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出门在外也不愁数学史上有哪些很有可能成立的公式形式的猜想，突然被某个大数证明该猜想不成立的情况？
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首先,如果某个命题有大数作为反例，那么应该叫做猜想而不是公式，数学上没有严格证明的东西都不能称为公式或者定理。如果来看某些直观上可行但是存在较大的反例的猜想，那么确实是有很多的，例子主要集中在数论方面。例子一些来自这几年的日常收录,一些来自网上收集的资料和一些论坛问答,一些来源于wiki 一些源于Matrix67的博客文章:一些来源于这篇论文另外有一些恶搞的大反例猜想,就不列出了…如抖机灵向猜想：反例：对资料做了整合修改，补充了一些数学上的注记与证明(手打Latex公式和自己写很多证明和补充真心超级累……)几个其他的反例虽然也有整理，比如某些非常接近整数的数还有非常接近整数的拉马努金常数还有非常接近整数的拉马努金常数（来自wiki）（来自wiki）但是考虑到题目要求还是不列出了。(猜想需谨慎，证明有风险)——————分割线————————————————————————1.某中国大学生发现的反例用f(n)表示可以用1和任意多个加号和乘号括号表示出n所用1的最小的个数如,所以,进一步可以知道进一步再来求出:可见f(n)的增长很慢……是否有:,对p为某些数,如素数？不难验证对p=2,3,5,7,11均成立,事实上,对于10万以内的素数其均成立猜想：对p为素数,反例：p = ，f(p) = 1 + f(p-1) 不成立注：当年据说是由广东韶关学院大四学生王骁威发现的一篇报道：一篇新闻评论：(值得一读)2.素数生成公式(某常见编程题)1772 年，Euler 曾经发现，当 n 是正整数时， 似乎总是素数。事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,911, 971, , , , , 1601猜想： n 是正整数时,均是素数反例：n = 40 时,为合数注：有没有可能有一个整系数多项式,使得n为正整数时,均为素数呢？先思考一下……例子:如果为常值多项式，那么P就有可能满足要求,如那么有没有非平凡的例子呢,答案是没有,素数的分布结构哪有那么简单。证：假设这样的一个多项式存在。那么将是一个素数p由于P整系数,故,对k为正整数所以是p的倍数，又是素数,只能是p,所以有无穷多个根，与代数基本定理矛盾！对于Euler所见的那种多项式也是很稀有的,事实上若整系数多项式对n=0,1,……,k-2均为素数,其中k不小于2（取n=0,可以知道k必须是素数）其成立等价于这个二次函数的判别式的绝对值为但是 由 有且仅有9个:所以k只能取也就是说只有才能对n=0,1,……,k-2均取值为素数一些讨论见stackexchange:3.在上的因式分解注意到………似乎有这种可能,对于所有的正整数 n ， 在上的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为1或者-1,不难验证对n在1-20之间都是正确的。据说有人曾经算到了，均没有发现反例，终于放心大胆地猜想：对于所有的正整数 n ，在上因式分解后各项系数都为1或者-1反例:在 n = 105 时:的分解式为出现了两个出现了两个-2注:在数学中,n次分圆多项式是指唯一的n次整系数不可约多项式,使得其为的因子,不为的因子,k为任意比n小的正整数可以证明然后对有因式分解：也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式为什么会出现n=105的反例呢？来看一些分圆多项式他们的系数都是-1,1,这种情况一直持续到n=104.他们的系数都是-1,1,这种情况一直持续到n=104.而n=105时,所以我们分解时,因子中的导致了反例。关于怎么计算n次分圆多项式的中系数,目前还没有一目了然的公式，但是有定理：若n的质因数分解中奇素数个数不超过2,那么的系数只能为1或-1(或0),从而 在上因式分解后各项系数都为1或者-1(或0),猜想成立举个例子,由于2016只有素因子2,3,7在上因式分解后各项系数都为1或者-1可以验证小于105的所有数定理条件均满足但是不好意思,定理条件失效了，105有三个奇素数因子我们在n=105有了反例……4.伪素数(经典例子)群论中的Lagrange定理确保了Fermat小定理：对a为正整数,p为素数有但是其逆是否成立,我们来看a=2时,下方有一组值：猜想：能整除 ，当且仅当 n 是一个素数这个猜想对n在1-200内均是没有问题的反例：取n=341 ， 能够整除 ，但n为合数, ！注:根据 Fermat 小定理，如果 p 是素数，那么 p 一定能整除 2^n – 2。不过，它的逆定理却是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我们把这种数叫做以 2 为底的伪素数。5.Pólya conjecture这是一个常用的经典超大数产生的反例考虑对自然数列的质因数分解2 = 23 = 34 = 2 × 25 = 56 = 2 × 37 = 78 = 2 × 2 × 29 = 3 × 310 = 2 × 511=1112=2 x 2 x 313=1314=2x715=3x516=2x2x2x217=17……在写出的数种可以看到，4，6，9，10，14，16 这6个数包含偶数个质因子，其余11个数都含奇数个质因子(不区分相同的质因子)可以感觉到包含偶数个质因子的数要明显小一些也就是对每一个给定不小于2的正整数n,2,3,……,n这n个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半严格来说,n有质因数分解令,f(n)取0或1Pólya猜想:对每一个给定不小于2的正整数n,2,3,……,n这n个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半即这个猜想对1亿之内的数都成立！反例：不幸的是……来自Matrix67博客的一段话（加了补充）：
Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。
到了 1958 年，英国数学家 C. B. Haselgrove 发现， Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。
不过，Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。Haselgrove 估计，这个反例至少也是一个 361 位数（）。
1960 年，R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：n = 906 150 257。注：这个反例充分说明，不能随便假定某个猜想是正确的，哪怕它对于很小的数再怎么正确。6.Perrin素数尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一,而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。来看Perrin发现的一个数列,见我们来借助OEIS看一下它的值好像对于素数p,均有a(p)是p的倍数,这件事已经被成功证明了。反过来,是否有n 能整除 Perrin 数列的第 n 项 a(n) ，必须 n 是一个素数。由上图知道对于不超过30的n其都是成立的猜想：a(n) 是n的倍数，当且仅当 n 是一个素数。事实上，对于n&100000,猜想均成立1899 年 Perrin 本人曾经做过试验，随后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索，均未发现任何反例。（我觉得大多是因为计算机技术当时不发达…）反例：直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ，它等于 521 × 521 ，却也能整除 f(271 441) 。事实上，我们有一堆不是素数的n使得a(n) 是n的倍数，如见见注:Perrin数列有没有一般的公式呢?事实上由于其特征方程为求导不难知其有一个实根ρ,两个共轭复根可以用二分法来查找零点,估计出韦达定理给出结合关于的估计我们知道共轭复根模均小于1设A,B,C待定代入n=0,1,2,结合韦达定理有当n充分大时,由于模均小于1这个公式可以让我们估算大的事实上,由三次方程求根公式有这是一个著名的常数，称为于是大概为再注：难道我们就没有数列能生成素数么？不不不，考虑gcd表示最大公约数gcd表示最大公约数定义那么那么每一项均为素数，见7.数列递推公式数列 a(1) = 8，a(2) = 55，并且 a(n) 定义为最小的使得的正整数来求一求a(n)8, 55, 379, , 1, , , , 5, 41, 015, ,……定义数列来求一求b(n)8, 55, 379, , 1, , , , 5, 41, 015, ,……猜想：对n为正整数，a(n)=b(n)这个对n&1000可以验证均成立反例：当你在OEIS上搜索8, 55, 379, , 1, 时，会蹦出两个结果：在n不超过11056时，a(n)=b(n)但n=11057时,a(n)!=b(n)注：本来想给出两个数列的值,但是发现太大了…不过可以证明只要注意到a(n)定义中的最小性即可，另外b(n)的递推公式可由特征方程给出之所以会出现不等是因为k太大时，a(k)太大，造成了中分母过大。8.Fermat 大定理的推广Fermat 大定理:当整数n &2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。1995年已被怀尔斯证明成立，在这之前有无数关于费马大定理的推广猜想：如Euler 曾经猜想:对于k为不小于2的正整数，当 n & k 时，方程 都没有正整数解。k=2，即为费马大定理，命题成立对k=3，也搜索过没有某个的正整数解看起来命题可能成立，好像我们只需要找到更有力的数学工具像费马大定理一样去证明它就可以了。反例:1.当k=3时，就有反例，如n=4&3时方程 就有一个正整数解。如 1986 年由Noam Elkies 给出。（并且他非常厉害的给出了构造无限个这个方程的正整数解的方法）2.另外最早的且最易接受的反例来自k=4，n=5时方程 就有一个正整数解。如1966年由Lander 与 Parkin通过计算机(型号为CDC 6600，如下图)给出：（不得不说他们运气也很不错，能够发现一组较小的反例解，如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索）（不得不说他们运气也很不错，能够发现一组较小的反例解，如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索）注：这些反例难道是别人随意就想出来的麽？数学上，寻找反例并不是仅仅的碰运气，很多时候需要结合很多技巧,考虑如果反例出现，研究其需要满足的必要条件，再去寻找到反例。对于这个问题，擅长计算的Euler本身自己也做了研究他发现了恒等式，但是这个不符合方程结构，给不出反例他也发现了,可惜这个是n=3，k=3的情况我们始终明白这么一个事实，人的计算能力是有限的，所以Euler虽然能够心算到千位数加减乘除，但是这个反例还是太大了，超过了手工计算的极限。举个例子,关于方程如果一个个尝试x,y,z,w，就算每一组数据平均只需要的10秒计算，要测试x,y,z,w上界到达100万的情况，就至少需要10亿亿秒,也就是年!如果1986年的计算机想要跑数据，也并不能够做这么大的四次循环。那么Noam Elkies 是怎么给出构造无穷多个反例的方法呢？参见这篇论文用到了代数曲线上的有理点，模函数等知识，做了一些分类讨论，化归成了简单一些的情况所以这个反例说明了即使寻找反例也要借助较好的数学知识来分析,而不是瞎猜一通。再注：还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解（来自wiki）：9.The Strong Law of Small Numbers 论文中提到的一些例子节选论文其实就是要表明一个观点：You cannot tell by looking.A.费马数：若为素数，其必要条件是为2的幂证：假设有某个奇数因子，设,k为正整数为不为1的正整数所以含因子,为合数,矛盾！那么反过来是不是每一个2的幂对应一个素数呢，著名民间科学家费马发现(求教Latex怎么左对齐……)前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数.1640年费马猜想： 的数都是质数(费马没给出证明……)反例：1732年擅长计算的Euler给出注：之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后，发现n大于4小于47时,Fn都是合数目前只知道n=0,1,2,3,4时,F(n)是素数甚至有人猜想,n&4时，F(n)均是合数…（还没有反例）费马如果能看到,他的表情一定是:B.梅森素数如果是素数，那么一个必要条件是n是素数，证明和A相似，这里略去但是若n是素数，一定是素数么？计算一下,当n=2,3,5,7时是对的反例：注：本来并不想写出这个梅森素数，因为这个反例并不巨大，但是其很著名，同时也反映了一些问题。寻找梅森素数一直是一个有趣的课题，是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。更多信息见C.均是素数但是不是素数D.考虑数列可以求出猜想：猜想：总是一个整数事实上，这对n&30均成立反例：不是整数。证明如下:得到递推式后，两边同时模43,如果是整数，那么两边会不同余对于更多数列和素数上的巧合那就数不胜数了，可参见论文中更多例子可见猜想虽然很多时候从直觉出发，但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立，然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候，那么就会自然而然出现巧合了，因为只有1个1,1个2,1个3,1个4,1个5,1个6,1个7,……却有无穷个数列和无穷多个数学问题，所以各种巧合很有可能发生，但是由于计算能力有限我们往往枚举过程中探知不到矛盾。E.对n为正整数总是互素么？如果用计算机去从1开始一个个验证，那么计算机是无法发现反例的(很有可能运行超时)其实对于1亿亿内的n都可以成立这个命题但是这真的对所有n成立麽？反例：第一个出现在时如何发现反例的和相关原因可以参考这个问题：10.佩尔方程很多时候知道一些数学知识后，才能轻易地解决一些看似很复杂的东西。假定你不知道佩尔方程的理论，那么关于方程的正整数解的存在性,你可能会先试探下一些某些较小的数字，如等等来试图得到一些解，可是无功而返。由于,也许x会比较大吧,我们可以通过程序来跑一跑x,y在1~10000之间时是否能够得到解（省略程序）然而还是无功而返。如果我告诉你，在x或y小于一万亿的范围内方程还是没有正整数解!而有一组正整数解（21,2） 而有一组正整数解（）你是否会猜想：方程没有正整数解反例：时且这是方程最小正整数解注：好了……这个正整数解肯定不是靠遍历跑出来的，计算机也吃不消其实只要计算的渐进连分数(这个有简单递推公式)是连分数序列的最小正周期，若是偶数，则就是方程的一组特解，否则是方程的一组特解。证明参考任何一本讲述了Pell方程的初等数论书籍或者wikiPell方程即形如的方程，D是正整数但不是完全平方数事实上我们可以证明，Pell方程一定有无穷多组正整数解，这是初等数论一个经典结果。可见：很多时候一些对小数验证的猜想不一定对大数成立。这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题（如费马大定理）不能通过验证较小的整数达到证明目的（如1万亿以内），比如这个Pell方程，其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的，但是它有解而且有无穷多正整数解。这恰好说明了发展数学理论的重要性，比如Pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(Lagrange有重要贡献)，而不是单纯的枚举法。更多可参见再注：阿基米德群牛问题见百科论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……11.不知道具体数字的反例数论中一个非常漂亮的结果就是素数定理:即对正实数，定义为不大于的素数个数，我们可以用一些初等函数来估计π(x),从而较对素数分布得到一些较精确的结果素数定理是说：一个直观的理解就是当N充分大时，在1到N之间任取一个数，其是素数的概率大概为这个结果等价于时其中(不难证明积分存在且有限)第二个等价成立的原因可以用洛必达法则证明问题来了：既然那么究竟有多接近呢？下面有一组数据第一列为n的值，第二列为的值，第三列为的值(取6位有效数字)似乎总有第二列对应值＜第三列对应值似乎总有第二列对应值＜第三列对应值猜想：这个猜想确实是Reasonable的,上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。并且我们有了很多类似的结果如(当x大于55)(当x大于55)(当x大于355991)(当x大于355991)哪怕我们能找到一个确定的N，使n&N时有我们就可以对n在1-N之间有限的情况验证即可（这种技巧在数论证明中真是屡见不鲜，有限情况都靠计算机即可）反例：John Edensor Littlewood 1914年证明了这样的n一定存在使得All numerical evidence then available seemed to suggest that π(x) was always less than li(x). Littlewood's proof did not, however, exhibit a concrete such number x他还进一步证明了在会无穷多次变号，即有无穷多个零点注：接下来该我们的Stanley Skewes 出场了Stanley Skewes 何许人也？南非数学家，Littlewood 的学生之一，Littlewood是他的研究生导师，肯定当时给了他这个题目让他做……Stanley Skewes于1933年证明了存在一个自然数n，n小于使得使得不过他用到了黎曼猜想是正确的这个假设当年他34岁……Stanley Skewes于1955年证明了存在一个自然数n，n小于使得使得不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设，可谓真正的证明了上界的存在性。当年他56岁…现在,我们用Skewes' number表示最小的自然数n使得现在有更好的估计 Skewes' number比小小但是可见它还是很大，所以计算机不能很好地计算出它（计算能力还是不够……）但是它还是很小的，如果和葛立恒数相比，它远远小于葛立恒数12.Mertens conjecture定义域为自然数的莫比乌斯函数μ定义为μ(1) = 1μ(n) = 1 if n 不含平方因子且含偶数个素数因子μ(n) = -1 if n 不含平方因子且含奇数个素数因子μ(n) = 0 if n 含质因子的次数超过2次,即含平方因子(如2^2,3^4,5^2等)举个例子,其部分取值如下:μ为什么要这么定义的原因是为了让函数1有一个卷积逆，这里的卷积定义与积分定义的卷积不同，由此可导出莫比乌斯反演定理(如果有机会以后再在别的答案说明……)定义称为 Mertens函数称为 Mertens函数1897年Mertens猜想：对所有＞1的自然数n有如果令那么猜想就是说m(n)的绝对值不超过1那么猜想就是说m(n)的绝对值不超过1这个猜想不难验证在n&100时成立，事实上在n小于10亿内的范围，这个猜想还是成立的！于是大家对这个猜想还是抱有很大信心的……反例：1985年 Andrew Odlyzko 与 Herman te Riele共同推翻了这个猜想 事实上他们证明了1987年Pintz证明了第一个反例对应的n出现在之前(Kotnik和Te Riele在2006年把上界降到了)2004年 Kotnik和Van de Lune 证明了第一个反例对应的n出现在之后不过目前具体的能给出最大的m(n)为n=时，此时
M() = 50286注：可能有人会有疑问，你给不出具体的反例算什么,哪里推翻了猜想啊……有些时候，我们做估计往往是对于整体做的估计，比如证明著名的Bertrand假设:有些时候，我们做估计往往是对于整体做的估计，比如证明著名的Bertrand假设:（见数学天书中的证明,Page 7）一个关键的估计不等式在于:反证这样的素数不存在,会吃掉最后一个乘积，而第一，二个乘积可以有很好的上界:反证这样的素数不存在,会吃掉最后一个乘积，而第一，二个乘积可以有很好的上界:那么那么而这个不等式对于较大的n是不成立的，于是导出了矛盾！(如n&4000,再对n&4000直接验证定理即可)证明需要依赖一些整体性的计数类的结果，或者利用筛法估计也就是我们在证明过程中可能利用整体的信息而丢掉了个体的信息，所以我们无法从正确的证明中获得反例，但这绝对不意味着没有反例或者证明错误。再举一个例子，就是Lebesgue和Riemman积分,都忽略了被积函数在单点的信息，而提取出整体的信息比如，那么我一定可以知道有一点x在[0,1]之间使得，但你要问我是哪个点，我可以说无可奉告13.Prime race(素数竞赛)如果取出不大于n的所有不等于3的素数,按照它们除以3的余数来分成两组，一组叫做Team 1，1组的素数除以3的余数是1，如7,13一组叫做Team 2，2组的素数除以3的余数是2，如2,5,11如下图：我们可以感觉到当n固定时，似乎1组的素数总比2组少如n=3时,只有2组有一个成员 2如n=8时，2组成员有两个，比1组多如n=60时,只有5个成员，有10个成员当n不断增加的时候，两组分别的素数个数的增长就和跑步比赛一样，不断增加，不过似乎总有1组的素数比2组的素数少，就好比1总是落在2后面一样。猜想：对n为正整数,1组的素数总比2组少下面有一张表,表明这个猜想对于较小的数字的正确性最小的一个反例：时，1组成员比2组成员多，1组超过了2组由1976年由Bays 与 Hudson发现。(真乃：功夫不负有心人……)注：这方面的理论基础源于John Edensor Littlewood (没错，又是他)John Edensor Littlewood 1914发表一个对这方面问题的很好的估计的paper最后有一个非常好的讨论和研究见14.组合几何中的反例Borsuk's
conjecture一直讨论数论问题会让人有些疲惫。来看这么一个组合几何问题:Karol Borsuk(就是那个证明了博苏克-乌拉姆定理的数学家)在1932年证明了：任何一个二维欧氏空间中的球体(二维球即圆盘)可以被剖分成3部分,每一部分的直径严格小于球的直径一般地，d维欧氏空间中的球体可以被剖分成d+1个部分,每一部分的直径严格小于球的直径，对d为正整数于是他猜想：对n为正整数，n维欧氏空间中的每一个有界集合E,是否均可以划分成n+1个子集，每一个子集的直径均严格小于E的直径？已经可以证明n=2,3时是成立的对所有的n,E为光滑凸集时，定理均成立(利用博苏克-乌拉姆定理)而对于高维情形，似乎无从下手。反例：1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325时，命题不成立，对n＞2014命题也不成立注：博苏克-乌拉姆定理：15.分析学上的反例定义,x=0时取值为1不难验证sinc(x)在R上无穷次可导，图像如下方红线：有公式：对于均成立事实上对于公式均成立但左边严格大于右边,结论不成立注：至于为什么，请见其讲述了如何运用这类方法构造恒等式对n=1,……N成立，但对n&N时不成立。16.分析学上的反例来自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.利用简单的Fourier变换或者熟知的容易证明下面公式的第一个(第2,3个事实上也是对的)：可能会有可能会有猜想：,对n为自然数。继续，对n=1,2,3,4,…,10检验都成立，甚至n=30也是对的：反例：n=31时不成立数值分析给出:而注：以前在学习积分学时，就可以注意到的组合在0到无穷的积分会导致各种奇怪的现象…如可以作为微积分习题的两题：就是说某些参数的局部改变不会改变积分值，但是某些参数值附近稍微的改变会导致积分值突变这里有一篇关于这类积分导致某些奇异的现象的研究，是2014年的文章：——————————————分割线————————————————————能够了解到的较大反例也就这么多了，欢迎补充或指出错误。（码了一天真是累……）观这么多猜想和反例，可见依赖直观的推导并不能代替数学证明数学知识在构造反例和寻找反例中都起了重要的作用计算机部分解放了人们的计算局限，导出了一堆反例或正确的结论
另外，不要看了此贴就感觉产生了猜想一定会错的感觉，也不要产生猜想的提出缺乏逻辑思考的想法。猜想的正确与否还是要按照数学证明的基本法则来验证，不能妄下结论。
历史上有很多对于小数成立的猜想，后面也被证明是正确的，如费马大定理这种民科爱好品。猜想的提出，有时能推动一个数学领域的发展，这方面看，猜想即使是错的，也是有一定意义的。
所以结合这两点，猜想的大反例只是告诉我们不要依赖已知情况和直觉，但绝不是要我们放弃具体例子，直接上理论工具开始计算，很多已知情况其实是可以提供一些信息的，我们可以从中得到启发，虽然不是证明，但可以提供一些思路。用一个简单的猜想作为结尾：前n个自然数的倒数和记为当n足够大的时候，这个和会越来越大，最后接近无穷大(除非你相信某居士…)我们来看似乎看起来这个和除了1之外不能等于其他的正整数不妨验证一下n=4,5,6,7,8的情况(大于8的分母还是过于复杂不宜计算)猜想：若n为大于1的正整数，那么一定不是整数已经用计算机验证了的数是成立的，直观上来看这个级数和越长越慢，似乎越来越难变成一个整数。那么这个猜想究竟成立吗？Reference1.Matrix67:2.果壳网文章:3.wiki:4.wiki:5.数学吧：6.wiki：7.stackexchange：8.The Strong Law of Small Numbers9.wiki：10.wiki:11.reddit: 12.wiki:13.wiki:14.wiki：15.百度百科：16.arxiv： 17.stackexchange：18.reddit：19.MMA：20.wiki:21.22.
这种反例在数论中还是很多的，我来写几个代数数论方面的吧。1. 令为分圆域的类数，是的极大实子域的类数，那么整除，令。一个自然的问题就是当时，，的性状如何。然而这是一个非常困难的问题，有人猜想，不过Washington在广义黎曼猜想之下证明了这个猜想对时是不对的！顺便说一句，对于也有相应的猜想：，不过这个猜想既没有被证明也没有被推翻。2. 根据密度定理我们很容易证明：设均是首一不可约的正规多项式，设分别为它们的一个根，如果几乎相等，那么我们有。其中是使得模完全分裂的那些素数的集合。 然而这个命题如果去掉正规这个条件则是不对的，Gassmann证明了存在两个次不可约多项式和，使得除去有限个素数外模均有相同的分解类型，但是对的每个根和的每个根都有！180虽然不是个很大的数，但是180次的多项式却是非常吓人的了，我很想知道他是怎么找到的。。顺便在网上搜了一下，发现mathoverflow上面已经有类似的问题了，不充当翻译了，有兴趣的可以看看：
说一个算法：Baillie–PSW primality test这是一个概率性的素数判定算法，已经证明了反例确实存在，但是目前人们还没有找到任何一个反例。由于已知其在2^64范围内没有反例，可以作为确定性算法使用。
我来提供一个比较冷门的答案。。（实际上这个答案是cs领域的，但是比较经典）已知如下文法：
num —& 11 | 1001 | num 0 | num num 问上述文法是否能够产生所有能被3整除的二进制串？3: num —& 116: num —& num 0 —& 1109: num —& 100112: num —& num 0 —& num 00 —& 110015: num —& num num —& 11 num —& 1111然而33: 100001不能由此文法生成 实际上 对于二进制串AnAn-1...A1A0 其值被三整除的充要条件是从右往左数，奇数位上1的个数和偶数位上一的个数相同。而开头提到的文法则表示了11 1001进行左移和连接操作所形成的串，于是我们可以轻易的构造出一系列反例： 两个1之间插入足够多的偶数个0。
费马素数？
我举我所知的一个可能不太符合题主问题的例子:费马最后定理（又称费马大定理）是费马350年前提出来的，直到20世纪的90年代才被攻克，历时三个半世纪。做出这一伟大成就的人是普林斯顿大学数学系的怀尔斯教授，时间没记错的话是在1993年的牛津大学一次演讲当中的最后部分，之后以论文的形式严谨地展现了他攻克这一伟大猜想的理论过程，他采用的方法和所使用的先进数学工具也都是正确的。然而在其中使用了黎曼猜想的结果，而这一步被另外一位世界级的数论大师指出，因为黎曼猜想到目前为止还没有被证明，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ()的性态。黎曼猜想断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过并且是正确的。同时利用这一猜想也做出一些重要的工作，但是数学是一门严谨求实的学科，没有被完整证明的猜想终究不是定理，所以怀尔斯的100多页的论文就在这个地方出了问题。因此第一次没有完全成功，之所以说是“没有完全成功”是因为几乎所有的数论大师都认为怀尔斯采用的方法、出发的方向以及使用的数学工具都是正确的，这些顶尖数论大师们也都认为怀尔斯最终依然会完全攻克费马最后定理的。经过一年的时间怀尔斯和他的博士生终于另辟蹊径，成功地绕过了黎曼猜想这条路，找到了其他的可行方法正确全面完整地证明了费马最后定理（也即是费马大定理），《数学年鉴》杂志于1995年发表该篇论文。怀尔斯于1998年获得菲尔兹奖，实至名归！
那个素数定理的m（x），比黎曼猜想还严格，后来被证明有问题
6，28，496，8128……
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