数据结构与离散数学的关系
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离散数学-二元关系
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离散数学二元关系部分若R是A上的传递关系 则R2也是集合A上的传递关系 对么 不对举个反例
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　　设 R 是 A 上是传递的,即若 xRy 且 yRz,则有 xRz.现若有 xR²y 且 yR²z,则存在 u,v ∈ A,使 xRu,uRy 且 yRv,vRz,进而有xRy 且 yRz,即 xR²z,即 R² 也是集合 A 上的传递关系.
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离散数学 第四章：二元关系和函数.ppt 80页
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离散数学 第四章：二元关系和函数.ppt
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偏序关系例子： （1）任何集合A上的恒等关系 （2）集合A的幂集P(A)上的包含关系 （4）正整数集上的整除关系都是偏序关系. （3）实数集上的小于等于，大于等于关系, 相关概念： 偏序集：集合A和偏序关系R≤ 构成一个偏序集， 记作&A, R≤ &。如：&A, R ? &,&A, R整除&等 可比：对于任意两个元素x和y，若x≤y或y ≤x， 则x与y是可比的 全序关系与全序集：若A中任意两个元素都是可比的， 则R≤为全序关系； &A, R≤ &为全序集。 盖住：如果x≤y，且不存在z使x ≤z ≤y (不是间接的), 则称y能盖住x。 例： 锅，笼屉，锅盖 火车卧铺的下铺，中铺，上铺 例4.5.4
设A={1,2,3,4}，求出A上的整除关系： 解: R整除={&1,1&,&1,2&,&1,3&,&1,4&,
&2,2&,&2,4&,&3,3&,&4,4&} 则：2,3能盖住1；4能盖住2；4不能盖住1 偏序集的哈斯图 (1) 去掉箭头；（盖住） (2) 去掉间接关系；（传递） (3)去掉环。（自反的） 哈斯图实例 例4.5.5：画出
&{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除&
和&P({a, b, c}), R?& 全序关系的哈斯图： 全序集中全部元素可以排序，它的哈斯图为一条直线。也称为线序集。 集合A上的偏序关系与哈斯图是一一对应的。 课后习题：4.16
(2) 若?y?A，使得? (?x)(x?A?y?x)，则称y是A的极大元 (没有比我大的) (1) 若?y?A，使得? (?x)(x?A?x?y)，则称y是A的极小元 (没有比我小的 ) 偏序集中的一些特殊元素 设&A,? &是偏序集 极小元与极大元一定存在，不一定唯一 (3) 如果?y?A，使得(?x)(x?A?y?x)为真，则y是A的最小元 (比谁都小 ) (4) 如果?y?B，使得(?x)(x?B? x?y)为真，则y是B的最大元 (比谁都大) 最小元与最大元或唯一或不存在 例子： 左图：极小元为{1};极大元为{5,9,6,8,7}
最小元为{1};没有最大元。 右图：极小元为{? };极大元为{a,b,c}
最小元为{? }; 最大元为{a,b,c}。 上图：极小元为{a,b,c,g};极大元为{a,f,h}
没有最小元也没有最大元。 结论 (1):最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.
(2):孤立点既是极小元又是极大元 (6) 若?y?A，使得(?x)(x?B? y?x)为真，则称y是B的下界（比B中每一个都小） (7) 令C={y | y为B的上界}，则称C的最小元为B的上确界或最小上界（上界的最小元） (8) 令D ={y | y为B的下界}，则D的最大元为B的下确界或最大下界（下界的最大元） (5) 若?y?A，使得(?x)(x?B? x?y)为真，则称y是B的上界（比B中每一个都大） 设&A,? &是偏序集, B ? A 对以下哈斯图，令B = { 2，3，6 }, 则B的上界为{6,12}; B的下界为{1}; B的上确界为{6};下确界为{1}.
例子： 令C = { 2,4}, 则C的上界为{4,8,12}; C的下界为{1,2}; C的上确界为{4};下确界为{2}. 考虑下图中的偏序集.令B = { b, c, d }, 则B的下界和最大下界都不存在, 上界有d和f, 最小上界为d. 结论 (1):上界和下界不一定存在，不一定唯一。
(2):上确界和下确界或者不存在或者唯一。
(3):集合的最小元就是它的最大下界，最大元
就是它的最小上界；反之不对.
课后习题：4.6
小结与学习要求： 了解二元关系的定义和表示方法；熟练掌握关系的性质和运算；特别是幂，合成和三种闭包运算;理解等价关系和偏序关系，明确它们在描述研究对象的结构和特点时重要作用 (即分类和覆盖)。它们在计算机科学中有重要应用。 重点：关系的表示方法；关系的合成，幂运算；关系性质判断；闭包求法；哈斯图画法；哈斯图的八个特殊元素的求法。 作业二 课后习题： 4.1，4.2，4.3，4.4，4.6，4.12，4.13，4.14，4.16 * * * 证明（2）：用数学归纳法
若n=0, 则有 ????R
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