月朔数学比赛领导高中数学（第19讲）.doc下载(初中数学)
电子书《初一数学竞赛辅导（第19讲）.doc》下载，第十九讲* 几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数
第十九讲* 几何图形的计数题目
　　在几何中，有很多风趣的计数题目，如计较线段的条数，满意某种前提的三角形的个数，多少个图分平面所成的地区数等等．这类题目看起来好像没有什么纪律可循，可是通过当真说明，照旧可以找到一些处理赏罚要领的．常用的要领有列举法、加法道理和乘法道理法以及递推法等．
　　1 如图1－65所示，数一数图中有几多条差异的线段？
　　5种别离计数：
　　(1)A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；
　　(2)B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；
　　(3)C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；
　　(4)D为左端点的线段有DE，DF共2条；
　　(5)E为左端点的线段只有EF一条．
　　以是，差异的线段一共有
5+4+3+2+1=15(条)．
　　n+1个点(包罗两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2
　　2 图1－66中有几多个三角形？
　　OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD， △OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形尚有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．以是，共有三角形
5+4+3+2+1=15(个)．
　　AF中差异线段的条数．一样平常地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包罗两头点)时，它们与另一极点的连线所组成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.
　　3(1)图1－67中一共有几多个长方形？
　　(1)图中长的一边有5个分点(包罗端点)，以是，长的一边上差异的线段共有
1+2+3+4=10(条)．
　　10条．
　　以是，共有长方形
10×10=100(个)．
　　(2)10条线段长别离为
5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，
　　10条线段长别离为
2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．
　　以是，全部长方形面积和为
(5×2+5×6+…+5×3)
+(17×2+17×6+…+17×3)
+…+(1×2+1×6+…+1×3)
=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)
= 144×86=12384．
　　4 图1－68中共有几多个三角形？
　　6类：最大的三角形1个(即△ABC)，
　　1+2=3(个)，
　　1+2+3=6(个)，
　　1+2+3+4=10(个)，
　　1+2+3+4+5=15(个)，，
　　最小的三角形有
1+2+3+4+5+6+3=24(个)．
　　ABC表面尚有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，以是最小的三角形不是21个而是24个．
　　于是尖向上的三角形共
1+3+6+10+15+24=59(个)．
　　图中共有三角形
59×2=118(个)．
　　5 图1－69中有几多个等腰直角三角形？
　　1－69中有
5×5+4×4=41
个点．在每点标一个数，它便是以这点为直角极点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1
=268(个)．
　　6(1)图1－70(a)中有几多个三角形？
　　(2)1－70(b)中又有几多个三角形？
　　(1)图1－70(a)中有6条直线．一样平常来说，每3条直线能围成一个三角形，可是这3条直线假如相交于统一点，那么，它们就不能围成三角形了．
从6条直线中选3条，有
种选法(见声名)，每次选出的3条直线围成一个三角形，可是在图1－70(a)中，每个极点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有
个三角形．
　　(2)1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有
7×6×5/6=35
种选法．每不外统一点的3条直线组成一个三角形．
　　1－70(b)中，有2个极点处有3条直线通过，它们不能组成三角形，尚有一个极点有4条直线通过，由于4条直线中选3条有4种选法，即能组成4个三角形，此刻这4个三角形没有了，以是，图1－70(b)中的三角形个数是
35-2-4=29(个)．
　　6条直线中选2条，，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．可是每一种被一再算了一次， 譬喻l1l2与l2l1现实上是统一种，以是，差异的选法是6×5÷2=15种．
　　6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．可是每一种被一再计较了6次，譬喻，，现实上是统一种，以是，差异的选法应为6×5×4/6=20种．
　　下面我们操作递推的要领来计较一些图形地区题目．
　　7 问8条直线最多能把平面分成几多部门？
　　 1条直线最多将平面分成2个部门；2条直线最多将平面分成4个部门；3条直线最多将平面分成7个部门；此刻添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，个中每一段将原本地址平面部门一分为二，如图1－71，以是4条直线最多将平面分成7+4=11个部门．
　　5条直线最多将平面分成11+5=16个部门；6条直线最多将平面分成16+6=22个部门；7条直线最多将平面分成22+7=29个部门；8条直线最多将平面分成29+8=37个部门．
　　8条直线最多将平面分成37个部门．
　　n条直线最多将平面分成
　　8 平面上5个圆最多能把平面分成几多个部门？
　　 1个圆最多能把平面分成2个部门；2个圆最多能把平面分成4个部门；3个圆最多能把平面分成8个部门；此刻插手第4个圆，为了使分成的部门最多，第4个圆必需与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原本的部门一分为二，即增进了一个部门，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部门．
　　5个圆最多将平面分成14+8=22个部门．
　　5个圆最多将平面分成22个部门．
　　n个圆最多分平面的部门数为
2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
　 　　　　　　　　　　　　　　　=2+21+2+…+(n-1)］
　 　　　　　　　　　　　　　　　=n2-n+2
　　9 平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成几多个部门？
　　5个圆最多能把平面分成22个部门．此刻插手一条直线．因为一条直线最多与一个圆有两个交点，以是，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，个中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原本的部门一分为二，如许就增进了9个部门；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增进了一个部门．以是，总共增进了10个部门．
　　5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部门．
　　10 平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成几多个部门？
　　7知，5条直线最多将平面分成16个部门．
　　5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原本的部门一分为二，以是，10段圆弧又把原本的部门增进了10个部门．
　　5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部门．
　　11 三角形ABC内部有1999个点，以极点A，B，C和这1999个点为极点能把原三角形支解成几多个小三角形？
　　ABC内部的n-1个点能把原三角形支解成an-1个小三角形，我们思量新增进一个点Pn之后的环境：
　　(1)Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个极点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增进了两个小三角形；
　　(2)Pn在某两个小三角形民众边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的极点连同点Pn将这两个小三角形别离一分为二，即也增进了两个小三角形．
　　ABC内部的n个点把原三角形支解成的小三角形个数为
an=an-1+2．
　 a0=1，于是
a1=a0+2，a2=a1+2，…，an＝an-1+2．
　 将上面这些式子相加，得
　 n=1999时，三个极点A，B，C和这1999个内点能把原三角形支解成2×9个小三角形．
　　(1)7个点A，B，C，D，E，F和G，毗连每两个点的线段共可作出______条．
　　(2)5条线段的长别离是3，5，7，9，11，若每次以个中3条线段为边构成三角形，则最多可组成互不全等的三角形_____个．
　　(3)4，但它不是最短边，如许差异的三角形共有_____个．
　　(4)7个极点中的任意3个为极点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．
　　(5)10条直线最多能把平面分成_____个部门．
　　(6)10个圆最多能把平面分成_____个地区．
　　21，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数目足够多，从中恰当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，假如划定底边是11厘米长，你能围成几多个差异的三角形？
　　31－74中有几多个三角形？
　　41－75中有几多个梯形？
　　5ABC地址平面上找到如许一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有如许性子的点的个数有几多？
　　610条直线，个中4条直线交于一点，还有4
条直线相互平行，这10条直线最多有几个交点？它月朔比赛领导（第19讲）
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