柯西中值定理 -
柯西中值定理柯西中值定理是
的推广，是
的基本定理之一。　
柯西（Cauchy）设f(x),g(x)满足⑴在[a,b]上；⑵在（a，b）内；⑶对任一x∈（a,b）有g'(x）≠0，则ξ∈（a,b），使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'（ξ）/g'（ξ）
柯西中值定理 -
柯西中值定理作辅助函数 F(x)=f(x)-f(b)-[f(a)-f(b)][g(x)-g(b)]/[g(a)-g(b)]&　　显然，F(a)=F(b)=0
知：存在ξ∈（a,b），使得F'（ξ）=0.
故F'（ξ）=f'（ξ）-[f(a)-f(b)]g'（ξ）/[g(a)-g(b)]=0，即f'（ξ）/g'（ξ）=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。
柯西中值定理 -
在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和
的结论形式相同。&因此，为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理 -
若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为
，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数
的端点斜率，f'（ξ）/g'（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：&用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。
柯西中值定理 -
判断函数的单调性函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？&我们知道若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
例1 设f(0)=0，f(x）在（0，+∞）上单调递增.证明：f(x)x在（0，+∞）上单调递增.
证明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′（ξ）1=f′（ξ），0&；ξ
0.这样就可以证明f(x)x在（0，+∞）上单调递增.不等式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记00，∞∞，0/∞；0-∞，∞-∞和∞∞型不定式.
仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法.我们得出下面这个定理：
⑴两个函数f(x）和g(x）在开区间（a，b）可微，并且在这个开区间上，g(x）的导数不等于0；
⑵存在极限limx→a+0f′（x)g′（x)=A，其中A为一个有限的常数.则在以下情况下：limx→a+0f(x)=0和limx→a+0g(x)=0或者limx→a+0g(x)=∞.那么就有：limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′（x)g′（x)=A.反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果.这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算.
罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：00和∞∞.00和∞∞型的我们都知道，那么在此就不做介绍了.其他的未定型都可以化成这两种形式：
①0；∞型.
通过恒等式：f(x）·g(x)=f(x)1g(x），从而得到00或∞∞这两种基本形式.
②∞-∞型.
通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）×1g(x），从而得到00型.
③00，∞0，1∞型.
通过恒等式f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x），从而得到00;0-∞，∞-∞，00，∞0，1∞型.再进一步化成00或∞∞这两种基本形式.
对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为limf(x)g(x)=limf′（x)g′（x)=A.
显然这时的条件为f′（x），g′（x）都存在，并且g′（x）≠0.还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x）和g(x）同时以0或者∞为极限.在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误..
例2 证明：limx→0+x1-ex=-1.
证明令t=x，当x→0+时有t→0+，则可以得到：
limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1.推导中值公式例3 设f(x）在开区间（a，b）内二次可微，证明：任意的x，x0∈（a，b），存在ξ∈（x，x0），使f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2成立（这就是泰勒公式一次展开式）.
证明由题可知，只需证明x&x0这一种情况.令
F(x)=f(x)-f(x0)-f′（x0)(x-x0），G(x)=12(x-x0)2.
求导可得F′（x)=f′（x)-f′（x0），G′（x)=x-x0.
因为F(x0)=G(x0)=0，F′（x0)=G′（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）.
其中η∈（x，x0），ξ∈（x0，η），则f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到证明.故命题得证.研究函数的某些特性⑴证明中值点的存在性
例4 设函数f在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）.
证明设g(x)=lnx，显然它在[a，b]上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′（ξ）lnba.
⑵证明恒等式
例5 证明：arcsinx+arccosx=π2，x∈[0，1].
证明令f(x)=arcsinx+arccosx，则f′（x)=11-x2-11-x2≡0，?x∈（0，1），由于f(x）在[0，1]连续，所以f(x）≡f(0)=π2.
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柯西中值定理的几何解释
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微分学中值定理是微分学的核心内容，是数学分析中一个重要部分，占有举足轻重的地位，作为学习数学的我们，学习微分学是学习数学的基础，可以使我们更好的掌握和学好数学分析.微分学中值定理包括四个定理，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理，本文讲述了各定理的概念以及各定理之间的内在联系，中值定理的认识和学习尤为重要，通过我们认真学习掌握了微分中值定理的本质和意义.与此同时，微分中值定理的应用也至关重要，一般来说，微分学中值定理的基础应用主要有四个方面：讨论方程根（零点）的存在性，近似值，不等式的证明，等式的证明，通过这四个方面的应用，我们可以深层次的挖掘微分中值定理的意义，再次研究微分中值定理的性质，对研究生的学术研究颇为重要.
关键词:等式证明;不等式证明;方程根（零点）存在性;近似值.
Value theorem in differential calculus is the core content of differential calculus, is an important part in mathematical analysis, occupies an essential position, as we will learn math, learning mid-value theorem is the basis of learning mathematics , differential calculus enables us to better grasp and learn mathematics analysis. This thesis has been introduced four different theorems ,including Lagrange theorem and Cauchy mid-value theorem Taylor mean value theorem and the internal relations between the theorem. by the understanding of value theorem in differential calculus and studying, we have mastered differential mean value theorem and in all aspects of the application, the application of value theorem in differential calculus are: for example, proved that when an in equation discuss the existence of the equation root zero point and the application of approximation and so forth. Th
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怎样理解中值定理主要是从朗格拉日中值定理、柯西定理以及洛儿定理的解决问题的实际出发,也就是它们各自运用的范围
怎样理解中值定理主要是从朗格拉日中值定理、柯西定理以及洛儿定理的解决问题的实际出发,也就是它们各自运用的范围
我从适用情况上给你说说吧：首先这些定理成立的前提都是,函数在给定区间上,闭区间连续,开区间可导,这是大前提!1、洛尔定理和拉格朗日,一般是用于只有一个函数f(x) 时的情况；柯西中值定理,是用于f(x)、g(x)两个函数的情况.2、但三者又是相互联系的,柯西定理g(x)=x时,就成了拉格朗日定理；而拉格朗日的f(a)=f(b)时,就又成了洛尔定理.3、数学中,洛尔定理一般用于,知道f(a)=f(b),求区间内存在导数为0的点.其中,拉格朗日是最常用的,可令a或b=x,那么就可以求复杂函数的导函数了；也可用于求导数值；还是证明罗比达定理的必要式子.柯西定理就比较好看了,就是题目中求两个式子时；或者一个式子能化成上下两个减式的差.【说白了就是套用公式,看和课本给的式子样式一样了,就选用这个式子】
这几个定理没必要区分，相互都是等价的，没有什么很本质的区别，只不过是形式上略有不同1. 从几何上讲，微分中值定理的几何意义是说在一定条件下“存在与割线平行的切线”这个几何事实是比较显然的，中值定理提供了一个严谨的叙述2. 从宏观上讲，微分中值定理是一类存在性的定理，并且建立了整体和局部的联系而微积分本身大量的工作就在于讨论整体和局部的联系以Cauc...拉格朗日中值定理_百度百科
拉格朗日中值定理
中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。中值定理是的推广，同时也是的特殊情形，是的弱形式（一阶展开）。法国拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步，因此人们将该定理命名为。
（1）在闭区间
（2）在开区间
那么在开区间
内至少有一点
为区间内的另一点
，则定理在
此式称为有限增量公式。
辅助函数法：
上连续，在开区间
构造辅助函数
又因为函数
上连续在开区间
根据罗尔定理可知在
内至少有一点
定理证毕。
恒为零，那么函数在区间
上是一个常数。
上任取两点
由拉格朗日中值定理得
上的任意两点所以
上的函数值总是相等的，
即函数在区间内是一个常数。
则在开区间
内至少存在一点
人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。
意大利在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。
1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理，他给出的定理的最初形式是：“函数
之间连续，
之间有最小值
之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数
在闭区间上具有连续导数
，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的。
十九世纪初，在微积分严格化运动中，柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明，在《无穷小计算教程概论》中，证明了”如果导数
上连续，则必存在一点
。 ”柯西又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为。
现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家博（O.Bonnet）给出的，他不是利用导数
的连续性，而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
几何意义：
若连续曲线在
两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点
，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。}