（1）先化简，再求值：$（{x+2-\frac{5}{x-2}}）÷\frac{x-3}{x-2}$，其中$x=\sqrt{5}-3$；（2）若$a=1-\sqrt{2}$，先化简再求$\frac{{{a^2}-1}}{{{a^2}+a}}+\frac{{\sqrt{{a^2}-2a+1}}}{{{a^2}-a}}$的值；（3）已知$a=\sqrt{2}+1，b=\sqrt{2}-1$，求a2-a2005b2006+b2的值；（4）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{（a+1）^{2}}+2\sqrt{（b-1）^{2}}$-|a-b|；（5）观察下列各式及验证过程：N=2时有式①：$2×\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$N=3时有式②：$3×\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$式①验证：$2×\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^3}{3}}=\sqrt{\frac{{（{{2^3}-2}）+2}}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{\frac{{2（{{2^2}-1}）+2}}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$式②验证：$3×\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{{（{{3^3}-3}）+3}}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{\frac{{3（{{3^2}-1}）+3}}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$①针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时变化的式子；②请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．（6）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）+m2=0有两个实数根x1和x2．&&& ①求实数m的取值范围；②当x12-x22=0时，求m的值．
（1）（2）（3）代数式化简，首先把代数式利用分式计算法则和因式分解进行化简，然后x，a的值代入求原代数式的值．第3题关键将a2005b2006转化为（ab）2005b；（4）根据算术平方根和绝对值的非负性化简；（5）根据算式找出根号内分母变化的规律即n2-1；（6）用根的判别式求m的取值范围，根与系数的关系变形求m的值并检验．
（1）原式=$\frac{{x}^{2}-4-5}{x-2}$×$\frac{x-2}{x-3}$=x+3，把x=$\sqrt{5}-3$代入原式得$\sqrt{5}$；（2）原式=$\frac{（a+1）（a-1）}{a（a+1）}+\frac{|a-1|}{a（a-1）}$=$\frac{（a-1）}{a}+\frac{|a-1|}{a（a-1）}$，∵a=1-$\sqrt{2}$＜0，∴原式=$\frac{a-1}{a}-\frac{1}{a}$=$2\sqrt{2}+3$；（3）∵$a=\sqrt{2}+1，b=\sqrt{2}-1$，∴ab=1，∴a2-a2005b2006+b2=a2-（ab）2005b+b2=a2-b+b2=$7-\sqrt{2}$；（4）由图知，a＜-1，b＞1，则原式=-（a+1）+2（b-1）+（a-b）=b-3；（5）①$4×\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；②$n×\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}=\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{n}^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．（6）①由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤$\frac{1}{4}$，即实数m的取值范围是m≤$\frac{1}{4}$；②由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0．若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得$m=\frac{1}{2}$，∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，∴$m=\frac{1}{2}$不合题意，舍去．若x1-x2=0，即x1=x2则△=0，由（1）知$m=\frac{1}{4}$．故当x12-x22=0时，m=$\frac{1}{4}$．当前位置：
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设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程x2+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：湖北省模拟题
解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）由f'（x）&0，得-2 ＜x＜-1或x&0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；递减区间是（-∞，-2），（-1，0）。（2）由（1）知f（x）在上单调递减，在[0，e-1]上单调递增又且所以当时，f（x）max=e2-2因为当时，不等式f（x）＜m恒成立，所以m&f（x）max，即m&e2-2，故m的取值范围为（e2-2，+∞）。（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则由g'（x）&0，得x＜-1或x&1；由g'（x）＜0，得-1＜x＜1所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，于是有即解得2-2ln2＜a≤3-2ln3故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]。
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的零点与方程根的联系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的零点与方程根的联系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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已知二次函数f(x)=x^2+px+q,且f(x)&0有-1/2&x&1/3,求p和q ，解关于x的不等式qx平方+px+1＞0
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等差数列的通项公式等比数列的通项公式
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。
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提问者采纳
(1)用y来代替f(x)，便于书写。y = 2*{1/2-[1/(a^x+1)]} = 1-2/(a^x+1)1-y = 2/(a^x+1)a^x+1 = 2/(1-y)x = loga[2/(1-y)-1] = loga[(1+y)/(1-y)]所以f^-1(x) = loga[(1+x)/(1-x)](2)f^-1(-x) = loga[(1-x)/(1+x)]f^-1(x) + f^-1(-x) = loga[(1+x)/(1-x)] + loga[(1-x)/(1+x)] = loga[(1+x)/(1-x) * (1-x)/(1+x)] = loga 1 = 0且f^-1(x)定义域为(-1,1)关于原点对称所以f^-1(x)是奇函数。(3)loga[(1+x)/(1-x)] & 1当a&1时，f^-1(x)单调递增，所以只需(1+x)/(1-x) & a，解得x&(a-1)/(a+1)当0&a&1时，f^-1(x)单调递减，所以只需0 & (1+x)/(1-x) & a，x&(a-1)/(a+1)
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