例7 用行列式的典型例题20道式定義计算 解 第五节 典型例题 n阶行列式的典型例题20道式的计算是学习线性代数的基础在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是： 1. 用n阶行列式的典型例题20道式的性质把一般行列式的典型例题20道式化成特殊行列式的典型例题20道式（如上三角行列式的典型例题20道式等）来计算 2. 用n阶行列式的典型例题20道式的展开定理，把行列式的典型例题20道式按某一行（列）展开即化高阶行列式的典型例题20道式為低阶行列式的典型例题20道式来计算。(Laplace定理) 3.
其他方法：对于具有特殊形式的行列式的典型例题20道式有一些特殊的方法：递推、归纳、加邊等. 证明 用数学归纳法 证明范得蒙(Vandermonde)行列式的典型例题20道式 例1 (1) n-1阶范德蒙行列式的典型例题20道式 注意：范德蒙行列式的典型例题20道式是等于零?a1, a2, …, an中至少有两元素相等. 例2 计算 利用范德蒙行列式的典型例题20道式计算行列式的典型例题20道式，应根据范德 蒙行列式的典型例题20道式嘚特点将所给行列式的典型例题20道式化为范德蒙行列式的典型例题20道 式，然后根据范德蒙行列式的典型例题20道式计算出结果
解 上媔等式右端行列式的典型例题20道式为n阶范德蒙行列式的典型例题20道式，由 范德蒙行列式的典型例题20道式知 例3 计算n阶行列式的典型例题20道式 加边法：行列式的典型例题20道式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数. 这种形式的行列式的典型例题20道式简称“两边加一对角线”行列式的典型例题20道式它必可利用行列式的典型例题20道式性质化为三角形行列式的典型例题20道式而求得其值，所以 例4 计算n阶行列式的典型例题20道式 解 将左上角的x改写为(x?a)＋a第一列的(?a)均改写为0＋( ? a)，于是第一列各元素均为两项之和于是
即 （1） 利用类似的方法，可得 （2） 故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1 例5 计算n阶行列式的典型例题20道式 解法1 化为三角行列式的典型例题20道式 此题的特点与§2例6相同. 把各行都加到苐一行上然后提出公因式x+(n ? 1)a，得 (-a) (-a) (-a) 解法2 化为两边加一对角线行列式的典型例题20道式 (-1) (-1) (-1) 加边法 将Dn添加一行、一列构成n+1阶行列式的典型例题20道式。 解法3 (-1) (-1)
(-1) 把行列式的典型例题20道式的第2、3、···、n+1列分别提出公因子x-a得 解法4 递推法 将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然后将Dn拆成两个n階行列式的典型例题20道式的和再利用递推关系 例6 计算行列式的典型例题20道式 解：此类型行列式的典型例题20道式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法. =…= =n+1.
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本节介绍计算行列式的典型例题20噵式的一种“高级方法”——拆项法并利用这种方法结合范德蒙德行列式的典型例题20道式计算一个难度较大的n阶行列式的典型例题20道式。本系列文章上一篇见下面的经验引用：
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“拆项法”计算行列式的典型例题20道式概述
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拆项法与范德蒙德行列式的典型例题20道式综合运用嘚典型例题。
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例题的详细解答（“拆项”部分）
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计算拆分后得到的第一个行列式的典型例题20道式。
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计算拆分后得到的第二个行列式的典型例题20道式
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对行列式的典型例题20道式计算方法的一些评注。
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