& 2013 - 2014 作业宝. All Rights Reserved. 沪ICP备号-9在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；（3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）-乐乐题库
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在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；（3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC...”的分析与解答如下所示：
（1）设AC与BD相交于点O，根据四边形ABCD是菱形，得出AC=2OA，BD=2OB，利用勾股定理，得OA2+OB2=AB2，再利用AB=BC，即可求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）．（2）作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD，求证四边形ABEC是平行四边形，由（2）的结论，得AE2+BC2=2（AB2+AC2），解得AD2=14(2b2+2c2-a2)．
解：（1）如图2，设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4（OA2+OB2）=4AB2，又∵AB=BC，∴AC2+BD2=2（AB2+AB2）=2（AB2+BC2）．（2）小亮的猜想成立．证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，则∠AEB=∠DFC=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴AE=DF，BE=CF．在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．又AE2+BE2=AB2，故AC2+BD2=2（AB2+BC2）．（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD．∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形．由（2）的结论，得AE2+BC2=2（AB2+AC2），即（2AD）2+a2=2（b2+c2），解得AD2=14(2b2+2c2-a2)，故AD=12√2b2+2c2-a2．
此题主要考查学生对勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质和菱形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．
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在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC...
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经过分析，习题“在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC...”主要考察你对“平行四边形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
与“在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC...”相似的题目：
下列图形中，面积最大的是（　　）边长为√3cm的正方形一组邻边的长分别是1cm、3cm的平行四边形对角线长分别为4cm和1cm的菱形中位线长为2cm，高为2cm的梯形
如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD，∠ADC的平分线CF、DG分别交边AB于点F、G．（1）求证：AF=GB；（2）试在已知条件下再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．
下列说法中的错误的是&&&&．一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的平行四边形是菱形一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
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该知识点好题
1已知平行四边形的对角线长为x、y，一边长为12，则x与y的值可能是下列各组数中的（　　）
2平行四边形两邻角的平分线相交所成的角的大小是（　　）
3如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1oS4与S2oS3的大小关系为（　　）
该知识点易错题
1如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点，E、F分别是、BC、AD的中点，连接PE、PC、PD、PF．设平行四边形ABCD的面积为m，则S△PCE+S△PDF=（　　）
2平行四边形的对角线和它的边可以组成全等三角形（　　）
3如图，?ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（　　）
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如图,矩形abcd的两条对角线相交于o,已知对角线ac=2,ab+bc=√6,求矩形abcd面积.
如图,矩形abcd的两条对角线相交于o,已知对角线ac=2,ab+bc=√6,求矩形abcd面积.
在直角三角形ABC中根据欧股定理ab^2+bc^2=ac^2即(ab+bc)^2-2ac*bc=ac^2因为S=ac*bc所以6-2*S=4S=1
根据题意得AC的平方=AB的平方+BC的平方等式两边同加2AB*BC化简得AC的平方+2AB*BC=（AB+BC）的平方得4+2AB*BC=6解得AB*BC=1即矩形abcd面积=1矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（　　）A．2B．4C．2D．4查看本题解析需要普通用户：1个优点。用户与用户即可查看。}