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已知函数f（x）=|x2-1|+x2+kx．（1）若k=2，求函数f（x）的零点；（2）若函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵k=2，当x≥1或x≤-1时，2 x2+2x-1=0，解方程得x=-1-32．当-1＜x＜1时，2x+1=0，x=-12，所以函数f（x）的零点为-1-32，-12．（3分）（2）∵f(x)=kx+1，x∈(0，1]2x2+kx-1，x∈(1，2)，（4分）①两零点在（0，1]，（1，2）各一个：由于f（0）=1＞0，∴f(1)＜0f(2)＞0=>-72＜k＜-1．（6分）②两零点都在（1，2）上时，显然不符合根与系数的关系 x1x2=-12＜0．综上，k的取值范围是：-72＜k＜-1．（8分）
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函数的零点与方程根的联系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
发现相似题
与“已知函数f（x）=|x2-1|+x2+kx．（1）若k=2，求函数f（x）的零点；（2）若函..”考查相似的试题有：
471918808505885278293148781228856897当前位置：
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已知函数f(x)=x2ax+b（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；f(x)＜(k+1)x-k2-x．
题型：解答题难度：中档来源：江西
（1）将x1=3，x2=4分别代入方程x2ax+b-x+12=0得93a+b=-9164a+b=-8解得a=-1b=2，所以f(x)=x22-x(x≠2)．（2）不等式即为x22-x＜(k+1)x-k2-x，可化为x2-(k+1)x+k2-x＜0即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x-2）2（x-1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．
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函数解析式的求解及其常用方法
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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已知函数f(x)=x2ax+b（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当k＞0时，解关于x的不等式：f(x)＜x(x-k)2-x．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）将x1=3，x2=(4分)别代入方程x2ax+b-x+12=0得93a+b=-9164a+b=-8，解得a=-1b=2，所以f(x)=x22-x(x≠2)（8分）（2）不等式即为x22-x＜x(x-k)2-x，可化为kx（x-2）＞0．当k＞0时，不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．（14分）
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函数解析式的求解及其常用方法一元二次不等式及其解法
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 一元二次不等式的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式．
一元二次不等式的解集：
使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
同解不等式：
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式，如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形。&二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：&
解不等式的过程：
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程．变形时要注意条件的限制，比如：分母是否有意义，定义域是否有限制等．
解一元二次不等式的一般步骤为：
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．
解含有参数的一元二次不等式：
(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论。
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与“已知函数f(x)=x2ax+b（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为..”考查相似的试题有：
434417442523398498478645569372395518已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=又bx-1/a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．-乐乐题库
& 函数单调性的判断与证明知识点 & “已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和...”习题详情
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=又bx-1/a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）...”的分析与解答如下所示：
（1）方程g（x）=x有两个不等非零实根，说明方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根，由△=b2-4a2＞0，可得函数f（x）的对称轴的范围，进而根据二次函数的图象证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数（2）先计算f（x1）、f（x2），再利用二次函数的图象，要使x3＜x1＜x2＜x4，只需a＞0f(x1)＜0f(x2)＜0或a＜0f(x1)＞0f(x2)＞0，解不等式即可
解：（1）由g(x)=bx-1a2x+2b=x=>方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根∴△=b2-4a2＞0及a≠0，=>|b2a|＞1，即-b2a＜-1，或-b2a＞1又f（x）的对称轴x=-b2a?(-1，1)故f（x）在（-1，1）上是单调函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）因x1、x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0∴bx1=-a2x12-1同理bx2=-a2x22-1∴f（x1）=ax12+b1x1+1=ax12-a2x12+1=（a-a2）x12，同理f（x2）=（a-a2）x22要使x3＜x1＜x2＜x4，只需a＞0f(x1)＜0f(x2)＜0=>a＞0a-a2＜0=>a＞1或a＜0f(x1)＞0f(x2)＞0=>a＜0a-a2＞0=>?故a的取值范围a＞1
本题考查了二次函数的图象和性质，解题时要熟记二次函数图象，能运用分类讨论的思想，数形结合解决问题
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=又bx-1/a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方...
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经过分析，习题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=又bx-1/a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）...”主要考察你对“函数单调性的判断与证明”
等考点的理解。
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函数单调性的判断与证明
【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
与“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=又bx-1/a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2（x1＜x2）．（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）若方程f（x）...”相似的题目：
下列函数中，在[-1，0]上单调递减的是&&&&y=cosxy=-|x-1|y=1n2+x2-xy=ex+e-x
下列函数中，满足“对任意两个不相等实数x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x1)-f(x2)x1-x2f（x）=2xf（x）=-3x-1f（x）=x2+4x+3f（x）=x2
已知f（x）=(1+2x-1)-2(x＞1)．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）的解析式及其定义域；（2）判断函数f-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；（3）若当x∈(116，14]时，不等式(1-√x)．f-1√x
“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和...”的最新评论
该知识点好题
1下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是&&&&
2设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是&&&&
3给定函数①y=x12，②y=log12(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是&&&&
该知识点易错题
1下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是&&&&
2若函数f（x）=12x+1，则该函数在（-∞，+∞）上是&&&&
3下列函数中，与函数f(x)=2x-1-12x+1
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