differential equation from MIT（30）一阶非线性微分方程-学术百科-知网空间
一阶非线性微分方程
一阶非线性微分方程
firsts order nonlinear differential equ
一阶的完全非线性偏微分方程.两个自变量的一阶非线性偏微分方程的一般形状是其中p=ux,q......的母线方向称为特征方向.在（x，y，u）空间中以特征方向为其每点处方向的曲线称为蒙日曲线.在拟线性方程的情形，蒙日锥退化为蒙日轴.
与"一阶非线性微分方程"相关的文献前10条
给出了一类一阶非线性微分方程y′=p( x) y +q( x) yμ +r( x) +∑ni =2fi( x) yi较为广泛的一个封闭可积条件 ,它推广和统一了文献 [1]中的定
本文阐述了用常数变易法解某些一阶非线性微分方程
给出了一类一阶非线性微分方程:y′=p(x)y+q(x)yμ+r(x)+n∑i=2fi(x)y′的较为广泛的一个封闭可积条件,该条件推广和统一了文献1中的定理1和定理2,特别指出
非线性微分方程没有一般的求解方法,而常数变易法是求解一阶线性微分方程的主要方法.文献[1～3]研究了解非线性微分方程的常数变易法,其中文献[2]提出了用二次常数变易法求解非线性微
应用分离变量法和Karamata正规变化理论,先得到了φ在0处的渐近行为,其中,φ表示integral from ν=0 to φ(t)dν/g(ν)=v,v0的唯一解.从而在g
考虑如下一阶非线性微分方程边值问题y’(t)=f(t,y([t—k])),t≥O(*) y(0)=y(T),(**)这里[·]表示最大取整函数,k是一个自然数,T0。本文利用下上
文中通过变量替换及分部积分法,在一定条件下,给出了一类一阶非线性常微分方程的通解公式,从而获得简捷的求解方法,所得结论是相应文献结果的推广。
应用分离变量法和Karamata正规变化理论,在f和g满足适当的结构条件下,得到了两类一阶奇异非线性微分方程初值问题-u'(t)=b(t)f(u(t)),t0,u(0):=lim
本文给出一阶非线性微分方程可用初等积分法求解的条件,其结论推广了贝努利(Bernoulli)方 程,扩大了方程的可求解类型。
应用分离变量法,得到了一类一阶微分方程初值问题u′(t)=b(t)f(u(t)),t0,u(0)=0存在无穷多个解的充分必要条件.并给出了全部解.
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单项选择题已知一阶微分方程x（dy／dx）=yln（y／x），问该方程的通解是下列函数中的哪个？（）
A.lny／x=x+2
B.lny／x=cex+1
D.siny／x=y／x
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A.S（&／2）=1／2，b3=2／3&
B.S（&／2）=1，b3=1／3&
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B.1／10&（-1+）
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A.ln（1-x）
B.ln[1／（1-x）］
C.ln（x-1）
D.-ln（x-1）当前位置：
&请问如何求解二元一阶微分方程组
请问如何求解二元一阶微分方程组
作者 zgchen9
各位朋友新年好，我需要解一个二元一阶微分方程组，但是本人数学水平有限，特请交各位朋友。
A,B,C,D,E,F,K为常数，x 和y为t 的函数。dx/dt和dy/dt为导数，二元一阶微分方程组如下：
dx/dt=Ax+By+C
dy/dt=Dx+Ey+F
边界条件为t=0时，x=y=K.
请问如何得到x 和y. 谢谢。
用mathematica软件可以求解：
DSolve[{x'[t] == A x[t] + B y[t] + C, y'[t] == D x[t] + E y[t] + F,
& &x[0] == K, y[0] == K}, {x, y}, t] // Simplify
x -& Function[{t}, (2 E^(-(1/
& && && &2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-2 B C D E^(
& && && & 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &2 B C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &2 B C D E^(
& && && & Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && &A C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &C E^(2 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &A C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && & C E^(2 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && &2 B C D E^(
& && && & 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &A C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && &C E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && &A C E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &C E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && &C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
& && && &C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
& && && &&&Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
& && && &C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
& && && &C E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
& && && &A B E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && &A B E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && &A B E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && &B E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && &B E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && &A B E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && &B E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && &B E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && &B E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && &B E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F -
& && && &B E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && &B E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && &A B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &2 B^2 D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && &A B D E^(
& && && & 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && &2 B^2 D E^(
& && && & 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &A^2 E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &2 A B E^(
& && && & 1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &B D E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && &A E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && &A^2 E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && &2 A B E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & B D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &A E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && &B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
& && && &B D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
& && && &A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
& && && &A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && & A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K))/(Sqrt[
& && & A^2 + 4 B D - 2 A E +
& && &&&E^2] (-A - E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) (A + E + Sqrt[
& && && &A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]))],
&&y -& Function[{t}, -(2 E^(-(1/
& && && & 2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-A C D E^(
& && && &&&1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && & A C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && & A C D E^(
& && && &&&Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && & C D E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && & C D E^(1 +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && & A C D E^(
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
& && && & C D E^(1 +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && & C D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
& && && & C D E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
& && && && &Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
& && && & C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
& && && & C D E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
& && && & C D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
& && && & A^2 E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && & 2 B D E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
& && && && &F -
& && && & A^2 E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & 2 B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & A^2 E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & 2 B D E^(
& && && &&&Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && & A E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & A E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
& && && && &F + A^2 E^(
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && & 2 B D E^(
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
& && && & A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
& && && & A E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && & A E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F -
& && && & A E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && & A E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
& && && & A B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & 2 B D^2 E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & A B D E^(
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && & 2 B D^2 E^(
& && && &&&1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && & A^2 E^(1 +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & 2 A D E^(
& && && &&&1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && & B D E^(1 +
& && && && &1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & A E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & A^2 E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && & 2 A D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
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& && && &&&1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
& && && & A E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
& && && & B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
& && && & B D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
& && && & A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
& && && && &1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
& && && & A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
& && && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K))/(Sqrt[
& && &&&A^2 + 4 B D - 2 A E +
& && && &E^2] (-A - E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) (A + E +
& && && & Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]))]}}，
看图吧，希望对你有用
我们一般不直接求出解析解，太难了．
　都采用数值格式求解
离散，．．．．．．．龙格库塔
dx/dt=Ax+By+C
dy/dt=Dx+Ey+F
基于　crank-Nicloson格式的求解程序编写思路
显示求解出　当前的x(n+1)与y(n+1)
以第一个方程为例：
x(n+1)=x(n)+dt*( A*x(n)+B*y(n)+C)
第二部校正开始
由于用显格式求解误差会越来越大，故此，要用
x(n+1)=x(n)+dt*( A/2*(x(n)+x(n+1))+B*(y(n)+y(n+1))/2. +c)
当两次求解误差在设置的误差范围内，结束迭代过程，否则，重新回到校正．
．．．．．．．．．．．．．．．．．
对第一式关于t再求一次导数，然后将y, y'用第一、二式代入，得到一个关于x的(一元)二阶常系数线性方程，这个方程的解有公式可用，解出x后马上就可求出y了。
设X(t)和Y(t)的Laplace变换分别记为F1（s）和F2（s）。分别对两个方程的两边取Laplace变换，得：
&&s*F1(s)=A*F1(s)+B*F2(s)+C/s
& &s*F2(s)=D*F1(s)+E*F2(s)+F/s
联解以上二元一次方程求出F1(s)和F2(s)
F1(s)=(B*F-C*E)/{s*[(B-E)*s+a*e-b*d]}
& && & =[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]/s+[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]/{s-[B*D-A*E]/(B-E)}
F2(s)=[(F-C)*s+C*D-A*F]/{s^2*[(B-E)*s+a*e-b*d]}
& && & =(C*D-A*F)(A*E-B*D)/s^2+(F-C)/(B-E+A*E-B*D)/s+(F-C)/(B-E+A*E-
& && &&&B*D)/[s-(A*E-B*D)/(B-E)]
对F1(s)和F2(s)分别求反变换，并注意到变换与反变换具有线性叠加性质，且反变换公式：1/s的反变换为1；1/ (s-a)的反变换为exp(at),1/s^2的反变换为t/Γ(2),由此便可求的X(t)和Y(t)。
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一阶常微分方程的初等解法毕业论文
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