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导读:：本文给出了如何在直角坐标系下将三重积分交换次序的方法，即转化为二重积分在直角坐标系下交换次序的问题，并用实例进行了说明。
论文关键词：三重积分，二重积分，交换次序
　　一、问题的提出
　　二重积分在直角坐标系下交换次序，只需把积分区域分别看成型和型即可。但三重积分在直角坐标系下的次序有6种，它们分别是：、、、、和。由于积分区域是空间区域，往往很难想象，因此借助画出积分区域W的图形，完成三重积分在直角坐标系下交换次序通常不可行，需要新的方法解决这一问题。
　　二、交换三重积分在直角坐标系下次序的理论依据
　　确定三重积分的积分次序通常有两种办法，分别称为&投影法&和&截面法&。有的书上也称为&先单后重&和&先重后单&。
　　所谓&投影法&是指计算一个三重积分可以化为先计算一个定积分，再计算一个二重积分, 此二重积分的积分区域为W在坐标面上投影。
　　设空间闭区域，其中为在平面上的投影。
　　则【1】 &(1)
　　这样上的三重积分转化为上的二重积分。交换三重积分（1）中外层积分的次序，只需交换积分区域为的二重积分(2)中的次序。
　　而&截面法&是指计算一个三重积分也可以化为先计算一个在截面上的二重积分，再计算一个定积分。设空间闭区域，其中是竖坐标为的平面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域中心。
　　则有 .【1】(3)
　　则交换交换三重积分（3）中内层积分的次序，只需交换截面上二重积分（4）中的次序即可，此时应将变量看成常数。
　　若不是相邻交换，可用若干次相邻交换来实现。这样三重积分在直角坐标系下交换次序的问题二重积分，就转化为二重积分在直角坐标系下交换次序，从而问题得以解决。
　　三、举例说明
　　例将按的次序积分，再按次序积分【2】。
　　解：1)按的次序积分，只需交换原积分中的次序。由于是内层积分，，应将上面的积分看成是由截面法得到的，只需交换截面上二重积分的次序即可。
　　把看成常数，
　　由此画出截面（见图1）
　　在平面区域上交换的次序
　　 （5）
　　2）由前面分析知，交换次序时只能做相邻的交换，要换成次序积分，
　　可看成两步组合而来。
　　而已经完成, 即（5）。下面将（5）中外层积分的次序交换。交换外层积分次序，应将此积分看成是由投影法得到的，只需交换投影区域上二重积分的次序即可。
　　，由此画出积分区域（见图2）
　　在平面交换次序得
　　四、小结
　　由以上分析可知：三重积分在直角坐标系交换次序只能做相邻交换，对外层积分交换次序要把积分看成由投影法得到；对内层积分交换次序要把积分看成由截面法得到，从而转化为二重积分的交换次序；而对任意次序的交换，可用相邻交换实现。
参考文献：
[1]同济大学数学系编。高等数学第六版（下册）【M】6版，北京：高等教育出版社，0
[2]詹锐清、卢海敏，高等数学全真课堂（上下册合订本）【M】，北京：学苑出版社，1
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二重积分与三重积分区别
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二重积分与三重积分区别
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Matlab如何求解二重积分和三重积分
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新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
经过学习,知道使用quad函数来求解一次积分；但是碰到二重积分的时候确无从下手。
经过尝试，想利用quad函数分两次完成，可是当积分限出现字母时就不知道怎么做了。
希望可以得到高手的解答，谢谢！
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其实你可以用 int 函数&&能够狠容易地解决 多重积分问题
安得倚天剑，跨海斩长鲸!
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我这辈子只有两件事不会，就是这也 ...
关注者： 26
楼主说的是数值积分，用int是不行的
可以用dblquad函数，举个例子说一下
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
ki=ki+1;& && && && &&&%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki
I =&&1.94
ki = 1038
复制代码
不明白的可以看帮助。
[ 本帖最后由 hehaiwanghui 于
13:02 编辑 ]
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
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详细的可以看：
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
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楼主也可以参考下这个：
关键是arrayfun函数，能帮你解决问题！！
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关注者： 2
学习了！！！
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回复 3# hehaiwanghui 的帖子
谢谢,我明白了!
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回复 3# hehaiwanghui 的帖子
但是我实验过后,发现还是没有明白KI的物理意义,不知道你可否给我说下,谢谢.
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