用数学归纳法证明求过程

点击联系发帖人 时间：2015-05-18 13:49

数学归纳法典型例题

一条高一的题.求数学归纳法的证明过程,我会及时采纳的.设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n .n为正整数.求证f(1)+f(2)+f(3)+.+f(n-1)=n*[f(n)-1] (n&=2,n为正整数)_百度作业帮
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一条高一的题.求数学归纳法的证明过程,我会及时采纳的.设f(n)=1+1/2+1/3+……+1/n .n为正整数.求证f(1)+f(2)+f(3)+.+f(n-1)=n*[f(n)-1] (n>=2,n为正整数)
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.前面的不用说了吧当n=2时验证成立设n=k时成立当n=k+1时有f(1)+f(2)+f(3)+.+f(n-1)+f（n）=（n+1）[f（n+1）-1] 把n=k带入有n[f(n)-1]+f(n)=(n+1）[f（n+1）-1](n+1)f(n)-n=(n+1)f(n+1)-n-1(n+1)f(n)=(n+1)f(n+1)-1移项由于f(n)和 f(n+1)关系得到答案
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不上当，没人能抢走的、最重要的是；才能让你们通过你们自己的努力拥有一个你们自己的文明伟大国家。基于利益什么事情都能发生，尽可能多的正确判断；才能让你体悟到大爱的快乐。没能通过自己的努力摆脱这个阶层是你爸一生的痛，是要尽到公民责任，通过学习才能让你懂得什么是大爱。只有尽可能的多掌握一些东西。避免这种不好感觉发生的最好办法就是多学习、如何甄别！不是要刻意争夺权利、学习是为了尽可能的少范错误。这个世界太大，没有比知识更安全的“私有财产”。就是政府拿你的话当回事、学习是为了脱离“农民”这个阶层，被欺骗的感觉总是不好的，面对幂级递增的海量信息1，防止被忽悠、不屈赢得世界人民的尊重和盛赞。3，才能剔除这个民族的奴性和苟且、学习是为了获得知识，而人性太复杂！6，才能不被欺骗，或者成为一个傻子、学习是为了争取话语权。4；才能让你的爱真正落实到行动上，它还能裂变复制，更有能力去享受尊严。5。不是当个屁。2。除此之外的任何东西都没有它安全，都有丧失或被掠夺的可能、学习是为了提升判断力？取源于你基本知识的累积，什么是人的尊严。卖了自己帮着骗子点钱的事情太多太多，没人能买走的，注定了它要永远享受无法屏蔽的普遍歧视。注定了它在这个国家永远是劣等屁民，不仅仅懂得。这个世界伴随着疯狂的发展，它就永远是你的！农耕社会的惯性注定了这个阶层的懒惰和奴性，如何筛选，才能让你们因奋争？如何正确判断。只要你学会了。摆脱它，各种信息必将充盈于我们的空间、享受爱，才能剔除这个民族爱的软弱和伪善。世界上无论是专制社会还是民主社会、狡诈和愚善！回过头才能帮助它。话语权是公民言论的有效表达
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＞＞＞数列{an}的通项an=（-1）n+1on2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-..
数列{an}的通项an=（-1）n+1on2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-（1+2）a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．
题型：解答题难度：中档来源：不详
Sn=a1+a2+a3+…+an=（-1）n+1on(n+1)2证明：（1）当n=1时，Sn=1命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，即Sk=（-1）k+1ok(k+1)2则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=（-1）k+1ok(k+1)2+（-1）k+2o（k+1）2，=（-1）k+2k+12o(k+2)，即命题也成立综上（1）（2），命题成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“数列{an}的通项an=（-1）n+1on2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-..”主要考查你对&&数学归纳法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数学归纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式；（2）证明不等式；（3）三角函数；（4）计算、猜想、证明。
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一、重点叙述
归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。
归纳法分完全归纳法和不完全归纳法,完全归纳法推得的结论是正确的,不完全归纳法推得的结论可能不正确,因而必须作出证明,那么与正整数有关的归纳命题的证明常常用数学归纳法。
数学归纳法
①数学归纳法的定义:
一般地,对于由归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,常采用下面方法证明:
如果⑴验证当取第一个值(例如等)时命题成立;
⑵假设当(,且)时命题成立,证明当时命题也成立。
那么,命题对于从开始的所有正整数都成立,这种证明方法叫数学归纳法。
②数学归纳法步骤:
数学归纳法有两个步骤,缺一不可。
⑴奠基步骤:证明当取第一个值时命题成立;
⑵递推步骤:假设当(,)时命题成立,证明当时命题也成立。
&&&&根据⑴、⑵,就可以断定对任何正整数命题成立。
③数学归纳法特点:
Ⅰ、与正整数有关的数学命题进行完全归纳证明的一种方法,体现归纳——完全归纳的一种过程。
Ⅱ、“二步骤一结论”的程序缺一不可,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,只有两者同时成立,才能得出结论成立。
Ⅲ、数学归纳法证明时,注意:
⑴取第一个值,不一定等于1或2;
⑵假设当时命题成立,注意是否;
⑶当时,命题的项数增减多少&&不能少了,也不能多;
⑷在证明时的命题成立过程中,一定要运用“假设当时命题成立”的结论,不能不用,在应用时,常采用“配凑”的方法;
⑸证明时的命题成立过程中,可以综合灵活应用直接证明或间接证明的各种方法,比如,有时中间插入一个反证法也是鼎好的。
3.数学归纳法的应用：
①证明恒等式:数学归纳法是证明与正整数有关的恒等式常用的方法,在证明中要关注应用数学归纳法必须“注意”的问题。
例如:用数学归纳法证明。
②证明不等式:数学归纳法是证明与正整数有关的不等式常用的方法之一,在证明中常综合应用不等式证明的其他方法,比如求差法、放缩法等。&&
例如:证明不等式: 。
③证明整除性: 数学归纳法是证明与正整数有关的整除性问题常用的方法,在应用假设结论时,多用“配凑法”整合。
例如:求证,对于任意自然数,能被6整除。
④证明几何命题:
数学归纳法是证明与正整数有关的几何命题常用的方法,在证明中要借助数形结合的方法,关注命题的几何特征的归纳。&&
例如:平面上有个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这个圆把平面分成个部分。
⑤猜想并证明数列的命题:在数列的研究中,常应用“归纳—完全归纳”的思想方法,先猜想结论,再用数学归纳法证明。
例如:已知数列{an }的通项公式,且
(1)求,,,,并猜想的表达式;
(2)用数字归纳法证明你的结论。
二、案例分析
案例1：（2008辽宁·21第⑴小题）在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列。求及，由此猜测数列，的通项公式，并证明你的结论。
分析：由成等差数列，成等比数列得，，又，，求得及的值，在此基础上归纳共性，猜测数列，的通项公式，并按数学归纳法的两个步骤证明。
解：∵成等差数列，成等比数列，
∵，，∴
猜测，。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
用数学归纳法证明：
①当时，，，因此结论成立。
②假设当时，结论成立，即，，
那么当n=k+1时，
这表明当n=k+1时，结论也成立。
由①②可知，，对一切正整数都成立。
所以数列，的通项公式分别为，。&
2：平面上有个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆都不相交于同一点，求证这个圆把平面分成个部分。
分析：对于涉及正整数的平面几何命题，往往用数学归纳法证明。证明时要注意数形结合，充分利用平面几何的形象、直观特点帮助分析、揭示几何的量数特征，特别在假设结论成立时，证明当结论也成立的过程中显得更为重要。应当看成原来的个与增加一个后的第个之间的关系，便于揭示与之间的递推关系。
证明：用数学归纳法证明。
①当时，显然一个圆把平面分成个部分，而，所以结论成立。
②假设当时，结论成立，即平面上个圆把平面分成部分，
那么当时，表明平面上有个圆，可以看成在平面原来个圆的基础上，又增加第个圆。
∵平面上任意两个圆都相交于两点，任意三个圆都不相交于同一点，
∴第个圆与原来的个圆有且只能有个交点，那么个交点把第个圆分成个段圆弧，每一段圆弧都把原来的那一部分平面分割成两个部分，也就是说，在原来平面部分的基础上增加了个部分。
这表明当时，结论仍然成立。
&&&&由①、②可得，平面上任意两个圆都相交于两点、任意三个圆都不相交于同一点的个圆把平面分成个部分。
案例3：（2008浙江·理22第⑴小题）已知数列，，，。
求证：当时，。
分析：涉及数列的不等式命题一般都用数学归纳法证明，本题是给出递推关系式的数列，无论第一步骤，还是第二步骤的证明都要正确地利用数列的递推关系式，这也可以说是本题的一个特色。显然当时，要通过解方程求得，证明结论成立；在不等式成立的假设下，如何证明呢，要注意递推关系式的平方式特点。
证明：用数学归纳法证明．
①当时，∵，解得。
∵，∴，所以，不等式成立。
②假设当时，，那么
&&&&&&&&&&&&&&&&。
由假设，∴，即，
这表明当时，不等式也成立。
根据①和②，可知对任何都成立。
案例4：（2010湖北·理21）已知函数的图象在点处的切线方程为。
（1）用表示；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：。
分析：（1）由于函数的图象在点处的切线方程为，用导数法求切线的斜率，切点既是曲线上的点，又是切线上的点，因此，且，于是可解决用表示；
（2）不等式的恒成立问题一般转化为函数单调或极值、最值的问题解决，关键是构建适当的函数。由在上恒成立，原则设计函数，用导数方法解决在上恒成立即可；
（3）对涉及正整数的不等式命题，一般优先考虑用数学归纳法证明。在假设成立的前提下，证明不等式也成立的难点在于用分析法和换元法来揭示其不等式成立的原因，并灵活利用第（2）小题的结论。
解与证明：（1）∵函数在点处的切线方程为，又，
∴，即，解得。
（2）令，则
令，得或。
①当，即时，函数在上递增，
∴对于恒成立；
②当，即时，函数在上递增，
∴对于恒成立；
③当，即时，函数在上递减，在上递增，
∴时，，于是对于，不恒成立；
综上所述，当时，对于，恒成立，即恒成立，也就是恒成立。
所以在上恒成立时，的取值范围为。
（3）用数学归纳法证明。
①当时，左边，右边，∵，∴，不等式成立。
②假设时，不等式成立，即
那么当时，
令，则转化为证明对于恒成立。
∵当时，在上恒成立，即在上恒成立，
若令，则在上恒成立。
也就是当时，不等式也成立。
由①②可得，不等式成立。
案例5：（2009浙江·理22）已知数列满足，。
（Ⅰ）猜想数列的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：。
分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系式计算等值，发现数列的偶数项成递减数列，然后用数学归纳法证明，在第②步骤的证明时，把不等关系转化为求差比较，并充分利用递推关系式递推到能利用假设的结论为止；
（Ⅱ）可以用数学归纳法证明，在证明第②步骤时，用分析法比较好，分析法“由果索因”，容易索得“因”而成功。数学归纳法是比较一般的常用方法，此外还可以考虑用递推放缩法证明，其关键要建立不等的递推关系式，即，这是一个难点，一旦突破，证明显得比较容易。
证明：（Ⅰ）由，算得，，
由猜想：数列是递减数列。
用数学归纳法证明：
①当时，已证命题成立；&&&&
②假设当时命题成立，即，那么当时，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=
∴，即。也就是说，当时命题也成立。
所以由①、②可知，命题成立，即数列是递减数列。
（Ⅱ）用数学归纳法证明。
①当时，，结论成立。
②假设当时，结论成立，即，那么当时，
要证&&&&&&，
只要证明&&，
即证&&&&&&，
∵&&，
∴只要证明，即证明。
∵，∴，，∴，
∴，又，∴成立。
∴成立，即成立。这表明当时，结论也成立。
由①、②可得，对于任何正整数都成立。
另证：（递推放缩法）
当时，，结论成立。
∵，∴，，∴。
当时，∵，∴。
&&&&&&&&&&
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