导读：偏最小二乘法1.1基本原理，偏最小二乘法（PLS）是基于因子分析的多变量校正方法，E和F分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差，偏最小二乘法和主成分回归很相似，偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对关联矩阵B的计算，使方差达到最小，根据上面两个公式可以设计主成分分解的迭代法算法如 偏最小二乘法 1.1 基本原理 偏最小二乘法（PLS）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。但它相对于主成分回归（PCR）更进了一步，两者的区别在于PLS法将浓度矩阵Y和相应的量测响应矩阵X同时进行主成分分解：
X=TP+E Y=UQ+F
式中T和U分别为X和Y的得分矩阵，而P和Q分别为X和Y的载荷矩阵，E和F分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差。 偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y中因子的同时也用于描述变量X。为了实现这一点，数学中是以矩阵Y的列去计算矩阵X的因子。同时，矩阵Y的因子则由矩阵X的列去预测。分解得到的T和U矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：
U=TB 得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B：
B=(TTT-1)TTU
因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对关联矩阵B的计算。 1.2主成分分析 主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。新变量是一组正交的，即互不相关的变量。这种新变量又称为主成分。 如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。假设有n个样本包含p个组分，在m个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有： An×m=Cn×pBp×m
如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。换句话说，光谱A表示在由p个波长构成的p维变量空间的一组点（n个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。这条直线其实就是纯光谱b。因此由m个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用b1，b2表示，则有： T aiT?ci1b1T?ci2b2有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴b1,b2来表示。因此可以推出，如果混合物由p个组分组成，那么混合物的光谱就可由p个主成分轴的线性组合表示。因而现在的问题就变成了如何求解这些主成分轴。而寻找这些坐标轴的基本原则是使新坐标轴包含原数据的最大方差。即沿着新坐标轴的方向，使方差达到最大。而其他方向，使方差达到最小。从几何角度看，就是变量空间中所有的点到这个新坐标轴的距离最短。 以二维空间的为例说明如何寻找主成分坐标轴。变量空间的每一个数据点（一个样本）都可以用通过该点与坐标原点的一个矢量xi表征。 x2主成分轴v1
上图中直角三角形的三个边长分别以a,b,c表示，那么这n个点到第一个主成分轴v1距离的平方和可以通过勾股定理与矢量点积得出： 22b?(c?a??ii) 2ii?1i?1nn因为ci2?||xi||与 xiTv1?||xi||?||v1||?cos?，所以 ?b??(||x||2iii?1i?1n2nn2?(xiTv1)2) n??||xi||??(xiTv1)2 i?1ni?1nT??||xi||??(v1xi)(xiTv1) 2i?1ni?1T??||xi||2?v1XTXv1
min i?1上式等价于 Tv1XTXv1
max （最大特征值λ）
上式中v1表示第一个主成分轴矢量，即第一个特征矢量，所对应的最大值称为特征值，用λ1表示。从上面推导看出，寻找主成分轴就是求X矩阵的协方差矩阵XTX 中的最大特征值（λi）和特征向量（vi）。
下面考虑变量数为m的一般情况。 在m为空间中新变量可以表示为： ui1?v11xi1?v12xi2???v1mximui2?v21xi1?v22xi2???v2mxim?uim?vm1xi1?vm2xi2???vmmxim 其中系数矩阵V为
?v11v12?vv2221?V=?????vm1vm2用u和x分别表示新变量和原始矢量，则
??v11??? ?????vmm??v1m?ui1??xi1??u??x?i2u???，x??i2? ??????????u?im??xim? u?V?x
上述m维主成分系数必须满足下面两个条件 （1） 正交条件：任意两个主成分uk、ur，其系数的乘积之和为0。 vk1vr1?vk2vr2???vkmvrm?0 （2）归一化条件：对于任一主成分系数的平方和等于1。 222vk1?vk2???vkm?1 满足这两个条件的矩阵，称之为正交矩阵。正交矩阵具有如下性质： VTV?I,V?1?VT 1.3 矩阵的主成分分解 根据特征向量和特征值的定义 viTXTXvi??i,i?1,2,?,m
同时令X的协方差矩阵为 Z?XTX
(*)式两边同时左乘vi，有 Zvi?vi?i,i?1,2,?,m 主成分系数矩阵V也可写为 V?(v1,v2,?,vm) 因此可得 ZV?V?diag{?i} 其中diag{?i}表示一个对角矩阵，即对角线元素为?i，非对角线元素为0的矩阵。 上式两边同时左乘VT，得 VTZV?diag{?i} VTZV?VTXTXV?(XV)TXV?diag{?i} ?1令T?XV,则上式变为TTT?diag{?i}将式T?XV右乘V得 X?TVT 上式是矩阵X的主成分分解的一种表达式，由上式得求解T和V的方法
VT?(TTT)?1TTX T?XV(VTV)?1 依据矩阵乘法规则即可获得矩阵V和T中每一个矢量的计算公式： TTTvTj?tjX/tt,tj?Xvj/vjtj 根据上面两个公式可以设计主成分分解的迭代法算法如下： (1) 取X中任意一列作为起始的t。 (2) 由此t计算：v?tX/tt TTT(3) 将vT归一化：vnew?vold/vold TTT(4) 计算新的t：t?Xv/vv (5) 比较步骤4所得的t和上一步的t。若二者相等（在给定的误差范围内），则按（??tt）计算特征值，转第六步继续进行；否则返回第二步继续迭代。 (6) 从Y中减去t?v的贡献：X?X?t?v。返回1，继续运行，直到最后Y趋近于零。
从理论上讲，在m空间中，可以获得m个主成分。但是在实际应用中一般只取前几个对方差贡献最大的主成分，这样就使高维空间的数据降到低维，如二维或三维空间，非常有益于数据的观察，同时损失的信息量还不会太大。取前p个主成分的依据为 比率(%)?TTTT??/?? iii?1i?1pm 一般推荐，比率(%)≥80% 1.4偏最小二乘法算法
(1) 矩阵X和Y的标准化处理 (2) 取Y中任意一列赋给作为起始的u 对于X矩阵 (3) wT=uTX/uTu TTT(4) 归一化：wnew?wold/||wold|| (5) 计算新的t：t=Xw/wTw 对于Y矩阵 (6) qT=tTY/tTt TTT(7) 归一化：qnew?qold/||qold|| (8) u=Yq/qTq 收敛判据： (9) 将步骤8所得的u 与前一次迭代的结果相比较，若等于（在允许误差范围内）,到步骤10，否则返回3。 (10)
pT=tTX/tTt TTT(11) 归一化：pnew?pold/||pold|| (12)
tnew = told ?|| pold|| TTT(13) wnew?wold/||pold|| 计算回归系数b 以用于内部关联： (14) b=uTt/tTt 对于主成分h计算残差： (15) Eh?Eh?1?thph T(16) Fh?Eh?1?bhthwqh T之后回到步骤(2),去进行下一主成分的运算，直到残差趋近于零。 未知样品预测 (17) 如校正部分，将X矩阵标准化 (18) h=0，y=0 TT(19) h=h+1,th?XWhT,y?y?bhthwqh,x?x?thph (20) 若h>a(主成分数)，到步骤(21)。否则返回步骤(19) (21) 得到的Y已经标准化，因此需要按标准化步骤的相反操作，将之复原到原坐标注意的是对预测集进行标准化处理的时，使用的是训练集的均值和标准偏差。因此，在进行反标准化操作时，使用的也应该是训练集的均值和标准偏差。
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相关内容搜索偏最小二乘回归方法；1偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍；在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医；最小偏二乘回归方法(PartialLeastSq；偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自；2偏最小二乘法的工作目标；2.1偏最小二乘法的工作目标；在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y=；Y=X（XX）XY；Y将是Y的一个很好的估计
偏最小二乘回归方法
1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍
在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(OrdinaryLeastSquares:OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(PartialLeastSquares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
2 偏最小二乘法的工作目标
2.1偏最小二乘法的工作目标
在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y1,…,yq}和一组自变量X={x1,…,xp}，当数据总体能够满足高斯―马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有
Y=X（XX）XY
Y将是Y的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（XX）必须是可逆矩阵，所以??T-1TT
当X中的变量存在严重的多重相关性时，或者在X中的样本点数与变量个数相比显然过少时，
这个最小二乘估计都会失效并将引发一系列应用方面的困难。
考虑到这个问题，偏最小二乘回归分析提出了采用成分提取的方法。在主成分分析中，对于单张数据表X，为了找到能最好地概括原数据的综合变量，在X中提取了第一主成分F1,使得F1中所包含的原数据变异信息可达到最大，即
Var(F1)→max
在典型相关分析中，为了从整体上研究两个数据表之间的相关关系，分别在X和Y中提取了典型成分F1和G1，它们满足
r(F1,G1)→max
在能够达到相关度最大的综合变量F1和G1之间，如果存在明显的相关关系，则可以认为，在两个数据表之间亦存在相关关系。
提取成分的做法在数据分析的方法中十分常见，除主成分、典型成分以外，常见到的还有Fisher判别法中的判别成分。实际上，如果F是X数据表的某种成分，则意味着F是X中变量的某一线性组合F=Xa,而F作为一个综合变量，它在X中所综合提取的信息，将满足我们特殊的分析需要。
2.2 偏最小二乘回归分析的建模方法
设有q个因变量{y1,…,yq}和p个自变量{x1,…,xp},为了研究因变量与自变量的统计关系，观测n个样本点，由此构成了自变量与因变量的数据表X=【x1,…,xp】n*p和Y=【y1,…,yq】n*q。 偏最小二乘法回归分别在X与Y中提取出t1和u1(也就是说，t1是x1,…,xp的线性组合，u1是y1,…,yq的线性组合)。在提取这两个成分时，为了回归分析的需要，有下列两个要求：
（1） t1和u1应尽可能大地携带它们各自数据表中的变异信息
（2） t1和u1的相关程度能达到最大
这两个要求表明，t1和u1应尽可能好地代表数据表X和Y，同时自变量的成分t1对因变量的成分u1又有最强的解释能力。
在第一个成分t1和u1被提取后，偏最小二乘法回归分别实施X对t1的回归以及Y对t1的回归。如果方程达到了满意的精度，则算法终止；否则，将利用X被t1解释后的残余信息以及Y被t1解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此递推，直到能达到一个较为满意的精度为止。若最终对X共提取了m个成分t1,…,tm，偏最小二乘法回归将通过实施YK对t1,…,tm的回归，然后再表达成YK关于原变量x1,…,xp的回归方程，k=1,…,q。
3 计算方法推导
3.1普遍采用的计算推导过程
为了数学推导方便起见，首先将数据做标准化处理。X经标准化处理后的数据矩阵记为E0=(E01,…,E0P)n*p,Y经过标准化处理后的数据矩阵记为F0=(F01,…,F0q)n*q。
第一步，记t1是E0的第一个成分，t1=E0w1,w1是E0的第一个轴，它是一个单位向量，即||w1||=1；记u1是F0的第一个成分，u1=F0c1,c1是F0的第一个轴，它是一个单位向量，即||c1||=1。
如果要t1,u1能分别很好德代表X与Y中的数据变异信息，根据主成分分析原理，应该有
Var(t1)→max
Var(u1)→max
另一方面，由于回归建模的需要，又要求t1对u1有最大的解释能力，由典型相关分析的思路，t1与u1的相关度应达到最大值，即
r(t1,u1)→max
因此综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求t1与u1协方差达到最大，即
Cov(t1,u1)= ??????(??1)??????(??1)??(??1,??1)→??????
即求解下列优化问题 max&E0w1,F0C1&
w1Tw1=1（3-1）
因此，将在||w1||=1和||c1||=1的约束条件下，去求（w1TE0TF0c1）的最大值。此种情况下我们就可以用拉格朗日算法求其最优解，记
s=w1TE0TF0c1-λ1(w1Tw1-1)-λ2（c1Tc1-1）
对s分别求关于w1、c1、λ1、λ
?w12的偏导，并令之为零，有 ?E0TF0c1-2λ1w1=0
??2?F0TE0w1-2λ2c1=0
（3-3） ?-(w1Tw1-1)=0
（3-4） ?-(c1Tc1-1)=0
由（3-2）~（3-5）可以推出
2λ1=2λ2=w1TE0TF0c1=&E0w1,F0C1&
记?1=2λ1=2λ2=w1TE0TF0c1,所以?1是优化问题的目标函数值。
把式（3-2）和式（3-3）写成
E0TF0c1=?1w1
F0TE0w1=?1c1
将式（3-7）代入式（3-6），有
E0TF0F0TE0w1=?12w1
由式（3-8）可知，w1是矩阵E0TF0F0TE0特征向量，对应的特征值为?12，?1是目标函数值，要求取得其最大值，所以w1是对应于矩阵E0TF0F0TE0最大特征值?12的单位特征向量。
求得轴w1和c1后，即可得到成分
然后，分别求E0和F0对t1和u1的回归方程
E0?t1P1?E1,F0?u1Q1
T其中，P1?E0t1/12TT?F*1,F0?t1r1?F12 T，Q1?F0u1/12T，向量r1?F0t1/1；E1，F1*，F1为回
归方程的残差矩阵。
第2成分t2的提取，以E1取代E0 , F1取代F0 , 用上面的方法求第2个轴W2和第2个成分t2 ,有
W2?E1F1E1F1TT,t2?E1W1
同样，E1 , F1分别对t2做回归, 得到
E1?t2P2?E2,F1?t2rTT2?F2
同理可推得第h 成分th , h 的个数可以用交叉有效性原则进行, h 小于X 的秩。 如此计算下去，如果X的秩为A，则会有
E0=t1P1T+…+tAPAT
F0=t1r1T+…+tArAT+FA
由于t1,…,tA均可以表示成E01,…,E0P的线性组合，因此，上式可以还原成YK=F0K关于XJ=E0J的回归方程形式
YK=bk1X1+…+bkPXP+FAKk=1,..,q
3.2一种简洁的计算推导过程
3.1中介绍的推导思路是最为常见的，在3.2中将介绍一种更为简洁的计算方法，即直接在E0,…,Em-1矩阵中提取成分t1,…,tm(m&p)。要求th能尽可能多地携带X中的信息，同时，th对因变量系统F0有最大的解释能力。这时无需在F0中提取成分uh，并且在迭代算法中也无需使用其残差矩阵，而始终直接用F0进行计算。这可以使计算过程大为简化，并且对算法结论的解释也更为方便。
下面讨论成分t1,…,tm(m&=A,A=R(X))的一种新原则。在3.1中推导偏最小二乘法回归算法时，第一步的思路是在因变量F0抽取一个成分u1=F0c1，同时在自变量E0中抽取一个成分t1=E0w1,成分的抽取原则是max&E0w1,F0C1&。
在这个原则下得知w1，c1，u1，t1的计算方法如下：
（1）w1是矩阵E0TF0F0TE0最大特征值的特征向量，成分t1=E0w1；
（2）c1是矩阵F0TE0E0TF0最大特征值的特征向量，成分u1=F0c1；
在求得成分u1，t1以后，分别实施E0在t1上的回归，并生成残差矩阵E1，以及F0在t1上的回归，得到残差矩阵F1。再以E1，F1取代E0，F0进行第二轮成分的提取计算，注意到成分u1,…,um是不参加回归计算的，因此是否可以考虑不提取因变量的成分呢？
为此，用下述原则提取比变量中的成分t2是与3.1中介绍的方法，结果是完全等价的，即
由于F0K是标准化变量，所以
Cov(F0K,E0w1)= ??????(??????1) r(F0K,E0w1)
因此，该优化原则是求成分t1=E0w1，使得t1能携带尽可能多的E0变异，同时，t1对因变量F0K(k=1,…,q)的解释能力会综合达到最大值。由于在目标函数上配上常量（n-1）2不影响其求解，即
（n-1）2?Cov2(F0K,E0w1)=?&F0K,E0w1&2
=?w1TE0TF0KF0KTE0w1=w1TE0T(?F0KF0KT)E0w1=w1TE0TF0F0TE0w1 k?1k?1
为了求w1采用拉格朗日算法求解，记
s=?&F0K,E0w1&2-λ1(w1Tw1-1)=w1TE0TF0F0TE0w1-λ1(w1Tw1
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偏最小二乘法算法
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