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初中数学知识要点及典型例题
初中数学知识要点及典型例题鸡足山镇中学 第一章 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5.会用多种方法进行实数的大小比较。 6.用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、
有效数字、 科学计数法依然是中考命题的一个热点。 实数的四则运算、 乘方、 开方运算以及混合运算， 实数的大小的比较往往结合数轴进行， 并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结 合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节 知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 第一讲 实数的有关概念 雷鹏军 实数?回顾与思考? 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对1值 课标要求： 1． 2． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 了解有理数、 无理数以及实数的有关概念； 理解数轴、 相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3． 4． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1． 有理数、无理数、实数、非负数概念；2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数 a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解 决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成? ? ?正整数 ? ? ?整数 ? 零 ? ? ? ? ? ?负整数 ? 有尽小数或无尽循环小数 ? ? 有理数 ? ? ? 正分数 ? 实数 ? ? 分数 ? ? 负分数 ? ? ? ?无理数 ?正无理数 无尽不循环小数 ?负无理数 ? ? ???(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，2(3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值? a ( a ? 0) ? | a |? ?0( a ? 0) ?? a ( a ? 0) ?从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数 a(a≠0)的倒数是 (乘积为 1 的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． ?例题经典? 理解实数的有关概念 例 1 ①a 的相反数是- ,则 a 的倒数是_______． ② 实 数 a 、 b 在 数 轴 上 对 应 点 的 位 Z 如 图 所 示:b1 a1 50a则化简│b-a│+ (a ? b)2 =______． ③去年泉州市林业用地面积约为
亩,用科学记数法表示 为约______________________． 例 2.(-2)3 与-23( )． (A)相等 (B)互为相反数3(C)互为倒数(D)它们的和为 16分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A 例 3.- 3 的绝对值是 根是 ． ；-31 的倒数是 2； 的平方4 9分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不 要混淆。 答案： 3 ，-2/7，?2/3 例 4.下列各组数中，互为相反数的是 A． 与 3 -3 B． ｜-3｜与一1 3()D1 3C． ｜-3｜与D． 与 (-3) 2 -3分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念 掌握实数的分类 例 1 下列实数22 ? 、sin60°、 、 2 ）0、3.14159、- 9 、 （ 7 3（- 7 ）-2、 8 中无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4?点评?对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果 去判断． 第二讲 实数的运算?回顾与思考? 知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科 学计数法、近似数与有效数字。4课标要求： 1． 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理 数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 2． 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用， 复习巩固有理数的运算法则， 灵活运用运算律简化运算能正确进行实数 的加、减、乘、除、乘方运算。 3． 了解近似数和准确数的概念， 会根据指定的正确度或有效数字的个数， 用四舍五入法求有理数的近似值 （在解决某些实际问题时 也能用进一法和去尾法取近似值） ，会按所要求的精确度运用近似 的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 4 了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。 考查重点： 1． 2． 考查近似数、有效数字、科学计算法； 考查实数的运算；实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。5(2)减法 (3)乘法a-b=a+(-b)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何 数都得零．即?| a | ? | b | (a, b同号) ? ab ? ?? | a | ? | b | (a, b异号) ?0(a或b为零) ?(4)除法 (5)乘方 (6)开方a 1 ? a ? (b ? 0) b b n a ? aa? a ? ? ?n个如果 x2＝a 且 x≥0，那么 a ＝x； 如果 x3=a，那么 3 a ? x在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号 时，先算括号里面． 3．实数的运算律 (1)加法交换律 (2)加法结合律 (3)乘法交换律 (4)乘法结合律 (5)分配律 a+b＝b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab＝ba． (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac其中 a、b、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． ?例题经典? 例 1、若家用电冰箱冷藏室的温度是 4℃，冷冻室的温度比冷藏室的6温度低 22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为 ? A． 4D22 ＝－18 Ｃ． 22D（D4）＝26 Ｂ．22－4＝18 Ｄ．D4D22＝－26点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应 用的方式呈现，同时也强调?列式?，即过程。选（A） 例 2．我国宇航员杨利伟乘?神州五号?绕地球飞行了 14 周，飞行 轨道近似看作圆， 其半径约为 6． 71?103 千米， 总航程约为(π取 3． 14， 保留 3 个有效数字) ( A．5．90 ?105 千米 C．5．89 ?105 千米 ) B．5．90 ?106 千米 D．5．89?106 千米分析：本题考查科学记数法 答案：A 例 3.化简 (A) 7 -23 7 ?2的结果是()． (D)3( 7 +2)(B)7 +2 (C)3( 7 -2)分析：考查实数的运算。答案：B 例 4.实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位Z如图所示，下列式子中 正确的有( )．①b+c&0②a+b&a+c③bc&ac④ab&ac(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：C71 例 5 计算：- ? ? +（-2）2?（-1）0-│- 12 │． ? ? ?3??1?点评?按照运算顺序进行乘方与开方运算。 例 5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严 重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请 你帮他把标语中的有关数据填上．(已知 1 克大米约 52 粒) 如果每人每天浪费 1 粒大米，全国 13 亿人口，每天就要大约浪费 吨大米 分析：本题考查实数的运算。答案：25 例 7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶， 玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增 加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，． ．．…(这就 是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上 10 级台阶共有 种上法．分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和 答案：89 例 8.观察下列等式(式子中的?!?是一种数学运算符号) 1!=1，2!=2?1，3!=3?2?1，4!=4?3?2?1，…， 计算：100! = 98!．分析：阅读各算式，探究规律，发现 100！=100*99*98！答案：9900 第二章 代数式8中考要求及命题趋势 1、 掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等； 2、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练 掌握，灵活运用； 3、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式 ； 4、了解分式的有关概念式的基本性质； 5、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。 应试对策 掌握整式 的有关概念及 运算法则， 在运算过程中注意 运算顺序， 掌握运算规律，掌握乘法 公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象 的代数式以及代数式的应用题值得重视。 要掌握并灵活运用分式的基 本性质，在通分和约分 时 都要注意分解因式知识的应用。化解 求 殖题，一要注意 整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题， 要能从实际问题中抽象出数学模型。 第一讲 整式9?回顾与思考?知识点 代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号 法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正 整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。 课标要求 1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值； 2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项； 3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算； 4、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算； 5、 掌握整式的加减乘除乘方运算， 会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。10考查重点 1．代数式的有关概念． (1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方) 把数或表示数的字母连结而成的式子． 单独的一个数或者一个字母也 是代数式． (2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结 果 p 叫做代数式的值． 求代数式的值可以直接代入、 计算． 如果给出的代数式可以化简， 要先化简再求值． (3)代数式的分类 2．整式的有关概念 (1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式． 对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母， 各个字母的指数分别是什么。 (2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式 对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对 各项再像分析单项式那样来分析 (3)多项式的降幂排列与升幂排列 把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来， 叫做 把这个多项式按这个字母降幂排列11把―个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来， 叫做 把这个多项式技这个字母升幂排列， 给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列． (4)同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类 顷． 要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即ax ? bx ? (a ? b) x 其中的 X 可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。 3．整式的运算 (1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括 起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是： (i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是?十?号， 把括号和它前面的?+?号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是 ?一?号，把括号和它前面的?一?号去掉．括号里各项都改变符号． (ii)合并同类项： 同类项的系数相加， 所得的结果作为系数． 字 母和字母的指数不变． (2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分 别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它 的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的 运算性质：12a m ? a n ? a m ? n (m, n是整数) a m ? a n ? a m ? n (a ? 0, m, n是整数)多项式乘(除)以单项式， 先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单 项式，再把所得的积(商)相加． 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加． 遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：( x ? a)( x ? b) ? x 2 ? (a ? b) x ? ab, (a ? b)( a ? b) ? a 2 ? b 2 , (a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b 2 , (a ? b)( a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b 3 .(3)整式的乘方 单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字 母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。 单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：(a m ) n ? a mn (m, n是整数), (ab) n ? a n b n (n是整数)多项式的乘方只涉及(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 , (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca.?例题经典? 代数式的有关概念 例 1、已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式 a－b、a+b、a+b2、a2+b 中，对任意的 a、b，对应的代数式的值最大的是（13）(A) a+b(B) a－b(C)a+b2(D)a2+b评析：本题一改将数值代入求值的面貌，要求学生有良好的数感。选 （B） 同类项的概念 例 1 若单项式 2am+2nbn-2m+2 与 a5b7 是同类项，求 nm 的值．?m ? 2n ? 5, 解出即 ? n ? 2m ? 2 ? 7?点评?考查同类项的概念，由同类项定义可得 ? 可例 2（05 宝应）一套住房的平面图如右图所示，其 中卫生间、厨房的面积和是（ A． 4xy Ｂ． 3xy ） Ｃ． 2xy Ｄ． xy评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的 面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对 代数式的理解。选（B） 幂的运算性质 例 1（1）am〃an=_______（m，n 都是正整数） ； （2）am?an=________（a≠0，m，n 都是正整数，且 m&n） ，特别地： a0=1（a≠0） -p= ，a1 （a≠0，p 是正整数） ； ap（3） m）n=______（m，n 都是正整数） （4） （a ； （ab）n=________（n 是正整数）14（5）平方差公式： （a+b） （a-b）=_________． （6）完全平方公式： （a?b）2=__________． ?点评?能够熟练掌握公式进行运算. 例 2.下列各式计算正确的是( (A)(a5)2=a7 (B)2x-2=1 2x)． (c)4a3〃2a2=8a6 (D)a8?a2=a6分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D 例 3.下列各式中，运算正确的是 A．a2a3=a6 c． B．(-a+2b)2=(a-2b)2 D． (1 ? 3 ) 2 ? 1 ? 3 ( )a?b 1 (a+b≠O) ? 2 2 a?b a ?b分析：考查学生对幂的运算性质 答案：B 例 4、(泰州市)下列运算正确的是 A． a 2 ? a 3 ? a 5 ; B．(－2x)3=－2x3 ;C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ; D． 2 ? 8 ? 3 2 评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运 算等的掌握情况。选 （D） 整式的化简与运算 例 5 计算：9xy〃(- x2y)=1 3；（2006 年江苏省）先化简，再求值： [（x-y）2+（x+y） （x-y）]?2x 其中 x=3，y=-1．5． ?点评?本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代 数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．15第二讲 因式分解与分式 ?回顾与思考?因式分解 知识点 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项 式的因式（十字相乘法、求根） 、因式分解一般步骤。 课标要求 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等 因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法， 能把简单多项式分解因式。 考查重点与常见题型 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重 点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运 用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 因式分解知识点 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因 式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：16(1)提公因式法 如多项式 am ? bm ? cm ? m(a ? b ? c), 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也 可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用a 2 ? b 2 ? (a ? b)( a ? b), a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 , a 3 ? b 3 ? (a ? b)( a 2 ? ab ? b 2 )写出结果．(3)十字相乘法 对于二次项系数为 l 的二次三项式 x 2 ? px ? q, 寻找满足 ab=q，a+b=p 的 a，b，如有，则 x 2 ? px ? q ? ( x ? a)( x ? b); 对于一般的二次三项式ax2 ? bx ? c(a ? 0), 寻找满足a1a2=a ， c1c2=c,a1c2+a2c1=b 的 a1 ， a2 ， c1 ， c2 ， 如 有 ， 则ax 2 ? bx ? c ? (a1 x ? c1 )( a2 x ? c2 ). (4)分组分解法： 把各项适当分组， 先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是?+?号，括到括号里的各项都不 变符号；括号前面是?-?号，括到括号里的各项都改变符号. (5)求根公式法：如果 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0), 有两个根 X1，X2，那么ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 ).?例题经典? 掌握因式分解的概念及方法 例 1、分解因式：17①x3-x2=_______________________; ②x2-81=______________________; ③x2+2x+1=___________________; ④a2-a+ =_________________; ⑤a3-2a2+a=_____________________. ?点评?运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。 例 2.把式子 x2-y2-x―y 分解因式的结果是 ． ．1 4分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1) 例 3.分解因式：a2―4a+4= 分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2 分 式 知识点: 分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整 数，整数，整数指数幂的运算 课标要求: 了解分式的概念， 会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。 掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除 乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。 考查重点与常见题型: 1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中， 如：下列运算正确的是（ ）18（A）-40 =1(B) (-2)-1=1 2(C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-12.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简 求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试 题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如： 化简并求值： x x3-y3 2x+2 C2),其中 x=cos30°,y=sin90° 2 . 2 2 +( (x-y) x +xy+y x-y 知识要点 1．分式的有关概念 设 A、 表示两个整式． B 如果 B 中含有字母， 式子 就叫做分式． 注 意分母 B 的值不能为零，否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因 式，要进行约分化简 2、分式的基本性质A A? M ? , B B?M A A?M （M 为不等于零的整式） ? B B?MA B3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)．? ? ; a c ad ? bc (异分母相加，先通分)； b d bd ? ? b d bd a c a d b ? d ? a c acad ? ? ; b c bca n an ( ) ? n. b b4．零指数a 0 ? 1(a ? 0)5．负整数指数a?p ?1 (a ? 0, p为正整数). ap19注意正整数幂的运算性质a m ? a n ? a m?n , a m ? a n ? a m ? n (a ? 0), (a m ) n ? a mn , (ab) n ? a n b n可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的 m、 n 可以是 O 或负整 数． 熟练掌握分式的概念：性质及运算 例 4 （1）若分式x2 ? 3 的值是零，则 x=______． x? 3?点评?分式值为 0 的条件是：有意义且分子为 0． （2）同时使分式x 2 ? 3x x ?5 有意义，又使分式 无意 ( x ? 1) 2 ? 9 x2 ? 6 x ? 8义的 x 的取值范围是（ ） A．x≠-4 且 x≠-2 C．x=-4 （3）如果把分式 的值（ ） A．扩大 10 倍 例 5：化简( B．缩小 10 倍 C．不变 ．1 x?2B．x=-4 或 x=2 D．x=2x ? 2y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式 xD．扩大 2 倍x x 4x )? 的结果是 ? 2? x x?2 x?2分析： 考查分式的混合运算， 根据分式的性质和运算法则。 答案： 例 6.已知 a=1 2? 3，求1 ? 2a ? a 2 a 2 ? 2a ? 1 ? 的值． a ?1 a2 ? a分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式 进行化简。 答案：a=2- 3 &1，原式=a-1+=3．20例 7.已知|a-4|+ b - 9 =0，计算a 2 ? ab a 2 ? ab 的值 ? 2 b2 a ? b2答案：由条件，得 a-4=0 且 b-9=0 ∴a=4 b=9 原式=a2/b2 当 a=4，6=9 时，原式=16/81 例 8.计算(x―y+4 xy 4 xy )(x+y)的正确结果是( x? y x? y)A y2-x2 B.x2-y2 c．x2-4y2 D．4x2-y2 分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B 因式分解与分式化简综合应用 例 1 先化简代数式：? ? 义的 x 的值代入求值． ?点评?注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义． 例 2、 （05 河南）有一道题?先化简，再求值：(x?2 4x 1 ， ? 2 )? 2 x?2 x ?4 x ?4x ?1 2x ? 1 ， 然后选取一个使原式有意 ? 2 ?? 2 ? x ?1 x ?1 ? x ?1其中 x ? ? 3 。?小玲做题时把? x ? ? 3 ?错抄成了? x ? 3 ?，但她 的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 点评：化简可发现结果是 x 2 ? 4 ，因此无论 x ? ? 3 还是 x ? ? 3 其计算 结果都是 7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。第三讲 数的开方与二次根式21?回顾与思考?〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次 根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖课标要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平 方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方 根（包括利用计算器及查表） ； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最 简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二 次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运 算，会进行简单的分母有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念22(1)二次根式 式子 a (a ? 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 O． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的 因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次 根式．( a ) 2 ? a (a ? 0); ?a (a ? 0), a 2 ?| a |? ? ?? a (a ? 0); ab ? a ? b (a ? 0; b ? 0); a ? b a b (a ? 0; b ? 0).2．二次根式的性质3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同 类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方 根，即a ? b ? ab (a ? 0, b ? 0).二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，23那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母 的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根 号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗 1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出 现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。 2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选 择题中。 3.考查二次根式的计算或化简求值， 有关问题在中考题中出现的频率 非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。 ?例题经典? 理解二次根式的概念和性质 例 1 （1）式子x 有意义的 x 取值范围是________． 2? x?点评?从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为 非负． （2）已知 a 为实数，化简 ?a 3 ? a ? ． ?点评?要注意挖掘其隐含条件：a&0．1 a24掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法 例 2 下列根式中能与 3 合并的二次根式为（3 2）A． 24B. 12C.D. 18?点评?抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决 问题． 掌握二次根式化简求值的方法要领 例 3 先化简，再求值: 若 a=4+ 3 ，b=4- 3 ，求a a ? ab ? b ． a? b?点评?注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体 代入．第三章方程（组） 中考要求及命题趋势 一元 一次方程与一元 一次方程组是初中有关方程的基础， 在各 地中考题 中， 多数以填空 、 选择和解答题的形式出现， 大多考查 一 元一次方程及一次方程组的概念和解法，一般占 5%左右。方程和方 程组的应用题是中考的必考题， 考查学生建模能力和分析问题和解决 问题的能力，以贴进生活的题目为主。占 10%左右。25应试对策 1、 要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的 解（整数解）等概念。 2、 3、 4、 要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。 要弄清一元一次方程与一次函数、 一元一次不等式之间的关系。 要弄清一元二次方程的定义，ax +bx+c=0(a 0),a,b,c 均为常 数，尤其 a 不为零要切记。 5、 6、 要弄清一元二次方程的解的概念。 要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法 等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。 7、 8、 9、 要加强 一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。 让学生理解化分式方程为整式方程的思想。 熟练掌握解分式方程的方法。10、 让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的 分析。 让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训 练。 〖知识点〗 等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二 次方程、简单的高次方程 〖课标要求〗261.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念； 2.理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌 握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程； 3.会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、 配方法解一元二次方程的关系， 会选用适当的方法熟练地解一元二 次方程； 4.了解高次方程的概念， 会用因式分解法或换元法解可化为一元一次 方程和一元二次方程的简单的高次方程； 体验?未知?与?已知?的对立统一关系。 内容分析 1．方程的有关概念 含有未知数的等式叫做方程． 使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫做方程的解(只含有―个未知数的方程的解，也叫做根)． 2．一次方程(组)的解法和应用 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为零的方程，叫 做一元一次方程． 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和 系数化成 1．3.一元二次方程的解法(!)直接开平方法27形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元 一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法． (2)把一元二次方程通过配方化成 (mx+n)2=r(r≥o) 的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法． (3)公式法 通过配方法可以求得一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x ?? b ? b 2 ? 4ac 2a用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)因式分解法如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因 式的积， 那么根据两个因式的积等于 O， 这两个因式至少有一个为 O， 原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．〖考查重点与常见题型〗 考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出 现在填空题和选择题中。 第一讲 一次方程（组）及应用28?回顾与思考??例题经典? 掌握一元一次方程的解法步骤x ?1 x?2 ? 2? 2 3例 1 解方程：x-?点评?按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，五步 进行 掌握二元一次方程组的解法 例 2 已知方程组 ? ?点评?将 ??ax ? by ? 2, ? x ? 2, 的解为 ? ，求 2a-3b 的值． ?ax ? by ? 4 ? y ? 1.? x ? 2, 代入原方程组后利用加减法解关于 a，b 的方程组． ? y ? 1.例 3、某电视台在黄金时段的 2min 广告时间内，计划插播长度为 15s 和 30s 的两种广告，15s 广告每播 1 次收费 0.6 万元，30s 广告 每播 1 次收费 1 万元。若要求每种广告播放不少于 2 次。问： ⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？ ⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？ 点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一29次方程的解有深刻的理解。体现了?从知识立意向能力立意转变?的 新命题理念。 解： （1）设 15s 广告播放 x 次，30s 广告播放 y 次。 15x+30y=120 ∴??x ? 4 ?y ? 2而 x,y 均为不小于 2 的正整数， 或?x ? 2 ? ?y ? 3（2）方案 14.4 万元；方案 2 4.2 万元。一次方程的应用 例 1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每 层长 29 cm 的木条上钻有 6 个圆孔，每个圆孔的直径 均为 2．5 cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之 间的距离都相等并设为 X cm，则 x 为 A．2 B．2．15 C．2．33 ( )D．2．36分析：考查列一元一次方程并解方程 答案：A 例 2 据某统计数据显示，在我国的 664 座城市中，按水资源 情况可分为三类： 暂不缺水城市， 一般缺水城市和严重缺水城市， 其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍少 50 座，一般 缺水城市是严重缺水城市数的 2 倍，求严重缺水城市有多少座？ ?点评?一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题． 例 4.小红家春天粉刷房间，雇用了 5 个工人，干了 10 天完成；用了 某种涂料 150 升，费用为 4800 元；粉刷的面积是 150m2．最后结算工30钱时，有以下几种方案： 方案一：按工算，每个工 30 元； (1 个工人干 1 天是一个工)； 方案二：按涂料费用算，涂料费用的 30％作为工钱； 方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱 12 元． 请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算(最省)．分析： 考查方程和方程的应用， 方案一： 5*10*30+ 元 方 案二：40 元，方案三：12*150=1800 元 答案：方案二第二讲 一元二次方程及应用 ?回顾与思考??例题经典? 掌握一元二次方程的解法 例 1 解方程： （1）3x2+8x-3=0； （2）9x2+6x+1=0； （3）x-2=x（x-2） （4） ； x2-2 5 x+2=031例 2.用换元法解方程(x- )2-3x+ +2=0 时，如果设 x- =y，那么原 方程可转化为( (A)y2+3y+2=O )D (B)y2―3y-2=0 (C)y2+3y-2=0 (D)y2-3y+2=01 x3 x1 x分析：考查用换元法解方程 答案：D 例 3.若关于 x 的方程 x2+px+1=0 的一个实数根的倒数恰是它本身， 则 p 的值是 ．分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是?1 答案：?2 例 4.关于 x 的一元二次方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 ? 1 ， x2 ? 2 ，则x 2 ? bx ? c 分解因式的结果为_________________________；分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将 x1、x2 的值代入方 程求出 b、c 答案：(x-1)(x-2) 会判断一元二次方程根的情况 例 1 不解方程判别方程 2x2+3x-4=0 的根的情况是（ ） A．有两个相等实数根； C．只有一个实数根； B．有两个不相等的实数根； D．没有实数根?点评?根据 b2-4ac 与 0 的大小关系来判断 例 2 已知一元二次方程 x2-4x+k=0 有两个不相等的实数根 (1) 求 k 的取值范围; (2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2-4x+k=032与 x2+mx-1=0 有一个相同的根，求此时 m 的值.点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的整 数解等知识点。一元二次方程的应用 例 3 某印刷厂 1?月份印刷了书籍 60?万册，?第一季度共印刷了 200 万册，问 2、3 月份平均每月的增长率是多少？ ?点评?设 2、3 月份平均每月的增长率为 x，即 60+60（1+x）+60 （1+x）2=200第三讲 分式方程及应用 ?回顾与思考?〖知识点〗 分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖课标要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、 二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方33法，会用换元法解方程，会检验。 内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是： （i）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方 程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最 简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根， 必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求 出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法 用两边平方法解无理方程的―般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原 方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．34在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法 用换元法解无理方程， 就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新 的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能 力，常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习 题出现在中档解答题中。 ?例题经典? 理解分式方程的有关概念 例1 ① 指出下列方程中，分式方程有（ ） ②x2 x ? =5 2 31 1 ? 2 =5 2 x 3x③ 2 x2-5x=0 ④ D．4 个5 2 x? +3=0 5x 2A．1 个B．2 个C．3 个?点评?根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数． 掌握分式方程的解法步骤 例 2 解方程：1 1 2 ； ? ? 6 x ? 2 2 1 ? 3x 3 5 （2） 。 ? x ?1 x ? 1（1）?点评?注意分式方程最后要验根。 例 3.解方程： (x 2 x ) ? ?6 ? 0 x?2 2? x35分析：考查解分式方程 答案： x1=3，x2=4/3 都是原方程的根 3x x2－1 3x 例 4（1）、用换元法解分式方程 2 ＋ ＝3 时，设 2 ＝y， x －1 3x x －1 原方程变形为（ ）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y ＋3＝0（2）、用换元法解方程 x2 ＋8x＋ x2＋8x－11 ＝23，若设 y＝ x2＋8x－11 ，则原方程可化为（ ）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y －34=0分式方程的应用 例 5 某服装厂装备加工 300 套演出服，在加工 60 套后，采用了新技 术，使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 9 天完成任务，?求 该厂原来每天加工多少套演出服． ?点评?要用到关系式：工作效率＝工作量 。 工作时间例 6 某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个 工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6 天可以完成，共需36工程费用 10 200 元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用 5 天．但 甲队每天的工程费用比乙队多 300 元， 工程指挥部决定从这两个队中 选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪 个工程队?为什么? 解：设甲队每天费用为 a 元，乙队每天费用为 b 元，则 (a+b)?6=10200 a-b=300 解：设甲队独做需 x 天完成，则乙队独做(x+5)天完成． 由题意，列方程． ?1 x 1 1 ? x ?5 6整理得 x2-7x-30=O．解之得 x1=10，x2=-3． 经检验 x1’x2 都是原方程的根，但 x2=-3 不合题意舍去． ∴甲队独做需 10 天完成， 乙队独做需 15 天完成． 解之得 a=1000 b=700所以甲队独做的费用为
000(元)， 乙队独做的费用为 700?15=10 500(元)． ∵10 500&10 000． ．若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队． 例 7 为满足用水量不断增长的需求， 昆明市最近新建甲、 乙、 丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计 11．8 万立方米，其中 乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，丙水厂的日供水量 比甲水厂日供水量的一半还多 1 万立方米． (1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?37(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600 吨土石，运输公司 派出 A 型、B 型两种载重汽车，A 型汽车 6 辆、B 型汽车 4 辆，分别 运 5 次，可把土石运完；或者 A 型汽车 3 辆、B 型汽车 6 辆，分别运 5 次，也可把土石运完．那么每辆 A 型汽车、每辆 B 型汽车每次运土 石各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载) 解：(1)设甲水厂的日供水量是 x 万立方米，则乙水厂的日 供水量是 3x 万立方米，丙水厂的日供水量是(x/2+1)万立方米． 由题意得：x+3x+x/4+1=11．8 解得：x=2．4 答：甲水厂日供水量是 2．4 万立方米，乙水厂日供水量是 7．2 万 立方米，丙水厂日供水量是 2．2 万立方米． (2)每辆 A 型汽车每次运土石 lO 吨、 每辆 B 型汽车每次运土石 15 吨．第四讲列出方程(组)解应用题〖知识点〗列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、 应用问题的主要类型〖课标要求〗能够列方程（组）解应用题 内容分析 列出方程(组)解应用题的一般步骤是：38(i)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的 一个(或几个)未知数; (ii)找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系; (iii)根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程(或 方程组); (iv)解这个方程(或方程组)，求出未知数的值; (v)写出答案(包括单位名称)． 〖考查重点与常见题型〗 考查列方程（组）解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列 分式方程解应用题，习题以工程问题、行程问题为主，近几年出现了 一些经济问题，应引起注意 一、填空题 1.某商品标价为 165 元，若降价以九折出售（即优惠 10％） ，仍可获 利 10％（相对于进货价） ，则该商品的进货价是 2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得 利润，已知甲与乙投资额的比例为 3：4，首年的利润为 38500 元， 则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元3.某公司 1996 年出口创收 135 万美元，1997 年、1998 年每年都比上 一年增加 a％，那么，1998 年这个公司出口创汇 万美元4.某城市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8％，农村人 口增加 1.1％，这样全市人口将增加 1％，求这个城市现有的城镇人39口数与农村人口数， 若设城镇现有人口数为 x 万， 农村现有人口 y 万， 则所列方程组为 5.在农业生产上，需要用含盐 16％的盐水来选种，现有含盐 24％的 盐水 200 千克，需要加水多少千克？ 解：设需要加水 x 千克根据题意，列方程为 这个方程，得 答： . ，解6.某电视机厂 1994 年向国家上缴利税 400 万元，1996 年增加到 484 万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率 7.某种商品的进货价每件为 x 元，零售价为每件 900 元，为了适应市 场竞争，商店按零售价的九折降价并让利 40 元销售，仍可获利 10％ （相对于进价） ，则 x＝ 元8．一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔 301 支以 上（包括 301 支） ，可以按批发价付款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三 年级学生每人买 1 支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元（m 为正 整数，且 m2－1&100） ；如果多买 60 支，则可以按批发价付款，同样 需用(m2－1)元. (1)设这个学校初三年级共有 x 名学生，则(a)x 的取值范围应为 (b) 铅 笔 的 零 售 价 每 支 应 为 元 （用含 x，m 的代数式表示） 元，批发价每支应为40(2)若按批发价每购 15 支比按零售价每购 15 少付款 1 元，试求这个 学校初三年级共有多少名学生，并确定 m 的值。 二．列方程解应用题 1． 某商店运进 120 台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出 4 台，结果提前 5 天完成销售任务，原计划每天 销售多少台？ 2． 我省 1995 年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为 8万人， 1997 年上升到 9 万人， 求则两年平均增长的百分率 （取 2 =1.41） 3． 甲、乙两队完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快 15 天，如果甲单独先工作 10 天，再由乙单独工作 15 天，就可完成这项 2 工作的 ，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？ 3 4． 某校校长暑期将带领该校市级?三好学生?去北京旅游，甲旅行社说： ?如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待? ， 乙旅行社说： ?包括校长在内全部按全票价的 6 折优惠（即按全票 价的 60％收费） ，若全票为 240 元 (1)设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙，分 别计算两家旅行社的收费（建立表达式） (2)当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠？ 5． 现有含盐 15％的盐水内 400 克，张老师要求将盐水质量分数41变为 12％。某同学由于计算失误，加进了 110 克的水，请你通过 列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加了多少克的水？ 6． 甲步行上午 6 时从 A 地出发于下午 5 时到达 B 地， 乙骑自行车上午 10 时从 A 地出发，于下午 3 时到达 B 地，问乙在什么时间追 上甲的？ 7． 中华中学为迎接香港回归， 1994 年到 1997 年内师生共植树 从1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如 果 1996 年和 1997 年植树棵数的年增长率相同，那么该校 1997 年 植树多少棵？ 8． 要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场C A F B的一边靠着原有的一条墙，墙长为 am， 另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆 的长为 35m， （1）求鸡场的长与宽各为多DE少？（2）题中墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？ 9． 永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共计 68 万元，每年需付出利息 8.42 万元，甲种贷款每年的利率是 12％，乙 种贷款每年的利率是 13％，求这两种贷款的数额各是多少？ 10．小明将勤工俭学挣得的 100 元钱按一年期存入少儿银行，到期后 取出 50 元用来购买学习用品， 剩下的 50 元和应得的利息又全部 按一年期存入。若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金 和利息共 66 元，求这种存款的年利率。 11.某公司向银行贷款 40 万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的42年利率为 15％（不计复利，即还贷前每年息不重复计息） ，每个 新产品的成本是 2.3 元， 售价是 4 元， 应纳税款为销售额的 10％。 如果每年生产该种产品 20 万个，并把所得利润（利润＝销售额 －成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？ 12.某车间在规定时间内加工 130 个零件，加工了 40 个零件后，由于 改进操作技术，每天比原来计划多加工 10 个零件，结果总共用 5 天完成任务。求原计划每天加工多少个零件? 13.东西两车站相距 600 千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相 向而行，相遇后，甲车以原速，乙车以每小时比原速快 10 千米 的速度继续行驶，结果，当乙车到达西站 1 小时后，甲车也到达 东站，求甲、乙两车相遇后的速度？ 14.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开 放乙管少用 10 小时。如果单独开放甲管 10 小时后，加入乙管， 需要 6 小时可把水池注满。问单独开放一个水管，各需多少小时 才能把水池注满？ 15.某商店 1995 年实现利税 40 万元（利税＝销售金额－成本） ，1996 年由于在销售管理上进行了一系列改革， 销售金额增加到 154 万 元，成本却下降到 90 万元， （1）这个商店利税 1996 年比 1995 年增长百分之几？ （2）若这个商店 1996 年比 1995 年销售金额增长的百分数和成本下 降的百分数相同， 求这个商店销售金额 1996 年比 1995 年增长百 分之几？4316.甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，经 C 地去 B 地，已知 C 地离 B 地 180 千米，出发时甲车每小时比乙车多行驶 5 千米。因此，乙 车经过 C 地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从 C 地起将车速 每小时增加 10 千米，结果两从同时到达 B 地，求（1）甲、乙两 从出发时的速度； （2）A、B 两地间的距离. 17.某项工程，甲、乙两人合作，8 天可以完成，需费用 3520 元； 若甲单独做 6 天后，剩下的工程由乙独做，乙还需 12 天才能完成， 这样需要费用 3480 元，问： （1）甲、乙两人单独完成此项工程，各 需多少天？ （2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？ 18．某河的水流速度为每小时 2 千米，A、B 两地相距 36 千米，一动 力橡皮船从 A 地出发，逆流而上去 B 地，出航后 1 小时，机器发 生故障，橡皮船随水向下漂移，30 分钟后机器修复，继续向 B 地开去，但船速比修复前每小时慢了 1 千米，到达 B 地比预定时 间迟了 54 分钟，求橡皮船在静水中起初的速度. 第四章 不等式与不等式组 中考要求及命题趋势 1.不等式，一元 一次不等式（组） 及其解集的概念。 2.不等式的基本性质，一元 一次不等式（组）解法以及解集的数轴 表示。443.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已 知 量 ’‘未知 量 ’之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注 意 应用题中字母 所表示的实际意义。 应试对策 解不等式（组）是本节的重点，而不等式的性质是解不等式 的基础，在复习本节 时 ，首先要强化三条性质的应用顺练，切 忌不等式两边同乘 （除）含 字母的代数式（即正负不明的代数 式） ；其次注意 数 形 结合的方法，即充分利用数轴，关于不等 式（组）的应用题，要通过建模训练，学会找出实际问题中的不 等关系，并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，还要注意 与其他类型的应用题结合起来训练。 第一讲 一元一次不等式（组）及应用 ?回顾与思考?〖知识点〗 不等式概念， 不等式基本性质， 不等式的解集， 解不等式， 不等式组， 不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等 式组。 课标要求451.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解； 2.理解不等式的基本性质， 会应用不等式的基本性质进行简单的不 等式变形，会解一元一次不等式； 3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式 组； 4.能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题 和实际问题。 内容分析 一元一次不等式、一元一次不等式组的解法 (1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为零的不 等式，叫做一元一次不等式． 解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类 项和系数化成 1．要特别注意，不等式的两边都乘以(或除以)同一个 负数，要改变不等号的方向． (2)解一元一次不等式组的一般步骤是： (i)先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集； (ii)再利用数轴确定各个解集的公共部分， 即求出了这个一元一次不 等式组的解集． 考查重点与常见题型 考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也46出现在选择题，填空题中。 ?例题经典? 不等式的性质及运用 例 1 下列四个命题中，正确的有（ ） ．．． ①若 a&b，则 a+1&b+1；②若 a&b，则 a-1&b-1； ③若 a&b，则-2a&-2b；④若 a&b，则 2a&2b． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个?分析?注意观察前后两个式子的变化，想一想与不等式的性质是否 相符． 会解一次不等式，并理解解集用数轴表示的意义 例 2 解不等式 x& x-2，并将其解集表示在数轴上．1 3?点评?步骤类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向的变化． 例 3、 关于 x 的不等式 2x ? a ? ?1 的解集如图所示， a 的取值是 则 （ 考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间 的对应。解为-1 例 4. 不等式 2x+1≥5 的解集在数轴上表示正确的是 ( )―2 ―1?○ ?）?0分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点 的条件，不等式的解为 x≥2 答案：D例 5．如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等47式组的整数解是__________。 分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件 答案：-1，0 例 6.函数 y= x ? 2 中，自变量 x 的取值范围是( A．x≠2 B．x≥2 C.x≤2D．x&2 )分析：通过不等式的形式 2 算术平方根中被开方数的非负性。答案： B 例 7.如果最简二次根式 3a ? 8 与 17 ? 2a 是同类根式， 那么使 4a ? 2 x 有意义的 x 的取值范围是 A．x≤10 B．x≥10 ( )C．x&1O D．x&10分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的条件。答案：A 借助数轴，解一元一次不等式组 例 8 （2006 年淄博市）解不等式组，并在数轴上表示解集.?x ?3 ? 3 ? 8, ? ? 2 ?1 ? 3( x ? 1) ? 8 ? x. ??点评?先求每个不等式的解集，再借助数轴求不等式组的解集． 例 9．不等式组 ??3 x ? 3 ? 1 的最小整数解是 ?x ? 4 ? 8 ? 2x（）A．0 B．1 C．2 D．－1 分析：整数包括正整数、负整数和 0 答案：A 例 10.不等式组 （A） -1，0，1?x ? 1 ? 0 的整数是（ ? ?x ? 2 ? 3） （D） 0，1（B） -1，148（C） -1，0答案：C 会列不等式（组）解应用题 例 11 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则 还剩 12 个苹果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友分 不到 8 个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数． ?点评?从题意寻求两个不等关系，列出不等式组，求出解集，并取 正整数解． 例 10、今年 6 月份，我市某果农收获荔枝 30 吨，香蕉 13 吨，现 计划租用甲、乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运往深圳，已知甲 种货车可装荔枝 4 吨和香蕉 1 吨，乙种货车可装荔枝香蕉各 2 吨； ⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来 ⑵若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是 多少元？ 考查内容： 根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实 际问题。 解：设安排 x 辆甲种货车， （10-x）辆乙种货车?4 x ? 2(10 ? x) ? 30 ? ? x ? 2(10 ? x) ? 13得 5 ? x ? 7 ，方案 1：甲车 5 辆，乙车 5 辆，费用16500 元；方案 2：甲车 6 辆，乙车 4 辆，费用 16200 元；方案 3：甲车 7 辆，乙车 3 辆，费用 17900 元； 例 12.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷49厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价 1．5 元的八 折收费，另收 900 元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价 1．5 元 的价格不变，而制版费 900 元则六折优惠．且甲乙两厂都规定：一次 印刷数量至少是 500 份． (1)分别求两个印刷厂收费 y(元)与印刷数量 x(份)的函数关系， 并 指出自变量 x 的取值范围． (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制 2000 份录取通知书。那么应当选择哪一个厂?需要多少费用? 分析：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分 析和解决实际问题 的能力． 解：(1)y 甲=1．2x+900(元)x≥500(份)，且 x 是整数 y 乙=1．5x+540(元) x≥500(份)，且 x 是整数 (2) 若 y 甲&y 乙，即 1．2x+900&1．5x+540∴x&1200 若 y 甲=y 乙，即 1．2x+900=1．5x+540∴x=1200 若 y 甲&y 乙，即 1．2x+900&1．5x+540∴x&1200 当 x=2000 时，y 甲=3300 答：当 500≤x&1200 份时，选择乙厂比较合算； 当 x=1200 份时，两个厂的收费相同； 当 x&1200 份时，选择甲厂比较合算； 所以要印 2000 份录取通知书，应选择甲厂，费用是 3300 元．50第二讲 不等式（组）与方程（组）的应用 ?例题经典? 例 1 （2006?年内江市）内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化 工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个 公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用 12 天完成； 若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5 天也恰好完成．如果每天 需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元． （1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ （2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少 天？ ?点评? （1）利用方程组解决;（2）利用不等式解决，结合实际取值. 例 2 （2005 年潍坊市）为了加强学生的交通安全意识，某 中学和交警大队联合举行了?我当一日小交警?活动，星期天选 派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序．若每 一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，? 那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人．求这个中学共选派 值勤学生多少人？?共在多少个交通路口安排值勤？ ?分析?本题与学生生活实际联系紧密，是一道很好的列不等式组应 用题，解决本题应注意路口人数与总人数之间的关系． 例3 华溪学校科技夏令营的学生在 3 名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活．现有两个旅行社前来承包，报价均为每 人 2000 元，他们都表示优惠；希望社表示带队老师免费，学生按 851折收费；青春社表示师生一律按 7 折收费．经核算，参加两家旅行社 费用正好相等． （1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？ （2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？ ?点评?方程与不等式的综合应用，注意取值与实际生活要相符 第五章函数 中考要求及 命题趋势 函数是数形结合的重要体现，是每年中考 的必考 内容，函数的概 念主要用选择、填空 的形式考查 自变量的取值范围，及自变量与因 变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 2%左右。一次函数与 一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答 题及综合题的形式考查，占 5%左右。反比例函数的图像和性质的考 查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出 应用价值，3――6 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容， 是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中。要求：能通过对实际问题 情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点 法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确 定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题。会求一元二 次方程的近似值。 应试对策521、 2、理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点。 要进行自变量与因变量之间的变化图像识别的训练， 真正理 解图像与变量的关系。3、 4、 5、 6、掌握一次函数的一般形式和图像 掌握一次函数的增减性、分布象限，会作图 明确反比例函数的特征图像，提高实际应用能力。 牢固掌握二次函数的概念和性质， 注重在实际情景中理解二 次函数的意义， 关注与二次函数相关的综合题， 弄清知识之 间的联系。第一讲 变量之间的关系与平面直角坐标系 ?回顾与思考?〖知识点〗 平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖课标要求〗 1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由 点的坐标系确定点的位Z，由点的位Z确定点的坐标；532.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表 示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数 的图像。 内容分析 1．平面直角坐标系的初步知识 在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的 数轴叫做 x 轴或横轴 (正方向向右)， 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴(正 方向向上)，两轴交点 O 是原点．这个平面叫做坐标平面． x 轴和 y 把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的 点)，要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号： 由坐标平面内一点向 x 轴作垂线， 垂足在 x 轴上的坐标叫做这个点 的横坐标，由这个点向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上的坐标叫做这个点 的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横 坐标在前，纵坐标在后） ．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标 平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有 序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点 与有序实数对是一一对应的． 2．函数 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y， 如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数．54用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数 时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义．遇到实际问题， 还必须使实际问题有意义． 当自变量在取值范围内取一个值时， 函数的对应值叫做自变量取 这个值时的函数值． 3．函数的图象 把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的 横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出一个点，所有这些点组成的 图形，就是这个函数的图象．也就是说函数图象上的点的坐标都满足 函数的解析式， 以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为 坐标的点都在函数图象上． 知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象： (i)列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值， 列成表． (ii)描点． 把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐 标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点． (iii)连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点 连结起来． ?例题经典? 了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位Z或求点的坐标 例 1 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 ( － 1 ， － 2) 所 在 的 象 限 是 ( )55A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限分析：考查已知的点的坐标，确定它的象限 答案：D 例 2 .如果代数式 a ? 位Z在( (D)第四象限 分析：要使根式有意义，a 和 b 都要大于 0 答案： A1 ab有意义．那么直角坐标系中点 A(a、b)的 (B)第二象限 (C)第三象限)．(A)第一象限例 3（1） （2006 年益阳市）在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标 分别为 A（-?2，1） ，B（-3，-1） ，C（1，-1） ．若四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是________． （2）将点 A（3，1）绕原点 O 顺时针旋转 90°到点 B，则点 B?的坐 标是__________． ?解析?利用数形结合的方法，直观求解． 会根据图象获取信息，进行判断 例 4、 函数 y ? x ? 1 中， 自变量 x 的取值范围是___________________； 答案：x≥l 例 5、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．分析：D 图不能用函数式表示出来。 答案：D56例 6 放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了 一段时间后，休息时小明对小丽说： ?我已加工了 28 千克，你 呢？?小丽思考了一会儿说： ?我来考考，图（1） 、图（2）分别 表示你和我的工作量与工作时间关系， 你能算出我加工了多少千 克吗？? 小明思考后回答： ?你难不倒我， 你现在加工了________ 千克． ?(1)(2)?解析?结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小 丽的工作效率，是解决问题的关键． 例 7、 （05 枣庄）水池有 2 个进水口，1 个出水口，每个进水口进 水量与时间的关系如图甲所示， 出水口出水量与时间的关系如图乙所 示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0 点到 1 点，打开两个进水口，关闭出水口；②1 点 到 3 点，同时关闭两个进水口和―个出水口；③3 点到 4 点，关门两57个进水口，打开出水口；④5 点到 6 点．同时打开两个进水口和一个 出水口．其中，可能正确的论断是 (A)①③ 选（D） 了解函数的表示方法，理解函数图象的意义 例 8 小明根据邻居家的故事写了一道小诗： ?儿子学成今日返，老父 早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还． ?如果用纵轴 y?表示父亲与儿子行进中离家的距离， 用横轴 x 表示父亲离家的 时间，?那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ） (B)①④ (C)②③ (D)②④?评析?本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘 图象所含信息， 通过读图、 想图、 析图找出解题的突破口． 另外， 函数图象信息通常是以其他学科为背景， 因此熟悉相关学科的有 关知识对解题很有帮助． 例 9.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时， 实验记录 得到的相应数据如下表： 砝码的质量 50 100 150 200 250 300 50058x(克) 指针位Z y(厘 米)0 3 2 )． 4 5 6 7400 7.5 7.5 7.5则 y 关于 x 的函数图象是(分析：当砝码的质量大于或等于 275 克时，指针位Z 7.5(厘米)不变 答案：D 第二讲 正比例、反比例、一次函数 〖知识点〗 正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像 〖课标要求〗 1．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念； 2．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的性质； 3．会画出它们的图像； 4．会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式 内容分析 1、一次函数 （1）一次函数及其图象 如果 y=kx+b（K，b 是常数，K≠0） ，那么，Y 叫做 X 的一次 函数。59特别地，如果 y=kx（k 是常数，K≠0） ，那么，y 叫做 x 的正 比例函数 一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两 点，再连成直线 （2）一次函数的性质 当 k&0 时 y 随 x 的增大而增大，当 k&0 时，y 随 x 的增大而 减小。 2、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果 y ? (k是常数, k ? 0) ,那么，y 是 x 的反比例函数。 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画 出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当 K&0 时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象 限内， y 随 x 的增大而减小； 当 K&0 时， 图象的两个分支分别在二、 四象限内， 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。 3.待定系数法 先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式 子的方法叫做待定系数法可用待定系数法求一次函数、 二次函数 和反比例函数的解析式60k x〖考查重点与常见题型〗 1． 考查正比例函数、反比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像， 试题类型为选择 题 3． 考查用待定系数法求正比例、反比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率很高， 习题类型有中档解答题和选拔性的 综合题 4． 利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。第一讲一次函数 ?回顾与思考?? ?一般式y=kx+b(k ? 0) ?概念 ? ?正比例函数y=kx(k ? 0) ? ? ? y ? 0, y随x的增大而增大 一次函数 ?性质 ? ? ? k ? 0, y随x的增大而减小 ? ? b ?图象:经过(0,b),(- ,0)的直线 k ? ??例题经典? 理解一次函数的概念和性质 例 1、下列函数中，正比例函数是( )61A．y==―8xB．y==―8x+1 C．y=8x2+1 D．y=-8 x分析：A 是正比例函数，B 是一次函数，C 是二次函数，D 是反比例函 数 答案：A 例 2、大连市内与庄河两地之间的距离是 160 千米，若汽车以平均每 小时 80 千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程 y (千米)与行驶的时间 x (小时)之间的函数关系式为 _________________________； 答案：y=-80x+160 例 3、如图 2，直线 y ? kx ? b 与 x 轴交于点(－4 , 0)，则 y & 0 时， x 的取值范围是 A、 x &－4 B、 x &0 ( ) C、 x &－4 D、 x &0分析：考查一次函数图像 答案：A 例 4、 若一次函数 y=2x m ?2m?2 +m-2 的图象经过第一、第二、三象2限，求 m 的值． ?分析?这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式 为 y=kx+b（k≠0） ．首先要考虑 m2-2m-2=1．函数图象经过第一、 二、三象限的条件是 k&0,b&0，而 k=2，只需考虑 m-2&0．由? m 2 ? 2m ? 2 ? 1 便可求出 m 的值． ? ?m ? 2 ? 0用待定系数法确定一次函数表达式及其应用62例 5 鞋子的?鞋码?和鞋长（cm）存在一种换算关系，?下表是几组 ?鞋码?与鞋长的对应数值： 鞋长 16 19 24 27 鞋码 22 28 38 44 （1）分析上表， ?鞋码?与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？ （2）设鞋长为 x， ?鞋码?为 y，求 y 与 x 之间的函数关系 式； （3）如果你需要的鞋长为 26cm，那么应该买多大码的鞋？ ?评析?本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生 活密切联系的问题情境， 以考查学生对有关知识的理解和应用所 学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间． 建立函数模型解决实际问题 例 6 某块试验田里的农作物每天的需水量 y（千克）与生长时间 x（天）之间的关系如折线图所示．?这些农作物在第 10?天、 ?第 30?天的需水量分别为 2000 千克、3000 千克，在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 100 千克． （1）分别求出 x≤40 和 x≥40 时 y 与 x 之间的 关系式； （2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于 4000 千克时，需要进行人工灌溉，?那么应从 第几天开始进行人工灌溉？ ?评析?本题提供了一个与生产实践密切联系的问题63情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判 断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空 间． 第二讲反比例函数 ?回顾与思考??概念 反比例函数 ?图像与性质 ? ?应用 ??例题经典? 理解反比例函数的意义 若函数 y=（m2-1）x 3m ?m?5 为反比例函数，则 m=________．2?解析?在反比例函数 y= 中，其解析式也可以写为 y=k〃x-1，故 需满足两点，一是 m2-1≠0，二是 3m2+m-5=-1 ?点评?函数 y= 为反比例函数，需满足 k≠0，且 x 的指数是-1， 两者缺一不可． 会灵活运用反比例函数图象和性质解题1 1 1 k 例 2、若 M ? ? , y1 ? 、N ? ? , y 2 ? 、P ? , y 3 ? 三点都在函数 y ? （ｋ ? ? ? ? ? ?k xk x? 2?? 4??2?x＜0）的图象上，则 y1、y 2、y3 的大小关系为（ ）A、 y 2 ＞ y 3 ＞ y1 B、 y 2 ＞ y1 ＞ y 3 C、 y 3 ＞ y1 ＞ y 2 D、 y 3 ＞ y 2 ＞ y1点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便 一目了然，渗透了数形结合的数学思想。 例 3 已知 P1（x1，y1） 2（x2，y2） 3（x3，y3）是反比例函数 y=? ，P ，P64的图象上的三点，且 x1&x2&0&x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y3&y2&y1 B．y1&y2&y32 xC．y2&y1&y3D．y2&y3&y1?解析?反比例函数 y= 的图象是双曲线、由 k=2&0?知双曲线两个 分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y 的值随着 x 值的增大而减小，点 P1，P2，P3?的横坐标均为负数，故点 P1， P2 均在第三象限内， P3 的第一象限． y&0． 而 故 ?此题也可以将 P， P，P 三点的横坐标取特殊值分别代入 y= 中，求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小． 例 4．某蓄电池的电压为定值，右图表示的是该蓄电池 电流 I(A)与电阻 R(Ω)之间的函数关系图像． 请你 写出它的函数解析式是 答案：I=36/R 例 5.已知直线 y=kx+b 与双曲线 y= 则 x1〃x2 的值( ) B.与 k 无关、与 b 有关 D.与 k、b 都无关k 交于 A(x1， 1)， B(x2， 2)两点， y ， y x 2 x．A.与 k 有关、与 b 无关 C．与 k、b 都有关 答案：D例 6（2006 年烟台市）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例 函数 y= 图象交于 A（-2，1） ，B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的 值的 x 的取值范围．65m x?解析? （1）求反比例函数解析式需要求出 m 的值． 把 A（-2，1）代入 y= 中便可求出 m=-2．把 B（1，n）代入 y=m x ?2 x中得 n=-2．由待定系数法不难求出一次函数解析式． （2）认真观 察图象，结合图象性质，便可求出 x 的取值范围． 例 7、 如图， Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y=k 与直线 y=-x+(k+1) x在第四象限的交点，AB⊥x 轴于 B，且 S△ABO= ．3 2(1)求这两个函数的解析式； (2)求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标 和△AOC 的面积． 解：(1)设 A 点坐标为(x，y)，S△ABO=3/2 k=?3，∵点 A 在第四象限内，∴k=-3， ．反比例函数的解析式为 y=-3/x，一次函数的解析式为 y=-x-2； (2) 解两个解析式的方程组得 x1=-3 y1=1 x2=1 y2=-3．A 点坐标为(1，-3)，C 点坐标 为(-3，1)，设直线 AC 与 y 轴交于点 D，则 D 点坐标为(O，-2)， S△AOC=S△AOD+S△COD=4(平方单位)． 第三讲二次函数 ?回顾与思考?66〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖课标要求〗 1． 2． 理解二次函数的概念； 会把二次函数的一般式化为顶点式， 确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数 y＝a(ax＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思 想； 4． 5． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解 二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0),那么，y 叫做 x 的二次函 数。67二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向b 4ac ? b 2 抛 物 线 y=ax +bx+c(a ≠ 0) 的 顶 点 是 (? , ) ，对称轴是 2a 4a2x??b ，当 a&0 时，抛物线开口向上，当 a&0 时，抛物线开口向下。 2a抛物线 y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k） ，对称轴是 x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以 x 为自变量的二次函数 y＝(m－2)x2＋m2－m－2 额图像经 过原点， 则 m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像， 试题 类型为选择题，如： 如图，如果函数 y＝kx＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y＝kx2＋bx－1 的图像大致是（ y y ） y y1 0 x x o-1 x 01 x 0 -168A 3．BCD考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 5 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x＝ ，求这 3 条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标是 3 －1、3，与 y 轴交点的纵坐标是－ （1）确定抛物线的解析式； （2） 2 用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 ?例题经典? 由抛物线的位Z确定系数的符号 例 1 （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点 M（b， ）在 （ ） A．第一象限 限 （2） （2005 年武汉市）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的 图象如图 2 所示，?则下列结论：①a、b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其 中正确的个数是（ ）69c aB．第二象限C．第三象限D．第四象A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个(1)(2)?点评?弄清抛物线的位Z与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题 的关键． 例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2， O)、 (x1， 且 1&x1&2， y 轴的正半轴的交点在点(O， 0)， 与 2)的下方． 下 列结论：①a&b&0；②2a+c&O；③4a+c&O；④2a-b+1&O，其中正 确结论的个数为( ) A 1个 B. 2 个 C. 3 个 D．4 个答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的 顶点坐标为( ) A(2，-3) 答案：C 例 4、如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合．设 x 秒时，三70B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)角形与正方形重叠部分的面积为 ym2． （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了 多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例 5、已知抛物线 y=1 2 5 x +x- ． 2 2（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长． ?点评?本题（1）是对二次函数的?基本方法?的考查，第（2） 问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 A(x1，O)，B(x2，O)两点(x1&x2)，交 y 轴负半轴于 C 点，且 满足 3AO=OB． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的图象上是否存在点 M， 使锐角∠MCO&∠ACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值 范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)， B(x2，O)， 则 x1〃x2=3&0，又∵x1&x2， ∴x2&O，x1&O，∵30A=OB，∴x2=-3x1． ∴x1〃x2=-3x12=-3．∴x12=1.71x1&0，∴x1=-1．∴．x2=3． ∴点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6． (2)存在点 M 使∠MC0&∠ACO． (2)解：点 A 关于 y 轴的对称点 A‘(1，O)， ∴直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 A’C 与抛物线交点为(0，-6)， (5，24)． ∴符合题意的 x 的范围为-1&x&0 或 O&x&5． 当点 M 的横坐标满足-1&x&O 或 O&x&5 时，∠MCO&∠ACO． 例 7、 ?已知函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经过点 A（c，－2） ， 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ?题目中的矩形框部分是 一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数 解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请 说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的 条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中1 2的二次函数解析式，就要把原来的结论?函数图象的对称轴是 x=3?当作已知来用，再结合条件?图象经过点 A（c，－2）， ? 就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够 求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条72件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可 以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再 给图象上的一个任意点的坐标， 可以给出顶点的坐标或与坐标轴 的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经过点 A（c，－2） ，?1 2 ? 2 c ? bc ? c ? ?2, 图象的对称轴是 x=3，得 ? b ? ?? 1 ? 3, ? 2? 2 ?1 2解得 ??b ? ?3, ?c ? 2.所以所求二次函数解析式为 y ? x 2 ? 3x ? 2. 图象如图所示。 （ 2 ） 在 解 析 式 中 令 y=0 ， 得x1 ? 3 ? 5 , x2 ? 3 ? 5.1 21 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ， 解 得 2所以可以填 ?抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 （3+ 5 ,0) ? ?抛 或 物线与 x 轴的一个交点的坐标是 (3 ? 5 ,0). 令 x=3 代入解析式，得 y ? ? , 所以抛物线 y ? x 2 ? 3x ? 2 的顶点坐标为 (3,? ), 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 (3,? ) 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体 特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为?变化过程中变 量之间关系?的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知 识的联系。735 21 25 25 2第四讲二次函数的应用?回顾与思考??刹车距离 二次函数应用 ?何时获得最大利润 ? ?最大面积是多少 ??例题经典? 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为 五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1．试 在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积． ?评析?本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知 识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时， 也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）? 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数． （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？ ?此时每日销售利润是多少元？74?解析? （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b．则 ? k=-1，b=40，?即一次函数表达式为 y=-x+40．?15 k ? b ? 25, 解得 ? 2k ? b ? 20（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10） （40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为 25 元， 此时每日获得最大销售利润为 225 元． ?点评?解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别， 主要有两点： （1）设未知数在?当某某为何值时，什么最大（或 最小、最省） ?的设问中，??某某?要设为自变量， ?什么?要 设为函数； （2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方 程． 例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近 似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的 手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生 丙、 丁分别站在距甲拿绳的手水平距 离 1m、2．5 m 处．绳子在甩到最高 处时刚好通过他们的头顶． 已知学生 丙的身高是 1．5 m，则学生丁的身 高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) B．1．625 m75A．1．5 mC．1．66 mD．1．67 m分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 第五节 用函数的观点看方程（组）或不等式 ?回顾与思考??例题经典? 利用一次函数图象求方程（组）的解 例1 （1） （2006 年陕西省）直线 y=kx+b（k≠0）的图象如图 1， 则方程 kx+b=0?的解为 解集为 x_______． x=_______，不等式 kx+b&0 的76（1）(2)(3)?点评?抓住直线与 x 的交点就可迎刃而解． （2） （2006 年重庆市）如图 2,已知函数 y=?ax+?b?和 y=?kx?的图象， 则方程组 ?? y ? ax ? b 的解为_______． ? y ? kx?点评?两直线的交点坐标即为方程组的解． 利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围 例 2 （2006 年吉林省）已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a≠0）和直线 y2=kx+b k≠0） （ 的图象如图 3， 则当 x=______时， 1=0； x______ y 当 时，y1&0；当 x______时，y1&y2． ?点评?抓住抛物线与 x 轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析． 利用函数与方程、不等式关系解决综合问题 例 3 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，?如果成人按规定剂量服用，那么服药后 2 小时时血液中含药量最高，达每毫 升 6 微克（1 微克=10-3 毫克） ，?接 着逐步衰减，10 小时时血液中含药 量为每毫升 3 微克， 每毫升血液中含药量 y （微克） 随时间 x （小 时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后: （1）分别求出 x≤2 和 x≥2 时 x 与 y 之间的函数关系式； （2）如 果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时在治疗疾病时是 有效的，那么这个有效时间是多长？77?点评? 从图中提供有效信息建立函数关系， 并转化为不等式为解决． 第六讲 函数的综合应用 ?回顾与思考??1.一次函数 : 图像及性质 ? 2.二次函数 : 图像及性质 函数应用 ? ? ?3.反比例函数 : 图像及性质 ?4.综合应用 ??例题经典? 一次函数与反比例函数的综合应用 例 1 （2006 年南充市）已知点 A（0，-6） ，B（-3，0） ，C（m，2） 三点在同一直线上，试求出图象经过其中 一点的反比例函数的解析式并画出其图 象． （要求标出必要的点，?可不写画法） ． ?点评?本题是一道一次函数和反比例函 数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但 能很好地考查学生的基本功． 一次函数与二次函数的综合应用 例 2 （2005 年海门市）某校八年级（1）班共有学生 50 人，据统计 原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元． 经测算和市场调 查，?若该班学生集体改饮某品牌的桶 装纯净水，则年总费用由两部分组成， 一部分是购买纯净水的费用， 另一部分 是其他费用 780 元，其中，纯净水的销78售价（元/桶）与年购买总量 y（桶）之间满足如图所示关系． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若该班每年需要纯净水 380 桶，且 a 为 120 时，请你根据提供 的信息分析一下： ?该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料， 哪一种花钱更少？ （3）当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？ 从计算结果看，?你有何感想（不超过 30 字）？ ?点评? 这是一道与学生生活实际紧密联系的试题， 由图象可知， 一次函数图象经过点（4，400）（5，320）可确定 y 与 x 关系式， 、 同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生 个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣． 二次函数与图象信息类有关的实际应用问题 例 3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预 计从 5 月 1?日起的 50 天内， 它的市场售价 y1 与上市时间 x 的关系可 用图（a）的一条线段表示；?它的种植成本 y2 与上市时间 x 的关系可 用图（b）中的抛物线的一部分来表示． （1） 求出图 （a） 中表示的市场售价 y1 与上市时间 x 的函数关系式． （2）求出图（b）中表示的种植成本 y2 与上市时间 x 的函数 关系式． （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿 色蔬菜既不赔本也不赚钱？79（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）?点评?本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、 读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关 键． 第六章三角形 中考要求及命题趋势 1、 、线段的和与差及线段的中点； 2、角的概念、分类及计算； 3、对顶角、余角、补角的性质及计算；度、分、秒的换算； 4、垂线、垂线段、线段的垂直平分线的定义及性质； 5、直线平行的条件的应用； 6、平行线的特征的应用。 7、三角形三边的关系；三角形的分类 8、三角形内角和定理； 9、全等三角形的性质 10、三角形全等的条件 11、三角形中位线的定义及性质 12、等腰三角形的性质 与条件；8013、直角三角形的性质与判别条件 应试对策 1、认真掌握好线段中点的定义及相关表示方法，对顶角 、邻补角、 余角的性质。 2、认真掌握垂线，线段 垂直平分线的性质与判别；平行线的性质与 判定方法 3、熟练掌握与三角形有关的基本知识和基本技能；三角形全等的性 质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质与判别条件，并需注 意将有关知识应用到综合题的解题过程中去， 如把某些问题化为三角 形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等的三角形等。 第一讲 几何初步及平行线、相交线 ?回顾与思考?〖知识点〗 两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的 和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、 钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距 离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、81命题、定义、公理、定理 〖课标要求〗 1． 了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点， 解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、 直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质， 角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示 法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形； 2． 了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线 段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角 的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌 握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内 错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相 等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行 〖考查重点与常见题型〗 1． 求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如：已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是 利用平行线的判定与性质证明或计算，常作为主要定理或公 理使用，如： 如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED 平分∠BEF，82AEB 交 CD 于 D，则∠EDF＝ ?例题经典? 角的计算 例 1 ． 如 图 所 示 ， ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=_________． 解析：这类题是近几年中考的常}