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高等数学定积分及其计算教学ppt
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定积分的概念的内容包括：引言、曲边梯形的面积、变速直线运动的路程、定积分的定义、牛顿—莱布尼茨公式
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94版的讲的比较详细,2000版的注重以例题来讲解.更适合自学,大学里没听懂回来温习使用.
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函数与极限 第五章 第一节 一、定积分问题举例 解决步骤 : 3
近似和. 2. 变速直线运动的路程 3
近似和. 二、定积分定义
定积分的几何意义: 可积的充分条件: [注] 利用 例2. 用定积分表示下列极限: 说明:
三、定积分的性质 当 a , b , c 的相对位置任意时,
例如 6. 若在 [a , b] 上 推论2. 例3. 试证: 8. 积分中值定理 说明: 例4.
内容小结 思考与练习 思考: 第二节 一、引例
二、积分上限的函数及其导数 说明: 例1.
三、牛顿 C 莱布尼兹公式 例4. 计算 例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 内容小结 第三节 一、定积分的换元法
说明: 例1. 计算 例2. 计算 例3. 二、定积分的分部积分法
例4. 计算 例5. 证明 2. 设 3. 设 第四节 一、无穷限的反常积分 定义1. 设 例1. 计算反常积分 例2.
证明第一类 p 积分 例3. 计算反常积分 二、无界函数的反常积分 定义2. 设 说明:
注意: 若瑕点 例4. 计算反常积分 例6. 证明反常积分 内容小结 三、? 函数 2. 性质
下述解法是否正确:
, ∴积分收敛 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 例5. 讨论反常积分 的收敛性 .
解: 所以反常积分 发散 . 证: 当 q
1 时, 当 q
1 时收敛 ;
时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q
1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 例7. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. 1
定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2
变限积分求导: 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 解: 原式 例2.
确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 原式
c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 证明 在 内为单调递增函数 .
证: 只要证
牛顿 - 莱布尼兹公式
证: 根据定理 1, 故 因此 得 记作 定理2. 函数 , 则 解: 例5.
计算正弦曲线 的面积 .
解: 速停车, 解: 设开始刹
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学科带头人
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& && &本帖隐藏的内容
& && &&&数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么？我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异？为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊？囧... ...这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。
& && & 对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。
& && & 先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。
& && & 对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。
& && & 而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：含参变量积分与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等数学有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。
& && & 记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教过老师，但没想到会招来老师极度的不满：“你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和讨论sin(x)为什么不是ln(x)一模一样的无聊... ...”我正是在听完这句话之后才恍然大悟的。
载入中......
[img][/img]Eric
真理的膜拜者
非常的科普，值得一看
虽然，最后一段的，“你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和讨论sin(x)为什么不是ln(x)一模一样的无聊... ...”我正是在听完这句话之后才恍然大悟的。
听起来超让人不爽，但是确实和老师说的一样，对函数的理解在数学分析后，是质的变化，但是这样的顿悟不是马上有的，至少我个人是在学完抽象代数后明白的。。。那时候，彻底摧毁了我心中函数都长F(X)的样子。。。
总评分:&学术水平 + 5&
热心指数 + 5&
信用等级 + 5&
以前我还不知道呢
讲得很好，我顶
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高数期末考试定积分(复习必备)
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&&很有用的文档,复习的时候看看便于梳理知识。
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