微分中值定理_百度百科
微分中值定理
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是，可以说其他中值定理都是的特殊情况或推广。
如果函数f(x)满足：
在[a,b]上连续；
在(a,b)内可导；
在区间端点处的相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ&b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.。
拉格朗日定理
如果函数 f(x) 满足：
1)在[a,b]上连续；
2)在(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ&b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在[a,b]上连续；
(2)在(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
[中值定理]分为： 中值定理和：
以上四个为微分中值定理第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
内容 ：若函数f(x)在（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0&θ&1.
若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
洛必达法则
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|&N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。考研辅导|2016考研数学：微分中值定理
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2016考研数学：微分中值定理
考研数学中，微分中值定理是重难点。利用微分中值定理来证明与区间内某点出导数值有关的问题是考研当中的常考题型，这种类型的题大都以综合题的形式出现的。
考研当中对于这一部分的题目十之六七是用罗尔定理来证明的。关于罗尔定理，首先我们一定要掌握罗尔定理的内容以及使用罗尔定理的条件。其实，罗尔这位数学家主要是研究方程根的问题的，后人为了纪念这位数学家，就以他的名字来命名了这个他们总结出的定理。考研题型中，关于微分中值定理这块，大都以综合题的形式，往往是一个题目有两小问的。在研究生入学考试中，如果一个问题包含有两个小问题，往往第一个问题是第二个问题的提示，且两个问题是单独给分的。如果不会证明第一问，可以直接利用第一问的结论来证明第二问。对于中值属于开区间( )，要证明函数在此处的导数等于0( 或者 )，这时我们往往要想到用罗尔来试着证明，找满足条件的相等的函数值。对于 ，我们找两点函数值相等( )，对于 )，往往要找三个点的函数值相等( )。
对于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入学考试中的应用也是我们也是必须掌握的。当题目中出现两个中值( )时，要求我们证明存在不同的两个点 属于一个开区间，使得这两个点出的一阶导的乘积是个常数。
例如，05年考研数学一、二中出现过这样一题：已知函数在上连续，在内可导，且证明：(1)存在，使得;存在不同的两个点，使得。
此题主要考察了拉格朗日中值定理和闭区间上连续函数的性质。题目中第一问主要用的是零点定理。对于这类综合题，有两个小问，其第二问往往会用到第一问的结论。这里我们主要谈第二问的证明方法。其有两个不同的中值，要证明的是两个中值处的导数的乘积等于一个常数，这时我们不能再用罗尔定理了。由于要求两个不同的中值，所以对于这类题，我们首先要保证两个不同中值，即划分区间，然后分别用拉格朗日定理，或者有些题目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定理。对本题而言其是用两次朗格朗日中值定理来做的。因此，对于出现两个中值的问题，我们往往考虑两种情况：1，用两次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗日中值定理一次柯西中值定理。
对于泰勒公式或者叫做泰勒定理的证明题，其往往是已知函数的范围和二阶导的范围，让我们来求一阶导的范围等等。所用的泰勒公式是带有拉格朗日余项的。这类题型一定要注意三点，1，我们泰勒公式展开到几阶;2，到底在哪一点展开;3，取哪些点带入公式，组成方程组来求所有解决的问题。
微分中值定理这一部分是研究生入学考试的重点和难度，希望同学们认真学习，深入掌握。
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从费马引理到罗尔定理再到拉格朗日中值定理，最后到柯西中值定理和泰勒中值定理继续更广度深远的推广是？
你说说，问啥不行 啊，偏问高数，难道不知道高数挂的人多么！
在泰勒中值定理之后，随后又推广的是：带有拉格朗日型余项的迈克劳林公式。
注：迈克劳林 Maclaurin
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& &SOGOU - 京ICP证050897号微分中值定理
第一节& 微分中值定理
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几何解释: C()
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