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在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，43)，B(-1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：广州一模
（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y=43(x+1)，y=-43(x-1)，y=0．点P（x，y）到AB、AC、BC的距离依次为d1=15|4x-3y+4|，d2=15|4x+3y-4|，d3=|y|．依设，d1d2=d32，得|16x2-（3y-4）2|=25y2，即16x2-（3y-4）2+25y2=0，或16x2-（3y-4）2-25y2=0，化简得点P的轨迹方程为圆S：2x2+2y2+3y-2=0与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2x2+2y2+3y-2=0①与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1=d2=d3，解得D(0，12)，且知它在圆S上．直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为y=kx+12③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y=12平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点．（ii）当k≠0时，L与圆S有两个不同的交点．这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k=±12，直线L的方程为x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得E(53，43)或F(-53，43)．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．故当k=±12时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点．（11分）情况2：直线L不经过点B和C（即k≠±12），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点．即方程组8x2-17y2+12y-8=0y=kx+12有且只有一组实数解，消去y并化简得(8-17k2)x2-5kx-254=0该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k2=0④或(-5k)2+4(8-17k2)254=0⑤解方程④得k=±23417，解方程⑤得k=±22．综合得直线L的斜率k的取值范围{0，±12，±23417，±22}．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，43)，B(-1，0)，C(1，0)，..”主要考查你对&&动点的轨迹方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
动点的轨迹方程
&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&
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399777428450281961625078279177402190已知三角形ABC的边AB长为6,点C到A.B两点的距离之比为2比1,求点C的轨迹方程,并说明轨迹是什么几何图形_百度作业帮
已知三角形ABC的边AB长为6,点C到A.B两点的距离之比为2比1,求点C的轨迹方程,并说明轨迹是什么几何图形
取AB为X轴,AB中点为原点,A点坐标 (-3,0),A点坐标 (3,0),C点坐标 (x,y)AC=2BC AC^2=4 *BC^2 AC^2= ( x+3)^2+y^2BC^2= ( x-3)^2+y^2( x+3)^2+y^2=[ ( x-3)^2+y^2]*4(x-5)^2+y^2=16 (y不等于0)轨迹是半径为4的圆,中点位于(5,0),要除去圆上的(1,0)和(9,0)两点
设点A（-3，0）和B（3，0），C（x,y）AC=2BCAC和BC用两点间的距离公式表示就行最后求出关于x和y的表达式，得到一个圆的方程。得到C的轨迹为圆。
以AB为横坐标建立坐标系，A(-3，0),B(3，0),设C的坐标为（x.y), 写出距离表达式，(x+3)^2+y^2=4[(x-3)^2+y^2],整理一下，得到（x-5）^2+y^2=16,说明C的轨迹是一个园。望采纳！
以线段AB的中点为原点建立坐标系，则A(-3,0)，B(3,0).设C(x,y)，所以有sqrt((x+3)^2+y^2))/sqrt((x-3)^2+y^2)=1，化简即可.说明：1、sqrt为根号下.
2、你的问题是典型的轨迹问题，图形是圆（阿波罗尼斯圆）.你可以百度查一下相关内容.已知:点O到△ABC得两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC (1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；还有一问：（2）如图2,若点O在&△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO._百度作业帮
已知:点O到△ABC得两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC (1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；还有一问：（2）如图2,若点O在&△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.
分析：（1）先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等,根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C,再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；（2）过O作OE⊥AB,OF⊥AC,与（1）的证明思路基本相同．证明：（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中∵OE=OFOB=OC,∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL）,∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）,∴AB=AC（等角对等边）；∴∠ABO=∠ACO（2）在Rt△OEC和Rt△OFB中,∵OE=OFOB=OC,∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL）,∴∠OBF=∠OCE,又∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠FBO+∠OBC=∠OCE+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC．∴∠ABO=∠ACO.
分析：（1）先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同．证明：（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中∵OE=OFOB=OC，∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），...若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD的距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是
提问：级别：九年级来自：湖北省武汉市
回答数：2浏览数：
若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD的距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是
&提问时间： 12:15:07
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回答：级别：二级教员 13:03:49来自：安徽省合肥市
设二面角A-BC-D的大小为θ，作PR⊥平面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ•sinθ，所以==sinθ为小于1的常数，可知PT& PQ，则问题转化为在∠ABC内，动点P到角两边的距离之比为定值，用解析法可以判定点P的轨迹是直线.
图就不画了
提问者对答案的评价：
回答：级别：高级教员 14:12:34来自：山东省临沂市
总回答数2，每页15条，当前第1页，共1页
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