直线的参数方程 01_甜梦文库
直线的参数方程 01
? x ? x0 ? at 1．已知直线 ? （t 为参数）上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则|AB|等于 ? y ? y0 ? bt（ ） A．|t1＋t2| 【答案】C 【解析】am ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? at a 2 ? b2 ? ?? ,t ? 试题分析：依题意， ? ? y ? y0 ? bt ? y ? y ? bm 0 ? a 2 ? b2 ?B．|t1－t2|C． a2 ? b2 | t1 ? t2 |D．| t1 ? t2 | a 2 ? b2m a ? b22，由直线参数方程几何意义得 | AB |?| m1 ? m2 |? a2 ? b2 | t1 ? t2 | ，选 C． 考点：直线参数方程几何意义1 ? x ? 1- t ? 2 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点，则 AB 的中点 2．直线 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2坐标为（ A． (3, ?3) 【答案】D． 【解析】 试题分析：消去 t ，得直线的普通方程为 ） B． (? 3,3) C． ( 3, ?3) D． (3, ? 3)3x ? y ? ?2 3 ，设 AB 的中点坐标为? 3 x0 ? y0 ? ?2 3 ? ? ? x0 ? 3 ，解得 ? ，故选 D． M ?x0 , y0 ? ，则 ? y 3 0 ? y ? ? 3 ? ? 0 ? 3 ? x0考点：1．直线的参数方程；2．直线与圆的位置关系． 3．若直线的参数方程为 ? A．? x ? 1 ? 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ ? y ? 2 ? 3tC．） ．2 3B． ?2 33 2D． ?3 2【答案】D． 【解析】 试题分析：消去参数 t ，得直线的普通方程为 3x ? 2 y ? 7 ，则直线的斜率为 ? 考点：直线的参数方程；2．直线的斜率． 4．已知直线 ?3 ． 2?x ? 2 ? t (t 为参数）与曲线 C ： ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 交于 A, B 两点， y ? 1 ? t ?试卷第 1 页，总 86 页则 AB ? （ ）A． 1 【答案】D 【解析】B．1 2C．2 2D． 2试 题 分 析 ： 将 直 线 化 为 普 通 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 , 将 曲 线 C 化 为 直 角 坐 标 方 程 为x2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 ,所以曲线 C 为以 ? 2, 0? 为圆心,半径 r ? 1 的2圆． 圆心 ? 2, 0 ? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?22 ? 0 ?1 12 ? ? ?1?2?2 ． 2? AB ? 2 根据 d ? ? ? ? r ,解得 AB ? 2 ．故 D 正确． ? 2 ?2考点：1 参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2 直线与圆的相交弦． 5．若直线的参数方程为 ? A．? x ? 1 ? 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ ? y ? 2 ? 3t3 2D． ?）2 3B． ?2 3C．3 2【答案】D 【解析】 试题分析： x ? 1 ? 2t ? t ?x ?1 , 将其代入 y ? 2 ? 3t 整理可得直线的普通方程为 2 3 7 3 y ? ? x ? ．所以直线的斜率为 k ? ? ．故 D 正确． 2 2 2考点：参数方程与普通方程间的互化． 6．以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标 系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程是 ?? x ? t ?1 ， （t 为参数） ，圆 C 的极坐 ?y ? t ?3） D． 2 2标方程是 ? ? 4cos? 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为（ A． 14 【答案】D 【解析】 B． 2 14C． 22 试题分析：直线的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ，圆的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ， 2圆心到直线的距离 d ?2?4?l? ? 2 ?? ? ? d 2 ? r 2 ?l ? 2 2 2 ? 2?2考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦 长问题试卷第 2 页，总 86 页7．若直线的参数方程为 ? A．? x ? 1 ? 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ ? y ? 2 ? 3tC．） ．2 3B． ?2 33 2D． ?3 2【答案】B 【解析】 试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2） ，取 t=1 得直线过（3，-1） ，由斜率2 公式得直线的斜率为 3 ，选 B ?考点：直线的参数方程与直线的斜率公式． 8．直线 ?? x ? 1 ? 2t , （t 为参数） 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长等于（ ?y ? 2?tB．）A．12 512 5 5C．9 2 5D．9 10 5【答案】B 【解析】 试题分析：消掉参数 t ，得到普通方程， x ? 2 y ? 3 ? 0 ，被圆所截，圆心到直线的距 离d ?3 52 2 ，得到弦长公式， l ? 2 r ? d ?12 5 ，故选 B． 5考点：1．直线的参数方程与普通方程的互化；2．直线与圆的位置关系；3．弦长公式． 9．直线 ? A．? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为（ y ? 2 ? t ?B．）12 512 5 5C．9 5 5D．9 10 5【答案】B 【解析】 试题分析：消参得 x ? 2 y ? 3 ? 0 ，圆心到直线的距离为 d ?3 5，弦长公式等于l ? 2 r2 ? d 2 ?12 5， 5考点：1．参数方程与普通方程的转化；2．圆的弦长公式． 10．已知直线 ??x ? 2 ? t (t 为参数）与曲线 C： ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 交于 A、B 两点， ?y ? 1? t则 AB ? （ ）A、1B、1 2C、2 2D、 2【答案】D 【解析】试卷第 3 页，总 86 页? ?x ? 2 ? ? 试题分析：由题：直线的标准参数方程为 ? ?y ? 1? ? ?22 t? 2 ，曲线 C 为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ， 2 t? 22。将直线代入到曲线方程中，得到 t ? ? 2t ? ? 0 ，弦长为 t1 ? t 2 ? 考点：直线与曲线的位置关系11．在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线? x ? ?2 ? t 过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为 ? （t 为 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ． ? y ? ?4 ? t参数） ．设直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点．若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列，则a 的值为________．【答案】1 【解析】 试题分析： 曲线 C : ? sin2 ? ? 2a cos? (a ? 0)，则 ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? ，所以可得直角坐标系 方程为 y 2 ? 2ax ， 将直线的参数方程代入抛物线方程得： t 2 ? (8 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0t1 ? t2 ? 8 ? 2a, t1 ? t2 ? 16 ? 4a若| PM |,| MN |,| PN |2成2 |P ?等比数2列，所以|M? N||P1? M|2N| 1? ,t 2，? (1t? t2)t?1(2t)t4t2 化简得 (4 ? a) ? 5(4 ? a) 又因为 a ? 0或a ? ?4 ，所以 a ? 1 ．考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题． 12． 直线 ? 得的弦长为 【答案】 82 ． 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 ， 得 直 线 与 圆 的 普 通 方 程 分 别 为 x ? y ?1 ? 0 与? x ? 3 ? 5cos? ? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ? ? y ? ?1 ? 5sin? ? y ? 1? t．(? 为参数,? ?[0,2? )) 所截?x ? 3?2 ? ? y ?1?2 ? 25， 则 弦 心 距 d?3 ?1 ? 1 2?3 ， 则 弦 长 为 2试卷第 4 页，总 86 页2 r 2 ? d 2 ? 2 25 ?9 ? 82 ． 2考点：1．曲线的参数方程；2．直线与圆的位置关系．? x ? et ? e ? t ? 13．参数方程 ? (t为参数) 的普通方程为_______________． t ?t ? ? y ? 2(e ? e )【答案】 【解析】2 2 ? y? 试题分析：x ? ? ? ? ? et ? e?t ? ? ? et ? e?t ? ? ? e2t ? e?2t ? 2 ? ? ? e2t ? e?2t ? 2 ? ? 4 , ?2? 2 2x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 2) 4 16即x2 y 2 ? ? 1 , 因 为 x ? et ? e?t ? 2 et ? e?t ? 2 , 所 以 此 参 数 方 程 的 普 通 方 程 为 4 16x2 y 2 ? ? 1 , ? x ? 2? ． 4 16考点：参数方程与普通方程间的互化． 14．直线 l 的斜率 k ? ?1 ，经过点 M 0 (2,?1) ,点 M 在直线 l 上，以 M 0 M 的数量 t 为参 数，则直线 l 的参数方程为 ．? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 【答案】 ? （ t 为参数） ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2【解析】0 试 题 分 析 ： ? ? 135 , 所 以 c o s ? ??2 2 ，代入直线的参数方程， , s i n? ? 2 2? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 （ t 为参数） ． ? ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2考点：直线的参数方程4 ? x?a? t ? ? 5 15．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? （ t 为参数） ．在极坐标系 ? y ? ?a ? 3 t ? 5 ?（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴）中， 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ，若直线 l 平分圆 C 的周长，则 a ? 【答案】 ?3 ． 【解析】试卷第 5 页，总 86 页．2 试题分析：依题直线 l ： 3x ? 4 y ? a ? 0 ，圆 C ： ? x ? 1? ? y ? 1 ，依题 3 ? a ? 0 ， 2所以 a ? ?3 ，故应填入 ?3 ． 考点：1．参数方程；2．极坐标方程；3．直线与圆的位置关系． 16． 在极坐标系中，直线 l : ? 长为 ．?x ? 1 ? t (t为参数) 被曲线 C : ? ? 2 cos? 所截得的线段 ? y ? 1 ? 2t【答案】 【解析】4 5 5试题分析：曲线 C : ? ? 2 cos? 可以化为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ，与直线 l : ??x ? 1 ? t 联立， ? y ? 1 ? 2t可以得到 5t 2 ? 4t ? 0 ，所以 | t1 ? t2 |?4 4 4 5 ，所以截得的线段长为 1 ? 4 ? ? ． 5 5 5考点：曲线的极坐标方程和直角坐标方程的转换，直线的参数方程的应用，直线被曲线 截得的弦长问题．4 ? x?a? t ? ? 5 17．在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 ? （t 为参数） ．在极坐标 3 ? y ? ?a ? t ? 5 ?系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴） 中，圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ，若直线 l 平分圆 C 的周长，则 a = 【答案】 ?3 【解析】 试题分析：将直线的参数方程化成普通方程可知 3x ? 4 y ? a ? 0 ， 将圆的极坐标方程化 为直角坐标方程，可知 ( x ?1) ? y ? 1 ，根据题意，可知直线过圆心，即 3 ? a ? 0 ，2 2．解得 a ? ?3 ． 考点：直线的参数方程化成普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆的 位置关系．? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 （ 为参数） 18． （坐标系与参数方程选做题）已知直线 l 的参数方程为 ? ， t 2 ?y ? t ? ? 2曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ，点 P 是直线 l 上的一个动点，过点 P 作曲线 C 的切线， 切点为 Q ，则 | PQ | 的最小值为 【答案】试卷第 6 页，总 86 页．【解析】? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 试题分析：本题考查直线的参数方程程为 ? ， （t 为参数）转化，以及圆 C 2 ?y ? t ? ? 2的极坐标方程为 ? ? 1 的转化，是一道基础题目．? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 ， ∵直线 l 的参数方程 ? （t 为参数） ，∴l：x+y-4=0，又∵曲线 C 的极坐标 2 ?y ? t ? ? 2方程为 ? ? 1 ，∴圆 C：x +y =1，显然过过圆 C 的圆心（0，0）做直线 l：x+y-4=0 的垂2 2线，垂足为 Q，此时|PQ|的值最小，∴圆 C 的圆心（0，0）到直线 l：x+y-4=0 的距离d?0?0?4 2＝2 2 ? PQ ? (2 2 )2 ? 12＝ 7考点：参数方程化为普通方程 19． （坐标系与参数方程选做题）设曲线 C 的参数方程为 ?? ? x ? 2 ? 10 cos? （ ? 为参 ? y ? ? 1 ? 10 sin ? ?数） ，直线 l 的参数方程为 ? 为 【答案】 2 5 ．? x ? 1 ? 2t （ t 为参数） ，则直线 l 与曲线 C 截得的弦长 ? y ? 1? t【解析】 试题分析： 由题将所给圆与直线的参数方程化为普通方程， 根据弦长公式求得弦长即可；? x ? 2? 由题圆的普通方程为线的距离为2? ? y ? 1? ? 102，直线的普通方程为 2y-x-1=0,圆心到直2 ? (?1) ? 2 ? 1 5? 5 ，所以弦长为 2 10 ? 5 ? 2 5考点：参数方程化为普通方程、直线与圆 20． （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线 l ： ??x ? 1? s （ s 为参数） ?y ? 2 ? s与曲线 C ： ??x ? t ? 3 ?y ? t2（ t 为参数）相交于 A 、 B 两点，则 AB ? _________．【答案】 2 【解析】2 2 试题分析： 曲线 C 的普通方程为 y = ( x - 3) ， 与直线的方程联立， 可知 s - 3s + 2 = 0 ，试卷第 7 页，总 86 页根据公式可知 AB = 1 +1 s1 - s2 = 2 考点： 2 21． （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线 l ： ??x ? 1? s （ s 为参数） ?y ? 2 ? s与曲线 C ： ??x ? t ? 3 ?y ? t2（ t 为参数）相交于 A 、 B 两点，则 AB ? _________．【答案】 2 【解析】 试题分析：曲线 C 可化为 y = ( x - 3)2 ，将 ??x ? 1? s 带入 y = ( x - 3)2 ，化简解得 y ? 2 ? s ?s1 = 1, s2 = 2 ，所以 AB = 12 +12 S1 - S2 = 2 .考点：直线的参数方程，曲线的参数方程，直线被曲线截得的弦长问题. 22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知1 ? x ? 2 ? t, ? 2 ? 曲线 C ： ? sin 2 ? ? 8cos? 与直线 l ： ? （ t 为参数）相交于 P, Q 两点，则 3 ?y ? t, ? ? 2| PQ | =【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 曲 线 C 的 标 准 方 程 为 ： y 2 ? 8x ， 将 x ? 2 ? .32 31 3 t, y ? t 代入可得 2 216 64 32 ? 3t 2 ? 16t ? 64 ? 0 ，所以 | PQ | ? t1 ? t 2 ? ( ) 2 ? 4 ? 3 3 3考点：参数方程1 ? x ? 2? t ? ? 2 （ t 是参数）上与点 P(2， 23 ．直线 ? ? 3) 距离等于 4 的点 Q 的坐标为 ? y ? ?3 ? 3 t ? 2 ?_________. 【答案】 (4,2 3 ? 3) 或 (0,?3 ? 2 3)试卷第 8 页，总 86 页1 ? x ? 2? ?4 ? 4 ? ? 2 【 解 析 】 ? 或 | PQ |?| t |? 4,?t ? ?4 ， 从 而 ? 3 ? y ? ?3 ? ? 4 ? ?3 ? 2 3 ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? ? ( ?4 ) ? 0 ? ? 2 . ? ? y ? ?3 ? 3 ? ( ? 4 ) ? ? 3 ? 2 3 ? 2 ?? ?x ? ? 24． （选修 4-4：坐标系与参数方程）直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?为参数） ，圆 c 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? 长的最小值是 【答案】 2 6 【解析】 ．2 t 2 （其中 t 2 t?4 2 2?4) ，过直线上的点向圆引切线，则切线试题分析：由题意把参数方程转化为普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ，由圆 c 的极坐标方 程 为? ?2? ? c? o4s ，(得? 2) ? 2? cos? ? 2? sin ?得x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y, ( x ?2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ， 圆 心 C( ,? ) 到直线 2 2 2 2x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ?|2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5 ，直线与圆相离，要使切线长最 12 ? 122 2 ,? ) 到直线 2 2小 是 直 线 l 上 的 点 到 圆 心 C 的 距 离 最 小 ， 即 点 圆 心 C(x ? y ? 4 2 ? 0 的距离 5，所以切线的最小值为 52 ? 12 ? 2 6 .考点：参数方程及极坐标方程. 25．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ??x ? t （t 为参数） ，以原点 O 为极 ?y ? t ? 4点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 则直线 l 和曲线 C 的公共点有 【答案】1 【解析】 个．?4)，试卷第 9 页，总 86 页试题分析： 将直线 l 的参数方程为 ? 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ??x ? t 转化为直角坐标方程 y ? x ? 4 ， 将曲线 C ?y ? t ? 4?4) 两边同时乘以 ? ，可得 ? 2 ? 4 2 ? sin(? ??4)，整理可得 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ，即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 由两点间距离公式圆心（2,2） 到直线 y ? x ? 4 的距离为 共点． 考点： 26． （坐标系与参数方程选做题）已知直线 l 的参数方程为 ?2-2?4 2? 2 2 ，因而此时直线与圆相切，故只有一个公?x ? a ? 2?t t （ 为参数） ，圆 ? y ? ?4 ? tC 的参数方程为 ?? x ? 4 ? cos ? ? （ 为参数） ．若直线 l 与圆 C 有公共点，则实数 a 的取值 ? y ? 4 ? sin ?范围是__________． 【答案】 ?2 5 ? a ? 2 5 【解析】 试题分析：∵直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 ，圆 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 42 ， ∴圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?| ?2a | 5? 4 ，解得 ?2 5 ? a ? 2 5 .考点：参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离.1 ? x? t ? 2 ? ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 2 （t 为参数） 27．在平面直角坐标系中,直线 L 的参数方程为 ? ，则直线 L的普通方程为 【答案】 6x ? 2 y ? 2 ? 0 【解析】1 3 ? ? x? t 3x ? t ? ? 2 2 2 ? ? ?y? ? 3x ， 试题分析： ∵? ， ∴? 即 6x ? 2 y ? 2 ? 0 ． 2 ?y ? 2 ? 3 t ?y ? 2 ? 3 t ? ? ? 2 2 ? 2 2考点：参数方程． 28．直线 ?? ? x ? 1 ? 2t ? ? y ? 2 ? 2t（t 为参数）上到点 A（1，2）的距离为 4 2 的点的坐标为_______________． 【答案】 （-3，6）或（5，-2）试卷第 10 页，总 86 页【解析】 试题分析：设点 P( x, y) 为直线上的点 PA ?(1 ? 2t ? 1)2 ? (2 ? 2t ? 2) 2 ? 4 2 ，解得 t ? 2 2 或 t ? ?2 2 ，故 P（-3，6）或（5，-2）. 考点：参数方程、两点间的距离公式 29．直线 ?? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t?t为参数? 上与点 P?? 2， 3? 距离等于2 的点的坐标是【答案】 （-3,4）或（-1,2） 【解析】 试题分析： 由题：?? ? x0 ? y0 ? 1 ? x ? ?2 ? 2t ? x ? y ? 1 ? 0 ，? ?（-3,4） 2 2 ( x ? 2 ) ? ( 3 ? y ) ? 2 ? y ? 3 ? 2 t 0 0 ? ?或（-1,2） 。 考点：直线的参数方程 30．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标?x ? t ?1 ? y ? t ? 3 （t 为参数） 系中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程是 ? ，圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为____________． 【答案】2 2 【解析】 试题分析：直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ，圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? y ? 4 ，因此圆 C2 2d?到直线 l 距离为|2?0?4| ? 2 2 2 2 ，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r ? d ? 2 2考点：直线与圆位置关系，参数方程，极坐标 31 ． （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为? 的直线 l 与曲线 4? x ? 2 ? cos? ， （ ? 为参数）交于 A 、 B 两点，且 AB ? 2 ，以坐标原点 O 为极点， C： ? ? y ? 1 ? sin?x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程是________．【答案】 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 【解析】2 2 2 2 试题分析：利用 sin ? ? cos ? ? 1 可得曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1 ,即曲线 C 为直角 2r ? 2 的圆,因为弦长 | AB |? 2 ? 2r ,所以圆心在直线 l 上,又因为直线 的斜率为 1,所以直线的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ,则根据直角坐标与极坐标之间的转 化 可 得y ? x ? 1 ? ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 1试卷第 11 页，总 86 页,故填? (cos? ? sin ? ) ? 1 ．考点：极坐标系． 32． （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ??x ? t ?y ? 4 ? t（ t 为参数）.以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐 标方程为 ? ? 4 2 sin ? ? ? 【答案】 1 【解析】 试题分析：直线的参数方程为 ?? ??? ? ，则直线 l 和曲线 C 的公共点有_______ 个. 4??x ? t （ t 为参数）化为普通方程得： x ? y ? 4 ? 0 ， ?y ? 4 ? t? ? ?? 2 ? ，整理得， ? ? 4? sin ? ? 4? cos? ，即 4?2曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin ? ? ? 得 圆 的 普 通 方 程 为? x ? 2?2? ? y ? 2? ? 8 ， 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 为d?2?2?4 12 ? ? ?1?2? 2 2 ? r ，所以直线 l 和曲线 C 相切，公共点只有1 个.考点：参数方程与极坐标方程. 33． （选修 4―4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ??4) ，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ?? x ? ?1 ? 3t （ t 为参数） ， ? y ? ?1 ? 4t试判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由． 【答案】相交，理由见解析． 【解析】 试题分析：首先要把极坐标方程和参数方程化成普通方程，通过判断圆心到直线的距离 与圆半径比较大小判断出直线与圆位置关系． 试题解析：将直线 l 与曲线 C 的方程化为普通方程， 得直线 l ： 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ，曲线 C ： x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 ，所以曲线 C 是以 (1,1) 为2 2圆心，半径为 2 的圆，所以圆心到直线 l 的距离 d ? 相交． 考点：1．极坐标方程；2．参数方程． 34． （本题满分 12 分）2 ? 2 ，因此，直线 l 与曲线 C 53 ? x ? ?2 ? t ? ? 5 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? （t 为参数） ，它与曲线 4 ? y ?2? t ? 5 ?试卷第 12 页，总 86 页C： （y－2） －x ＝1 交于 A、B 两点． （1）求|AB|的长；3? （2） 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 设点 P 的极坐标为 （2 2 ， ） ， 4 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离．22【答案】 （1） 【解析】30 10 71 （2） 7 7试题分析： （1）由直线参数方程几何意义得|AB|＝|t1－t2|＝ (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ，因此将3 ? x ? ?2 ? t ? 7 2 12 ? 2 2 5 直线 l 参数方程 ? （t 为参数）代入（y－2） －x ＝1，得 t ＋ t－5＝ 4 5 25 ? y ?2? t ? 5 ?0．从而由韦达定理得 t1＋t2＝－ t1t2＝－60 ， 7125 10 ．代入可得|AB|＝ （2）由直线参数方程几何意义得点 P 到线段 AB 71 ． 7 7t1 ? t2 30 ． |? 2 7中点 M 的距离为 |3 ? x ? ?2 ? t ? ? 5 试题解析： （1）将直线 l 参数方程 ? （t 为参数） 4 ? y ?2? t ? 5 ?代入（y－2） －x ＝1，得 ∴t1＋t2＝－227 2 12 t ＋ t－5＝0． 5 2560 125 ，t1t2＝－ ． 7 710 71 ． 7∴|AB|＝|t1－t2|＝ (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ＝ （2）P 点直角坐标为（－2,2） ， 线段 AB 中点对应的参数值为t1 ? t2 ， 2∴点 P 到线段 AB 中点 M 距离为 |t1 ? t2 30 |? 2 7考点：直线参数方程几何意义 35． （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极2 轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ＝ a cos ? （ a ＞ 0 ） ，过点? 2 ? x＝－2＋ t , ? 2 （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 相交 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为 ? 2 ? y＝－4＋ t , ? ? 2于 A，B 两点． （Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）若 | PA | ? | PB |?| AB | ，求 a 的值．2试卷第 13 页，总 86 页【答案】 （Ⅰ） y 2 ? ax(a ? 0) ， y ? x ? 2 （Ⅱ） 2 ． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）根据 ? 2 ? x2 ? y2，? cos? ? x, ? sin ? ? y 可将曲线 C 的极坐标方程 化 为 直 角 坐 标 y 2 ? ax(a ? 0) ， 两 式 相 减 消 去 参 数 得 直 线 l 的 普 通 方 程 为 （Ⅱ）由直线参数方程几何意义有 PA ? PB ? t1 ? t2 , AB ?| t1 ? t2 | ，因此将 y ? x ? 2． 直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? ax(a ? 0) 中， 得t 2 ? 2(a ? 8)t ? 4(a ? 8) ? 0,由韦达定理有t1 ? t2 ? 2(a ? 8), t1 ? t2 ? 4(a ? 8) ．解之得： a ? 2 或 a ? ?8 （舍去）试题解析： （Ⅰ）由 ? sin 2 ? ? a cos? (a ? 0) 得 ? 2 sin 2 ? ? a? cos? (a ? 0) , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? ax(a ? 0) ． 直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 ． （Ⅱ）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? ax(a ? 0) 中， 得 t 2 ? 2(a ? 8)t ? 4(a ? 8) ? 0 , 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2 , 则有 t1 ? t2 ? 2(a ? 8), t1 ? t2 ? 4(a ? 8) ． ∵ PA ? PB ? AB ,∴ (t1 ? t2 )2 ? t1 ? t2 , 即 (t1 ? t2 )2 ?5t1 ? t2 ． ∴ [ 2(8 ? a)]2 ? 20(8 ? a), a2 ? 6a ? 16 ? 0 ． 解之得： a ? 2 或 a ? ?8 （舍去）,∴ a 的值为 2 ． 考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程几何意义 36． （本小题满分 10 分）选修 4 ? 4 ：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2? ? x ? ?2 ? ? C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ，过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?（ t 为参数） ， l 与 C 分别交于 M , N ． （Ⅰ）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程； （Ⅱ）若 PM , MN , PN 成等比数列，求 a 的值．2 t 2 2 t 2试卷第 14 页，总 86 页【答案】 （Ⅰ） y 2 ? 2ax ( a ? 0) ； x ? y ? 2 ? 0 ； （Ⅱ） a ? 1 ． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）由极坐标与直角坐标的互化公式直接转换可求曲线 C 的直角坐标方程， 消去参数可得直线的普通方程； （Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由 根与系数关系列出方程解之即可． 试题解析： （Ⅰ）曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2ax ( a ? 0) ；直线 l 的普通方程为x ? y ? 2 ? 0．（Ⅱ） 将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立， 得 t 2 ? 2(4 ? a) 2t ? 8(4 ? a) ? 0 （*）? ? 8a(4 ? a ) ? 0 ．设 点 M , N 分 别 对 应 参 数 t1, t2 恰 为 上 述 方 程 的 根 ． 则 PM ? t1 , PN ? t2 ，MN ? t1 ? t2 ． 由 题 设 得 ? t1 ? t2 ? ? t1 t2 ， 即 ? t1 ? t2 ? ? 4t1t2 ? t1t2 ． 由 （ * ） 得2 2t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a), t1t2 ? 8(4 ? a) ? 0 ，则有(4 ? a)2 ? 4(4 ? a) ? 0 ，得 a ? 1 ，或 a ? ?4 ．因为 a ? 0 ，所以 a ? 1 ．考点：1．极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程互化；2．直线参数方程中参数 几何意义． 37．（本题满分 12 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为? sin2 ? ? 2a cos? ? a ? 0? ， 过 点? ? x ? ?2 ? ? P ? ?2,? 4? 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?A, B 两点．2 t 2 , ，直线 l 与曲线 C 相交于 2 （ t 为参数） t 2（Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）若 PA ? PB ? AB ，求 a 的值． 【答案】 （1） y ? 2ax(a ? 0) ， y ? x ? 2 ； （2） a ? 122【解析】 试题分析： （1）本题考察的是极坐标系下的方程和参数方程与平面直角坐标系下的方程 的互化，只需记清楚公式，计算时要细心。 本题的解题思路是将参数代入曲线 C 的直角坐标系的方程，得到关于参数 t 的一元二次 方程 ，再利用直线参数方程中 t 的几何意义和韦达定理，结合题目所给的等量关系，建立关 于 a 的方程，即可求出 a 的值．此类题目很容易忽略参数方程中 t 的几何意义，一定要试卷第 15 页，总 86 页明白参数 t 在参数方程中所在的地位和意义。 试题解析： （1） 由 ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) 得 ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? (a ? 0) ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2ax(a ? 0) 直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? 2ax(a ? 0) 中， 得 t 2 ? 2 2(4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 则有 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a), t1t2 ? 8(4 ? a) ∵ | PA | ? | PB |?| AB | ,∴ t1t2 ? (t1 ? t2 )2 , 即 (t1 ? t2 )2 ? 5t1t2 ,22 ∴ [2 2(4 ? a)]2 ? 40(4 ? a), 即 a ? 3a ? 4 ? 0解之得： a ? 1 或者 a ? ?4 （舍去） ，∴ a 的值为 1 考点： （1）参数方程； （2）极坐标方程； 38． （本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角t ? x ? 1? , ? 2 ? (t 为参数） 坐标系，直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ? （1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；? x ? ? 2 x, （2）设曲线 C 经过伸缩变换 ? 得到曲线 C ? ，设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ，求 ? y? ? yx ? 2 3 y 的最小值．【答案】 （1） l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 ， C : x ? y ? 1 ； （2）-4．2 2【解析】 试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转 化、 图象的伸缩变换、 三角函数最值等基础知识， 考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 计算能力． 第一问， 因为 ? ? x ? y ， 所以 ? ? 1 可直接转化为 x ? y ? 1，2 2 2 2 2而直线 l 的参数方程直接消去参数 t 即可得到普通方程；第二问，先利用伸缩变换进行 代换得到曲线 C 的方程，再将曲线 C 的方程转化成参数方程，将 x 与 y 代入所求表达 式中，利用三角函数最值的解法求最小值． 试题解析： （1） l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0' 'C : x2 ? y2 ? 1试卷第 16 页，总 86 页x? 2 ? x? ? 2 x ? x ? 代入 C 得 ? C ? : x ? y 2 ? 1 （2）? ? ? 2 ? ? 4 ? y? ? y ? y ? y? ?? x ? 2 cos? 设椭圆的参数方程 ? (? 为参数） ? y ? sin?则 x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ??6) 则 x ? 2 3 y 的最小值为-4．考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、图象的伸缩变 换、三角函数最值． 39．选修 4－4：极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角t ? x ? 1? , ? 2 ? (t 为参数） 坐标系，直线 l 的参数方程为 ? ． ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?（1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值． 【答案】 （1） l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 （2）-4． C : x2 ? y2 ? 1；? x? ? 2 x, 得到曲线 C ? ，设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) ， ? y ? y ?【解析】 试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转 化、 图象的伸缩变换、 三角函数最值等基础知识， 考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 计算能力． 第一问， 因为 ? ? x ? y ， 所以 ? ? 1 可直接转化为 x ? y ? 1，2 2 2 2 2而直线 l 的参数方程直接消去参数 t 即可得到普通方程；第二问，先利用伸缩变换进行 代换得到曲线 C ' 的方程，再将曲线 C ' 的方程转化成参数方程，将 x 与 y 代入所求表达 式中，利用三角函数最值的解法求最小值． 试题解析： （1） l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0C : x2 ? y2 ? 1x? ? ? x? ? 2 x ? x ? x2 ? ? y2 ? 1 （2）? ? ?? 2 代入 C 得 ? C : 4 ? y? ? y ? ? y ? y?设椭圆的参数方程 ?? x ? 2 cos? (? 为参数） ? y ? sin ?则 x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ??6) 则 x ? 2 3 y 的最小值为-4。考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、图象的伸缩变 换、三角函数最值． 40． （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程试卷第 17 页，总 86 页已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ． 以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 轴 的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 ? （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点，且 AB ? 14 ，求直线的倾斜角 ? 的值． 【答案】 （1） ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 （2） ? ?? x ? 1 ? t cos? (t 是参数 ) ． ? y ? t sin ??4或3? 4【解析】 试题分析：第一问注意极坐标和直角坐标的转换，第二问注意用好公式即可，注意直线 的参数方程中参数 t 的几何意义的应用． 试题解析： （ 1 ）由 ? ? 4cos? 得 ? ? 4? cos? ，于是有 x ? y ? 4 x ，化简可得2 2 2( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4（2）将 ?? x ? 1 ? t cos? 代入圆的方程得 （t cos? ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 ， ? y ? t sin ?2 化 简 得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 ． 设 A 、 B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 、 t 2 , 则?t1 ? t 2 ? 2 cos? , ? ? t1t 2 ? ?3? AB ? t1 ? t 2 ?? 4 cos2?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,? ? 2 , cos? ? ?2 ? 3? ,? ? 或 ． 2 4 4考点：极坐标方程与直角坐标方程的转换，直线被曲线截得的弦长问题，直线的参数方 程中参数 t 的几何意义的应用． 41． （本小题满分 7 分） 选修 4―4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲? 2 t?2 ?x ? ? 2 线 C 的极坐标方程为 ? ? a cos ? ． 直线 l 的参数方程为 ? 曲线 (t为参数) ， ? y? 2t ? ? 2C 与直线 l 一个交点的横坐标为 3 ? 7 ． （1）求 a 的值及曲线 C 的参数方程； （2）求曲线 C 与直线 l 相交所成的弦的弦长． 【答案】 （1） a ? 8 ， ?? x ? 4 ? 4cos ? , ； （2） 2 14 ． ? y ? 4sin ? ,【解析】 试题分析： （1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构试卷第 18 页，总 86 页特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参 法； （2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解， 若 x, y 有范围限制，要标出 x, y 的取值范围； （3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需 把公式 x ? ? cos? 及 y ? ? sin ? 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程 要通过变形，构造形如 ? cos? ， ? sin ? ， ? 2 的形式，进行整体代换，其中方程的两 边同乘以（或同除以） ? 及方程的两边平方是常用的变形方法． 试题解析： （ 1 ） ? ? ? a cos? ， ? ? 2 ? a? cos? ，即 x 2 ? y 2 ? ax ，直线 l 的方程x ? y?2，2 ? x 2 ? ?x ? 2? ? ax ，把 3 ? 7 代入得 a ? 82 曲线 C 的一般方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 16 ， 2曲线 C 的参数方程为 ?? x ? 4 ? 4cos ? , （ ? 为参数） ． ? y ? 4sin ? ,（ 2 ） 圆 C 的 圆 心 ?4 , ? 0， 圆 心 到 直 线 距 离 d ?2 ，则所求弦长为22 4 ?? 2 ?2?2 1 ．4 7分考点：1、参数方程和极坐标方程的应用；2、直线与圆相交求弦长． 42 ． 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 , 已 知 曲 线C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ， 已 知 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ：? 2 x ? ?2 ? t ? ? 2 ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N ； ? 2 ? y ? ?4 ? t ? 2 ? （Ⅰ）写出曲线 C 参数方程和直线 l 的普通方程；（Ⅱ）若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值． 【答案】 （1） y ? 2ax (a ? 0) ， x ? y ? 2 ? 0 ； （2） a ? 1 ．2【解析】 试题分析： （1）利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 进行求解得到曲线的普通方程， ，再合理选 参，进行求解；消去参数 t ，即得直线的普通方程； （2）将直线的参数方程代入抛物线 方程，得到关于 t 的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式进行求解． 解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用x ? ? c o s? ,y ? ? s i n ? ， 2 ? ? x2 ? y2或合理选参进行求解．试题解析： （Ⅰ）由公式： x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 知： 曲线 C 的普通方程为： y ? 2ax (a ? 0)2试卷第 19 页，总 86 页显然，这是抛物线的方程，且 2 p ? 2a ，则其参数方程可写成:? x ? 2at 2 ? x ? 2 pt 2 (t为参数) 或 ( t 为参数 ) ? ? ? y ? 2at ? y ? 2 pt对直线 l 的参数方程，消参，得其普通方程:x? y?2 ?0（Ⅱ）把直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 …7 分 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) t2 ? t1 ?? ? 32a ? 8a 2由 t 的几何意义知： MN ? t1 ? t2 , PM PN ? t1 t2 ? t1t2 因为由已知，得： | MN |2 ? | PM | ? | PN | 解得 a ? 1 ． 考点：1．曲线的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化；2．直线与抛物线的位置关 系． 43．在直角坐标 xOy 中，圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ，圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 （Ⅰ）在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方 程，并求出圆 C1 , C2 的交点极坐标（用极坐标表示） ； （Ⅱ）求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程。 【答案】 （1） (2, 【解析】 试题分析： （1）利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ?，? ? x ? y 进行互化即可； （2）由两圆2 2 2?? ? ?x ? 1 ), (2, ? ) ； （2） ? ． 3 3 ? ? y ? t (? 3 ? t ? 3)的公共点求出公共弦的普通方程，再利用直线的点与倾斜角得到参数方程． 解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用x ? ? c o s? ,y ? ? s i n ? ， 2 ? ? x2 ? y2或合理选参进行求解．试题解析： （1）根据公式： x ? ? cos? , y ? ? sin ?，? ? x ? y2 2 2圆 C1、 C2 的极坐标方程分别为： ? ? 2 ， ? ? 4cos ? ( ? ? 0)?? ? 2 ?? ? 2 ? 联立： ? 解得： ? ? ? ?? ? ? ? 4cos ? ( ? ? 0) ? 3 ?∴圆 C1 与圆 C2 的交点极坐标分别为： (2,?), (2, ? ) 3 3?试卷第 20 页，总 86 页（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标， 得： (1, 3),(1, ? 3) ∴此两圆公共弦的普通方程为： x ? 1(? 3 ? y ? 3) ∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为 90° ∴所求两圆的公共弦的参数方程为： ?? ?x ? 1 ? ? y ? t (? 3 ? t ? 3)考点：1．曲线的参数方程、极坐标方程、普通方程的互化；2．两圆的公共弦． 44． （本小题满分 12 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ．以极点为平面直角坐 标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程? 2 t ?x?m? 2 （ t 是参数） 是: ? ． ? ?y ? 2 t ? ? 2（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 的值； （Ⅱ）设 M ?x , y ? 为曲线 C 上任意一点，求 x ? y 的取值范围． 【答案】 （Ⅰ） m ? 1 或 m ? 3 ;（Ⅱ） [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] ． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）根据 x ? ? cos? , y ? ? sin? 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方 程．将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,可得关于参数 t 的一元二次方程,从而 可得两根之和,两根之积,由 t 的几何意义可得 AB ? t1 ? t2 ? 曲线 C 的方程化为参数方程,用三角函数求其最值． 试题解析： （Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为:(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ． （Ⅱ）x 2 ? y 2 ? 4x ? 0直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m? 圆心到直线 l 的距离（弦心距）d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 , 圆心 (2,0) 到直线 y ? x ? m2 2的距离为 ：?|2?0?m| 2?2 2?| m ? 2 |? 1 ? m ? 1 或 m ? 3? 2 x? t?m ? ? 2 2 2 解法二:把 ? （ t 是 参 数 ） 代 入 方 程 x ? y ? 4x ? 0 , 得 ?y ? 2 t ? 2 ?t 2 ? 2(m ? 2)t ? m 2 ? 4m ? 0 , ? t1 ? t 2 ? ? 2(m ? 2), t1 t 2 ? m 2 ? 4m试卷第 21 页，总 86 页AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 1 ? (m ? 2) 2 ? 4(m 2 ? 4m) ? 14? m ? 1或 m ? 3（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为 （x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ，其参数方程为? x ? 2 ? 2cos ? (? 为参数） ? ? y ? 2sin ?? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点， x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? )4? x ? y 的取值范围是 [2 ? 2 2, 2 ? 2 2]考点：1 参数方程与普通方程间的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2 直线参 数方程中 t 的几何意义;3 用三角函数求最值．? 2 t ? x ? 3? l ? 2 45． （本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为 （t ? ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2 为参数） ． 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位， 且以原点 O 为极点， 以x轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ =2 5 sinθ ． （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ．若点 P 的坐标为（3， 5 ） ，求 | PA | ? | PB | ． 【答案】 （1） x ? y ? 52??2? 5 （2） 3 2【解析】 试 题 分 析 ：（ 1 ） 极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 化 时 主 要 利 用 关 系 式x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x2 ? y 2 （2）可将直线与圆的交点 A, B 坐标求解出来，代入两点间距离公式求解，或利用直线参数方程中 t 的几何意义求解 试题解析： （1）由ρ =2 5 sinθ ，得ρ =2 5 ρ sinθ ，∴x +y =2 5 y,2 2 2 2 ∴ x ? ( y ? 2 5 y ? 5) ? 5 ? x ? ( y ? 5) ? 5 ．2 2 24分 6分（2）直线的一般方程为 x ? 3 ? y ? 5 ? x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ，2 2 容易知道 P 在直线上，又 3 ? ( 5 ? 5) ? 5 ，∴P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到： A(2, 5 ?1), B(1, 5 ? 2) ， 所以|PA|+|PB|= 3 2 10 分8分考点：1．参数方程极坐标方程与普通方程的互化；2．直线参数方程的应用 46． （满分 12 分）已知曲线 C 的极坐标方程 是 ? =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正试卷第 22 页，总 86 页t ? x ? 1? ? 2 半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ? ? ?y ? 3 t ? ? 2（Ⅰ）写出直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）曲线 C 经过伸缩变换 ? ?（t 为参数） 。x? 2 得到曲线 C ? ，设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y) ，求 ? ? y ? y? ? x?x ? 2 3 y 的的最小值；【答案】 （1）l: 3x ? y ? 3 ? 0 , C : x 2 ? y 2 ? 1 （2）-4 【解析】 试题分析第一问消去参数求得直线的直角坐标方程 3x ? y ? 3 ? 0 ，利用 ? 2 ? x 2 ? y 2x2 ? y2 ? 1 得到曲线的普通方程．第二问将曲线 C 进行伸缩变换得到方程 4 ，再把得到的? x ? 2cos ? 曲线参数化 ? x ? 2 3 y 的最小值为 ?4 ． ? y ? sin ? ，借助三角函数的有界性得到试题解析： （1） 3x ? y ? 3 ? 0 2分 4分C : x2 ? y2 ? 1x? ? ? x? ? 2 x ? x ? 2 （2）? ? y? ? y ? ? ? ? ? y ? y?x2 ? y2 ? 1 4 代入 C 得： C ? ：6分? x ? 2cos ? ? 设椭圆的参数方程为 ? （ 为参数） ，则 ? y ? sin ?x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4sin(? ??6)10 分 12 分? x ? 2 3 y 的最小值为 ?4考点：直角坐标与极坐标，参数方程的互化，曲线的伸缩变换，三角函数的有界性． 47． （本小题满分 7 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直 线 l 过点 P?1,0? ，斜率为 3 ，曲线 C ： ? ? ? cos2? ? 8 cos? ． （Ⅰ）写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 PA ? PB 的值．试卷第 23 页，总 86 页1 ? x ? 1? t ? 2 ? 【答案】 （Ⅰ） ? ?y ? 3 t ? 2 ?【解析】16 ?t为参数? ； y 2 ? 4x ． （Ⅱ） . 3试题分析： （Ⅰ）设 P( x0 , y0 ) 是直线 l 上的一点， l 的倾斜角为 ? ，则 l 的一个参数方程 是?? x ? x0 ? t cos ? ? x ? ? cos ? （ t 为参数） ，利用 ? 可把极坐标方程与直角坐标方程互 ? y ? ? sin ? ? y ? y0 ? t sin ?化； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得到关于参数 t 的 方程，方程的解为 t1 , t2 ，则由 t 的几何意义： PA ? t1 ， PB ? t2 ，易求得 PA ? PB . 试题解析： （Ⅰ）∵ 直线 l 过点 P?1,0? ，斜率为 3 ，1 ? x ? 1? t ? 2 ? ∴直线 l 的一个参数方程为 ? ?y ? 3 t ? 2 ?∵?t为参数? ；? ?1 ? cos2? ? ? 8 cos?? ? ? cos2? ? 8 cos?，∴，即 得2 ( ? s i? )n ? 4? c o ?， s∴ y ? 4 x ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x ．2 21 ? x ? 1? t ? 2 ? 2 （Ⅱ）把 ? 代入 y 2 ? 4 x 整理得： 3t ? 8t ? 16 ? 0 ， ?y ? 3 t ? 2 ?设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ，则 t1t 2 ? ?16 16 ， ∴ PA ? PB ? t1t 2 ? ． 3 3考点：直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 48． （本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程? ?x ? ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ? y? ? ?2 t 2 (t是参数) ， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 t?4 2 2? ? ? 2 cos(? ? ) ．4（1）求圆心 C 的直角坐标； （2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】 （1） (2 2 ,? ) 2 2（2） 2 6试卷第 24 页，总 86 页【解析】 试题分析：第一问将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，将其化为标准方程，从而得出 圆心的直角坐标，第二问注意对应的直角三角形，应用勾股定理从而求得结果． 试题解析： （Ⅰ）因为 ? ? 2 cos? ? （2 分） 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ， 即 (x ? （3 分）2 sin? ，所以 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ，2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ，所以圆心直角坐标为 ( ,? )； 2 2 2 2（5 分）（Ⅱ） ：直线 l 上的点向圆 C 引切线长是(2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 ， 2 2 2 2（8 分）∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6（10 分）考点：极坐标方程与直角坐标方程的转换，圆的切线的性质，相应的三角形的应用． 49．(本小题满分 12 分)已知直线 l 的参数方程为 ?? ? x ? 1 ? 2t , ? ? y ? 2t（t 为参数） ，以坐标原点为极点， x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ? ? （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程；sin ? ． 1 ? sin 2 ?（2）若点 p 是曲线 C 上的动点，求 p 到直线 l 距离的最小值，并求出此时 p 点坐标． 【答案】 （1） ? cos? ? ? sin ? ? 1， y ? x ； （2）当 p 点为 ?2?1 1? , ? 时， p 到直线 l 的 ?2 4?距离最小，最小值为3 2 8【解析】 试题分析： （1）首先消参，得到直线的普通方程，然后根据点的直角坐标与极坐标转化2 2 的公式，即得直线的极坐标方程；首先根据三角函数的公式，将 1 - sin ? ? cos ? ，然后两边同时乘以 ? ， 同样是根据点的直角坐标与极坐标转化的公式， 得到直角坐标方 程．(2)点在曲线上，代入点到直线的距离公式，转化为关于 x0 的二次函数求最小值， 同时得到 P 点坐标． 试题解析： （1）由 ?? ? x ? 1 ? 2t ? ? y ? 2t得 x ? y ?1 ， 所 以 直 线l 的极坐标方程为? cos? ? ? sin ? ? 1试卷第 25 页，总 86 页即 2 ? ? cos? cos 因为 ? ?? ??4? sin ? sin???? ? ? ? 1 ，即 2 ? cos? ? ? ? ? 1 4? 4? ?sin ? sin ? 2 ,? ? ? ,? ? cos 2 ? ? sin ? ,? ?? cos ? ? ? ? sin ? , 2 1 ? sin ? cos 2 ?即曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x 2 设 p?x0 , y0 ? ，则 y0 ? x0 ,所以 p 到直线 l 的距离2d?x0 ? y0 ? 1 2?x0 ? x0 ? 1 22?1? 3 ? ? ? x0 ? ? ? 2? 4 ? 221? 3 ? ? x0 ? ? ? 2? 4 ?? 22所以当 x0 ?3 2 1 ?1 1? 时， d min ? ，此时 p? , ? ， 8 2 ?2 4??1 1? ?2 4? 3 2 8所以当 p 点为 ? , ? 时， p 到直线 l 的距离最小，最小值为考点：1．极坐标方程与直角坐标方程的转化；2．点到直线的距离． 50． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程? 2 5 t ?x ? 2 ? ? 5 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? （ t 为参数） ，若以 O 为极 5 ?y ? 5? t ? 5 ?点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 4sin ? ． （1）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）当 ? ? ? 0, ? ? 时，求直线 l 与曲线 C 公共点的极坐标． 【答案】 （1） x ? 2 y ? 8 ? 0 ， x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 ； （2） ? 4,2 2? ????． 2?【解析】 试题分析：直线的参数方程消去参数 t ，可得直线的直角坐标方程，利用公式? x ? ? cos ? 2 2 2 及 x ? y ? ? 可把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）先求得 ? ? y ? ? sin ?直线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标即可． 试题解析： （1）由 y ? 5?5 5 2 5 t得 t ? y ?5 ，将其代入 x ? 2? t 中得： 5 5 5x ? 2y ?8 ? 0? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0（3 分）试卷第 26 页，总 86 页由 ? =2cos ? ? 4sin ? ，得 ? 2 =2? cos ? ? 4? sin ?? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y 即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0（2）由 ? （6 分）?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? x ? y ? 2x ? 4 y ? 02 2得??x ? 0 ?y ? 4? 直线 l 与曲线 C 的公共点为 ? 0, 4 ??? ? ? 0, ? ?? ?? ? 直线 l 与曲线 C 公共点的极坐标为 ? 4, ? ? 2?（10 分）考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化． 51．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ． 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的? 2 t ?x?m? ? 2 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? （ t 是参数） ． ?y ? 2 t ? ? 2（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值． （Ⅱ）设 M ?x , y ? 为曲线 C 上任意一点，求 x ? y 的取值范围． 【答案】 （Ⅰ） m ? 1 或 m ? 3 ;（Ⅱ） [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] ． 【解析】 试题分析： （ Ⅰ ） 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 4cos? 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 : （弦 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m ,所以圆心到直线 l 的距离 心 距 ） d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 , 圆 心 (2,0) 到 直 线 y ? x ? m 的 距 离 为2 2：|2?0?m| 2?2 2（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为 ?| m ? 2 |? 1 ? m ? 1 或 m ? 3 ；? x ? 2 ? 2cos ? (? 为参数） （x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ，其参数方程为 ? ? y ? 2sin ?? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点， x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? ) ，即可求出结果．4 ? ? 4cos ? 试题解析：解： （Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程是 化为直角坐标方程为:x 2 ? y 2 ? 4x ? 0直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m? 圆心到直线 l 的距离（弦心距）d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 , 圆心 (2,0) 到直线 y ? x ? m2 2的距离为 ：|2?0?m| 2?2 2?| m ? 2 |? 1 ? m ? 1 或 m ? 3试卷第 27 页，总 86 页5分（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为 （x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ，其参数方程为? x ? 2 ? 2cos ? (? 为参数） ? ? y ? 2sin ?? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点， x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? )4? x ? y 的取值范围是 [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] -----------10 分考点：1．参数方程和极坐标；2．直线和圆的位置关系． 52．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴? 2 t ?x?m? 2 （ t 是参数） 的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： ? ． ? ?y ? 2 t ? ? 2（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 | AB |? 14 ，试求实数 m 值． （Ⅱ）设 M ?x , y ? 为曲线 C 上任意一点，求 x ? y 的取值范围． 【答案】 （Ⅰ） m ? 1 或 m ? 3 ； （Ⅱ） [2 ? 2 2,2 ? 2 2] ． 【解析】 试题分析： （ Ⅰ ） 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 4cos? 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ：x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ，直线 l 的直角坐标方程为： y ? x ? m ，所以圆心到直线 l 的距离（ 弦 心 距 ） d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 , 圆 心 ( 2 , 0 到 ) 直线 y ? x?m 的距离为 ：2 2|2?0?m| 2?2 2（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为 ?| m ? 2 |? 1 ? m ? 1 或 m ? 3 ；? x ? 2 ? 2cos? (? 为参数） （x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ，其参数方程为 ? ? y ? 2sin ?? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点， x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? ) ，即可求出结果． 4试题解析：解： （Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为：x 2 ? y 2 ? 4x ? 0直线 l 的直角坐标方程为： y ? x ? m? 圆心到直线 l 的距离（弦心距）d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 , 圆心 (2,0) 到直线 y ? x ? m2 2的距离为 ：|2?0?m| 2?2 2?| m ? 2 |? 1 ? m ? 1 或 m ? 32 25分（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为 （x ? 2) ? y ? 4 ，其参数方程为试卷第 28 页，总 86 页? x ? 2 ? 2cos ? (? 为参数） ? ? y ? 2sin ?? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点， x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? )4? x ? y 的取值范围是 [2 ? 2 2, 2 ? 2 2]10 分考点：1．参数方程和极坐标；2．直线和圆的位置关系． 53． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程1 ? x ? 2? t ? 2 ? (t 为参数） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 ? ，以坐标原点为 3 ?y ? t ? ? 2极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： ? ? 4cos ? . （1）直线 l 的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线 l 的曲线 C 交点的极坐标（ ? ? 0,0 ? ? ? 2? ） 【答案】 （1） 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ； （2） (2,? 5? ) ， (2 3, ) 6 3【解析】 试题分析： （1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式? x ? ? cos ? 可把直角坐标方程化为极坐标方程； （2）可把曲线 C 的极坐标方程化为 ? ? y ? ? sin ?直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐 标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.1 ? x ? 2? t ? 2 ? 试题解析： （1）将直线 l : ? （ t 为参数）消去参数 t ，化为普通方程 3 ? y? t ? ? 23x ? y ? 2 3 ? 0 ，将?2分? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 . ? y ? ? sin ?6分4分（2）方法一： C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 . 由?? ? ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? x ?1 ? x?3 解得： ? 或? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 38分所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2, 方法二：由 ?? 5? ) ， (2 3, ) . 6 36分10 分? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ? ， ? ? 4 cos ? ? ?试卷第 29 页，总 86 页得： sin(2? ??3) ? 0 ，又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2?8分?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ?? ? ? 3 ? 6 ?所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2,? 5? ) ， (2 3, ) . 6 310 分考点： 参数方程与普通方程的互化， 直角坐标方程与极坐标方程的互化， 直线与圆交点. 54． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程1 ? x ? 2? t ? 2 ? (t 为参数） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 ? ，以坐标原点为极 3 ?y ? t ? ? 2点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： ? ? 4cos ? . （1）直线 l 的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线 l 的曲线 C 交点的极坐标（ ? ? 0,0 ? ? ? 2? ） 【答案】 （1） 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ； （2） (2,? 5? ) ， (2 3, ) 6 3【解析】 试题分析： （1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式? x ? ? cos ? 可把直角坐标方程化为极坐标方程； （2）可把曲线 C 的极坐标方程化为 ? ? y ? ? sin ?直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐 标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.1 ? x ? 2? t ? 2 ? 试题解析： （1）将直线 l : ? （ t 为参数）消去参数 t ，化为普通方程 3 ? y? t ? ? 23x ? y ? 2 3 ? 0 ，将?2分? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 . ? y ? ? sin ?6分4分（2）方法一： C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 . 由?? ? ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? x ?1 ? x?3 解得： ? 或? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 38分所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2,? 5? ) ， (2 3, ) . 6 310 分试卷第 30 页，总 86 页方法二：由 ?? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ， ? ? 4 cos ? ? ?6分得： sin(2? ??3) ? 0 ，又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2?8分?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ? ? ?? 3 ? 6 ?所以 l 与 C 交点的极坐标分别为： (2,? 5? ) ， (2 3, ) . 6 310 分考点： 参数方程与普通方程的互化， 直角坐标方程与极坐标方程的互化， 直线与圆交点. 55． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2a cos(? ??4) (a ? 0) 。（Ⅰ）当 a ? 2 2 时，设 OA 为圆 C 的直径，求点 A 的极坐标； （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 ?? x ? 2t （ t 为参数） ，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d ，若 y ? 4 t ?d ? 2 ，求 a 的取值范围。【答案】 （Ⅰ） ( 4 2 , 【解析】 试题分析： （Ⅰ）利用公式 ?7? )； （Ⅱ） a ? 5 ． 4? x ? ? cos ? 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程 ? y ? ? sin ?( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ，得圆心为 C (2, ?2) ，这样可得 A 点直角坐标为 (4, ?4) ，再把直角坐标化为极坐标； （Ⅱ）直线与圆相交弦长问题，采取常用的方法，把圆极坐标方 程转化为直角坐标方程 ( x ?2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 ，写出直线 l 方 2 2程为 y ? 2 x ，由点到直线距离公式求得圆心 C 到直线 l 的距离，记为 m ，则用勾股定 理得弦长为 2 r ? m ， 本题得弦长为2 210 10 由题意 从而解得 a ? 5 ． a， a? 2， 5 52 2 试题解析： （Ⅰ） a ? 2 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ， 2 分∴圆心 C（2，－2） ，又点 O 的直角坐标为（０，０） ，且点Ａ与点 O 关于点 C 对称， 所以点 A 的直角坐标为（4，－4） ，极坐标为 ( 4 2 ,7? ) 45分试卷第 31 页，总 86 页（Ⅱ） 圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?2 2 2 2 直线 l 的方程为 y=2x． a) ? ( y ? a) ? a 2 ， 2 2所以圆心 C（2 2 a，? a ）到直线 l 的距离为 2 2?2 a ? 2a 2 5，8分∴d=2 a 2 ?9a 2 10 10 = a ．所以 a ≥ 2 ，解得 a ? 5 ． 5 5 1010 分考点：极坐标与直角坐标的互化，直线与圆相交问题． 56． （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴? 3 x? t?m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? （ t 为参数） ． ? y ? 1t ? ? 2(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； (2) 设点 ? ? m,0? , 若直线 l 与曲线 C 交于 ? , ? 两点 , 且 ?? ? ?? ? 1 , 求实数 m 的 值．[来2 2 【答案】(1) ( x ? 1) ? y ? 1 , x ? 3 y ? m ? 0 ；(2) m ? 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2【解析】 试 题 分 析 ： 由 互 化 公 式 可 得 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 ( x ? 1) ? y ? 1 , 由2 2? 3 ? 3 x? t?m ? ? ? ?x ? 2 t ? m 2 消去 t 可得直线的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 ；(2) 将 ? ? 1 ? y? t ? y ? 1t ? ? 2 ? ? 2? 3 ? ? 1 ?2 ? ? ? t ? ? 1 ,由 ? ? 0 解得 ? 1 ? m ? 3 .由 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ,得： ? t ? m ? 1 ? 2 ? ?2 ? ? ?2 22| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m 2 ? 2m |? 1 ,解得： m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 .试 题 解 析 ：（ Ⅰ ） 由 ? ? 2 cos? , 得 ： ? ? 2 ? cos ? ,∴ x ? y ? 2 x , 即2 2 2( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 .2 23分试卷第 32 页，总 86 页? 3 x ? t?m ? ? 2 由? ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , 1 ? y? t ? 2 ?∴直线的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 . 5分? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ?2 ?x ? 2 t ? m 2 2 ? （Ⅱ）将 ? 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ,得： ? t ? ? 1, ? 2 t ? m ? 1? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? y? t ? 2 ?整理得： t ? 3 (m ? 1)t ? m ? 2m ? 0 ,2 2由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1) ? 4(m ? 2m) ? 0 ,解得： ? 1 ? m ? 3 .2 2设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3 (m ? 1), t1t2 ? m ? 2m ,28分又直线过点 P (m,0) ,由上式及的几何意义得| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m 2 ? 2m |? 1 ,解得： m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 ,因此实数 m 的值为 m ? 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2 . 考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.直线参数方程的应用. 57． （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? 线 C : ( y ? 2) ? x ? 1交于 A, B 两点．2 210 分? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t（ t 为参数） ，直线 l 与曲（1）求 | AB | 的长； （2）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为(2 2 ,3? ) ，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离． 4【答案】 （1） | AB |? 2 14 ； （2） | PM |? 2 ； 【解析】 试题分析： （1）将直线的参数方程代入到曲线 C 的方程中，利用参数 t 的几何意义，求 得 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 ； （2） 根据极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标， 中点 M 对应参数为t1 ? t 2 ? ?2 ，由参数 t 几何意义，所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 2| PM |? 2 ；试卷第 33 页，总 86 页1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 试题解析： （1）直线 l 的参数方程化为标准型 ? （ t 为参数） 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ?代入曲线 C 方程得 t 2 ? 4t ? 10 ? 0 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ，则 t1 ? t 2 ? ?4 ， t1t 2 ? ?10 ， 所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) ， 5分 6分2分所以点 P 在直线 l ，中点 M 对应参数为t1 ? t 2 ? ?2 ， 210 分由参数 t 几何意义，所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2 考点：参数的几何意义 58． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆 C：? x2 y 2 ? x ? ?3 ? 3t ? ? 1 ，直线 l : ? （t 为参数） ． 4 3 y ? 2 3 ? t ? ?（Ⅰ）写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程； （Ⅱ）设 A(1, 0) ，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的坐标． 【答案】 （1） ?? 8 3 3 ? x ? 2 cos ? ，x－ 3 y＋9＝0； （2） P ( ? , )． 5 5 ? ? y ? 3 sin ?【解析】 试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转 化等基础知识， 意在考查考生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 运算求解能力． 第 一问，利用椭圆的参数方程，直接得到将直线的参数方程消参，得到直线的普通方程； 第二问，由于 P 点在椭圆上，结合参数方程设出 P 点坐标，利用两点间的距离公式，及 点到直线的距离公式，再相等，解出 sin ? 及 cos ? ，从而得到 P 点坐标． 试题解析： （Ⅰ）C： ?? ? x ? 2 cos ? （θ 为参数） ，l：x－ 3 y＋9＝0． ? ? y ? 3 sin ?4分（Ⅱ）设 P(2cos? , 3 sin ? ) ， 则 | AP |?(2 cos ? ? 1) 2 ? ( 3 sin ? ) 2 ? 2 ? cos ? ，| 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 | 2 cos ? ? 3sin ? ? 9 ? ． 2 22 2P 到直线 l 的距离 d ?由|AP|＝d 得 3sin θ －4cos θ ＝5， 又 sin θ ＋cos θ ＝1， 得 sin ? ?3 4 cos ? ? ? ． ， 5 5试卷第 34 页，总 86 页故 P(? ,8 3 3 )． 5 510 分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化．? x ? 8cos ? ? x ? ?4 ? cos t ? ? C C y ? 3sin ? （ ? 为参数） y ? 3 ? sin t （ t 为参数） 59．已知曲线 1 ： ? ， 2：? ．（1）化C1 ， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； C1 上的点 P 对应的参数为（ 2 ）若t?? 2 ， Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线? x ? 3 ? 2t C3 : ? ? y ? ?2 ? t （ t 为参数）距离的最小值．【答案】 （1）C1： （x＋4） ＋（y－3） ＝1，C2： 【解析】22＝1（2）试题分析： （1）C1： （x＋4） ＋（y－3） ＝1，C2：22＝1． （2）M 到 C3 的距离，d＝|4cos θ －3sin θ －13|．从而当 cos θ ＝，sin θ ＝－时，d 取得最小值．试题解析： （1）C1： （x＋4） ＋（y－3） ＝1，C2：22＝1．C1 为圆心是（－4，3） ，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．（2）当 t＝时，P（－4，4） ，Q（8cos θ ，3sin θ ） ，故M θ －3sin θ －13|．．C3 为直线 x－2y－7＝0，M 到 C3 的距离，d＝|4cos从而当 cos θ ＝，sin θ ＝－时，d 取得最小值．考点： 参数方程。试卷第 35 页，总 86 页? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ，圆 C 的极坐 60． （本小题 12 分）已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?标方程为 ? ? 2 cos(? ??4)．（1）求圆心 C 的直角坐标； （2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】 （1） (2 2 （2） 2 6 ． ,? )； 2 2【解析】 试题分析： （1）利用极坐标与直角坐标的互化，先将方程转化为直角坐标方程，再写成 圆的标准方程，求圆心的直角坐标； （2）PA ? PO2 ?1 ，将 P 点的参数坐标代入，转化为关于 t 的二次函数求最值．试题解析： （1）? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ，? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ， ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ，2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ，?圆心直角坐标为 ( ,? )． 2 2 2 2 （2） ：直线 l 上的点向圆 C 引切线长是即 (x ? （6 分）(2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 ， 2 2 2 2∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 考点：1．极坐标与直角坐标的互化；2．圆的切线长的求法． 61． （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 （12 分）试卷第 36 页，总 86 页? 2 t ? x ? 3? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? （ t 为参数） ，在极坐 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2标系（与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴 为极 轴）中，圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点，若点 P 坐标为 (3, 5) ，求 | PA | ? | PB | . 【答案】 （1） x ? ( y ? 5 ) ? 5 （2） 3 22 2【解析】 试题分析：先把圆 C 的方程 ? ? 2 5 sin? 化为直角坐标方程， ? ? 2 5? sin? ，得2x2 ? y 2 ? 2 5 y ，第二步把直线的参数方程化为普通方程，与圆的方程联立，解出交点坐标利用两点间的距离公式求出即可；本体也可以利用直线的参数方程中t 的几何意 义求解； 试题解析：（ 1 ）圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? ，即 ? ? 2 5? sin ? ；2?? 2 ? x2 ? y 2 ? 2 2 把 ? ? sin ? ? y 代入上式得 x ? y ? 2 5 y ? ? cos ? ? x ?所以圆 C 的直角坐标方程 x ? ( y ? 5 ) ? 52 2（2）设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 直线 l 的普通方程为： x ? y ? 3 ? 5 ，2 代入上述圆方程消去 y 得： x ? 3x ? 2 ? 0 ，解得 x1 ? 1, x2 ? 2所以 | PA | ? | PB | .=2 2? x1 ? 3?2? y1 ? 5??2?? x2 ? 3?2? y2 ? 5??2= x1 ? y1 ? 2 5 y1 ? 6 x1 ? 14 ?2 2 x2 ? y2 ? 2 5 y2 ? 6 x2 ? 14= 14 ? 6 x1 ? 14 ? 6 x2 ? 14 ? 6 ?1 ? 14 ? 6 ? 2 = 3 2 考点：极坐标与参数方程 62． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是试卷第 37 页，总 86 页? 2 x? t ? ? 2 （ t 是参数） ，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， ? 2 ?y ? t?4 2 ? 2 ?曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos(? ??4).（Ⅰ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （Ⅱ）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x ? y 的取值范围． 【答案】 （Ⅰ）直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离； （Ⅱ） ? ? 2, 2 ???【解析】 试题分析： （Ⅰ）由直线的参数方程消去参数 t 得一般方程： x ? y ? 4 2 ? 0 ； 由曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos(? ??4) ? ? ? 2 cos? ? 2 sin ?? ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ??? 2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? 利用 ? x ? ? cos ? 得曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ? ) ? (y ? ) ?1 2 2 ? y ? ? sin ? ?最后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. （Ⅱ）利用圆的参数方程，将 x ? y 的取值范围问题转化为三角函数的最值问题. 试题解析：(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2圆心 (5 2 2 2 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? ? 5 ?1 2 2 25分所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. (Ⅱ)设 M (2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) ， 2 2则 x ? y ? cos ? ? sin ? ? 考点：极坐标与参数方程.? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ?. 4 ?10 分63． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程? 2 x? t ? ? 2 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 ? （ t 是参数） ，以 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程试卷第 38 页，总 86 页4 （Ⅰ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（Ⅱ）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x ? y 的取值范围． 【答案】 （Ⅰ）直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离； （Ⅱ） ? ? 2, 2 ?? ? ? 2 cos(? ? ) .??【解析】 试题分析： （Ⅰ）由直线的参数方程消去参数 t 得一般方程： x ? y ? 4 2 ? 0 ； 由曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos(? ??4) ? ? ? 2 cos? ? 2 sin ?? ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ??? 2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? 利用 ? x ? ? cos ? 得曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ? ) ? (y ? ) ?1 2 2 ? y ? ? sin ? ?最后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. （Ⅱ）利用圆的参数方程，将 x ? y 的取值范围问题转化为三角函数的最值问题. 试题解析： （Ⅰ）直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2圆心 (5 2 2 2 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? ? 5 ?1 2 2 25分所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. （Ⅱ）设 M (2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) ， 2 2则 x ? y ? cos ? ? sin ? ? 考点：极坐标与参数方程.? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ?. 4 ?10 分? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? 64． （本小题满分 10 分）已知直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数） ，曲 ?y ? 2 t ? ? 2线 C1 ： ? cos2 2? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ? 0 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位。 （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C1 的直角坐标方程； （2）在曲线 C1 上是否存在一点 P ，使点 P 到直线 l 的距离最大?若存在，求出距离最试卷第 39 页，总 86 页大值及点 P .若不存在，请说明理由。x2 ? y2 ? 1 ； 【答案】 （1） l : y ? x ? 1 ， C1 ： （2） a ? ?2 . 3【解析】 试题分析： （1）直接由直线 l 的参数方程消去方程组中的参数 t 和直角坐标与极坐标转 化公式 ?? x ? ? cos? 消去参数 ? ,? 即可得到直线 l 在直角坐标系中的方程和曲线 C1 在 ? y ? ? sin ?? x ? 3 cos? x2 ? y 2 ? 1 ，于是可设 C1 : ? （其中 ? 为参 3 y ? sin ? ?直角坐标系下的方程； （2）由（1）知， C1 的方程为数） ，所以点 P 到直线 l 的距离可用含参数 ? 的式子表示出来，根据正弦函数的图像及 其性质可得距离的最大值，以及取得最大值的参数 ? 的值，进而求出点 P 的坐标.? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? 试题解析： （1）因为直线 l 的参数方程为 ，所以消去方程组中的参数 t 即 ?y ? 2 t ? ? 2可 得 到 直 线 l 在 直 角 坐 标 系 中 的 方 程 y ? x ? 1 ； 由 曲 线 C1 ：? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ? 0 以及 ?x2 ? y2 ? 1 ； 3? x ? ? cos? ，消去 ? ,? 可得曲线 C1 在直角坐标系 ? y ? ? sin ?下的方程（ 2 ） 由 题 意 可 知 C1 : ?? x ? 3 cos? （其中 ? 为参数） ，? P 到 l 得距离为 ? y ? sin ?d?3 cos? ? sin ? ? 1 22 sin(? ? ) ? 1 3 3 3 ? ? 2 ， 此 时 ， ? d max ? 2 2 2?s i ?n? ( ) ? ?1 ， ? ? ? 2k? ? ， ? ? 2k? ? 3 3 2 6 1 3 1 y p ? sin ? ? ? ，即 P ( ,? ) . 2 2 2????， ? x p ? 3 cos ? ?3 ， 2考点：1、直线的参数方程；2、极坐标系与直角坐标系的转化； 65．直线 ? 值.? x ? 2 ? 3t (t 是参数）上两点 A、B 对应的参数值分别为 t1、t 2 ，求 | AB | 的 ? y ? ?3 ? 4t试卷第 40 页，总 86 页【答案】 5 | t1 ? t 2 |3 ? ? x ? 2 ? 5 t' ? x ? 2 ? 3t 【解析】方法一：? 变为 ? （其中 t ' ? 5t ） ，故 | AB |? 5 | t1 '?t2 ' | ； 4 ? y ? ?3 ? 4t ? y ? ?3 ? t ' 5 ?方 法 二 ：A(2 ? 3t1 ,?3 ? 4t1 ), B(2 ? 3t2 ,?3 ? 4t2 )，所以| AB |2 ? [3(t1 ? t2 )]2 ? [4(t1 ? t2 )]2 ? 25(t1 ? t2 )2 ，故 | AB |? 5 | t1 ? t2 | .? 1? t2 x ? ? ? 1 ? t 2 (t 是参数）化为普通方程. 66． （1）将参数方程 ? ? y ? 2t 2 ? 1? t ?（2）将极坐标方程 ? ? cos? 化为普通方程. 【答案】 （1） x 2 ? y 2 ? 1 （2） x 2 ? y 2 ? x ? 0 【解析】 （1）两式平方后相加; （2） ? ? cos? ? ? 2 ? ? cos? ? x 2 ? y 2 ? x . 67．选修 4-4：坐标系与参数方程?x ? 2 ? ? ? x?s ? ( s为参数) ， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C： 直线 l： ? ? 2 ?y ? s ?y ? 4 ? ? ?1 t 10 (t 为参数) . 3 t 10设曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度. 【答案】 10 【解析】将参数方程都转化出普通方程，联立方程组求交点，进而求出距离； 试题分析：?x ? s 2 试题解析：由 ? 消去 s 得曲线 C 的普通方程为 y＝x ； 2 ?y ? s?x ? 2 ? ? ? 由? ?y ? 4 ? ? ? 1 t, 10 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y＝3x－2． 3 t 10? y ? x2 , 联立直线方程与曲线 C 的方程，即 ? ? y ? 3x ? 2,解得交点的坐标分别为（1，1） ， （2，4） ． 所以线段 AB 的长度为 (2 ? 1)2 ? (4 ? 1)2 ＝ 10 ． 考点：1.参数方程与普通方程的转化；2.曲线交点；3.两点间距离公式；试卷第 41 页，总 86 页68． （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴， 已知点 P 的直角坐标为 （1， －5） ， 点 M 的极坐标为（4，? ? ） ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 为圆心，4 为半 2 3径。 （1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程。 （2）试判定直线 l 与圆 C 的位置关系。1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? ? y ? ?5 ? 3 t ? 2 （t 为参数） 【答案】 （1） ? ， ? ? 8 sin ? （2） 相离【解析】 试题分析： （1）求直线的参数方程，可根据倾斜角及定点直接写出：1 ? ? ? x ? 1 ? t x ? 1 ? cos ? t ? ? 2 ? ? 3 ?? ? ? y ? ?5 ? sin ? ? t ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? ? 2 （t 为参数） ，求圆的极坐标方程，可先求其直角? x ? ? cos? ? y ? ? sin ? 将其化为极坐标方程： ? ? 8 sin ?（2） 坐标方程 x ? ( y ? 4) ? 16 ， 再利用 ?2 2判定直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判定。因为直线l 的 普 通 方 程 为d? ?4 ? 5 ? 3 2 ?3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ， 所 以 圆 心 M 到 l 的 距 离 为9? 3 ?4 2 ，即直线 l 与圆 C 相离．1 ? ? ? x ? 1? t x ? 1 ? cos ? t ? ? 2 ? ? 3 ?? ? ? y ? ?5 ? sin ? ? t ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? 2 （t 为参数） 试题解析： （1）直线 l 的参数方程 ?M 点的直角坐标为（0，4） 圆 C 半径图 C 方程x2 ? ( y ? 4)2 ? 16? x ? ? cos? ? y ? ? sin ? 代入 得?5分得圆 C 极坐标方程 ? ? 8 sin ? （2）直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0圆心 M 到 l 的距离为d??4 ? 5 ? 3 2?9? 3 ?4 210 分∴直线 l 与圆 C 相离。考点：直线参数方程，圆的极坐标方程，直线与圆位置关系 69．选修 4―4：极坐标与参数方程试卷第 42 页，总 86 页已知曲线 C1 的参数方程是 ?? x ? 2 cos ? （ ? 为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半 ? y ? sin ?轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ． （1）写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程； （2）已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别为 ? 1,? ?? ? 和 ? 2, 0 ? ，直线 M 1M 2 与曲线 C2 相交于 ? 2?P, Q 两点，射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A ，射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ，求1 OA2?1 OB2的值．【答案】 （ 1 ） C1 的极坐标方程为? 2 cos 2 ?4? ? 2 sin 2 ? ? 1 ； C2 的直角坐标方程为x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ；2（2）1 OA2?1 OB2?5 ． 4【解析】2 2 试题分析： （ 1 ）利用 sin ? ? cos ? ? 1 进行消参得到 C1 的直角坐标方程，再利用（2） x ? ? cos? , y ? ? sin ? ，得到 C1 的极坐标方程，同时得到 C2 的直角坐标方程； 首先确定 M1 , M 2 的直角坐标， 进而确定 PQ 与曲线 C2 的关系， 进而判断出 OA ? OB ， 设 点 A, B 的 参 数 方 程 分 别 为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?? ???? ， 代 入 C1 中 化 简 整 理 得 到 2?1 OA2?1 OB2?5 ： ． 4试题解析： （1）曲线 C1 的普通方程为x2 ? y2 ? 1， 43分化成极坐标方程为? 2 cos 2 ?4? ? 2 sin 2 ? ? 12曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 （2）在直角坐标系下， M 1 ? 0,1? ， M 2 ? 2, 0 ? ，5分试卷第 43 页，总 86 页线段 PQ 是圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 的一条直径2? ?POQ ? 90?由 OP ? OQ得 OA ? OBA, B 是椭圆x2 ? y 2 ? 1 上的两点， 4? ?在极坐标下，设 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ???? 2?分别代入?12 cos 2 ?4? ?12 sin 2 ? ? 1 中，有? cos ?2 1 241? ?12 sin 2 ? ? 1 和? 2 2 cos 2 ? ? ?? ? 4??? 2??? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? 1 2? ?cos 2 ? ? 2 ? ? sin 2 ? , ?1 4则1?2212sin 2 ? ? ? cos 2 ? 41 ? 5 ． 410 分1?2 1?1?22?5 4即OA?OB2考点：1．参数方程化为直角坐标；2．极坐标化为直角坐标方程． 70．在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 r ? 2cos q ? 2sin q ，以极点为坐标原点，极? ? x ? 1 ? t, 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数)，求 ? ? y ? 3t直线 l 被曲线 C 所截得的弦长． 【答案】 7 【解析】 试 题 分 析 ： 由r 2 ? x2 ? y 2 , x ? r cos q, y ? r sin qC及r ? 2cos q ? 2sin q ? r 2 ? 2r cos q ? 2r sin q 得 曲 线的 直 角 坐 标 方 程 为x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ，消去参数 t 得直线的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ，根据点到d? 3 ?1 ? 3 2 ?1 1 ?2 2? ? 7 4 2 ，最后由垂径定理得弦长直线距离公式得2 2 试题解析：曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ，圆心为 (1,1) ，半径为 2 ， 直线的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ，3分 5分试卷第 44 页，总 86 页所以圆心到直线的距离为?2 2?d?3 ?1 ? 3 2?1 2，8分所以弦长1 ? 7 4 ．10 分考点：极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，垂径定理 71． （本小题满分 10 分）已知直线的参数方程为 ? 标方程为 ? 2 cos2? ? 1 ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线 l 被曲线 C 截得的弦长． 【答案】 （1）x －y =1； （2） 2 10 ．2 2? ?x ? 2 ? t (t 为参数)，曲线 C 的极坐 ? ? y ? 3t【解析】 试题分析： （１） 应用余弦的二倍角公式将曲线Ｃ的极坐标方程化为含 ? cos? , ? sin ? 的式子，然后应用公式 ?? ? cos? ? x 即可求出曲线Ｃ的普通方程； （２）将直线的参数方 ? sin ? ? y ?程化为普通方程，联立曲线 C 的普通方程，消元得到一个一元二次方程，再用韦达定理 及弦长公式就可就出所求的弦长． 试题解析： （1） 由 ?2 c o s2?1 ? 得 ? 2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 1 ， ? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ，2 2∵ ? cos? ? x ， ? sin ? ? y ，∴x －y =1． （2）消去参数 t 可得，直线 l 的方程为 y= 3 (x－2) 将 y= 3 (x－2)代入 x －y =1 得2 22x －12x+13=0 解得 x1=26 ? 10 6 ? 10 ，x2= 2 22 ∴弦长为 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? 3 | x1 ? x2 |? 2 10 ．考点：参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系． 72． （本小题满分 10 分）选修 4―4: 坐标系与参数方程．1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数）, 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?（1）设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ；（ ? 为参数） ．试卷第 45 页，总 86 页（2） 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值． 【答案】 （1） | AB |? 1 ； （2） 【解析】 试题分析： （1）? 的普通方程为 y ?6 ( 2 ? 1) ． 43 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? 即可 ) ,根据两点之间的距离， ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?? x? ? ? 求出 AB 的值； （ 2 ） C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 2 ．故点 P 的坐标是 (? 为参数） 3 sin ? . 21 3 ( cos ? , sin ? ) ,根据点 P 到直线 ? 的距离公式可得 2 2d?|3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ,根据三角函数的性质，即 2 4 4可求出结果． 试题解析：解． （1） ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 ．3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?5分? x? ? ? （2） C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?从而点 P 到直线 ? 的距离是1 cos ? , 1 3 2 ． 故点 P 的坐标是 ( cos ? , sin ? ) , (? 为参数） 3 2 2 sin ? . 2d?|3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4由此当 sin(? ??4) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为6 ( 2 ? 1) ． 410 分．考点：1．参数方程的概念；2．圆的参数方程．试卷第 46 页，总 86 页73． （本小题满分 10 分）选修 4―4: 坐标系与参数方程．1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 已知直线 ? : ? (t 为参数)， 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?（1）设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点，求 | AB | ； （2）若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的（ ? 为参数） ．3 1 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得 2 2到曲线 C2 ，设点 P 是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 ? 的距离的最小值． 【答案】 （1） | AB |? 1 ； （2） 【解析】 试题分析： （1）? 的普通方程为 y ?6 ( 2 ? 1) ． 43 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) ， B ( ,? ) ，根据两点之间的距离，即 ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?? ?x? ? 可求出 AB 的值； （2） C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 2 (? 为参数)．故点 P 的坐标是 3 sin ? . 21 3 ( cos ? , sin ? ) ，根据点 P 到直线 ? 的距离公式可得 2 2d?|3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ，根据三角函数的性质， 2 4 4即可求出结果． 试题解析：解． （1） ? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 ．3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) ， B ( ,? )， ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,5分? ?x? ? C2 的参数方程为 ? （2） ?y ? ? ?从而点 P 到直线 ? 的距离是1 cos ? , 1 3 2 故点 P 的坐标是 ( cos ? , sin ? ) ， (? 为参数)． 3 2 2 sin ? . 2试卷第 47 页，总 86 页d?|3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ， 2 4 4由此当 sin(? ??4) ? ?1 时， d 取得最小值，且最小值为6 ( 2 ? 1) ． 410 分．考点：1．参数方程的概念；2．圆的参数方程． 74． （本小题满分 10 分，坐标系与参数方程选讲） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为： ??x ? 1? t （t 为参数） ．以坐 y ? 2 ? 2 t ?标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝2cosθ ．直 线 l 与圆相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．4 2 5 2 r 2 ? d 2 ? 2【答案】 1? ? 5 5【解析】 试 题 分 析 ： 将 直 线 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 为 2x ? y ? 4 ? 0 ， 圆 的 普 通 方 程 为( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ， 所 以 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 为 ： d ?|2?4| 12 ? 22?2 ， 5AB= 2 r ? d ? 2 1 ?2 24 2 5 ? 5 52分 4分试题解析：直线 l 的普通方程为： 2 x ? y ? 4 ? 0 ； 圆 C 的普通方程为： ( x ?1) ? y ? 1 ；2 2圆心 C 到直线 l 的距离为： d ?|2?4| 12 ? 22?2 ； 57分所以 AB= 2 r ? d ? 2 1 ?2 24 2 5 ? ． 5 510 分考点：参数方程 75．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ， 以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立平面 直角? 3 x ? 5? t ? ? 2 （t 为参数）. 坐标系，设直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1t ? ? 2（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （Ⅱ）设曲线 C 与直线 l 相交于 P,Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形试卷第 48 页，总 86 页的面积. 【答案】 （Ⅰ） 【解析】 试题分析： （Ⅰ）利用公式 x ? ? cos?，y ? ? sin? 即可把曲线 C 的极坐标方程化为普通 方程；消去参数 t 即}