7402 第二节 二重积分的计算(一)
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7402 第二节 二重积分的计算(一)
第二节二重积分的计算(一)；分布图示；★利用直角坐标系计算二重积分★关于积分限的确定★；★例2★例3★例5★例6；★交换二重积分次序的步骤；★例8★例9★例11★例12；★利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算；★例15★例16；★内容小结★课堂练习★习题10-2★返回；★例4★例7★例10★例13★例14★例17；内容要点；一、在直角坐标系下二重积分的计算；
第二节 二重积分的计算(一) 分布图示★ 利用直角坐标系计算二重积分 ★ 关于积分限的确定
★ 例1★ 例2
★ 例6★ 交换二重积分次序的步骤★ 例8
★ 例12★ 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算★ 例15
★ 例16★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题10 -2
★ 返回 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例17内容要点一、在直角坐标系下二重积分的计算对X?型区域：{(x,y)|a?x?b,?1(x)?y??2(x)}，有??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy
(2.2)对Y?型区域：{(x,y)|c?y?d,?1(y)?x??2(y)}，有??Df(x,y)dxdy??dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx.
(2.3)二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分?dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy, 先根据其积分限a?x?b,?1(x)?y??2(x),画出积分区域D（图9-2-13）；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限c?y?d,?1(y)?x??2(y),（3）写出结果?abdx??2(x)?1(x)f(x,y)dy??dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx.三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数f(x,y)的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.例题选讲在直角坐标系下二重积分的计算例1（E01）计算??xyd?,其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区域.D解一
如图，将积分区域视为X―型,??Dxyd????12?x??xydydx??1???2?1y?x???dx?2??12x?2?x31?x4x2?x?1???dx?????1.4?18?22??82解二
将积分区域视为Y―型,??xyd????D2?21?xydxdy???y???2?1x2??y??dy?2?y?2?2?1?2y4?y3?1?2y??dy??y???1.2?8?18??2 例2 计算??yD?x2?y2d?, 其中D是由直线y?x、x??1和y?1所围成的闭区域.解
如图,D既是X―型,又是Y―型.若视为X―型,则111?1?22223/2(1?x?y)dx 原积分??y?x?ydy?dx???1?x?1x3?112131??(|x|3?1)dx??(x?1)dx?.3?1302??1?????若视为Y―型，则??D?y?x?yd??y??1?22??1y?1??x2?y2dx?dy,?其中关于x的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 例3（E02））计算二重积分??xyd?,其中D是由抛物线yD2?x及直线y?x?2所围成的闭区域.解 如图,D既是X―型，也是Y―型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.??Dxyd??????1??2y?22y?x2?xydx?dy???12???2?1y?dy?2?y22y?2?2?1[y(y?2)2?y5]dy1?y443y6?52???y?2y???5. 2?436??18 例4（E03）计算ye??dxdy, 其中D由y?x,y?1及y轴所围. D2解
画出区域D的图形.将D表成X―型区域,得D:0?x?1,x?y?1,??Deydxdy?2?? 1dxeydy.x12因eydy的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将D表成Y―型区域,得D:0?y?1,0?x?y,?2??eDy2dxdy??dy? 1y edx?y2?e 1y2?y???x?dy??0??11y21yedy?ed(y2)?(e?1). 02021y2? 例5（E04）计算解12|y?x|dxdy,其中D为?1?x?1,0?y?1. ??D??|y?xD2|dxdy???(x2?y)dxdy???(y?x2）dxdyD1D2??dx?(x?y)dy??dx?2(y?x2)dy?11x22110?1x1?1141?11??xdx????x2?x4?dx??. ?12?122?15? 例6 计算二重积分形.解
如图，因为D是矩形区域,且ex?y?ex?ey,所以??eDx?ydxdy, 其中区域D是由x?0,x?1,y?0, y?1所围成的矩??D?1??1?y12ex?ydxdy??exdx??eydy??(ex10)(e0)?(e?1).?0??0??? 例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解
成的立体的体积. x2?y2?R2及x2?z2?R2.利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 D?{(x,y)0?y?R2?x2,0?x?R},它的顶是柱面z?R2?x2.于是, V1???DR?xd??22????? R?R2?x2 ?R?xdy?dx???22?R ?R?xy?????o22R2?x2dx??R (R2?x2)dx?23R, 3故所求体积为V?8V1?16R3/3.交换二次积分次序的步骤例8 交换二次积分?1 dx?1?x f(x,y)dy的积分次序.解
题设二次积分的积分限:0?x?1,0?y?1?x, 可改写为:0?y?1,0?x?1?y, 所以 例9（E06）交换二次积分?? 1dxf(x,y)dy?dy 1?x??11?y f(x,y)dx.?y1 dx?2f(x,y)dy的积分次序.xx解
题设二次积分的积分限:0?x?1,x2?y?x, 可改写为:0?y?1,y?x?y, 所以?? 1dxxx2f(x,y)dy?dy ??y1yf(x,y)dx. 例10（E07）证明?dy? a eb(x?a)f(x)dx??(a?x)eb(x?a)f(x)dx a其中a、b均为常数, 且a?0.证
等式左端二次积分的积分限:0?y?a,0?x?y可改写为0?x?a,x?y?a 所以ayaaa??? dy eb(x?a)f(x)dx??dx? xeb(x?a)f(x)dy?? e??b(x?a)?f(x)dy?dx?x??a?a (a?x)eb(x?a)f(x)dx. 例11（E08）交换二次积分?1 dx?2x?x2 f(x,y)dy??dx?122?x f(x,y)dy的积分次序.解
题设二次积分的积分限:??0?x?1,0?y?2x?x2??0?y?2?x?1?x?2,可改写为
0?y?1,1??y2?x?2?y 所以
原式?例12 交换二次积分?dy? 12?y1??y2f(x,y)dx.2a2axdx?0?2ax?x2f(x,y)dy(a?0)的积分次序.解
题设二次积分的积分限:0?x?2a,2ax?x2?y?2ax由 y2?x y?2ax2ay? x?a?a2?y2原式? 例13 计算积分 I?yxedx?0adya?a2?y22y2af(x,y)dx??? ady2aa?a2?y2f(x,y)dx??2a dy2ay22af(x,y)dx.?1/21yy/xdyedx?dy1/41/21/2???yy/xedx. y解
??不能用初等函数表示,?先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:1?1?y?,?24?1??y?1,?2可改写为1?x?y2 y?x?y1?x?1,x2?y?x，所以 2I??1dx21xx2yexdy?11231x(e?ex)dx?e?e.82 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09） 计算围成.解
令g(x,y)?xyf(x2?y2),因为D关于y轴对称,且g(?x,y)??g(x,y), 故222D其中积分区域由曲线与y?1所y?xy[1?xf(x?y)]dxdy,??D??Dxyf(x?y)dxdy?0
I?22??Dydxdy????11dx1xydy?212?4(1?x4)dx?. ?151 例15 计算I?22其中D:4x?y?4. (xy?1)dxdy,??D解法一
先对y积分,积分区域D:?1?x?1??22, ??2?x?y?2?x故I????11dx2?x2?2?1?(xy?1)dy?xy?1?x2?1?2???2?12?x2dx?1?x2?12??4??2?. 4?x2dx??(1?x2)3/2?1?1321包含各类专业文献、应用写作文书、各类资格考试、专业论文、行业资料、7402 第二节 二重积分的计算(一)等内容。　
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02 第二节 二重积分的计... 暂无... 　92 第二节 二重积分的计算 5页 免费 02 第二节 二重积分的计算... 7页 ...2 2 2 2 第一卦限部分是以 D={(x, y)| 0≤y≤ R ? x , 0≤x...您还未登陆，请登录后操作！
有高手能帮我解一下这道高数题吗
上的答案是&&0，1&dy&&y,&y&f(x,y)dx
而我算出的答案却是&&0，1&dy&&0,&y&f(x,y)dx
请问对x积分时的下限到底是0还是y?
应该是：∫&0，1&dy∫&y,√y&f(x,y)dx
这个二重积分的积分区域是直线y=x与y=x^2在第一象限围成的区域，而你所写的是y=x^2、y=1与y轴在第一象限围成的区域，积分区域搞错了。
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二重积分怎么确定积分次序和变换积分次序?为什么要变换积分次序?
二重积分怎么确定积分次序和变换积分次序?为什么要变换积分次序?
当两种积分次序均可计算时,应选择使积分运算更简单的若遇到不可积的函数（即不定积分不能用有限形式表示其结果）时,通常要交换积分次序．被积函数中若含有抽象函数,则一般应交换积分次序
怎么改变？怎么做？交换x,y就行了吗您的位置： &
二重积分在极坐标系下交换次序的转化
摘　要：本文探讨了二重积分在极坐标系下如何交换次序的问题，并用实例进行了说明。}