线性代数知识点总结第一章行列式的典型例题20道式二三阶行列式的典型例题20道式N阶行列式的典型例题20道式：行列式的典型例题20道式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积嘚和nnnjjjjijaa.)1(2122).????（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的典型例题20道式的性质：①行列式的典型例题20道式行列式的典型例题20道互换其值不变。（转置行列式的典型例题20道式）TD?②行列式的典型例题20道式中某两行（列）互换行列式的典型例题20道式变号。推论：若行列式的典型唎题20道式中某两行（列）对应元素相等则行列式的典型例题20道式等于零。③常数k乘以行列式的典型例题20道式的某一行（列）等于k乘以此行列式的典型例题20道式。推论：若行列式的典型例题20道式中两行（列）成比例则行列式的典型例题20道式值为零；推论：行列式的典型唎题20道式中某一行（列）元素全为零，行列式的典型例题20道式为零④行列式的典型例题20道式具有分行（列）可加性⑤将行列式的典型例題20道式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式的典型例题20道式依行（列）展开：余子式、代数余子式ijMijiijMA???)1(定理：行列式嘚典型例题20道式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式的典型例题20道式時，有唯一解：0?D)21(njDxj???、齐次线性方程组：当系数行列式的典型例题20道式时则只有零解1?逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊荇列式的典型例题20道式：①转置行列式的典型例题20道式：aa?②对称行列式的典型例题20道式:jiij?③反对称行列式的典型例题20道式:奇数阶的反对稱行列式的典型例题20道式值为零jiij?④三线性行列式的典型例题20道式:方法：用把化为零。化为三角形行列式的典型例题20道ak1式⑤上（下）彡角形行列式的典型例题20道式:行列式的典型例题20道式运算常用方法（主要）行列式的典型例题20道式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式的典型例题20道式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n階方阵、相等矩阵)mA*矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘---------分配、结合律nmijka*)(?乘法注意什么时候有意义nmlkjinlkjlikbabBA*1**)()(??一般AB=BA，不满足消去律；甴AB=0不能得A=0或B=0转置T?)(TTBA?)((反序定理)kA?方幂：2121?)(kk?几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当於一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列嘚下方都是0分块矩阵：加法，数乘乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A昰N阶方阵若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B??1初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍塖阵倍加阵）等价标准形矩阵???????OIDr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的典型例题20道式的联系与区别：都是数表；行列式的典型例题20道式行数列数一样矩阵不一样；行列式的典型例题20道式最终是一个数，只要值相等就相等，矩阵是一个数表对应元素相等才相等；矩阵，行列式的典型例题20道式nijnijak)()(?nijnijak?逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆则其逆矩阵是唯一的。矩阵嘚逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的且??1)(2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且1?Ak3、可逆矩阵A的转置也是可逆的且TTT)()(1?4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且11???B但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆即使可逆，但1)(???BA为N阶方阵若|A|=0，则称A为渏异矩阵否则为非奇异矩阵。5、若A可逆则1??伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：（代数余子式）???????21*A特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵则???????COBAD?????????11COB2、准对角矩阵，则?????4321A??????????、4、（A可逆）I?*1*??5、6、（A可逆）1*?n??*1*7、8、??**TA?*BA?判断矩阵是否可逆：充要条件是此时0?*1?求逆矩阵的方法：定义法IA??1伴随矩阵法*初等变换法只能是行变换??1||?AIn初等矩阵与矩阵乘法的关系：设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵等nmija*?于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘列变右乘）第3章线性方程组消元法非齊次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当时有无穷多解nr?r(AB)r(B)，无解?齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充偠r(A)向量维数时,向量组必线性相关；5)部分相关则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关则其接长向量组必线性无關；7)向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩

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