函数y=log2(x²+a),若其定义域为R则a的取值范围 若其值域为R则a的取值范围_百度知道化简5^log25(lg²2+lg5/2),25是底数_百度知道求高人解答数学问题，可能关于第四级运算_百度知道这真的&b&不是&/b&一个显然的问题。&br&&br&首先，你需要知道&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&的定义。&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&的定义有好几个。很不幸的是，用最常见的定义：&br&&img src=&///equation?tex=e+%3D+%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D+%5Cleft%281+%2B+%5Cfrac1n+%5Cright%29%5En& alt=&e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n& eeimg=&1&&&br&不容易推出导数的性质。所以要借助另一个等价的定义：&br&&img src=&///equation?tex=e+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D& alt=&e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{1}{n!}& eeimg=&1&&&br&&br&知道了这个定义后，接着要对任意实数，定义函数&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29& alt=&\exp(x)& eeimg=&1&&。&br&&br&首先，对于任何的正实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，级数&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&&&br&的部分和是柯西列，所以级数存在（收敛），所以对任何的实数，都可以定义：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&&&br&因为此级数&b&绝对收敛&/b&。&br&&br&接下来，我们可以证明对任何实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&，有：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%2By%29+%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29& alt=&\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)& eeimg=&1&&&br&这是由于在相关级数绝对收敛的时候，有等式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty++%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%2Bm%3Dk%7D+%5Cfrac%7Bx%5En+y%5Em%7D%7Bm%21n%21%7D+%5C%5C%0A%26+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28x+%2B+y%29%5Ek%7D%7Bk%21%7D%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} &=\sum_{n=0}^\infty
\sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \frac{y^m}{m!} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n+m=k} \frac{x^n y^m}{m!n!} \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x + y)^k}{k!}
\end{align}& eeimg=&1&&&br&&br&从以上等式出发，证明函数&img src=&///equation?tex=x%5Cmapsto%5Cexp%28x%29& alt=&x\mapsto\exp(x)& eeimg=&1&&的连续性，只需证明&br&&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Cexp%28x%29+%3D+1+%3D+%5Cexp%280%29.& alt=&\lim_{x\to 0} \exp(x) = 1 = \exp(0).& eeimg=&1&&&br&由于函数&img src=&///equation?tex=x%5Cmapsto%5Cexp%28x%29& alt=&x\mapsto\exp(x)& eeimg=&1&&对任何&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的函数值都是相应的级数绝对收敛的级数和，所以当我们考虑求&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的极限时，可以&b&交换求极限与求级数和的符号。&/b&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Cexp+%28x%29+%26%3D+%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+1+%2B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B0%7D%7Bn%21%7D++%5C%5C%0A%26+%3D+1%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\lim_{x\to 0} \exp (x) &= \lim_{x\to 0} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to 0}
\frac{x^n}{n!} \\
&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{0}{n!}
\end{align}& eeimg=&1&&&br&&br&从&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%2By%29+%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29& alt=&\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的连续性，通过经典的柯西函数证明，可以推出：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Cexp%281%29%5Ex+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = \exp(1)^x = e^x& eeimg=&1&&。&br&具体如下：&br&1.对所有的自然数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28n%29+%3D+%5Cexp%281%2B1%2B%5Ccdots+%2B1%29+%3D+%5Cexp%281%29%5En+%3D+e%5En& alt=&\exp(n) = \exp(1+1+\cdots +1) = \exp(1)^n = e^n& eeimg=&1&&.&br&2.对所有的有理数&img src=&///equation?tex=q+%3D+%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&q = \frac{m}{n}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=e%5Em+%3D+%5Cexp%28m%29+%3D+%5Cexp%28%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots+%2B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%29+%3D+%5Cexp%28q%29%5En& alt=&e^m = \exp(m) = \exp(\frac{m}{n}+\frac{m}{n}+\cdots +\frac{m}{n}) = \exp(q)^n& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28q%29+%3D+e%5E%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D+%3D+e%5Eq.& alt=&\exp(q) = e^{\frac{m}{n}} = e^q.& eeimg=&1&&&br&3.对所有的实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，通过有理数逼近，以及&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的连续性，可以证明&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = e^x& eeimg=&1&&.&br&&br&同样地，求它的导数的时候，也可以交换求极限与求级数和的符号：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%5Cexp+%28x%2Bh%29+-+%5Cexp+%28x%29%7D%7Bh%7D+%26%3D%5Cexp+%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%5Cexp%28h%29+-+1%7D%7Bh%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cexp%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7Bn%21%7D++-1%7D%7Bh%7D%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7Bn%21+%5Ccdot+h%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty++%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7B%28n+%2B+1%29%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+1+%3D+%5Cexp%28x%29%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{\exp (x+h) - \exp (x)}{h} &=\exp (x) \lim_{h\to 0} \frac{\exp(h) - 1}{h}\\
&=\exp(x) \lim_{h\to 0}\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{h^n}{n!}
&= \exp(x) \lim_{h\to 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{h^n}{n! \cdot h} \\
&= \exp(x)\sum_{n=0}^\infty
\lim_{h\to 0} \frac{h^n}{(n + 1)!} \\
&= \exp(x) \cdot 1 = \exp(x)
\end{align}& eeimg=&1&&&br&这就证明了&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的导数等于其自身。
这真的不是一个显然的问题。 首先，你需要知道e的定义。e的定义有好几个。很不幸的是，用最常见的定义： e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n 不容易推出导数的性质。所以要借助另一个等价的定义： e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \…
e的物理意义在于它是某些无穷递归操作的一个极限，比如，你在银行里存钱，那么，假设银行每时每刻都要跟你算复利的话，这个极限将会收敛到exp(p)，其中，p是利率，具体论述可以看这篇文章&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A//www.fuzihao.org/blog//%25E5%%25E4%25BA%258Ee%25E7%259A%%E8%25A7%25A3/& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&关于e的理解 | 切问录&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
e的物理意义在于它是某些无穷递归操作的一个极限，比如，你在银行里存钱，那么，假设银行每时每刻都要跟你算复利的话，这个极限将会收敛到exp(p)，其中，p是利率，具体论述可以看这篇文章
&p&&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 是数学里面重要的无理数， &img src=&///equation?tex=e%5Capprox+2.718& alt=&e\approx 2.718& eeimg=&1&& 对于认识 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 一个专用的符号？是因为 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 在数学中有着各种特性， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 可以揭示出 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&本身的一些特性。&/p&&p&&strong&根据指数函数的特性&/strong&&/p&&p&同底指数乘法有一个特性： &img src=&///equation?tex=a%5E+b+a%5E+d+%3D+a%5E%7Bb%2Bd%7D& alt=&a^ b a^ d = a^{b+d}& eeimg=&1&& 。那么对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& 而言，设 &img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 为常数，&img src=&///equation?tex=cf%28x%29+%3D+c+a%5E+x+%3D+a%5E%7Blog_+a+c%7D+a%5E+x+%3D+a%5E%7Bx+%2B+log_+a+c%7D+%3D+f%28x+%2B+log_+a+c%29& alt=&cf(x) = c a^ x = a^{log_ a c} a^ x = a^{x + log_ a c} = f(x + log_ a c)& eeimg=&1&& ，即 &img src=&///equation?tex=cf%28x%29+%3D+f%28x+%2B+log_+a+c%29& alt=&cf(x) = f(x + log_ a c)& eeimg=&1&& ：&img src=&/e3b8d7d8d49ded9dc80917_b.png& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&/e3b8d7d8d49ded9dc80917_r.png&&&/p&&p&了解了指数函数这个特性之后，我们观察下指数函数的导数（切线斜率）：&img src=&/d4ba978a759a284d421b5c24a6a9d364_b.png& data-rawwidth=&871& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&871& data-original=&/d4ba978a759a284d421b5c24a6a9d364_r.png&&&br&&/p&&p&根据上图可以得出， &img src=&///equation?tex=f%27%28x_0+%2B+log_+a+c%29%3Dcf%27%28x_0%29& alt=&f'(x_0 + log_ a c)=cf'(x_0)& eeimg=&1&& ，令 &img src=&///equation?tex=x_0%3D0%5Cimplies+f%27%28log_+a+c%29%3Dcf%27%280%29& alt=&x_0=0\implies f'(log_ a c)=cf'(0)& eeimg=&1&& ，进一步简化形式 &img src=&///equation?tex=log_+a+c+%3D+b+%5Cimplies+f%27%28b%29%3Da%5E+bf%27%280%29& alt=&log_ a c = b \implies f'(b)=a^ bf'(0)& eeimg=&1&&&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& 有 &img src=&///equation?tex=f%27%28b%29%3Da%5E+bf%27%280%29& alt=&f'(b)=a^ bf'(0)& eeimg=&1&& ，进一步有 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3Da%5E+xf%27%280%29& alt=&f'(x)=a^ xf'(0)& eeimg=&1&& 。&/b&&p&----马同学的黑板书&/p&&/blockquote&&p&指数函数这个特性，就是在说明一个事实，&b&指数函数的斜率（导数）由原函数和 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29& alt=&f'(0)& eeimg=&1&& 决定！&/b&&br&&/p&&img src=&/e93d037ff_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/e93d037ff_r.png&&&br&&p&可是说了这么久，还是没有出现 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 啊，是不是我们应该进一步根据 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3Da%5E+xf%27%280%29& alt=&f'(x)=a^ xf'(0)& eeimg=&1&& 去证明让 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 的 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 就是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ？&/p&&p&其实我们完全不需要这么去做，我们关心的只是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 有哪些特性，我们可以反过来定义&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& ，使得 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 的就是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 。&/b&&p&----马同学的黑板书&/p&&/blockquote&&p&所以 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 源于指数函数的特性，并且 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 是个非常特殊的值，使得 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&strong&根据e的定义&/strong&&/p&&p&假设 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3Da%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}a^ x=a^ x& eeimg=&1&& 这个方程成立，我们求解一下，a会等于多少？&/p&&p&由导数定义可得， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E%7Bx%2Bh%7D-a%5E+x%7D%7Bh%7D%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+x%28a%5E+h-1%29%7D%7Bh%7D& alt=&\displaystyle \frac{d}{dx}a^ x=\lim _{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^ x}{h}=\lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以方程就可以表示为， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+x%28a%5E+h-1%29%7D%7Bh%7D%3Da%5E+x& alt=&\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}=a^ x& eeimg=&1&& ，因为 &img src=&///equation?tex=a%5E+x%3E0& alt=&a^ x&0& eeimg=&1&& ，所以两边约分之后可以得到 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+h-1%7D%7Bh%7D%3D1& alt=&\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ h-1}{h}=1& eeimg=&1&& ，简单的移项处理下， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+a%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%281%2Bh%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%7D& alt=&\displaystyle a=\lim _{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}& eeimg=&1&& ，我们令 &img src=&///equation?tex=n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D& alt=&n=\frac{1}{h}& eeimg=&1&& ，可以得到&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+a%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle a=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&& 。&/p&&blockquote&&b&定义 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 为： &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&&&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&在求解 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3Da%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}a^ x=a^ x& eeimg=&1&& 的过程中，我们“自然而然”的遇到自然对数的底 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 。所以，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 因为 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&&strong&根据线性变换的特征向量&/strong&&/p&&blockquote&&b&在线性代数中，对于一个给定的线性变换 &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ，有 &img src=&///equation?tex=Av%3D%5Clambda+v& alt=&Av=\lambda v& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&& 为标量，则 &img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 称为&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的特征向量， &img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&& 成为特征值&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&我们可以扩展下线性变换的定义，满足下列两个条件就可以称为线性变换：&/p&&ul&&li&&p&可加性： &img src=&///equation?tex=f%28x%2By%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29& alt=&f(x+y)=f(x)+f(y)& eeimg=&1&&&/p&&/li&&li&&p&齐次性： &img src=&///equation?tex=f%28ax%29%3Daf%28x%29& alt=&f(ax)=af(x)& eeimg=&1&&&/p&&/li&&/ul&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{d}{dx}& eeimg=&1&& 导数算子很显然符合线性变换的条件，所以导数算子就是线性变换，线性空间的维度扩大到了无穷维。&/p&&p&根据 &img src=&///equation?tex=Av%3D%5Clambda+v& alt=&Av=\lambda v& eeimg=&1&& ，对于导数算子而言，有 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E%7B%5Clambda+x%7D%3D%5Clambda+e%5E%7B%5Clambda+x%7D& alt=&\frac{d}{dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}& eeimg=&1&& ，即导数算子的特征向量（这个时候更多称为特征函数）是 &img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Clambda+x%7D& alt=&e^{\lambda x}& eeimg=&1&& 。&/p&&blockquote&&b&&img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 是线性变换 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{d}{dx}& eeimg=&1&& 特征值 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3D1& alt=&\lambda =1& eeimg=&1&& 时对应的特征向量。&/b&&p&----马同学黑板书&/p&&/blockquote&&p&特征向量是线性变换中的不变量（只有伸缩变换），比如下面的蒙娜丽莎，斜向拉伸之后，你还是认得出来，就是因为图片中有不变的特征向量。&/p&&p&斜向拉伸图片。蓝色箭头代表不变的特征向量。来自维基百科:&/p&&img src=&/a5f0e8bf5c3_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/a5f0e8bf5c3_r.png&&&br&&p&对于导数算子这个线性变换而言， &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 就是其不变的特征向量，有个笑话：常函数和指数函数&img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 走在街上,远远看到导数算子,常函数吓得慌忙躲藏,说：“被它算一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样,我是 &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& !”&/p&&p&假如有一天，《三体》里面的外星人，觉得“二向箔”不过瘾，发明了一个&导数箔&来攻击地球，你唯一的选择就是赶快把自己变成 &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 。&/p&
e 是数学里面重要的无理数， e\approx 2.718 对于认识 e 毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给 e 一个专用的符号？是因为 e 在数学中有着各种特性， \frac{d}{dx}e^ x=e^ x 可以揭示出 e本身的一些特性。根据指数函数的特性同底指数乘法有一个特性： a^ …
&p&&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 是数学里面重要的无理数， &img src=&///equation?tex=e%5Capprox+2.718& alt=&e\approx 2.718& eeimg=&1&& 对于认识 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 一个专用的符号？是因为 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 在数学中有着各种特性， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 可以揭示出 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&本身的一些特性。&/p&&p&&strong&根据指数函数的特性&/strong&&/p&&p&同底指数乘法有一个特性： &img src=&///equation?tex=a%5E+b+a%5E+d+%3D+a%5E%7Bb%2Bd%7D& alt=&a^ b a^ d = a^{b+d}& eeimg=&1&& 。那么对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& 而言，设 &img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& 为常数，&img src=&///equation?tex=cf%28x%29+%3D+c+a%5E+x+%3D+a%5E%7Blog_+a+c%7D+a%5E+x+%3D+a%5E%7Bx+%2B+log_+a+c%7D+%3D+f%28x+%2B+log_+a+c%29& alt=&cf(x) = c a^ x = a^{log_ a c} a^ x = a^{x + log_ a c} = f(x + log_ a c)& eeimg=&1&& ，即 &img src=&///equation?tex=cf%28x%29+%3D+f%28x+%2B+log_+a+c%29& alt=&cf(x) = f(x + log_ a c)& eeimg=&1&& ：&img src=&/e3b8d7d8d49ded9dc80917_b.png& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&/e3b8d7d8d49ded9dc80917_r.png&&&/p&&p&了解了指数函数这个特性之后，我们观察下指数函数的导数（切线斜率）：&img src=&/d4ba978a759a284d421b5c24a6a9d364_b.png& data-rawwidth=&871& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&871& data-original=&/d4ba978a759a284d421b5c24a6a9d364_r.png&&&br&&/p&&p&根据上图可以得出， &img src=&///equation?tex=f%27%28x_0+%2B+log_+a+c%29%3Dcf%27%28x_0%29& alt=&f'(x_0 + log_ a c)=cf'(x_0)& eeimg=&1&& ，令 &img src=&///equation?tex=x_0%3D0%5Cimplies+f%27%28log_+a+c%29%3Dcf%27%280%29& alt=&x_0=0\implies f'(log_ a c)=cf'(0)& eeimg=&1&& ，进一步简化形式 &img src=&///equation?tex=log_+a+c+%3D+b+%5Cimplies+f%27%28b%29%3Da%5E+bf%27%280%29& alt=&log_ a c = b \implies f'(b)=a^ bf'(0)& eeimg=&1&&&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& 有 &img src=&///equation?tex=f%27%28b%29%3Da%5E+bf%27%280%29& alt=&f'(b)=a^ bf'(0)& eeimg=&1&& ，进一步有 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3Da%5E+xf%27%280%29& alt=&f'(x)=a^ xf'(0)& eeimg=&1&& 。&/b&&p&----马同学的黑板书&/p&&/blockquote&&p&指数函数这个特性，就是在说明一个事实，&b&指数函数的斜率（导数）由原函数和 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29& alt=&f'(0)& eeimg=&1&& 决定！&/b&&br&&/p&&img src=&/e93d037ff_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&575& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/e93d037ff_r.png&&&br&&p&可是说了这么久，还是没有出现 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 啊，是不是我们应该进一步根据 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3Da%5E+xf%27%280%29& alt=&f'(x)=a^ xf'(0)& eeimg=&1&& 去证明让 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 的 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 就是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ？&/p&&p&其实我们完全不需要这么去做，我们关心的只是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 有哪些特性，我们可以反过来定义&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3Da%5E+x& alt=&f(x)=a^ x& eeimg=&1&& ，使得 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 的就是 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 。&/b&&p&----马同学的黑板书&/p&&/blockquote&&p&所以 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 源于指数函数的特性，并且 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 是个非常特殊的值，使得 &img src=&///equation?tex=f%27%280%29%3D1& alt=&f'(0)=1& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&strong&根据e的定义&/strong&&/p&&p&假设 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3Da%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}a^ x=a^ x& eeimg=&1&& 这个方程成立，我们求解一下，a会等于多少？&/p&&p&由导数定义可得， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E%7Bx%2Bh%7D-a%5E+x%7D%7Bh%7D%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+x%28a%5E+h-1%29%7D%7Bh%7D& alt=&\displaystyle \frac{d}{dx}a^ x=\lim _{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^ x}{h}=\lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以方程就可以表示为， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+x%28a%5E+h-1%29%7D%7Bh%7D%3Da%5E+x& alt=&\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}=a^ x& eeimg=&1&& ，因为 &img src=&///equation?tex=a%5E+x%3E0& alt=&a^ x&0& eeimg=&1&& ，所以两边约分之后可以得到 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Ba%5E+h-1%7D%7Bh%7D%3D1& alt=&\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ h-1}{h}=1& eeimg=&1&& ，简单的移项处理下， &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+a%3D%5Clim+_%7Bh+%5Cto+0%7D%281%2Bh%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%7D& alt=&\displaystyle a=\lim _{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}& eeimg=&1&& ，我们令 &img src=&///equation?tex=n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D& alt=&n=\frac{1}{h}& eeimg=&1&& ，可以得到&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+a%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle a=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&& 。&/p&&blockquote&&b&定义 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 为： &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&&&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&在求解 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E+x%3Da%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}a^ x=a^ x& eeimg=&1&& 的过程中，我们“自然而然”的遇到自然对数的底 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 。所以，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E+x%3De%5E+x& alt=&\frac{d}{dx}e^ x=e^ x& eeimg=&1&& 因为 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&&strong&根据线性变换的特征向量&/strong&&/p&&blockquote&&b&在线性代数中，对于一个给定的线性变换 &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ，有 &img src=&///equation?tex=Av%3D%5Clambda+v& alt=&Av=\lambda v& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&& 为标量，则 &img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 称为&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的特征向量， &img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&& 成为特征值&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&我们可以扩展下线性变换的定义，满足下列两个条件就可以称为线性变换：&/p&&ul&&li&&p&可加性： &img src=&///equation?tex=f%28x%2By%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29& alt=&f(x+y)=f(x)+f(y)& eeimg=&1&&&/p&&/li&&li&&p&齐次性： &img src=&///equation?tex=f%28ax%29%3Daf%28x%29& alt=&f(ax)=af(x)& eeimg=&1&&&/p&&/li&&/ul&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{d}{dx}& eeimg=&1&& 微分运算很显然符合线性变换的条件，所以微分就是线性变换，线性空间的维度扩大到了无穷维。&/p&&p&根据 &img src=&///equation?tex=Av%3D%5Clambda+v& alt=&Av=\lambda v& eeimg=&1&& ，对于微分而言，有 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7De%5E%7B%5Clambda+x%7D%3D%5Clambda+e%5E%7B%5Clambda+x%7D& alt=&\frac{d}{dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}& eeimg=&1&& ，即微分的特征向量（这个时候更多称为特征函数）是 &img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Clambda+x%7D& alt=&e^{\lambda x}& eeimg=&1&& 。&/p&&blockquote&&b&&img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 是线性变换 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{d}{dx}& eeimg=&1&& 特征值 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3D1& alt=&\lambda =1& eeimg=&1&& 时对应的特征向量。&/b&&p&----马同学黑板书&/p&&/blockquote&&p&特征向量是线性变换中的不变量（只有伸缩变换），比如下面的蒙娜丽莎，斜向拉伸之后，你还是认得出来，就是因为图片中有不变的特征向量。&/p&&p&斜向拉伸图片。蓝色箭头代表不变的特征向量。来自维基百科:&/p&&img src=&/a5f0e8bf5c3_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/a5f0e8bf5c3_r.png&&&br&&p&对于微分这个线性变换而言， &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 就是其不变的特征向量，有个笑话：常函数和指数函数&img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 走在街上,远远看到微分算子,常函数吓得慌忙躲藏,说：“被它微分一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样,我是 &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& !”&/p&&p&假如有一天，《三体》里面的外星人，觉得“二向箔”不过瘾，发明了一个&微分箔&来攻击地球，你唯一的选择就是赶快把自己变成 &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& 。&/p&
e 是数学里面重要的无理数， e\approx 2.718 对于认识 e 毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给 e 一个专用的符号？是因为 e 在数学中有着各种特性， \frac{d}{dx}e^ x=e^ x 可以揭示出 e本身的一些特性。根据指数函数的特性同底指数乘法有一个特性： a^ …
我觉得如果是初学微积分，最好不要用&img src=&///equation?tex=%5Ctfrac%7Bdy+%7D%7Bdx%7D& alt=&\tfrac{dy }{dx}& eeimg=&1&&，推荐使用&img src=&///equation?tex=f%27& alt=&f'& eeimg=&1&&。因为&img src=&///equation?tex=%5Ctfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&\tfrac{dy}{dx}& eeimg=&1&&看上去更像&img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&&除以&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&，但这样理解并不好（除非你真的知道&img src=&///equation?tex=dy%2Cdx& alt=&dy,dx& eeimg=&1&&含义）。根据定义&img src=&///equation?tex=%5Ctextstyle+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3A%3D%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D%5Cfrac%7By%28x%2Bh%29-y%28x%29%7D%7Bh%7D& alt=&\textstyle \frac{dy}{dx}:=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}& eeimg=&1&&表示的是一个极限，这里&img src=&///equation?tex=%5Ctfrac%7Bdy+%7D%7Bdx%7D& alt=&\tfrac{dy }{dx}& eeimg=&1&&是一个整体的记号，我们并没有定义&img src=&///equation?tex=dy%2Cdx& alt=&dy,dx& eeimg=&1&&表示什么。&br&&br&关于链法则，&img src=&///equation?tex=%5Ctfrac%7Bd+y%7D%7Bd+x%7D& alt=&\tfrac{d y}{d x}& eeimg=&1&&确实比&img src=&///equation?tex=f%27& alt=&f'& eeimg=&1&&更容易理解，但这并不是一个好的记号，可以见Tao在《实分析》一书中的解释：&br&&blockquote&如果把&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&写成&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&，把&img src=&///equation?tex=g%28y%29& alt=&g(y)& eeimg=&1&&写成&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&，那么链法则可写成更具有视觉吸引力的形状：&img src=&///equation?tex=%5Ctextstyle+%5Cfrac%7Bd+z%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdy%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&\textstyle \frac{d z}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&&。但是这个记号可能使人误入歧途（例如把非独立变量与独立变量的区别搞模糊了，特别是对于&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&），并引导人们相信&img src=&///equation?tex=dz%2Cdy%2Cdx& alt=&dz,dy,dx& eeimg=&1&&可以想实数那样进行演算（&b&事实上，我们根本不曾给它们指定任何含义&/b&），而且这样处理它们可以导致进一步的问题。例如，如果&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&依赖于&img src=&///equation?tex=x_1& alt=&x_1& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=x_2& alt=&x_2& eeimg=&1&&，它们都依赖于&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&，那么多变量的链法则断言&img src=&///equation?tex=%5Ctextstyle+%5Cfrac%7Bd+f%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%5Cfrac%7Bd+x_1%7D%7Bdt%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%5Cfrac%7Bd+x_2%7D%7Bdt%7D& alt=&\textstyle \frac{d f}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{d x_1}{dt}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{d x_2}{dt}& eeimg=&1&&，但如果把&img src=&///equation?tex=df& alt=&df& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=dt& alt=&dt& eeimg=&1&&等当实数来处理，这样法则就会让人怀疑。可以把&img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&等想象成“无限小实数”，如果你知道你在做什么的话。但对于那些刚在分析学起步的人来说，我不愿意推荐这种途径，特别是如果希望严格地工作的话。（有一个方法可以把这一切做得严格，甚至对于多变量微积分也是如此，但它需要切向量及导出映射的概念，这两者都超出了本书的范围。）&/blockquote&
我觉得如果是初学微积分，最好不要用\tfrac{dy }{dx}，推荐使用f'。因为\tfrac{dy}{dx}看上去更像dy除以dx，但这样理解并不好（除非你真的知道dy,dx含义）。根据定义\textstyle \frac{dy}{dx}:=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}表示的是一个极限，这里\t…
&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28y%29%29+%26%3D+%28%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%29y%5C%5C%0A%26%3D%28%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%29%5E2y%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7Dy%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%0A%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*}
\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(y)) &= (\frac{d}{dx}\frac{d}{dx})y\\
&=(\frac{d}{dx})^2y\\
&=\frac{d^2}{dx^2}y\\
&=\frac{d^2y}{dx^2}
\end{align*}& eeimg=&1&&&br&&br&参考 &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Notation_for_differentiation%23Leibniz.27s_notation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Notation for differentiation&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(y)) &= (\frac{d}{dx}\frac{d}{dx})y\\
&=(\frac{d}{dx})^2y\\
&=\frac{d^2}{dx^2}y\\
&=\frac{d^2y}{dx^2}
\end{align*} 参考
设随机变量&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&服从指数分布，即&img src=&///equation?tex=X%5Csim+E%28%5Clambda+%29& alt=&X\sim E(\lambda )& eeimg=&1&&，则有&br&&br&1）&img src=&///equation?tex=P%5Cleft%5C%7B+X%3Et+%5Cright%5C%7D+%3D%5Cint_%7Bt%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D+%5Clambda%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda+t%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda+t%7D%5Cquad%28t%3E0%29& alt=&P\left\{ X&t \right\} =\int_{t}^{+\infty} \lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\lambda t}\quad(t&0)& eeimg=&1&&.&br&2)&img src=&///equation?tex=P%5Cleft%5C%7B+X%3Et%2Bs+%5Cbig%7C+X%3Es+%5Cright%5C%7D+%3D%5Cfrac%7BP%5Cleft%5C%7B+X%3Et%2Bs+%5Cright%5C%7D+%7D%7B%5Cleft%5C%7B+X%3Es+%5Cright%5C%7D+%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%28t%2Bs%29%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda+s%7D%7D%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda+t%7D%3DP%5Cleft%5C%7B+X%3Et+%5Cright%5C%7D%2Ct%2Cs%3E0+& alt=&P\left\{ X&t+s \big| X&s \right\} =\frac{P\left\{ X&t+s \right\} }{\left\{ X&s \right\} }=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(t+s)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P\left\{ X&t \right\},t,s&0 & eeimg=&1&&&br&&br&这个性质称为指数分布具有「无记忆性」。
设随机变量X服从指数分布，即X\sim E(\lambda )，则有 1）P\left\{ X&t \right\} =\int_{t}^{+\infty} \lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-\lambda t}\quad(t&0). 2)P\left\{ X&t+s \big| X&s \right\} =\frac{P\left\{ X&t+s \right\…
&img src=&///equation?tex=x%2B2x%5E2+%5Csin%28%5Cfrac+1+x%29& alt=&x+2x^2 \sin(\frac 1 x)& eeimg=&1&&
x+2x^2 \sin(\frac 1 x)
要想弄明白导数的严格定义，需要先了解数学上的“极限”这一概念。不巧这个概念很难用几句话说清楚，不仅因为它涉及的情况很复杂，也因为它非常反直观，甚至于在数学发展史上，围绕极限这一概念也有过很长时间的争论。所以我干脆不去说它了。你现在是高中，那应该知道&br&0.99999....
= 1&br&这个解释足够理解导数了。&br&&br&导数，通常是‘导函数’一词的缩写。一个可导函数的导函数，描述该可导函数在定义域上每一‘点’的变化‘趋势’。&br&&br&上面加引号的‘点’和‘趋势’，都需要从极限的角度去严格解释，因此这里也省略了。&br&&br&举个例子，函数f(x)=x的导数（导函数）是常量1，换句话说，f(x)的导数在定义域内不变。&br&&br&1.为什么不变？因为f(x)的‘变化’是不变的，它以同样的速度随着x的增加而增加！从图像上来看就是一条斜向上的直线。&br&&br&2.为什么是1？因为他增长的‘速度’是1.你想一下，x每增大1，f(x)也增大1；x每增大100，f(x)也增大100.&br&&br&很容易发现f(x)=2x的导数是2，f(x)=-x的导数是-1，都是同理。&br&&br&至于更复杂的函数的导数如何求：首先你要判断函数是否连续，在此基础上判断是否可导，然后在用求极限的方法去求一个函数的导数。&br&&br&就像上面说的，一切都是以‘极限’概念为基础。等你学到高三，应该就会学到这部分内容了，以你现在的知识我很难用两句话解释清楚。比如为啥f(x)=sinx的导数是cosx?这就没那么直观了。&br&&br&如果对这个有兴趣，可以学完高一函数知识后，直接去买一本高数教材去看。记住，不要买国内通用的同济大学教材，因为它讲的非常反人类。国外有很多优秀书籍。&br&&br&希望对你有帮助。
要想弄明白导数的严格定义，需要先了解数学上的“极限”这一概念。不巧这个概念很难用几句话说清楚，不仅因为它涉及的情况很复杂，也因为它非常反直观，甚至于在数学发展史上，围绕极限这一概念也有过很长时间的争论。所以我干脆不去说它了。你现在是高中，…
如果我们想定义一个函数使得它的导数等于它自己，即定义函数&img src=&///equation?tex=f%3A%5Cmathbf%7BC%7D%5Cto%5Cmathbf%7BC%7D& alt=&f:\mathbf{C}\to\mathbf{C}& eeimg=&1&&使得&img src=&///equation?tex=f%27%3Df& alt=&f'=f& eeimg=&1&&，那么要如何定义呢？&br&&br&由于&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&可微，于是&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cbf+C& alt=&\bf C& eeimg=&1&&上解析，因此可以将&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在原点处展成幂级数，设&br&&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+a_nz%5En& alt=&f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n& eeimg=&1&&&br&对&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&求导得到&br&&img src=&///equation?tex=f%27%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+na_nz%5E%7Bn-1%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7Dz%5En& alt=&f'(z)=\sum_{n=0}^\infty na_nz^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}z^n& eeimg=&1&&&br&要使得&img src=&///equation?tex=f%27%28z%29%3Df%28z%29& alt=&f'(z)=f(z)& eeimg=&1&&，那么有&img src=&///equation?tex=%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%3Da_n& alt=&(n+1)a_{n+1}=a_n& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3Da_n%2F%28n%2B1%29& alt=&a_{n+1}=a_n/(n+1)& eeimg=&1&&，这样就得到了序列&img src=&///equation?tex=%28a_n%29_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty& alt=&(a_n)_{n=0}^\infty& eeimg=&1&&的递归定义。令&img src=&///equation?tex=a_0%3D1& alt=&a_0=1& eeimg=&1&&(也可以用其他的值)，那么&img src=&///equation?tex=a_n%3D1%2Fn%21& alt=&a_n=1/n!& eeimg=&1&&，因此&br&&img src=&///equation?tex=f%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7Dz%5En%5Cquad+%5Cquad+%281%29& alt=&f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n\quad \quad (1)& eeimg=&1&&&br&由于&img src=&///equation?tex=%5Climsup_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D1%2F%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%21%7D%3D0& alt=&\limsup_{n\to\infty}1/\sqrt[n]{n!}=0& eeimg=&1&&，因此(1)式中的幂级数的收敛半径是&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&，这样就定义了一个函数满足要求。&br&&br&我们把这个在整个&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BC%7D& alt=&\mathbf{C}& eeimg=&1&&上解析的函数（整函数）叫做指数函数，定义&b&复指数函数&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%3A%5Cmathbf%7BC%7D%5Cto%5Cmathbf%7BC%7D& alt=&\mathrm{exp}:\mathbf{C}\to\mathbf{C}& eeimg=&1&&为&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28z%29%3A%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7Dz%5En& alt=&\mathrm{exp}(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^n& eeimg=&1&&&br&根据上面的讨论，我们有&img src=&///equation?tex=%28%5Cmathrm%7Bexp%7D%28z%29%29%27%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%28z%29& alt=&(\mathrm{exp}(z))'=\mathrm{exp}(z)& eeimg=&1&&。指数函数还有另一个重要的性质&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28z%2Bw%29%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%28z%29%5Cmathrm%7Bexp%7D%28w%29& alt=&\mathrm{exp}(z+w)=\mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(w)& eeimg=&1&&。&br&&br&将&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D& alt=&\mathrm{exp}& eeimg=&1&&限制在实数上，就得到了&b&实指数函数&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%3A%5Cmathbf%7BR%7D%5Cto%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathrm{exp}:\mathbf{R}\to\mathbf{R}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%3A%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7Dx%5En& alt=&\mathrm{exp}(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n& eeimg=&1&&&br&定义&b&Euler数&/b&&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&为&br&&img src=&///equation?tex=e%3A%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%281%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D%3D1%2B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%2B%5Ccdots& alt=&e:=\mathrm{exp}(1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots& eeimg=&1&&&br&&br&实指数函数还有另一种表示：&br&&b&命题.&/b&
对于每个实数&img src=&///equation?tex=x%5Cin%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&x\in\mathbf{R}& eeimg=&1&&，有&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%3De%5Ex& alt=&\mathrm{exp}(x)=e^x& eeimg=&1&&。&br&因此对于实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29& alt=&\mathrm{exp}(x)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&&表示同一个函数，这就是为什么&img src=&///equation?tex=%28e%5Ex%29%27%3De%5Ex& alt=&(e^x)'=e^x& eeimg=&1&&。
如果我们想定义一个函数使得它的导数等于它自己，即定义函数f:\mathbf{C}\to\mathbf{C}使得f'=f，那么要如何定义呢？ 由于f可微，于是f在\bf C上解析，因此可以将f在原点处展成幂级数，设 f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n 对f求导得到 f'(z)=\sum_{n=0}^\inf…
其实这个不是你想的那样的。&br&我举个例子：x=2&br&两边对x求导，1=0&br&是不是很荒谬？&br&那么问题在哪呢？&br&实际上，描述应该是这样的：假设f(x)和g(x)，在所研究的一段区间上可导，而且在这个区间上恒满足f(x)=g(x)，那么在这个区间上有f'(x)=g'(x)。&br&这个是显然的。&br&&br&注意一下“恒满足”，就是对区间上任意x0，f(x0)=g(x0)。&br&当然求导之后在这个区间上也就恒满足f'(x)=g'(x)了。&br&&br&首先要确定区间（可以是R，但是并不能是一个点），然后保证“恒”（任意一点）。&br&开头那个例子为什么求导之后错了，留做思考题。
其实这个不是你想的那样的。 我举个例子：x=2 两边对x求导，1=0 是不是很荒谬？ 那么问题在哪呢？ 实际上，描述应该是这样的：假设f(x)和g(x)，在所研究的一段区间上可导，而且在这个区间上恒满足f(x)=g(x)，那么在这个区间上有f'(x)=g'(x)。 这个是显然的…
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。&br&&br&所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。 所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
首先，导数的左右极限和左右导数是两码事。&br&&br&我觉得题主你是没懂什么叫左右导数。如果一个函数的导数可以像你那样画出图像来，那么每一点左右导数的值就是该点导数的值，因为每点都是可导的。&br&&br&更重要的事情是，世界上不存在一个函数的导数是你画的那个样子，根据Darboux定理，导数具有介值性，不存在间断的不连续点，如果在某点导数的左右极限都存在那么必然在这点连续。
首先，导数的左右极限和左右导数是两码事。 我觉得题主你是没懂什么叫左右导数。如果一个函数的导数可以像你那样画出图像来，那么每一点左右导数的值就是该点导数的值，因为每点都是可导的。 更重要的事情是，世界上不存在一个函数的导数是你画的那个样子，…
dy/dx和y’是两码事啊！！！！！！&br&dy/dx不一定等于y’啊！！！！！！&br&&img src=&///equation?tex=dy%3Df%28x%2Bdx%29-f%28x%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28i%29%7D%28x%29%7D%7Bi%21%7D%28x%2Bdx-x%29%5En%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bf%5E%7B%28i%29%7D%28x%29%7D%7Bi%21%7D%28dx%29%5En& alt=&dy=f(x+dx)-f(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{f^{(i)}(x)}{i!}(x+dx-x)^n=\sum_{i=1}^\infty \frac{f^{(i)}(x)}{i!}(dx)^n& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df%27%28x%29%2BO%28dx%29& alt=&\frac{dy}{dx}=f'(x)+O(dx)& eeimg=&1&&&br&只有在你省去后面那些项的时候才dy/dx=f‘(x)&br&&br&有些时候你要保留不止一阶项啊！比如随机微积分里面的Ito's Lemma就要保留两项啊！！！&br&&br&而且y’你都不知道是对谁求得导啊！y=f(x),x=g(t), y'到底是dy/dx还是dy/dt啊！！！
dy/dx和y’是两码事啊！！！！！！ dy/dx不一定等于y’啊！！！！！！ dy=f(x+dx)-f(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{f^{(i)}(x)}{i!}(x+dx-x)^n=\sum_{i=1}^\infty \frac{f^{(i)}(x)}{i!}(dx)^n \frac{dy}{dx}=f'(x)+O(dx) 只有在你省去后面那些项的时候才dy/d…
1）李导数和协变导数的定义都需要两个输入：求导方向和被作用对象。针对被作用对象，李导数和协变导数都是普通的导数算符，即满足线性性和莱布尼兹率，并且均保持被作用对象的截面性（即作用前后均为同一个矢量丛的截面；对于协变导数，一般表述为“协变导数作用后还是张量”）。&br&&br&2）但是，二者对求导方向 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 的依赖差别非常大。先考虑作用在光滑切矢量场&img src=&///equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&上。&br&2.1) 协变导数 &img src=&///equation?tex=%5Cnabla_X+Y%7C_p& alt=&\nabla_X Y|_p& eeimg=&1&&只依赖 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 处的取值。不管 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 附近如何延拓，求导值在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 处都是一样的。或者说协变导数只需要知道 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 一点处的值即可进行。&br&2.2) 李导数 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D_X+Y%7C_p& alt=&\mathcal{L}_X Y|_p& eeimg=&1&& 则依赖 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 附近的行为。因此，要使用李导数，&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 必须是 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 邻域的光滑矢量场，光知道 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 一点处的值是不够的&br&2.3) 从 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D_XY+%3D%5BX%2CY%5D%3D-+%5Cmathcal%7BL%7D_YX& alt=&\mathcal{L}_XY =[X,Y]=- \mathcal{L}_YX& eeimg=&1&&可以看到，&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&是平权的，对应 2.2) 中 &img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 必须也是矢量场。&br&&br&3) 李导数定义来源于流形的光滑结构，是光滑流形自带的算符，作用在与流形光滑结构相关的矢量丛（切丛、余切丛及其张量积，旋量丛）的截面上。协变导数可以在任何矢量丛上定义，但需要额外的人工信息来定义（联络或者平移规定）。&br&&br&4) 李导数和协变导数需要比较（作差）邻近两点上的对象，都必须先把一点处的对象移动到另一点处。前者的移动法则是流形自带（并由&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&诱导）的无穷小微分同胚，后者是无穷小平行移动（人为指定，并隐藏在联络形式中）。&br&&br&5) 李导数总可以恒等变换为相应矢量丛上的某个联络 &img src=&///equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&& 的组合，比如可以取联络为无挠率的 Levi-civita 联络， &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D_XY+%3D+%5Cnabla_X+Y+-+%5Cnabla_Y+X& alt=&\mathcal{L}_XY = \nabla_X Y - \nabla_Y X& eeimg=&1&&。
1）李导数和协变导数的定义都需要两个输入：求导方向和被作用对象。针对被作用对象，李导数和协变导数都是普通的导数算符，即满足线性性和莱布尼兹率，并且均保持被作用对象的截面性（即作用前后均为同一个矢量丛的截面；对于协变导数，一般表述为“协变导…
我就举一个栗子吧&br&&img src=&///equation?tex=y%3D%5Ctext%7Bcos%7Dx+& alt=&y=\text{cos}x & eeimg=&1&&的反函数是&img src=&///equation?tex=x%3D%5Ctext%7Barccos%7Dy& alt=&x=\text{arccos}y& eeimg=&1&&&br&两者的导数分别是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Ctext%7Bsin%7Dx& alt=&\frac{dy}{dx}=-\text{sin}x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%7D& alt=&\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}& eeimg=&1&&&br&他们俩乘起来是多少呢?&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5Ctimes%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D1& alt=&\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dy}=1& eeimg=&1&&&br&谢邀~
我就举一个栗子吧 y=\text{cos}x 的反函数是x=\text{arccos}y 两者的导数分别是\frac{dy}{dx}=-\text{sin}x和\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} 他们俩乘起来是多少呢?\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dy}=1 谢邀~
&br& 首先来说下微分的定义：设f(x)定义在区间(a,b)上，x∈(a,b),给定自变量x的一个增量Δx，得到函数的一个增量Δy，如果有Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，则y=f(x)称在点x可微，函数增量的线性主部AΔx称为函数的微分，记为dy=df(x)=AΔx
&br& 所以d的意义也就知道了
&br& 接着说第二个问题：
&br& 考察函数y=f(x)，其一阶微分dy=f'(x)dx,这时x,dx是独立变量，即dy是x和dx的函数。
&br& d^2 y=d(dy)=(f'(x)dx)'dx=f&(x)(dx)^2=f&(x)dx^2
&br& 这里dx^2=(dx)^2是一种简单记法，不要误解成d(x^2)=2x·dx。在(f'(x)dx)'计算中，&strong&把dx看成常数&/strong&，得到f&(x)dx^2
&br& 而dt之类的是自变量的函数，不是常数，需要写成d^2 t
感谢邀请 首先来说下微分的定义：设f(x)定义在区间(a,b)上，x∈(a,b),给定自变量x的一个增量Δx，得到函数的一个增量Δy，如果有Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，则y=f(x)称在点x可微，函数增量的线性主部AΔx称为函数的微分，记为dy=df(x)=AΔx 所…
谢邀&br&直观的说，李导数和协变导数各自规定了一种比较不同两点的张量的方法，不过内在的精神是相通的。那就是对于时空中不同的两个点，它们两个点上的矢量并不处在一个矢量空间当中，所以是没有办法进行比较的。在平直欧式时空下，之所以可以比较，因为平坦的时空天然的规定了一种平移的方式，所以我们都习以为常并不觉得奇怪。&br&但是在弯曲的时空中，比较不同的两点的矢量（张量类似）通常也需要进行平移，也就是说计算的差值是&img src=&///equation?tex=V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bq%7D-V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bp%5Cto+q%7D& alt=&V^{\mu}|_{q}-V^{\mu}|_{p\to q}& eeimg=&1&&而不是&img src=&///equation?tex=V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bq%7D-V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_p& alt=&V^{\mu}|_{q}-V^{\mu}|_p& eeimg=&1&&. 然后如果利用平直时空下的平移方式，我们会发现导数的变换关系并不满足张量协变律，也就是说利用平直时空中的偏导数算符&img src=&///equation?tex=%5Cpartial_%7B%5Cnu%7DV%5E%7B%5Cmu%7D& alt=&\partial_{\nu}V^{\mu}& eeimg=&1&&不是张量，鉴于张量不依赖于坐标系的特点，通常物理量都应该是张量，所以我们可以凑一项联络项也就是克式符让结果变成张量。联络项加上偏导数项构成了协变导数，其实协变导数就是规定了一种平移的方式，当然联络项的引入使得这种平移和平直的时候是不同的。&br&但是也可以不这么看这个问题，我们还可以找到另外的移动两个不同点的两个矢量的方法。看待时空中两个点之间的变换有两种观点，主动观点认为是点之间的映射，而被动观点认为是点不动，坐标发生了变换。所以当比较坐标系中两个点时，我们可以认为它们是一个点，只不过是在不同坐标系下，这样我们就利用坐标变换，把不同点的两个矢量，看成了一个点的两个矢量。当然可以进行导数运算。这就是李导数。（李导数在微分几何的语言下，利用拉回映射，有更清楚的定义，不过如果没有相关基础也可以跳过）&br&&br&综上，李导数和协变导数就是定义了比较不同两个点的矢量的方式而已，只不过关于移动方式的指定不同。
谢邀 直观的说，李导数和协变导数各自规定了一种比较不同两点的张量的方法，不过内在的精神是相通的。那就是对于时空中不同的两个点，它们两个点上的矢量并不处在一个矢量空间当中，所以是没有办法进行比较的。在平直欧式时空下，之所以可以比较，因为平坦…
&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bd+r%7D%7Bd+%5Cvec+r%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cvec+e_x+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+y%7D%5Cvec+e_y+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+z%7D%5Cvec+e_z%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%28x%5Cvec+e_x%2By%5Cvec+e_y+%2Bz%5Cvec+e_z%29%3D%5Cfrac%7B%5Cvec+r%7D%7Br%7D& alt=&\frac{d r}{d \vec r}=\frac{\partial r}{\partial x}\vec e_x + \frac{\partial r}{\partial y}\vec e_y + \frac{\partial r}{\partial z}\vec e_z=\frac{1}{r}(x\vec e_x+y\vec e_y +z\vec e_z)=\frac{\vec r}{r}& eeimg=&1&&
\frac{d r}{d \vec r}=\frac{\partial r}{\partial x}\vec e_x + \frac{\partial r}{\partial y}\vec e_y + \frac{\partial r}{\partial z}\vec e_z=\frac{1}{r}(x\vec e_x+y\vec e_y +z\vec e_z)=\frac{\vec r}{r}
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