a12a21）x2 ? a11b2 ? b1a21 ,当 a11a22 ? a12a21 ? 0 时， 方程组的解为b1a22 ? a12b2 a11b2 ? b1a21 x1 ? ， x2 ? . a11a22 ? a12a21 a11a22 ? a12a21由方程组的四个系数确定.（3）定义1.1.1 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表a11 a12 a21 a22 ( 4)表达式 a11a22 ? a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 4 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22即( 5)a11 a12 D? ? a11a22 ? a12a21 . a21 a22二阶行列式的计算主对角线 副对角线对角线法则? a11a22 ? a12a21 .a11a21a12a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , 对于二元线性方程组 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .若记 系数行列式a11 a12 D? , a21 a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .a11 a12 D? , a21 a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .b1 D1 ? b2 a12 , a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .a11 a12 D? , a21 a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .b1 D1 ? b2 a12 , a22?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .a11 b1 D2 ? . a21 b2则二元线性方程组的解为b1a12a11b1D1 b2 a22 x1 ? ? , D a11 a12 a21 a22D2 a21 b2 x2 ? ? . D a11 a12 a21 a22例1.1.1求解二元线性方程组 ? 6 x1 ? 3 x2 ? 7, ? ?5 x1 ? 2 x2 ? ?1.解6 7 D1 ? ? 17, D2 ? ?1 2 5 ?1D1 D2 17 ? x1 ? ? ? , x2 ? D D 36 3 D? 5 2 7 3? 6 ? 2 - 5 ? 3 ? -3 ? 0? ?41,41 ? . 31.1.2 三阶行列式的定义定义1.1.2设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)记 a11 a12a31 a32a21 a22 a31 a32a13 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 (6) ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31, a33（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a a12 11 D ? a21 a22 a23 a a22 21 (1)沙路法☆ a31 a32 a33 a a31 32? ? ? ? ? D ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31 .?(2)对角线法则 a11 a12a13 a23 a33a21 a22 a31 a32? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a13a22a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.2例1.1.20 5?3 2 1计算三阶行列式D ? 12 0 ?3 2 0解按沙路法则，有D? 1 5 0 ?1 2 1 5 ? 1 0 ?10 ?1? 17.? 10 ? 0 ? 3 ? 0 ? 0 ? 42 ? 5 ?1 ? 0 ? 2 ? 0 ? （-3） 1? ? （-1） -(-3)? 5? 0 ? 2 ? 2 ? ? ?1? ? 0 ?1?1利用三阶行列式求解三元线性方程组 ? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , 如果三元线性方程组 ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ? ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3a11 a12 a13 的系数行列式 D ? a21 a22 a23 ? 0, a31 a32 a33? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3若记a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 a31 a32 a33? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 ? b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33即? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 a31 a32 a33? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3得a11 b1 D2 ? a21 b2 a31 b3a13 a23 , a33 a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 a31 a32 a33? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 ,? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3得a11 b1 D2 ? a21 b2 a31 b3a13 a23 , a33a11 a12 b1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ? D3 ? a21 a22 b2 . ?a x ? a x ? a x ? a31 a32 b3 ? 31 1 32 2 33 3 3a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 ? a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33b1 D1 ? b2 b3a12 a13 a22 a23 , a32 a33a11 a12 b1 D3 ? a21 a22 b2 . a31 a32 b3则三元线性方程组的解为:D1 x1 ? , D D2 x2 ? , D D3 x3 ? . D例1.1.3解线性方程组? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 4, ? ? 3 x1 ? 4 x2 ? 2 x3 ? 11, ?3 x ? 2 x ? 4 x ? 11. 2 3 ? 1解由于方程组的系数行列式 2 ?1 ?1 D ? 3 ?4 ?2 ? ?28 3 ?2 4同理可得D D1 ? 11 ?4 ?2 ? ?36， 2 ? 3 11 ?2 ? 60, 3 11 4 11 ?2 42 ?1 4 D3 ? 3 ?4 11 = ? 20. 3 ?2 114?1 ?124?1故方程组的解为: D1 9 D2 15 x ? D3 ? 5 . x1 ? ? , x2 ? ?? , 3 D 7 D 7 D 7三、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.二阶与三阶行列式的计算 对角线法则a11 a12 ? a11a22 ? a12a21 . a21 a22a11 a12 a13 a21 a22 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31, a31 a32 a33思考题求一个二次多项式 ? x ?, 使 ff ?1? ? 0, f ?2? ? 3, f ?? 3? ? 28.思考题解答解 设所求的二次多项式为 ? x ? ? ax2 ? bx ? c, ff ?1? ? a ? b ? c ? 0, f ?? 3? ? 9a ? 3b ? c ? 28,由题意得f ?2? ? 4a ? 2b ? c ? 3,得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组,又 D ? ?20 ? 0, D1 ? ?40, D2 ? 60, D3 ? ?20.得 a ? D1 D ? 2, b ? D2 D ? ?3, c ? D3 D ? 1 故所求多项式为f ?x? ? 2 x 2 ? 3x ? 1.a11 a21 a22 a23 a31 a32 a331.1.3 用二阶行列式表示三阶行列式 a12 a13? a11a22 a33 ? a12 a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12 a21a33 ? a13a22a31,? a11 (a22a33 ? a23a32 ) ? a12 (a21a33 ? a23a31 )?a13 (a21a32 ? a22a1 )a22 ? a11 a32 a23 a21 ? a12 a33 a31 a23 a21 ? a13 a33 a31 a22 a32M11M12M13则 M11 , M12 , M13恰好是行列式D中划去元素 所在的行与列由剩下的元素a1i (i ? 1, 2,3)按原来的位置排成的行列式，分别称为元素a11 , a12 , a13 的余子式。同时称A11 ? (?1) M11, A12 ? (?1) M12 ,A13 ? (?1)1?3 M131?11?2分别为 a11 , a12 , a13 的代数余子式。 这样上述三阶行列式 D ? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 . 即三阶行列式D等于它的第1行元素与各自 的代数余子式乘积之和。简言之，可以讲行 列式按其第1行展开。类似地，可以验证， 也等于第2行或第3行元素与各自的代数余子 式乘积之和。篇四 : 52二阶与三阶行列式9.3（1）二阶行列式—--导学案供稿人—赵艳波学习目标：1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程 一 知识链接：行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ab”、比“a:b”、相似“∽”、全等“≌”、并“?”、交“?”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学：1．二阶行列式的引入?a1x?b1y?c1设二元一次方程组（*）?ax?by?c22?2（其中x,y是未知数，a1,a2,b1,b2是未知数的系数且不全为零，c1,c2是常数项．）用加减消元法解方程组（*）．当a1b2?a2b1?0时，方程组（*）有唯一解：c1b2?c2b1?x??a1b1a1b1a1b2?a2b1?，引入记号 表示算式a1b2?a2b1，即 ?a1b2?a2b1．?ababac?ac222221?y?12?a1b2?a2b1?2.行列式的相关概念：行列式 二阶行列式 行列式的展开式行列式的值 行列式的元素 对角线法则D?a1a2b1b2，Dx?c1c2b1b2，Dy?a1a2c1c2，则当D?a1b1a2b2=a1b2?a2b1?0时，Dx?x???D方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为?．Dy?y??D?三．新知探究例1．展开并化简下列行列式： （1） （3）说明：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2．用行列式解下列二元一次方程组：?5x?11y?8（1）?4x?15y??6?cos?sin?5812（2）852sin??cos?（4）a?1?1a?a?12?3x?y?5?0（2）?x?2y?1?0?说明：①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的Dx和Dy；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．知识拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式b?4ac可用怎样的二阶行列式来表示等．②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？ ③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能 四．知识巩固与检测1.展开并化简下列行列式： （1）2.将下列各式用行列式表示：（1）ab?mn； （2）sinxcosy?cosxsiny?132?42； （2）m221； （3）x?y?yyx?y3.用行列式解下列二元一次方程组： （1）?五．学后体会：六．学后作业1.计算下列行列式的值 （1） （3）loga?x?2y?3?2x?y?1； （2）??1.5x?0.7y?0.5?0?2x?y?9?0?1432? （2）sinxcosxcosx?sinx?b1logb1a? （4）axx?ya?1ax?yxa?1?2.用行列式表示下式（1）b2?4ac? （2）x2?4x?2? 3.如果lg4.已知数列?an?中，a3??极限。18,且x21x?1有意义，求实数x的范围。anan?12?1?0， 求lim(a1?a2?a3???an)的n??1121,n?N，求数列?an?的前n项和Sn。?5.已知等比数列?an?中，an?n2n?1a16. 已知等比数列?an?中，首项为a1 ，公比为q,且limn??q?n范围。an17.求极限：lim,(n??1a?R?)an?3n8．解方程：234x9x?6xq2n1?1n?13,求首项a1的9.3（2）作为判别式的二阶行列式供稿人 赵艳波学习目标：1.通过经历在二元一次方程组系数行列式D?0和D?0两种情形下讨论它的解的不同情况的过程，体验二元一次方程组系数行列式D作为解的判别式的含义； 2.学会并掌握用二元一次方程组系数行列式D判别（数字系数的）方程组解的情况的方法；3.通过经历讨论字母系数二元一次方程组解的情况的过程，体验并掌握讨论的依据、步骤及（书写）表达．学习重点：二元一次方程组解的情况的判别与讨论．学习难点：用二元一次方程组系数行列式D判别（数字系数的）方程组解的情况 学习过程： 一 知识链接：由上节课的例2解二元一次方程组及课后训练可以知道，这些方程组的系数行列式的值均不为零，即D?0，它们的解是唯一的．我们还通过举例得到了一些二元一次方程组，它们的系数行列式的值为零（即D?0），但它们的解并不是唯一的，可能无解，也可能有无穷多解．那么，这样的情况是否具有一般性呢？二元一次方程组解的情况与其系数行列式的值到底有怎样的关系呢？ 二 新知导学：作为判别式的二元一次方程组系数行列式的研究?D?x?Dx?a1x?b1y?c1一般地，通过消元法可将二元一次方程组（*）?转化为?，?a2x?b2y?c2?D?y?Dy其中D?a1a2b1b2，Dx?c1c2b1b2，Dy?a1a2c1c2，然后根据D的取值情况进行分类讨论．三 新知探究：例3．判别下列二元一次方程组解的情况：?4x?3y?5（1）?8x?6y?22??4x?6y?3（2）?6x?9y?5??3x?2y?6?（3）? 2x?y?2?3?说明：体会判别方程组解的情况的依据与过程．例4．解关于x、y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：?mx?4y?m?2?x?my?m?说明：注意讨论的依据、一般顺序及书写表达．52二阶与三阶行列式_二阶行列式知识拓展①“二元一次方程组系数行列式D?0”是“方程组无解” 的________________条件．（编制类似的问题若干）②构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”． 说明：“换个角度看问题”是常用的学习方式的一种，也是理解巩固所学内容（知识点）的常用手段．四 知识巩固与检测1．不解方程组，判别下列方程组解的情况：?4x?5y?8?2x?3y?7?4x?2y?3?（1）? （2）? (3)? 55x?2y?118x?9y?5???2x?y?42?2.方程组??2x?y?1?2x?y?0中系数行列式的值为 。?ax?2y?3?03. 已知方程组?有唯一解，求a的范围。2x?6y?1?0??mx?y?m?1?04.若方程组?无解，求m的值。x?my?2m?0??x?ay?2a?05．若方程组?有无穷多解，求a的值。 2ax?(2a?1)y?a?2a?1?0?五 学后体会：六 学后作业 1.已知37x?5?0，则实数x=2.方程组x?4y?1?0??2解的情况是 ?x?2y?2A．唯一解 B.无解 C.无穷多解 D.3.k?1是方程组?x?ky?6?0?无解的?kx?y?9 A.充分条件 B.充要条件 C.必要条件 D.4. 方程组kx?y?0??k??1的 ?x?ky?0有非零解是 A.充分条件 B.充要条件 C.必要条件 D.5.判断下列方程组解的情况（书写过程）： （1）??2x?3y?7 （2）?3y?2?3x?4y?11??x?3x?9y?6(3)6.解下列关于x,y的方程组： （1）??xcos??ysin??sin??xsin??ycos??cos?（2）??(a?b)x?(a?b)y?a2?b2???(a?b)x?(a?b)y?a2?b2（ ）以上都有可能（ ）非充分非必要条件 （ ）非充分非必要条件2x?3y?8???4x?6y?37. 解下列关于x,y的方程组?2??(a?2)x?(a?1)y?a?18.已知解下列关于x,y的方程组?有唯一解，求实数a的取值2??ax?(a?1)y?a?1?mx?y?m?1?x?my?2m，并对解的情况进行讨论。范围。9.4（1）三阶行列式供稿人 赵艳波学习目标：经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 学习重点：三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．学习难点：三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．学习过程：一 知识链接(1)观察二阶行列式的符号特征：123503?21(2)观察二阶行列式的展开式特征：1231?1?1?2?303?21?0?1?3?(?2)2．思考：(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？说明：(1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，主要着力于以下几个方面：① 观察二阶行列式的展开式有几项？② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二 新知导学问题一：通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二：说出二阶行列式的展开式有哪些特征？(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)问题三：二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我a1b1c1们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式a2a3b2b3c2按对c3角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？( 个．这 个可以相乘的元素应该位于不同 不同 ．)把九个数排成三行三列的方a1b1b2b3c1c2，表示算式a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2记号c3阵用记号a2a3a1a2a3b1b2b3c1c2就叫三阶行列式；算式a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2就c3a1a2a3b1b2b3c1c2=a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2 c3叫三阶行列式的展开式；即如图，用红线连接的三个元素的乘积取“﹢”，用黑线连接的三个元素的乘积取“﹣”，a1b1b2b3c1c2的展开式．这种展开方法叫做三阶行列c3而这六个结果的代数和就是三阶行列式a2a3式展开的对角线法则．．．．．．三 新知探究例1. 用对角线法则展开行列式：3013?23 121033?2 1230?2?23 1(1)2?2(2) 3?2(3) 13例2. 把下面的算式写成一个三阶行列式： (1) abc?def?ghl?gbf?dhc?ael (2) ab?de?gh?gb?dh?ae例3. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(x1,y2)、(x2,y2)、(x3,y3)，求?ABC的面积．52二阶与三阶行列式_二阶行列式S?ABC?12x1x2x3y1y2y311 1问题拓展比较例题1的三个行列式，你可以得到些什么样的结论？你能证明这些结论吗？(1)将一个三阶行列式的行(列)变为列(行)所得到的新三阶行列式与原行列式相等； (2)交换一个三阶行列式的两行(或列)，行列式改变符号．说明：设计这样一个问题基于两方面考虑：一，本问题的解答有助于学生理解为什么例题2和例题3的答案不唯一；二，新课程标准要求教师“尊重学生现有的认知水平和差异”，不同的学生对数学的需要也不同．因此，我们教师的教学内容不仅要满足学生对知识的基础性需求，而且还有满足学生对知识的发展性需求．四 知识巩固与检测1．利用对角线法则展开下列行列式，并化简234010abc（1）51?2?21， （2）1311?a111?a， （3）0d0e f?ma0mx2nab12133214 42（4）c?c?nb，（5）20931164?0 122．解不等式x1五 学后体会六 学后作业344210cos??cos?0cos??cos??cos?； 01．计算214的值为 ；2.展开并化简 cos?23．解关于x的方程：x?10x?2125x425?0 x2（1）x?11x?1?0; (2) 04. 用对角线法则展开行列式并化简:aba?b (1)2x333?0 xba?ba?baab0x0zyz 0; (2) xy5.解不等式6. 已知A（1,3），B（3,1）C（-1,0），求三角形ABC的面积。7.已知三点A(a,3)，B(3,1),C(?1,0)共线，求实数a的值。x21?aax1?0的解是1?x?2，求a,b的值。 ?18.已知不等式bx9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开供稿人 赵艳波学习目标：⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．学习重点：三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．学习难点：三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．学习过程：一 知识链接(1)将下列行列式按对角线展开： b2c2a2b2? ?b3c3a3b3a2a3b1b2c2c3c1c2?b1b3c1c3a1a2a3?b1b2b3c1c2?c3a1b1b2b3c1c2表示成含有c3?(2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式a2a3几个二阶行列式运算的式子吗？二 新知导学a1b1c1事实上，以a2a3a1a2a3a1a2a3b1b2b3b1b2b3c1b2b3c2?a1c3b2b3c2c3?b1a2a3c2c3?c1a2a3b2b3为例，先将展开式c2?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2变形为： c3c1c2?(a1b2c3?a1b3c2)?(a3b1c2?a2b1c3)?(a2b3c1?a3b2c1)，然后分别提取公因c3式，可以得到a1a2a3b1b2b3c1c2?a1(b2c3?b3c2)?b1(a3c2?a2c3)?c1(a2b3?a3b2) c3再利用实验中已有的展开式 b2c3?b3c2?a2c3?a3c2?a2b3?a3b2?b2b3a2a3a2a3c2c3c2c3b2b3①②③从而很容易就得到结果了．其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素a1，b1，c1的余子式，添上相应的符号(正号．．．省略)，如A1?b2b3c2c3a2a3c2c3a2a3b2b3B1??C1?，A1、B1、C1分别叫做元素a1，b1，c1的代数余子式．于是三阶行列式可以表示为第一行．．．．．的各个元素与其代数余子式的乘积之和：a1a2a3b1b2b3c1c2?a1c3b2b3c2?a2?b1??c3?a3c2?a2?c?1c3?a3b2b3象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２． 说明：(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是“(?1)一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)． 三 新知探究3013?23(1)按第一行展开；(2)按第一列展开． 1i?j”．例1.按要求计算行列式：2?2说明：(1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．例2.计算：(1)becf?adcf?adbe1?ad1be1c；(2)a2fb2b3c2c3?b2a2a3c2c3?c2a2a3b2b3说明：如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？说明一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．四 知识巩固与检测3?5321?6中，元素-6的余子式为 41.（1）在三阶行列式2?7元素-6；2（2）在三阶行列式512.分别用按第一行展开和按第一列展开的方式计算上题中的两个三阶行列式；3.化简下列三阶行列式：0a?1?2a0d00e f（1）a?1， （2）b2c五 学后体会52二阶与三阶行列式_二阶行列式六 学后作业1?1321x3y1?3中，元素-1的余子式和代数余子式分别为 41?3中，元素x与y的代数余子式的和； 41. 在三阶行列式2?32. 求在三阶行列式2?33. 把3 4. 把5. 用按某一行（或某一列）展开的方式化简下列行列式：1?1321xyxzzy x331?203?21?201?23表示成一个三阶行列式；x2x3y2y3?x1x3y1y3?x1x2y1y2表示成一个三阶行列式；（1）2?3?3； （2）z4y1x3x21?3中，元素2的代数余子式大于零，求x的范围 16．在三阶行列式2?39.4（3）三元一次方程组的行列式解法供稿人 赵艳波学习目标：理解用三阶行列式解三元一次方程组的原理；理解并能根据三元一次方程组的系数行列式D是否等于零，判断原方程组是否有唯一解；会用三阶行列式求三元一次方程组的解； 学习重点：会用三阶行列式求三元一次方程组的解学习难点：理解用三阶行列式解三元一次方程组的原理 学习过程： 一 知识链接回忆一下，我们是怎样利用二阶行列式解二元一次方程组的呢？?a1x?b1y?c1设二元一次方程组（*）??a2x?b2y?c2（其中x,y是未知数，a1,a2,b1,b2是未知数的系数且不全为零，c1,c2是常数项．）a1a2D?b1b2，Dx?c1c2b1b2，Dy?a1a2c1c2，则当D?a1b1a2b2=a1b2?a2b1?0时，Dx?x???D方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为?．Dy?y??D?二 新知导学?a1x?b1y?c1z?d1?设三元一次方程组(?)?a2x?b2y?c2z?d2其中x,y,z是未知数，ai,bi,ci,(i?1,2,3)是?ax?by?cz?d333?3未知数的系数，且不全为零，di(i?1,2,3)是常数项 a1D=a2b1b2b3c1c3d1d3b1b2b3c1c3a1a3d1d2d3c1c3a1a3b1b2b3d1d2 d3c2，Dx?d2c2，Dy?a2c2， Dz?a2a3Dx?x??D?D?x?Dx?Dy??由此原方程组变为?D?y?Dy，当D?0时，三元一次方程组(?)有唯一解?y?D?D?z?D?z??z?Dz?D?三 新知探究?x?y?z?6?例1.用行列式解三元一次方程组?3x?y?2z?7；?5x?2y?2z?15??x?y?mz?1?例2.求关于x,y,z的方程组?x?my?z?m有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程?x?y?z?3?组的解；四 知识巩固与检测1. 用行列式解三元一次方程组：?3x?2y?z?14?4x?y?2z?4??（1）?x?y?z?10； （2）?2x?y?4z?8?2x?3y?z?1?x?2y?z?1??2.判断下列三元一次方程组是否有唯一解，如果有，试求出这个解 ?x?2y?z?0?2x?3y?4z?2??（1）?3x?y?2z?0； （2）?3x?5y?7z??3?7x?6y?7z?100?x?2y?3z?4???x?y?z?1?3.当a为何值时，关于x,y,z的三元一次方程组?x?y?az?1，有唯一解？并在此条?x?ay?a2z?2?件下写出该方程组的解；五 学后体会六 学后作业?x?y??1?1. 方程组?y?z?1的解是 ；?x?z?0??x?y?z?0?2. 方程组?2x?3y?2z?0的解的情况是 （ ）?4x?5y?4z?0?A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.可能无解，可能有无穷多解 ?2x?y?3z?1?3. 方程组?kx?y?5z?3有唯一解，且其中x?4，求k的值；?x?z?3?4. 用行列式解三元一次方程组：?x?2y?z?7?x?3y?z?11??（1）?3x?5y?z?14； （2）?2x?3y?4z?13??x?3y?z??9?2x?2y?z?3???x?y?a?5. 用行列式解关于x,y,z的三元一次方程组?y?z?b,(a,b,c为常数）?x?z?c??ax?y?z?1?6. 当实数a,b为何值时，关于x,y,z的三元一次方程组?ax?by?z?2，有唯一解？?x?2by?z?4?
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