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泛时空系统价值论创始人
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本帖最后由 wanghaidong918 于
08:24 编辑
阅读了有关于“我”的理论，从佛学、道学到现代的西方心理学，没有一个理论的描述是对于“我”这个概念更加让自己感到满意的，因此，我觉得自己有理由承担起这个责任来将它们进行更加科学的细化、分析，明确它们之间的关系。在下面将对于“我”这个概念进行分解，它们分别从空间的角度分析是：自我、客我（本我、超我、宇我）、真我、妄我、假我，关于从时间的角度分析的“我”正在整理之中。注意：这里我不做似是而非的概念描述解说，而是重在把它们之间的关系进行对比区别，主要是从数学逻辑方面，因为，我发现许多人孤立的形而上的似是而非的概念描述往往并不能把一个概念描述清楚，相反，是越描述越模糊，说了等于没有说，因此，往往陷入神秘主义之中，事实上，一门实用的理论不在于故弄玄虚而是至于明确是非，近年来哲学的科学化已经成为趋势，而科学化的主要关键就是概念的数学化分析和概念之间的数学化关系的明确，让那些含糊不清的、故弄玄虚的学说和理论见鬼去吧！
下面开始分析
㈠、“生理的我”即生理上的客我（本我——客我的原始层次）。
是“我”肉体（生理上本能的需要）派生出来的潜意识的“我”（ 弗洛伊德称之为“本我”）。是所有“我”的根本，可以说没有这个本我就没有“社会的我”甚至“宇宙的我”， “社会的我”甚至“宇宙的我”都是“生理的我”的扩充扩展开来的体现，越往后面就是越来越大的“我”。所以，这些被放大化的“我”与本我相比是相对比较“虚”的“我”，而“生理的我”则是是相对比较“实”的“我”，可以说没有“生理的我”对于“我”来说一切都是等于零，也就是说不仅仅没有“社会的我”、 “宇宙的我”甚至有没有了“自我”更加不要谈论“真我”。
是以“我”自身的生理需要作为价值对象的立场去实现本能内驱的目的，“生理的我”肉体上的本能需要是客观存在的，不因为心理上的自我意识感觉不感觉得到而肯定与否定它的存在，比如，“我”先天到现在事实上就是一个因为胰岛素绝对不足而血糖过高患有糖尿病的人，直到今天现在这个时候因为拿到医院检查的结果，才知道承认这个事实，可是，由于“我”出生之后与拿到检查的结果之间的时间中自我意识感觉不到，所以，“我”这段时间心理上的“自我”没有意识到“生理的我”是一个患有糖尿病的人，甚至认为自己不是或者没患有糖尿病，站在一个已经知道“生理的我”是一个患有糖尿病的人（作为第三者的医生与拿到检查的结果之后的“我”）的角度来说，“我”之前是一个因为血糖过高而患有糖尿病的人这个事实，是不会因为的拿到检查的结果之前的“我”心理上的“自我”意识认识到与否而存在或者不存在的。“生理的我”主要是由先天的生理上基因的DNA程序和身体的各种对于神经系统具有深刻影响作用的激素的内分泌状态等等决定，所以说它是由生理上本能的需要内驱的，但是，随着人类对于科学技术尤其是基因技术和激素的内分泌状态的可控性技术的发展的完善，这种“后天” 的技术“先天”状态 的影响分量也好日益加强；
载入中......
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㈡、“社会的我” 即社会上的客我（超我——客我的社会层次）。
是“我”在社会上的社会角色、社会道德法律等等需要而派生或者生化出来的“我”（弗洛伊德称之为“超我”）； 是以“我”作为一个社会身份的人的客观需要作为满足对象的立场去实现价值目的，“社会的我” 在社会上的需要也是客观存在的，不因为心理上的自我意识感觉不感觉得到而肯定与否定它的存在，比如，“我”是一个企业的老总，每一天为了把自己企业的商品销售出去，都必须用车运输到市场上去销售，“我”的企业由于没有购买汽车而必须出钱请别人的汽车给自己的企业运输到市场上去销售，去年一年下来仅仅运输费用就花了15万元，可是，今天，“我”作一个比较科学的计算，原来发现“我”如果去年自己的企业购买汽车运输的话，包括购买一辆寿命还可以用5年左右的二手货车，包括雇用司机与购买汽车保险、汽油费用、汽车保养等等总共也就10万，除了可以节约5万元，这辆二手货车的寿命还可以剩余4年左右，请问，作为一个企业的老总，我是不是去年确实应该作出后面一种决策而不应该作出前面一种决策呢？可见，“社会的我”的需要和价值配置的合理与否也是有其客观依据的，它也是绝不仅仅是一种自我意识认识到与否而存在或者不存在的！以上的分析是从 “我” 的社会事业方面讨论这个社会角色的“我”，但是，这个“我”只是形形色色的不同社会角色之中的其中一个，并不能代表所有“社会的我”，因此，我们如何一个人在社会之中都在扮演着不同“社会的我”，比如，一个人在他的老婆面前是一个丈夫，在他的孩子面前是一个父亲，在他的父母面前是一个是一个儿子，在他的兄弟姐妹面前是一个兄弟，在他的上司面前是一个下属，在他的下属面前是一个上司。。。。。。层层叠叠的社会关系网使这个人受到自己在不同人面前所扮演的社会角色的制约。可见，做人是多么的不容易。
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本帖最后由 林汉扬 于
14:21 编辑
㈢、“宇宙的我”即宇宙之中的客观的我。
当“我”作为以宇宙之中的立场作为价值观察对象的“客我”时，“我”已经不再仅仅是把“我”看作为一个生理上个体的“人”也不再仅仅是社会的“超我”，而是作为更加广泛的宇宙时空之中的一份子， 是宇宙不可分割的一个子系统，是以这个超越生理上个体的“人”也超越社会的“超我” ，用宇宙当作为自身价值关系事件发生过程的参照系，考察本我与宇宙之中的其他系统之间的关系，于是一种站在更加高层次、高境界来观照、反省观察自身的人生观、世界观产生了。当观察者作为一个摆脱了此时此刻的本我的生理和自我的心理的执着，进入一种 “忘我”、“无我”的境界，“我”即是“物”，“物”即是“我”，以天人合一价值立场出发泛化为宇宙立场的“客我”观察自身与宇宙之间的价值关系，只有这样才能够摆脱这种执着于单一角度和视野的分析方法，从不同的角度和视野来分析人与社会甚至一切宇宙事物之间的客观价值关系问题，不会因为“只缘身在此山中”而“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。”最后居然，“不识庐山真面目”。这体现了事物价值的相对性和相对性原理。
老子说： “以身观身，以家观家，以乡观乡，以邦观邦，以天下观天下。”而我这种“宇宙客我观”是“以身观身，以家观身，以乡观身，以邦观身，以天下观身。”的观照、反省观察自身的方法。“我”本来就是这个大宇宙之中的小宇宙，大系统之中的子（小）系统。
一个人的思想可以“跳出三界来，不在五行中”，实现心的自由，神的自在。从而能够摆脱这种“自我的执着心”。但是，“我身”这个本我却是人在江湖身不由己的，是难以逾越自身所处的环境而难以违背大环境的价值发展趋势的。层层叠叠的社会价值、自然价值关系网使“我”受到自己在不同人面前所扮演的社会角色的制约，以及受到自身与自然之间的价值规律的种种限制，正所谓：“天网恢恢，疏而不失。”一个人在娘胎里被生出来之前，其实许许多多的迎接着他们的各种各样的价值关系网，其实早就已经形成了，是一个人的身体难以违背的客观存在，“我”之所以是“我”，而不是别人，是因为“我”的生理上的DNA结构和生理上的其它人体系统结构尤其是神经中枢系统以及所处的环境价值关系系统结构所造就了此刻的“我”，如果说有一个人与“我”的DNA结构和生理上的其它人体系统结构尤其是神经中枢系统以及所处的环境价值关系系统结构等等完全一样，那么，那个人肯定是“我”自身。事实上，这就是“命”!
可见，宇我就是“我”作为浩瀚宇宙系统某个层次某个类别的一个物种之中一个成员所扮演的那个角色，是宇宙网络之中的一个网结的功能角色，是从最高层次的宇宙角度来进行定位的那个事实存在的“我”。这个概念表达的是客观个体“我”与宇宙系统的关系，是宇宙系统之中的一分子，提出宇我即是要从宇宙的层次和立场出发定位主体自己，明白自身不仅仅是以个人孤立的自己、也不仅仅是以自己身处的社会系统，而是以宇宙系统之中的一分子而存在。
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本帖最后由 林汉扬 于
00:12 编辑
㈣“自我”与“客我”的矛盾
写到这里又使我想起老子道德经二十章的文字：“唯之与阿，相去几何？善之于恶，相去若何？人之所畏，不可不畏。荒兮，气未央哉！ 众人熙熙，如享太牢，如春登台。我独泊兮，其未兆；沌沌兮，如婴儿之未孩。飕飂兮，若无所归。众人皆有余，而我独若遗。我愚人之心也哉！ 众人昭昭，我独昏昏；俗人察察，我独闷。淡兮其若海，飂兮若无止。众人皆有以，而我独顽且鄙。我独异于人，而贵食母。”每一次我看到这些文字就要产生一种莫名的悲伤感，我不知道是为道德经的作者其人理想与现实不协调的遭遇悲伤呢，还是为自己的处境所触景生情而产生悲伤呢？或许两者都有吧！
理想与现实就是这样的难以调和一致呀！所以，历代许许多多思想超前的哲学家在自身当时所处的那个时空他们的思想总是被视为异端邪说而不能被社会所接纳，最后都是抑抑而终，难道， “我身” 就不能够使身体与精神、思想与现实、认知与行为合二为一吗！如果说“客我”是一种现实状态的“我”，它是一种“命”的话，那么，“自我”对于 “客我”的感觉、判断、认识、实现的过程可以说就是对于这种“命”的“运作”， “运作”即是控制过程。“自我”的行为结果与“客我”的需求标准之间的关系是：有时候“自我”偏离于“客我”上，有时候“自我”偏离于“客我”下，有时候“自我”偏离于“客我”左，有时候“自我”偏离于“客我”右，“客我”的需求标准是“自我”的行为根本，“自我”的行为必须以“客我”的需求标准为依据，“客我”的需求标准也不是永恒不变的，它也是一个在不断变化的量。
理想是美好的，但是，现实却是残酷的。人生就像一场实验，在不同的时间和空间地点每个人接触到、经历过的事情的内容都是不一样的，但是，就其形式来说却是一样的，都是在付出与收获；不要盼望着真的存在天上掉馅饼的事情发生，但是，也不可能存在：方向正确而努力去走却达不到目的地，可能存在的只能是：你中途熄火停止前进；不要企望自己不付出而让别人来无偿成就你实现成功，只有懂得规则明白别人的需求并且明白如何去满足别人的人，才能够有可能获得别人来成就自己的成功，成功的人正是因为其自我符合了客我。
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【五】、“自我”的概念。
“自我”属于意识范畴，就是心理上的“我”，是本我和外界的中介。是对于上面所说的三种“客我”的感觉、判断、认识、实现的过程之中产生的意识，这种意识是在 “我”与环境进行价值区分时产生的，它的基础就是身体系统之中的神经中枢系统即大脑，大脑是人体身体系统之中的信息反馈和控制系统，负责着人体系统与环境系统的物质、能量、信息生产、交换、消耗、实现的监控、感知觉，并且对于这些信息过程进行着分析、选择、加工、存储、转化、控制等等，而“自我”正是大脑与本我和外界的相互作用的过程中产生的产物。
出生时婴儿的精神知识由生理上的本我构成，这时候混混沌沌如一张白纸，还不具备有明显的自我意识，身体几乎连一些简单的动作都难以控制，慢慢的能够做一些简单的动作和区分自己的身体与环境了，看到什么都想往嘴里塞，但是这时还是困了就睡，饿了就吃，渴了就喝，吃饱喝足了就拉，如果这些没有满足就会大声的哭。这时的意识是“自私的”即坚持本我的目的，以有利于其本能冲动的实现又依据，努力让本我得到满足，于是只便遵照本我的价值现实原则，可以说大人们对于婴儿的这些行为也认为是正常的。
再长大了一些通过父母的训练和与外界打交道之中而开始形成了对于自己的定位，这时，它正视现实、符合社会需要、按照常识和逻辑行事。不再总是看到什么都想往嘴里塞，没有满足就会大声的哭。这时意识是既坚持本我的目的，以有利于其本能冲动的实现又依据，又不让本我与对于外界打交道之中认识到和开始形成的社会行为规范发生冲突，能够逐渐压抑本我的种种冲动和欲望以进行自我保存，另外也尽量使本我得以升华，将其盲目冲动、情欲引入社会认可的渠道。懂得兼让与容忍暂时的不满足，以实现人格上可持续性的长远价值的实现。可见，自我的形成和成熟过程就是这样一个逐步的过程。这个过程实际上就是意识对于客我与环境价值关系的认识与实现的反馈和控制过程，分为三个阶段：①、意识对于生理上的（客观的）本我的认识与实现的反馈和控制过程；②、意识对于社会上的（客观的）超我的认识与实现的反馈和控制过程；③、意识对于宇宙之中的客观的客我的认识与实现的反馈和控制过程。从①、②、③分别是从低到高的过程。
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本帖最后由 林汉扬 于
00:17 编辑
【六】、“自我”与“客我”的对立统一。
　“自我”与“客我”的关系是一个主观与客观的关系，“自我”是心理意识上的“我”，而“客我” 是客观存在的“我”，两者既有对立也有统一。我们常常说“情不自禁”、“力不从心”、“人在江湖，身不由己”“从众行为”等等，其实正是说的“自我”与“客我”的对立关系，当一个人由于身处于某个容易使心理的意识难以控制的具有情色诱惑的“陷阱”之中时，可能会做出一些平时头脑清醒或者理智时所不愿意作出的行为，这时身体容易因为生理上的本我的欲望的驱动，而产生盲目或者缺乏理性的冲动行为，“情不自禁”便是这样；，当一个人由于社会角色与社会地位等等因素而导致他们的行为规范不得不做出一些平时内心深处所不愿意作出甚至谴责的社会行为，比如，有一些人加入某一些具有组织性的帮会之后，由于顾及到种种利害关系而不得不继续从事一些违心的事情，这就是所谓“人在江湖，身不由己”。上面这两个例子前者是“自我”与“本我”的矛盾，后者是“自我”与“超我”的矛盾，两者但是行为的偏差。
任何一个人都不愿意处于“自我”与“客我”的矛盾对立或者不和谐的状态之中，因为，这种状态是不健康与病态的；只有“自我”与“客我”的和谐统一才是人生追求的合理状态，但是，应该如何达到这种状态呢？下面我将解开这个疑问。
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我覺得閣下的超我有點像社會無意識+社會意識；而宇我就有點像集體無意識，也像阿賴耶識。你所說的自我與客我的對立同一所舉的例子，有點像心理學上的趨避衝突。其實“我”這個人格結構，不單單弗洛伊德的理論了，還有霍妮的真實我，自我，理想我。這是不一樣的，當然都是就個體來說。
请多多指教！
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阿賴耶識是佛学关于自我认识的境界状态，这个概念类似于我的泛系统观（可以参考《我的人生观即世界观》、《价值相对性原理》。《从相对主观到相对客观到思想的飞越》等等），可能是我的描述让人产生了误解，
宇我就是“我”作为浩瀚宇宙系统某个层次某个类别的一个物种之中一个成员所扮演的那个角色，是宇宙网络之中的一个网结的功能角色，是从最高层次的宇宙角度来进行定位的那个事实存在的“我”。这个概念表达的是个体“我”与宇宙系统的关系，是宇宙系统之中的一分子，提出宇我即是要从宇宙的层次和立场出发定位主体自己，明白自身不仅仅是以个人孤立的自己、也不仅仅是以自己身处的社会系统，而是以宇宙系统之中的一分子而存在。
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本帖最后由 林汉扬 于
14:30 编辑
【七】“自我”可以经过下面几个步骤认识、调节接近“真我”
自我认识：了解自己是一个什么样的人，我是谁？包括生理、心理、社会、自然环境等等，了解自己需求，明白自己需要什么？与社会、自然环境系统的价值关系等等。
自我比较（价值标准）：在追求价值时，建立一种客观合理的价值标准，并且以这种价值标准作为参照系来比较那一种方法（案）更加具有可行性。
自我选择：在衡量、比较更加具有可行性的方法（案）之后就是进入价值选择阶段，以更加能够快捷、更加最小成本、最大效益的可能实现预期为选择的依据。
自我实现 ：我认为自我实现就是自我价值的实现。但是，自我价值的实现有两个方面：①、是以自身的价值为方向，实现的是健康与幸福；②、是以他人、社会（也可以包括自身）的价值为方向，实现的是事业方面的成功；当两者统一是表现是：自我把发挥自己的潜力，表现自己的才能的过程之中也实现了自身的健康与幸福，当自身的潜力最大化充分发挥并表现出来时，自我感到最大的满足。
自我陶醉（肯定） ：当认识到自我的行为是正确的，符合于价值标准的时候，自我对于这种正确的行为的自我肯定或者激励，但是，当这种自我肯定或者激励不要过度，否则就会使自己沉醉于某种事物或境界而盲目地加以欣赏。这样往往会不能够真正认识真实的自己，掩饰了不足的一面，所以恰当的自我肯定和激励是应该的，但不要过度。这样也会导致自大感的产生和盲目自信过头。当自我意识到有这种情况时就应该进行自我批评（否定）以纠正自己思想和行为上的这种缺点﹑错误。
自我批评（否定） ：自觉地针对自己思想和行为上的缺点﹑错误﹐作实事求是的检讨﹐以期达到改正的目的。这个过程是否定之否定的过程，但对于自己思想和行为上的缺点﹑错误不要过度放大化以惩罚自我，这样也会导致自卑感的产生。
自我调节 ：其实，严格来说自我陶醉（肯定）与自我批评（否定）都是自我调节，这两种自我调节只有是认识上的自我调节。但是，在这里的自我调节是指个体认知发展从不平衡到平衡状态的一种动力机制，主要是情绪上的自我调节。
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【八】“自我”与“客我”的同一就是“真我”
什么是“真我”的境界？就是精神和形体、肉体生活与精神生活、潜意识与意识、本我与自我和超我或者客我或者生理上的需要与心理学和社会与自然的和谐天人合一的境界！
获得健康与幸福和成功方法，我认为可以通过两个方向：一种是内求，主要是放下过度的自我（国学称之为识神），顺应合理的本我（国学称之为元神）需求的满足，这是进入一种身体由自律神经系统主导的潜意识活动的本我（元神）状态，中枢神经系统主导的显意识的自我（识神）在慢慢引导、说服、催眠自己身体感觉器官和感受器放弃监控身体的实体器官（比如，五脏六腑）之间的物质、能、信息量交换进入自组织、自律状态的过程，这个过程其实也是显意识的自我（识神）在慢慢逐渐放弃自己对于身体的控制权（识神退位）的过程，从而发挥自身的整体的自我调节和修复机制来达到身心健康与幸福的目的；总是使自己的行为生产供给量=消费使用量、消费使用量=（生理上的）必要需求量，知道自己什麽时候口渴了就喝水，什麽时候饥饿了就吃饭，什麽时候困了应该几点钟就睡。。。。。。那么，他的意识层次这时便是出离生死烦恼的自在之我。从人体行为科学的角度来说，是生理需要=心理支配下的行为，是知与行的统一。
另一方面是在顺应合理的本我需求的满足的基础上，引导自我选择在社会之中合理的定位，扮演正确的人生角色，与人和谐相处，在社会生活中顺应社会价值规律办事体现出仁义礼智信；在与宇宙自然的相处之中使自我所在的人类社会与和宇宙自然的生态系统之间谐合一。用集体的、社会的、宇宙自然的整体观念思维来思考人生，以集体的、社会的、宇宙自然的需要来作为自我的需要，以超我或者客我（大我）的精神状态出现。
以上，是两个极端的方法，一个是向生理上、潜意识方面、本我上面内求获得人生的健康、幸福的意义；一个是向社会、自然方面、超我或者客我（大我）的精神状态上面外求获得人生的成功的意义；而“真我”的实现却是要合二为一，实现人生的大圆满！
从经济学角度来说，是生产量=消费量、供给量=需求量、使用量=必要量（在这里这六个量的均衡已经不再是主体作为生理上的本我与心理学上的自我，而是客观上的“真我”），从物质、空间的角度来说，如果是引入时间的话，应该是：生产量/时间=消费量/时间、供给量/时间=需求量/时间、使用量/时间=必要量/时间，就是人得“道”时的状态是边际效用为“o”态，这是一个空间与时间的比率；那么，只要这样才是“真我”的实现！由此可见， “真我” 就是“自我”与“客我” 统一。
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论坛法律顾问：王进律师非负整数_百度百科
自然数（natural number），是非负（目前课本中将0列为自然数）/正整数（1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅。自然数组成的集合是一个可数的，无的无穷集合。数学家一般以N来表示它。（以N*表示除0之外的自然数）自然数集上有和运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作或，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。
非负整数定义
为了给出自然数的严格定义，采用理论提出自然数的5条，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
1是自然数；
每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。n+1也是自然数；
如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n；
1不是任何自然数的后继者；
如果某个集合S具有性质：
若n在S中，则n+1也在S中。
那么S=N。（公理5保证了的正确性，从而被称为归纳法原理）
若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0，并且删除第4条。
第五条是，它确保了在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射）。而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。
戴德金-皮亚诺结构
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的（X,x,f）：
X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的。
x不在f的内。（对应上面&定义&一节的公理4）
f为一。（对应上面的公理3）
若A为X的子集并满足：
若a属于A，则f（a）亦属于A
不符合归纳假设的例子
集合论形式的构造
一个标准的构造方法如下：
然后对于任何集合a，设
。S(a)称为a的后继，S相当于后继函数。
根据，自然数集存在。考虑所有包含0且在S之下封闭的集合，然后取它们的就得到了自然数集。可以验证这些集合是符合皮亚诺公理的。
如此，每个自然数都等同于由所有更小的自然数所组成的，即
在此定义下，在集合n内就有n个元素；而若n小于m，则n会是m的。
非负整数符号
数学家们使用 N 或
来表示所有自然数的。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：
N+ 或 N* 或
而非负整数集合一般如下表示：
集合论者也通常把包括0的自然数集记作的ω（小写的），因为第一个无穷序数便是ω。
非负整数分类
非负整数奇偶性
可分为和。
1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数：能被2整除的数叫偶数。
也就是说，一个自然数要麽是奇数，要麽就是偶数。
注：0是偶数。
非负整数因数个数
可分为、、1和0。
1、质数：只有1和它本身这两个的自然数叫做质数。也称作素数。
2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
3、1：只有1个因数，就是它自身。它既不是质数也不是合数。
4、0和1一样，既不是质数也不是合数。
非负整数性质
非负整数运算
对自然数可以定义和。其中，加法运算“+”定义为：
a + 0 = a；
a + S(x) = S(a+x)， 其中，S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
如此，便可得出交换(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一内：最小的是整数群。
同理，乘法运算“×”定义为：
a × 0 = 0；
a × S(b) = a × b + a
(N,×)亦是交换幺半群；
×和+符合：
自然数的和可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
非负整数带余除法
对于两个自然数a,b，不一定有自然数c使得
。所以若用乘法的逆来定义除法，这个除法不能成为一个（即不符合，即使不允许除以0）。但我们可以用作为替代。
现设a,b为自然数，
，则有自然数q和r使得a=bq+r且r&b。这里的q称为a除以b的，r称为a除以b的。(q,r)是被a,b所唯一决定的。
一个例子是
。这里a=62，b=7，q=8，r=6。
带余除法在中有不少用途，比如说的基本步骤就是带余除法。
非负整数序
当且仅当有自然数使得
而a不等于b时，记作a&b。
在自然数集上符合：
自反性：若a是自然数，则
反对称性：设a,b是自然数。若
传递性：设a,b,c都是自然数。若
完全性：对于任意两个自然数a,b，有且只有下列两种关系之一：
（或者等价的三分性：a&b，a=b，或a&b）
因为符合以上的四种性质，所以
是一个，即每个非空都有一个最小的自然数。此亦是最小数原理的陈述。
此序也和加法及乘法兼容，即若a,b,c都是自然数且
非负整数无限性
自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。
对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于。为了比较两个的元素的多少，的创立者德国数学家引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，现推广到无限集合，即如果两个无限集合之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合，或者说，这两个集合的基数相同。自然数集的基数是，记作
与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可能与自身的有一一对应的关系，例如:
0 1 2 3 4 … （自然数集）
1 3 5 7 9 …（奇数组成的集合）
这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是的。大数学家曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
和自然数集等势的集合有：
由自然数的有限序列组成的集合
可数个合的并集
自然数集的势严格小於的势，即两者间不能建立一一对应（详见）。事实上，实数集的势是
，即自然数集的的势。
非负整数自然数列
0,1,2,3,4,5,…n,... 称为（OEIS中的数列A000027）。
自然数列的an=n。
自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2
自然数列本质上是一个，首项a1=1，d=1。
非负整数历史
自然数由数数而起。自然数最初的表示法是用一个符号代表每个物体，
古巴比伦数字
比如||||可以用来代表四个苹果、或者四块石头、或者四头牛。这种表示方法在（约公元前2000年[1]
）的记数法中有所体现[2]
其後记数系统的创立，使得人们能以更少的符号去表示大数。巴比伦人便是使用的，比如数字75，他们便会以“1，15”表示（当然是用他们的符号）[3]
。但如果观察一下他们所使用的1至59的数，就会发现当中也有的影子。[4]
人也建立了十进制的记数系统，包括个位、十位…直至一百万。
之后进一步的发展是把0视为一个数的想法。由考古成果，我们已知约在公元前700年，巴比伦人就已经使用类近“0”的数字作为，但当0是最后一个时，他们会省去不记。[5]
印度学者于公元628年提出零的观念，一般认为是首个接近现代意义上的0。[6]
后来经传至欧洲。欧洲人起初仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。认为自然数不包含的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是很不自然的。[7]
在中国古代也有0这个概念，但并没有0这个的字样，而是以空位表示。中国古代使用进行计算，在算盘上，以空位表示0。公元1世纪的《》说：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”[8]
（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）以上文字里的“无入”通常被家认为是零的概念。虽然如此，但是当时并没有使用符号来表示零。
非负整数争论
人最早研究数字的抽象特性，例如是古希腊哲学家和的研究。当中更把数视为宇宙之基本。[9]
有许多希腊数学家都不把1当成一个数，因而2就成了最小的数。在数学家所着的《》中也有类似说法。[10]
19世纪末，者给予了自然数几个较严谨的定义。据这些定义，把零对应于，包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。
在全球范围内，针对0是否属于自然数的争论依旧存在。
在中国，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。
国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被ISO/IEC 80000-2取代[11]
）中，从集合论角度规定：符号
所表示的自然数集是包括正整数和0。新修订的ISO/IEC 80000-2也规定：符号N或N所表示的自然数集包括正整数和0。
中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》（GB ）参照国际标准ISO 31-11:1992规定[12]
表示“非负整数集；自然数集”，
={0,1,2,3,...}。而应上标星号或下标加号，记作
．MacTutor History of Mathematics[引用日期]
Michael Hallett．Cantorian Set Theory and Limitation of Size：Oxford University Press，1986：132
．新华网甘肃频道[引用日期]
．MacTutor History of Mathematics[引用日期]
．MacTutor History of Mathematics[引用日期]
．arXiv[引用日期]
．维基百科．[引用日期]
．中国古籍全录[引用日期]
．中国科普博览[引用日期]
．Euclid's Element[引用日期]
．ISO[引用日期]
．人民教育出版社[引用日期]
．中华人民共和国国家标准[引用日期]}