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本帖最后由 chuangni 于
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第9题大于pi已证出，怎么证明函数不超过4啊，请指教，谢谢！
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博士, 积分 3817, 距离下一级还需 1183 积分
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本帖最后由 lisuccessquan 于
15:04 编辑
将中间式子的分母乘过去，再移项，作辅助函数，考虑函数于区间上的最值问题。事实上，不等式的两边均可这样去证明。注意由对称性，我们只需考虑(0,1／2]上的最值问题即可。
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分类讨论.当$a=b$时,通项是什么情况?当$a\neq b$时,求通项,中学方法即可.最后再考虑$e^x$之展开.
Beauty is the first test: there is no pe
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mathjgs 发表于
分类讨论.当$a=b$时,通项是什么情况?当$a\neq b$时,求通项,中学方法即可.最后再考虑$e^x$之展开. ...
最后求完通项是个级数形式，怎么利用指数函数
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博士, 积分 3728, 距离下一级还需 1272 积分
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本帖最后由 mathjgs 于
18:11 编辑
princeton 发表于
最后求完通项是个级数形式，怎么利用指数函数
通项好像是$$b+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!},$$势必要考虑$e^{-x}$之展开.
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本帖最后由 陶哲轩小弟 于
18:40 编辑
mathjgs 发表于
通项好像是$$b+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!},$$势必要考虑$e^{-x}$之展开.
方法就这样，通项求的好像有点问题
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第9题, 设f(x)=4x-4x^2-sinЛx, 则有f(0)=f(1/2)=f(1)=0;
& && && && &&&其导数f'(x)=4-8x-ЛcosЛx, 则有f'(0)=4-Л&0, f'(1/2)=0, f'(1)=-4+Л＜0;
& && && && && &分析f'(x)的零点. 设f'(x)=p(x)-q(x), 其中p(x)=4-8x, q(x)=ЛcosЛx. 所以f'(x)的零点就是直线p(x)=4-8x与
曲线q(x)=ЛcosЛx的交点. 分析p(x)与q(x)的凸性就知道p(x)与q(x)有而且只有三个交点:x1,x2,x3.即f'(x)有而且只有三个零点:
4-8x1-ЛcosЛx1=0, x2=1/2以及4-8x3-ЛcosЛx3=0. 所以可以将f(x)分成四个区域:A(0, x1), B(x1, 1/2), C(1/2,x3),D(x3, 1).f(x)在A与C区域是单调增加的, 而在B与D区域是单调减少的.联系f(x)的零点分布就知道f(x)≥0.
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谢谢楼上诸位高手的指点！
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乞丐, 积分 -1074, 距离下一级还需 1074 积分
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utgarylee 发表于
第9题, 设f(x)=4x-4x^2-sinЛx, 则有f(0)=f(1/2)=f(1)=0;
& && && && &&&其导数f'(x)=4-8x-ЛcosЛx, 则有f ...
请问“分析p(x)与q(x)的凸性就知道p(x)与q(x)有而且只有三个交点”是怎样得出的，能否详细说明一下，谢谢！
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博士, 积分 3981, 距离下一级还需 1019 积分
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我做得好像有点复杂. 直线p(x)与余弦曲线q(x)在区间(0,1/2)最多就只有一个交点, 在区间(1/2,1)也最多就只有一个交点,再加上x=1/2处一个交点,所以总共三个交点.
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2016考研数学大纲解析之不等式证明
来源：新东方网编辑整理
　　2016年考研大纲9月18日公布，第一时间为参加 2016考研的同学们提供信息，同时邀请多位新东方名师对此次2016新大纲做出详细的视频讲解，敬请广大考生密切关注新东方网考研频道及
专题二 不等式证明
　　不等式证明是真题中常考大题的地方，其中2014年的字母不等式的证明题有不少同学就找不到思路。下面我们梳理不等式证明的基本题型以及处理思路。
　　1. 基本思路
　　考虑一道题：证明f(x)&g(x),x属于(a,b)。如何证明呢?能否带入验证呢?即便有愚公移山的精神也不行!因为太行王屋二山再大，体积质量毕竟有限;而(a,b)中的实数确是真真切切的无穷多，所以带入验证的工作成了货真价实的"子子孙孙无穷匮也"。那有什么可行的思路呢?注意到，待证不等式可恒等变形为f(x)-g(x)&0,如果令F(x)=f(x)-g(x),进一步可化为F(x)&0,x属于(a,b)。如何证明一个函数在一个范围恒大于零呢?仅需证明其在该范围的最小值大于或等于0即可。而找一个函数在一个区间(考虑(a,b)对应的闭区间)上的最小值应该不难。
　　好，我们由此得到了证明函数不等式的基本思路：移项构造辅助函数，结合单调性证明该函数的最小值大于等于零即可。具体解题有什么步骤吗?基本步骤如下：1)移项构造辅助函数;2)计算区间端点处的函数值(常有一个端点处的函数值为0，不妨设左端点的函数值为0);3)仅需证明函数单增即可，也即证明导函数大于或等于0对于开区间成立。
　　2.若干变形
　　以上是函数不等式证明的基本思路，真题中有什么变形呢?首先，如果待证的不等式形式较复杂，得考虑先化简：若不等式两边有公因子，考虑约去公因子(考虑公因子的正负对不等号的影响);若待证不等式有分母，考虑去分母;若待证不等式是指数式，考虑不等号两边取对数。
　　其次，在第2)个计算步骤中，若端点函数值不存在，那怎么办?用极限代替即可。再者，"仅需证明函数单增"只是咱们的美好愿望，如果实现不了呢?从图像上看，已知函数在区间左端点的函数值为零，如果函数单增，那么函数在整个区间的图像确实是位于x轴的上方;而如果函数如果不是单增，那图像也有可能位于x轴的上方。换言之，函数单增仅是不等式成立的充分条件。不必担心，若愿望落空，回到最基本的思路即可：证明函数在区间上的最小值大于等于零即可。
　　3. 字母不等式
　　以去年的那道证明题为例，要证的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何处理?以往的真题中出现过x1、x2这些非x的字母。这类不等式统称字母不等式。处理方式出乎意料的简单：把其中一个字母看成常量，另一个字母看成变量(或者替换为x)，字母不等式就化为函数不等式，进而按照函数不等式的处理思路处理即可。赵本山的小品中老虎把乌龟看成穿上马甲的蛇闹出了笑话，咱们现在把字母不等式看成穿上马甲的函数不等式不仅不是笑话，而且是正确的处理方式。
　　4. 积分不等式
　　积分不等式长得比较吓人，但我要套用毛爷爷那句话：一切积分不等式都是纸老虎!这不是盲目自信，而是事实确是如此。积分不等式也属函数不等式，只不过穿上了积分这个马甲。处理思路是函数不等式的思路结合积分的性质。
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四六级英语拓展后使用快捷导航没有帐号？
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一道不等式证明求解
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是不是先应该取对数 后来怎么证
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这是哪里的题呢，没答案么？
要证原式，即证x^n-nelnx&=0,令f(x)=x^n-nelnx
对f(x)求导，无法确定导数符号。继续对其求导，能够判断f(x)的二阶导数大于0，即说明f(x)的导数单调递增。
f(x)的导数在x趋于正0的情况下，为负无穷。f(x)的导数在x趋于正无穷的情况下，当n=1时为1，当n&1时为正无穷，所以f(x)的导数有一个0点，而且这个0点是f(x)的最小值，经计算这个最小值是0，从而得证。
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x^n移过去，就是相当于求函数的最大值
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课程预告，帮学堂出品
求完对数右边就杯具了……
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最小值为什么是零呢
这是合工大2010数学三的题 无答案
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1、先求一阶导数为0的点。
2、该点的二阶导数大于0.所以是最小值
3、最小值带入函数，等于0. 所以函数大于等于0（跟n没什么关系。）
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　　摘要：在考研数学中，不等式的证明也是一个常见考点，并且在解题历程中，许多研友们也感受到并不顺利。所以今天小编汇集了一点不等式的证明题训练，各人快来学习一下吧！
　　历年考研数学中，，不等式的证明这个题型考查频率高达百分之九十以上，同时这也是为数较多的考生极其费解的一类问题。不等式的证明要领有许多，好比操作微分中值定理证明不等式、操作单调性证明不等式、操作极值和最值证明不等式、操作曲线凹凸性证明不等式、操作泰勒公式证明不等式等等，本文主要讨论运用函数单调性证明不等式。
　　单调函数是一个重要的函数类， 函数的单调性应用遍及，， 可操作它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范畴等，而且可使很多问题的求解简单明快。下面主要讨论函数单调性在不等式证明中的应用。
　　在此，提醒各人，不等式证明的要害在于帮助函数的结构。可以直接将不等式右端移到左端结构帮助函数;也可以先将要证的不等式作适当的变形，再将右端移到左端，结构帮助函数，这时候应注意使得变形后的帮助函数的导数容易确定标记。因此，各人在温习备考时需要着重加强帮助函数结构的灵活要领及解题正确率的训练。
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无聊签到天数: 154 天连续签到: 4 天[LV.7]常住居民III
由于基础阶段已经把重要知识点进行系统全面的复习了，对基本题型的训练已经过关了，接下来要重点训练一些常考题型和一些比较困难的题型。考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：　　一、数列极限的证明　　数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。　　二、微分中值定理的相关证明　　微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：　　1. 零点定理和介质定理；　　2. 微分中值定理；　　包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。　　3. 微分中值定理　　积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。　　在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。　　三、方程根的问题　　包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。　　四、不等式的证明　　五、定积分等式和不等式的证明　　主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。　　六、积分与路径无关的五个等价条件　　这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。　　以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。2017汤家凤编写的《考研数学15年真题解析与方法指导》这本书对真题的各个类型进行了详细的分析，并且有详细的答案解析，对我们归纳解题技巧帮助很大，要好好准备哦，加油。
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