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二重变限积分求导
我只知道一重的变限积分求导，二重的怎么求啊老师！ 例如(不好意思拍歪了)
提问时间： 16:34:32提问者：
同学你好，请上传完整题目另外，（1）此类题目的基本思路跟一重变限积分函数求导一样，只不过先把内层看做普通函数。（2）有些二重变限积分函数不能直接求导，需要交换积分次序，本题即是。 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 17:41:25
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京公安备110-1081940【图文】Ch3_2多元函数求积分求导_百度文库
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Ch3_2多元函数求积分求导
&&多元函数求积分求导 数学实验章节课件
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高等数学（29）
§8.7&&方向导数与梯度
一、方向导数
设函数在点的某一邻域内有定义,自点引射线,设轴正向到射线的转角为,为邻域内且在上的另一点。
若比值
这里,当沿着趋向于时的极限存在,称此极限值为函数在点沿方向的方向导数,记作。
2、方向导数的存在性条件(充分条件)及计算
【定理】若在点可微分,&则函数在该点沿着任一方向的方向导数都存在,&且有
其中为轴正向到方向的转角。
【证明】据在点可微分,有
【例1】求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。
解:轴到方向的转角为，而
在点处，有
注:方向导数的概念及计算公式,可方便地推广到三元函数。
设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,那么对于任一点,都可以定义向量
并称此向量为函数在点的梯度,记作。
2、方向导数与梯度的关系
设是方向上的单位向量,则
当方向与梯度方向一致时,,从而达到最大值；也就是说,&沿梯度方向的方向导数达到最大值。
另一方面,&&
这表明:函数在点增长最快的方向与方向导数达到最大的方向(梯度方向)是一致的。
3、等高线及其它
二元函数在几何上表示一个曲面,该曲面被平面所截得的曲线的方程为
此曲线在面上的投影是一条平面曲线,它们在平面上的方程为。
对于曲线上的一切点,&函数的值都是,&所以,我们称平面曲线为函数的等高线。
【例2】曲面的等高线为&(),
这些等高线为同心圆。
【例3】作抛物线在面上的等高线。
运行matlab程序gs0801.m。
§8.8&&多元函数极值及其求法
一、多元函数的极值
1、多元函数极值定义
设函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式
则称函数在点取极大值；
如果都适合不等式
则称函数在点取极小值。
极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值点。
注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。
【例1】讨论下述函数在原点是否取得极值。
解:由它们的几何图形可知:
是开口向上的旋转抛物面,在取得极小值；
是开口向下的锥面,在取得极大值；
是马鞍面,&在不取得极值。
2、函数取得极值的必要条件
【定理一】设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即
【证明】不妨设在点处有极大值。
依极值定义,点的某一邻域内的一切点适合不等式
特殊地,在该邻域内取,而的点,也应有不等式
这表明:一元函数在&处取得极大值,因而必有
【注一】当时,&曲面在点处有切平面
此切平面平行于水平面面。
例如,在点取得极小值,&它在点处,
其切平面为&
即&&&&&&&&&
此切平面就是(面)。
使同时成立的点,称为函数的驻点。
【注二】定理一表明,偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,。例如,在点不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数可疑的极值点,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。
【注三】偏导数或不存在的点也是函数的可疑极值点。
例如,在点有极大值,但
当然,也不存在。
当然,定理一的结论也可推广至元函数。
3、函数取得极值的充分条件
【定理二】设函数在点的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又&&,记
则函数在处是否取得极值的条件如下
(1)、时具有极值,且当时有极大值,
&当时有极小值；
(2)、时没有极值；
(3)、时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。
对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:
【例2】求函数的极值。
解:函数具有二阶连续偏导数,&故可疑的极值点只可能为驻点,
先解方程组
求出全部驻点为&
再求二阶偏导数
函数取得极小值&；
函数不取得极值；
函数不取得极值；
函数取得极大值&&。
二、多元函数的最值
1、有界区域上连续函数的最值确定
如果二元函数在上,则在上必定取得最值。使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上。
若函数在的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点使的驻点或使、不存在的点。
若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。
综合上述讨论,有界闭区域上的连续函数最值求法如下:
(1)、求出在的内部,使,同时为零的点及使或不存在的点；
(2)、计算出在的内部的所有可疑极值点处的函数值；
(3)、求出在的边界上的最值；
(4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值；最小者便是函数在上的最小值。
【例3】求二元函数在矩形区域
上的最值。
在边界&上,,
在边界上,&&&,&则
在边界&上, ,&则&,
在边界上,&&,&因
,&故单调增加,&从而&。
比较上述讨论,&有
&为最大值,
&为最小值。
2、开区域上函数的最值确定
求函数在开区域上的最值十分复杂。
但是,当所遇到的实际问题,&据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点,&那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。
【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱,&当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?
解方程组得唯一驻点&,
据问题的实际背景,&水箱所用材料面积的最小值一定存在,&并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点,&因此,&可断定当&时,&取得最小值。
这表明:&当水箱的长、宽、高分别为米时,&所用材料最省,&此时的最小表面积为。
三、条件极值与拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值。
但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。
例如:&求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。
若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为
这里除了外,还需满足限制条件&。
象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值。
有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例；但对一些复杂的问题，条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。
1、函数取得条件极值的必要条件
欲寻求函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
在限制条件&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
下的取得条件极值的条件。
函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。
据一元函数取得极值的必要条件有
&&&&&&&&&&&&&(5)
代入到第(5)式有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(6)
由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。
这三个式子恰好是函数
的三个偏导数在点的值。
2、拉格朗日乘数法
要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作拉氏函数
再解方程组
求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点。
【注记】拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形:
例如:求&&&&在限制条件
下的极值。
作拉氏函数
这样求出就是可疑极值点的坐标。
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数学专业研究生毕业
没看懂，任务
我也没看懂，很抱歉
不懂，好像还有复变函数吧
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