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x1x2这项为例,系数是-2,除以2=-1,所以a12=a21=-1其余项照这个写,剩下的写0若有x1^2项系数为C,则a11=C,
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大学高数 经济数学 线性代数题，求高手帮我写一下步骤，谢谢啦&13东南大学线性代数试题解答01-09全详解-第3页
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13东南大学线性代数试题解答01-09全详解-3
??3?；故该方程组的一个基础解系为ξ1=?1?,ξ2=；???0???1??0?.?1???；6.若二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x；?210?；21?解:f的矩阵A=?112,其顺序主子式依次；?021?；210；t2t21?,故f正定?A正定?A1,A2,A3；&t；.A3=112=22021；?ab?；?是正交矩阵,则参数a,b,c的
??3?故该方程组的一个基础解系为ξ1 = ?1?, ξ2 =???0???1??0?.
?1???6. 若二次型f(x1, x2, x3) = 2x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + tx2x3是正定的, 则参数t的取范围是__________.?210?21?解:
f的矩阵A =?112, 其顺序主子式依次为A1 = 2&0;
A2 == 1&0;
11???021?210t2t21?, 故f正定?A正定? A1, A2 , A3全大于0 ? 1?& 0 ?& t.
A3 =112 = 22021?ab??是正交矩阵, 则参数a, b, c的值分别为__________.?ca+2?22ab+ac+2c??ac??ab??a+cT解: AA =?=,
????22??ba+2??ca+2??ab+ac+2cb+(a+2)?7. 若矩阵A =?A是正交矩阵 ? ATA = E ? a2+c2 = b2+(a+2)2 = 1且ab+ac+2c = 0 ? a = ?1且b = c = 0. 8. 假设3阶矩阵的特征值为2, 1, ?1, 则行列式|A+A?1|的值为____________.?200?记为Λ.
解: 因为3阶矩阵的特征值为2, 1, ?1, 所以存在可逆矩阵P使P?1AP = ?010??00?1????200?于是A = PΛP?1, A?1 = (PΛP?1)?1 = (P?1)?1Λ?1 P?1 = P Λ?1P?1, 而Λ?1 =?010?,???001??故|A+ A?1| = | PΛP?1+ PΛ?1P?1| = | P(Λ+Λ?1)P?1| = |P| ? |Λ+Λ?1| ? |P?1|2+1000= ?10.
= |P| ? |Λ+Λ?1| ? |P|?1 = |Λ+Λ?1| = 01+100?1?1?101??200?9. 若实二次型f, g的矩阵分别为A =?0a0?, B =?0b0?, 则f, g的正惯性指数相同, 负惯性指?101??002?????数也相同的充分必要条件是参数a, b满足_____________.λ?1解: |λE?A| = ?10λ?a?10 = (λ?a)λ(λ?2), 故A的特征值为a, 0, 2, 秩(A) ≤ 2,
λ?1而B的特征值为2, b, 2, 秩(B)的正惯指数≥ 2,故f, g的正, 负惯指数对应相等?秩(A) =秩(B)且A与B的正惯指数相同 ?秩(A) =秩(B) = 2且a&0 ? a&0且b = 0.二、(14分)假设n阶矩阵A满足A2+2A?3E = O, 证明:1. 矩阵A及A+E可逆, 并分别求A?1及(A+E)?1; 2. 若A≠E则矩阵A+3E肯定不可逆.?1证明: 1. A2+2A?3E = O ?A(A+2E) ?3E = O ? A(A+2E) = 3E ? A?1(A+2E) = E ?A =A2+2A?3E = O ?(A+E)(A+E) ? 4E = A2 +2A+E ? 4E = A2+2A? 3E = O?1
?(A+E)(A+E) = 4E ? (A+E)4(A+E) = E ?(A+E) =4(A+E).
2. A2+2A?3E = O ?(A?E)(A+3E) = O.假若A+3E可逆, 则A?E = (A?E)(A+3E)(A+3E)?1 = O. 由此可得A = E, 这与A≠E矛盾!故A+3E不可逆.东南大学/数学系/张小向
111( A+2E);?11λ??1?三、(14分)假设矩阵A =?1λ1?, b =?1?. 已知线性方程组Ax = b有无穷多组解, 试求参数λ的值, 并??λ11?????2??求方程组的通解(要求用的一个特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示).?11λ1?×(1)×(λ)?11λ1?解: (A, b) =??1λ11?→?0λ?11?λ0?×?λ11?2????01?λ1?λ2?2?λ???11λ1?→??0λ?11?λ0?记为B.
?00(1?λ)(λ+2)?2?λ??因为Ax = b有无穷多组解, 故秩(A) = 秩(A, b) & 3. 因此(1?λ)(λ+2) = ?2?λ = 0.?11?21??11?21?可见λ = ?2. 此时B =??0?330?×(?3→??10?11?01?10?×(1)→?01?10?记为C.
?0000????0000????0000??对应的齐次线性方程组化为??x1?x3=0?x, 令x3 = 1得x1 = 1, x2 = 1.
2?x3=0可见齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1, 1)T.
C对应的非齐次线性方程组为??x1?x3=1?x, 令x3 = 0得x1 = 1, x2 = 0.2?x3=0可见η* = (1, 0, 0)T是Ax = b的一个特解.于是Ax = b的通解为: η = k(1, 1, 1)T + (1, 0, 0)T, 其中k为任意实数.?034?四、(15分)已知矩阵A =??0?10?相似于对角阵.?1a3??1. 求参数a的值, 并求A的特征值及相应的特征向量;2. 求一个可逆矩阵P, 使得P?1AP为对角阵, 并写出相应的对角阵;
3. 问: 是否存在正交矩阵Q, 使得Q?1AQ为对角阵? 试说明你的理由.λ?3?4解: 1. |λE?A| =0λ+10= (λ+1)2(λ?4). 故A的特征值为λ1 = λ2 = ?1, λ3 = 4.?1?aλ?3由于A相似于对角矩阵, 故A有两个线性无关的特征向量与?1对应.因而(λ1E?A)x = 0的基础解系由两个线性无关的解向量构成. 这表明秩(λ1E?A) = 1.??1?3?4?×(?1)??1?3?4???1?3?4?
而λ1E?A =??000?→?00?→?03?a0???1?a?4???0.
?03?a0????000??
由此可见3 ? a = 0, 即a = 3.此时, 解得(λ1E?A)x = 0的一个基础解系: ξ1 = (?3, 1, 0)T,
ξ2 = (?4, 0, 1)T.故对应于λ1 = λ2 = ?1的全部特征向量为k1(?3, 1, 0)T + k2(?4, 0, 1)T, 其中k1, k2不全为零.
(λ3E?A)x = 0的一个基础解系为ξ3 = (1, 0, 1)T.故对应于λ3 = 4的全部特征向量为k(1, 0, 1)T, 其中k ≠ 0.??3?41???100?2. 令P = (ξ1, ξ2, ξ3) =??100?, 则P为可逆矩阵, 且P?1AP =?0?10?.?011????004??3. 假若存在正交矩阵Q, 使得Q?1AQ = Λ为对角阵, 则A = QΛQ?1 = QΛQT = (QΛQT)T = AT,即A为对称矩阵, 但题目所给的矩阵A并不是对称的.这个矛盾表明不存在正交矩阵Q, 使得Q?1AQ为对角阵.东南大学/数学系/张小向
12?0?21??20??1?11?五、(12分)已知矩阵A =?0?10?, 矩阵B =?, D =?03?, 求矩阵X, 使得DXA = 2DX+B.
?210?001???????解: DXA = 2DX+B ? DXA?2DX = B ? D(XA?2X) = B ? DX(A?2E) = B ? X = D?1B(A?2E)?1,??2?21??10??0?30?.
其中D =??,
A?2E =?00?1??03????11??2?21100?×(?12??0?30010?×(?3)→01????00?1001?×(?1)?0011??1?????1??由此可得(A?2E) =0?30, 故X = ?2???0?001???11?1?100?1?0? →?0100?3??001001???1?1??13?0??1?11????43?4????0?30?=??11?1?. 1??210?00?1??????六、(12分)假设3维列向量α1 = (1, 0, a)T, α2 = (0, 1, b)T; β1 = (1, 2, 1)T, β2 = (?1, 1, 2)T, β3 = (1, 1, c)T. 已知向量组α1, α2与向量组β1, β2, β3等价.1. 求β1, β2, β3的秩及其一个极大线性无关组, 并求参数a, b, c的值;
2. 令矩阵A = (α1, α2), B = (β1, β2, β3), 求满足AX = B的矩阵X.解: 1. 因为向量组α1, α2与β1, β2, β3等价, 故秩(β1, β2, β3) = 秩(α1, α2) ≤ 2.注意到β1, β2的分量不成比例, 故秩(β1, β2, β3) = 2, 且β1, β2为β1, β2, β3的一个极大线性无关组.
由α1, α2与β1, β2, β3等价还可以看出β1, β2也是向量组α1, α2, β1, β2, β3的极大无关组,
因此矩阵(α1, α2, β1, β2, β3)的秩应该是2, 故由11??1?101?11?×(?a)?10211?
?01211?×(b)
→?01?ab12c????001?a?2b2+a?bc?a?b???可见1?a?2b = 2+a?b = c?a?b = 0, 由此可得: a = ?1, b = 1, c = 0.
2. 对A和B进行分块, 使A =??B1??E??1, B =, 其中A = (a, b), B =11?2??B???A1??2??B1??X??E??1?1=若AX = B, 则?X = AX = B =, 故X = B =1?21????B???A1X??A1??2??111?, B2 = (1, 2, c).
1??七、(6分)假设n阶矩阵A满足A2 = 2A.1. 证明: 关于矩阵的秩有秩(2E?A) + 秩(A) = n, 并且相似于对角阵;
2. 若秩(A) = r, 求行列式|A+E|的值.证明1: 设秩(A) = r, 秩(2E?A) = s, ξ1, ξ2, …, ξn?r为齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系.
由A2 = 2A得A(2E?A) = 2AE?A2 = 2A?A2 = O,可见2E?A的列向量都是Ax = 0的解, 因而能由ξ1, ξ2, …, ξn?r线性表示.故2E?A的列向量组的秩s ≤ n?r, 于是有s + r ≤ n, 即秩(2E?A) + 秩(A) ≤ n.另一方面, n = 秩(2E) = 秩[(2E?A)+A] ≤ 秩(2E?A) + 秩(A). 所以秩(2E?A) + 秩(A) = n.
设α1, …, αr为A的一个极大无关组, β1, …, βs为2E?A的一个极大无关组.由A2 = 2A可得A(α1, …, αr) = (2α1, …, 2αr), A(2E?A) = 0(2E?A), A(β1, …, βs) = (0β1, …, 0βs).可见α1, …, αr和β1, …, βs分别是A的对应于特征值2和0的特征向量,而且α1, …, αr, β1, …, βs线性无关. 于是A一共有n个线性无的特征向量, 所以A相似于对角阵.解2: 根据上题的证明, 令P = (α1, …, αr, β1, …, βs), 则有|A+E| = |P|?1?|A+E|?|P| = |P?1|?|A+E|?|P| = |P?1(A+E)P| = |P?1AP + P?1EP | = |Λ+E| = 3r.东南大学/数学系/张小向
13?2??O???2P?1AP = ??0?O??0???3??O?r行记为?3?Λ,
|Λ+E| == 3r,1??O?s行?1?学年第3学期《线性代数》期终考试试卷一、(30分)填空题(E表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A| = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A ? B的行列式|A ? B| =______.解: (法一) |A ? B| = |α1?α2, α2?α3, α3?α1| = |α1, α2?α3, α3α1| + |?α2, α2α3, α3?α1| = |α1, α2α3, 3| + |?α2, ?3, α3α1| = |α1, α2, α3| + |?α2, ?α3, ?α1| = |α1, α2, α3| ? |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| ? |α1, α2, α3| = 0.?10?1?(法二) A ? B = (α1?α2, α2?α3, α3?α1) = (α1, α2, α3)??110?= AP,?0?11???10?1?10?1?其中P =??110?, |P| =?110= 0, 故|A ? B| = |AP| = |A||P| = 0.?0?11?0?11??2. 若矩阵A满足A2 = O, 则E+A的逆矩阵(E+A)?1 = _______.解: A2 = O ? (E+A)(E?A) = E2 ?A2 = E ? (E+A)?1 = E?A.3. 若向量组α1 = (1, t, 1), α2 = (1, 1, t), α3 = (t, 1, 1)的秩为2, 则参数t满足条件___________.1t解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ?t11= |A| = 0 ? (t+2)(t?1)2 = 0 ? t = ?2或1.t1当t = ?2时, 秩(A) = 2; 当t = 1时, 秩(A) = 1. 故t = ?2.4. 假设3阶矩阵A的特征值为1, 2, ?1, 矩阵B = E ?2A*, 其中A*是A的伴随矩阵, 则B的行列式|B|= _______.?100?记为解: 3阶矩阵A的特征值为1, 2, ?1 ?存在P使得P?1AP =?020?Λ, 而且|A| = 1×2×(?1) = ?2.?00?1????100?故P?1A?1P = (P ?1AP)?1 = Λ?1 =?01/20?. 由A*A = |A|E可得A* = |A|A?1 = ?2A?1, 于是有?00?1???|B| = |P|?1?|B|?|P| = |P?1|?|B|?|P| = |P?1BP| = |P?1(E ?2A*)P| = |P?1EP ?2P?1A*P | = |E ? 2P?1A*P |500= |E + 4P?1A?1P | = |E + 4Λ?1| =030= ?45.00?3??100??0?5. 若矩阵A =?2x2?与矩阵B =?3?相似, 则(x, y) =________.?312??y?????解: |A| = 2(1?x), |B| = 0, tr(A) = 1+x, tr(B) = 3+y. 因为矩阵A与B相似, 所以|A| = |B|, tr(A) = tr(B).由此可得x = 1, y = ?1. (x, y) = (1, ?1).
6. 设(1, ?1, 0)T, (1, 0, ?1)T是3阶实对称矩阵A的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A不可逆,则A的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A有非零二重特征值而且A不可逆 ? A的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, ?1, 0)T, (1, 0, ?1)T正交, 即ξ为?由此可得A的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T.7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T,
α2 + α3 = (2, 4, 6)T, 则Ax = b的通解是_______________.东南大学/数学系/张小向
14?x1?x2=0的非零解向量.?=xx0?13解: 3元非齐次线性方程组Ax = b的系数矩阵的秩为2 ? Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b的3个解向量 ? A(α2 + α3 ? 2α1) = Aα2 + Aα3 ? 2Aα1 = b + b ? 2b = 0.
α1 = (1, 1, 1)T, α2 + α3 = (2, 4, 6)T ? α2 + α3 ? 2α1 = (0, 2, 4)T.
可见ξ = (0, 2, 4)T是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b的通解是x = k(0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T, 其中k为任意实数.
8. 若4阶方阵A, B的秩都等于1, 则矩阵A+B的行列式|A+B| = ________.解: 4阶方阵A, B的秩都等于1 ? 秩(A+B) ≤ 秩(A)+秩(B) = 2 & 4 ? |A+B| = 0.
9. 若矩阵A =??21??12?与矩阵B =??2?1?合同, 则参数x满足条件___________.?1x???解: 设λ1, λ2为A的特征值, μ1, μ2为B的特征值.μ1μ2 = |B| = ?5 & 0 ? μ1, μ2异号 ? B的秩为2, 正惯性指数为1.A与B合同 ? A的秩为2, 正惯性指数为1 ? λ1, λ2异号 ? 2x ? 1 = |A| = λ1λ2 & 0 ? x & 1/2.111+x1111+x.
二、(10分)计算下述行列式的值: D =1?x11+x11111+x=1解: 1?x111?x111?x11?x11110011+x+?xx0111+x=011?x110100?x10001111+xx+ x?x11 011?x10111+x111+x00x111+x3334342=?x00+ x1?x11= x + x0xx= x + x0xx2= x + (x ? x) = x.
0?x011?x10?x?x00x2?x?x1+3x2+x3=0?三、(15分)设线性方程组?3x1+2x2+3x3=?1. 问: 当参数λ, μ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数??x1+4x2+λx3=μ?λ, μ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.10???×(?3)1?13→?0?70?1?→?0?70解: 该方程组的增广矩阵(A, b) =?323?1??1?. ?07λ+1μ??00λ+1μ?1???14λμ???????(1) 当λ ≠ ?1, μ为任意实数时, 秩(A) = 秩(A, b) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = ?1, μ = 1时, 秩(A) = 秩(A, b) = 2 & 3, 此时线性方程组有无穷多组解,?101?7?10????13111?0?70?1?=?0?70?1?×(?)→?010?×(3)→?010??????00λ+1μ?1??0????????33?x1+x3=??x1=?x3?由此可得?, 即?.
11x=x=?2?231故通解为x = k(?1, 0, 1)T + (?,, 0)T, 其中k为任意实数.?101??10?四、(12分)设矩阵A =?0?12?, C =?3?1?, 矩阵X满足A?1X = A*C + 2X, 其中A*是A的伴随矩阵,?001??01?????求X.解: |A| = ?1, 在A?1X = A*C + 2X两边同时左乘以A得X = ?C + 2AX. 故(E?2A)X = ?C.??10?2?10?×(?1)?10210?→?03?4?31? (E?2A, ?C) =?03?4?31??00?10?1?×(?1)?00101?××(2)????东南大学/数学系/张小向
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大学数学线性代数 求第四题的解答
大学数学线性代数 求第四题的解答&
【分析】若PQ=0 那么r（P）+r（Q）≤3秩r（P）≤ 3 - r（Q）齐次线性方程组PQ=0 有非零解Q时,1≤r（P）所以 1≤秩r（P）≤ 3 - r（Q）t=6时 r（Q）=1 秩r（P）≤ 2 秩r（P）=1或秩r（P）=2t≠6时,r（Q）=2 秩r（P）≤ 1又因为 1≤秩r（P）秩r（P）=1选择Cnewmanhero 日19:59:13希望对你有所帮助,}