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如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA的延长线上一点，DE⊥BC，试说明AD=AE。
题型：解答题难度：中档来源：湖南省期末题
解：因为AB=AC 所以∠B=∠C（等边对等角）又因为DE⊥BC 所以∠B+∠BEF=90°，∠C+∠D=90°所以∠BEF=∠D（等角的余角相等）又∠BEF=∠AED 所以AD=AE（等边对等角）。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA的延长线上一点，DE⊥BC，试说明AD=..”主要考查你对&&等腰三角形的性质，等腰三角形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°。点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°。点E为BD延长线上一点，且AE=AB。（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC。
解：（1）如下图：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，∴AD平分∠BAC，∴∠2=∠BAC==15°∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°；（2）连接AM，取BE的中点N，连接AN。如下图：∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，∴△ADM为等边三角形，∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，∴BN=NE，且AN⊥BE，∴DN=NM，∴BN－DN =NE－NM，即 BD=ME，∵DB=DC，∴ME = DC。
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。
三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：
ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；
mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；
mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法二：1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。2、连接这两个交点。原理：两点成一线。 垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
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如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远？
点C在直线AB上，且线段AB=16，若AB：BC=8：3，E是AC的中点，D是AB的中点，则线段DE=______．
下列说法正确的是（　　）
A．射线就是直线
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
如图，A，B，C，D，E顺次在同一条直线上，则图中线段的条数有（　　）
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：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DA=DC，DA⊥AB，E是DA延长线上一点，试判断△ABC的形状
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∵AB=AC，∴∠C=∠B=X°，∵DA=DC，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴X+X+90°+X=180°，∴X=30°，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=∠C=X°∵DA⊥AB设∠B=X°
∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C∵DA⊥AB，∴∠BAD=90°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠DAC+90°=180°，∴∠B=30°，∴△ABC是底角为30°的等腰三角形。
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如图，△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA延长线与P，交AC于Q．（1）判断△APQ的形状，并证明你的结论；（2）若∠B=60°，AB=AC=2，设CD=x，四边形ABDQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
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（1）△APQ为等腰三角形，理由如下：在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵P为BA延长线上一点，PD⊥BD交AC与Q点，∴∠BDQ=∠BDP=90°．∵∠QCD+∠DQC=90°，∠B+∠P=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠P=∠DQC，又∠AQP=∠DQC，∴∠P=∠AQP，∴AP=AQ，∴△APQ为等腰三角形；（2）∵∠B=60°，AB=AC=2，∴△ABC为正三角形．∵PD⊥BC，∠C=60°，∴∠CQD=30°．∴CQ=2DC=2x，根据勾股定理 DQ=2-x2=x，y=×2×2sin60°-xox=-x2（0＜x＜1），即y=-x2（0＜x＜1）．
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充分利用条件，选择适当的方法证明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特点来确定三角形的边长与面积．
本题考点：
等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的判定和综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．
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＞＞＞已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过D点的直线分别交AB于点..
已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过D点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．求证：DE=DF．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，则∠ACB=∠BGE，∠F=∠DEG，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠BGE，∴BE=GE，又∵BE=CF，∴GE=CF，∵在△CDF和△GDE中，∠F=∠DEG∠CDF=∠GDEGE=CF，∴△CDF≌△GDE（AAS），∴DE=DF．
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等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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