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已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞)上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 x0∈[12，1]，使不等式f（x0）＞m（1-a2）成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：湖北模拟
由题得：f′(x)=12a12+12ax+2x-a=2ax(x-a2-22a)1+ax．（Ⅰ）由已知，得f′(12)=0且a2-22a≠0，∴a2-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵a2-22a-12=a2-a-22a=(a-2)(a+1)2a≤0，∴12≥a2-22a，∴当x≥12时，x-a2-22a≥0．又2ax1+ax＞0，∴f'（x）≥0，故f（x）在[12，+∞)上是增函数．（5分）（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[12，1]上的最大值为f(1)=ln(12+12a)+1-a，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln(12+12a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立．记g(a)=ln(12+12a)+1-a+m(a2-1)，（1＜a＜2）则g′(a)=11+a-1+2ma=a1+a[2ma-(1-2m)]，当m=0时，g′(a)=-a1+a＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，由于a2-1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，∴g′(a)=2ma1+a[a-(12m-1)]．若12m-1＞1，可知g（a）在区间(1，min{2，12m-1})上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故12m-1≤1，这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，∴m＞012m-1≤1，即m≥14，所以，实数m的取值范围为[14，+∞)．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若x=12是函数..”考查相似的试题有：
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&【导与练】2014届高三数学（文）一轮总复习：第一篇 集合与常用逻辑用语 精品检测题（4份，含解析，含2013试题）
【导与练】2014届高三数学（文）一轮总复习：第一篇 集合与常用逻辑用语 精品检测题（4份，含解析，含2013试题） 试卷题目索引
(A){1,2,4} (B){2,3,4}
(C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
解析:∵?UA={0,4},B={2,4},
∴(?UA)∪B={0,2,4},故选C.
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:由x2 x-2<0得-2<x<1.
由于{x|x<1} ...
①“若a2<b2,则a1,则ax2-2ax a 3>0的解集为R”的逆否命题;④“若 ...
(A)q1,q3 (B)q2,q3
(C)q1,q4 (D)q2,q4
解析:易知p1是真命题,而对p2,y'=2xln 2-
ln 2=ln 2(2x-
),当x∈[0, ∞)时,2x≥ ...
(A)?x0∈R,使log2x0>0成立
(B)?x0∈R,使log2x0≥0成立
(C)?x∈R,均有log2x≥0成立
(D)?x∈R,均有log2x>0成立
解析:由特称命题与全称命题的关系知,故选D.


解析:∵N={x|x2 x=0}={0,-1},
∴N
M,故应选B.
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:q:
1或x<0,
∴
q:0≤x≤1, ∴p

q,但
q?p.
∴p是 ...
(A)[0,1]∪(2, ∞) (B)[0,1]∪[2, ∞)
(C)[0,1] (D)[0,2]
解析:∵A=[0,2],B=(1, ∞),∴A×B={x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}=[0,1]∪(2, ∞).故选A.
(A)命题“若x2-3x 2=0,则x=1”的逆否命题为假命题
(B)若命题p:?x∈R,x2 x 1≠0,则 ...
(A)[e,4] / (B)[1,4]
(C)(4, ∞) (D)(-∞,1]
解析:若p真,则a≥e;若q真,则16-4a≥0?a≤4,所以若“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是[e,4].故选A.
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分也非必要条件
解析:依题意,由A<B得0<sin A<sin B,sin2 A1-sin2 B,cos2 A>cos2
(A)-2≤b≤2 (B)-2≤b<2
(C)-2<b<2 (D)b≤2
解析:A={x|-1<x<1},当a=1时,B={x|b-1<x<b 1},
若“a=1”是“A∩B≠ ...
①“?x∈R,x2-x 1≤0”的否定;
②“若x2 x-6≥0,则x>2”的否命题;
③在△ABC中,“A>30°”是“sin A> ...
解析:由|a λb|≥1得|a λb|2≥1,即|a|2 λ2|b|2 2λa·b≥1,又因为a与b为单位向量,且夹角为135°,所以1 λ2-
λ≥1,即λ2-
λ≥0,解得λ≥ ...
解析:由题知?x∈[1,2],使a≤x2 2x,
又当x∈[1,2]时,(x2 2x)∈[3,8],所以a≤8.
答案:a≤8
解析:若命题??p是假命题,则命题p是真命题,即关于x的方程4x-2x 1 m=0有实数解,而m=-(4x-2x 1)=-(2x-1)2 1,所以m≤1.
答案:(-∞,1]
三、解答题(共74分)
(2012北京朝阳期中)设关于x的不等式x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为M,不等式x2-2x-3≤0的解集为N.
(1)当a=1时,求集合M;
(2)若M?N,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,由 ...
判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)有一个实数α,sin2 α cos2 α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
(3)所有的实数a,b,方 ...
设p:方程x2 2mx 1=0有两个不相等的正根;q:方程x2 2(m-2)x-3m 10=0无实根.求使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围.
解:设方程x2 2mx 1=0有两个不相等的正根x1,x ...
我们知道,如果集合A?S,那么S的子集A的补集为?SA={x|x∈S,且x?A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x?B}叫做集合A与B的差集,记作A-B.
据此回答下列问题:
已知p:-2≤x≤10,q:x2-2x 1-m2≤0(m>0).若
p是 ...
(2012宁波模拟)已知集合P=
,函数f(x)=log2(ax2-2x 2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q=
,P∪Q=(-2,3],求实数a的值;
(2)若P∩Q=
,求实数a的取值范围.
解:(1)由条件知Q= ...
(A){2,4} (B){1,3}
(C){1,2,3,4} (D)

解析:由交集的定义知选A.


(A){(3,9),(9,3)} (B){(1,1),(3,3)}
(C) {(
,3)},{(3,
)} ...
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:依题意得集合A={-1,0,1},因此集合A的子集的个数是23=8,故选D.
(A)[-2,-
]
(B)[
,2]
(C)[-2,-
]∪[ ...
B={x|x2 2(a 1)x a2-1=0},若A∪B=B,则a的值为(　B　)
(A)2 (B)1 (C)-2 (D)-1
解析:因为A∪B=B,所以A?B.又因为A={0,-4},而B中最多有两个元素,所以B=A={0,-4},所以 ...
(A)
(B)

(C)
(D)(1, ∞)
解析:A={x|x2 2x-3>0}={x|x>1或x0}
={x|a-
≤x≤a
},
∵a>0,
∴0>a-
>-1,a
解析:A=
,B={x|-1<x<3},
所以A∩B=
.
答案:

解析:因为2
A,所以
0,
解得a>2或a<
.①
若3
A,则
0,
解得a>3或a<
,
所以3
A时,
≤a≤3,②
①②取交集得实数a的取值范围是 ...
解析:依题意,当4
M时,有
=-

M,从而
=

M,
=4
M,于是集合M的元素只有4,-
,
,所有元素之积等于4×
×
=-1.
答案:-1
三、解答题
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A

RB,求实数m的取值范围.
解:由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m 2}.
(1)∵A∩B=[0,3],∴
∴m=2.
(2)
解:当a=1时,B=?,不合题意,舍去;
当a≠1时,B=(2a,a2 1).
(1)当a<
时,A=(3a 1,2),若A?B,则
即
得a≥1或a=-1,又由于此时a<
,
故a=-1;
(2)当a= ...
解:∵A∩B=
,
(1)当A=
时,有2a 1≤a-1?a≤-2;
(2)当A

时,有2a 1>a-1?a>-2.
又∵A∩B=
,
则有2a 1≤0或a-1≥1?a≤-
或a≥2,
∴-2<a≤-
或a≥2,
由以上可知a≤- ...
(A)(
p)

q
(B)p
q
(C)(
p)
(
q)
(D)(
p)
(
q)
解析:不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,所以
p为假命题,
q为真命题,所以(
p)
(A)?x∈R,sin x cos x=1.5
(B)?x∈(0, ∞),ex>x 1
(C)?x∈(-∞,0),2xcos x
解析:?x∈(0, ∞),设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1>0,而f(0)=0, ...
(A)??p:?x<0,2x
3
(B)??p:?x≥0,2x
3
(C)??p:?x≥0,2x
3
(D)??p:?x<0,2x
3
解析:因为特称命题的否定是全称命题,故选B.
(A)p
q (B)p
(
q)
(C)(
p)
q (D)p
(
q)
解析:容易判断命题p为假命题,命题q为真命题,
所以(
p)
q为真命题.故选C.
(A)命题p
q是真命题
(B)命题p
??q是真命题
(C)命题
p
q是真命题
(D)命题
p

q是假命题
解析:命题p是假命题,命题q是真命题,
∴p
q是假命题,p

q是假命题,
??p ...
(A)m≥2 (B)m≤-2
(C)m≤-2或m≥2 (D)-2≤m≤2
解析:易知命题p:?m
R,m 1≤0为真命题,
∵p
q为假命题,
∴命题q:?x ...
解析:∵全称命题的否定为特称命题,且是对结论否定,
∴该命题的否定为:?x0∈R,cos x0>1.
答案:?x0∈R,cos x0>1
解析:若x<0,则x3<x2,所以命题p是假命题,命题q是真命题,故命题

p且q是真命题.
答案:真
解析:当1≤x≤2时,8≥x2 2x≥3,
如果“?x∈[1,2],使x2 2x a≥0”为真命题应有-a≤8,
所以a≥-8.
答案:[-8, ∞)
三、解答题
(1)q:?x∈R,x不是5x-12=0的根;
(2)r:有些素数是奇数;
(3)s:?x0∈R,|x0|>0.
解:(1)??q:?x0∈R,x0是5x-12=0的根,真命题.
(2)??r:每一个素数都不是奇数,假命题.
(3 ...
解:若命题p为真,由
=
=
在复平面上对应的点在第二象限得
故a<-1.若命题q为真,则(2a-3)2-4<0,即
<a< ...
(A)若b2-4ac>0,则ax2 bx c=0没有实根
(B)若b2-4ac>0,则ax2 bx c=0有实根
(C)若b2-4ac≥0,则ax2 bx c=0有实根
(D)若b2-4ac≥0,则ax2 bx c=0没有实根
解析:由原命 ...
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:a
=a-bi为纯虚数,有a=0且b
0,
故ab=0
a=0且b
0,但a=0且b
0 ...
(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b
(C)a∥b
(D)a=2b
解析:由
=
可知向量a与b的单位向量相等,故其充分条件为D项,故选D.
(A)充要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由x≥3且y≥3可以得到x2 y2≥9,反之则不成立,故选C.
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
解析:若直线l的方程为x-y=0,则直线l一定平分圆x2 y2=1的周长;但要平分圆x2 y2= ...
(A)(-∞,3] (B)[2,3]
(C)(2,3] (D)(2,3)
解析:由
≥1得2<x≤3;
由|x-a|<1得a-1<x0时,Δ=1 4m>0,所以方程x2 x-m=0有实根,所以原命题与逆否命题为真命题.x2 x-m=0有实根,不能推出 ...
解析:若方程x2-2x-a 2=0有实根,则Δ=4-4(2-a)≥0,∴a≥1,所以方程有实根的一个必要不充分条件是a≥0.
答案:a≥0(答案不唯一)
解析:α:x≥a,可看作集合A={x|x≥a},β:|x-1|<1,
∴0<x<2,∴β可看作集合B={x|0<x<2}.
又∵α是β的必要不充分条件,
∴B
A,∴a≤0.
答案:(-∞,0]
三、解答题
解:y=x2-
x 1=

,
∵x∈
,
∴
≤y≤2,
∴A=
,
由x m2≥1,得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2},
∵“x
A”是“x
B”的充分条件,
∴A
B,∴1-m2≤
,
解得m≥
或m≤- ...
解:∵mx2-4x 4=0是一元二次方程,∴m≠0.
又另一方程为x2-4mx 4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,
∴

解得m∈ ...
解:设方程的两根分别为x1,x2,当有一个非负实根时,x1x2=a2-2≤0,
即-
≤a≤
;
当有两个非负实根时,
?

即
≤a≤
.
综上,得-
≤a≤
.
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